ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА - Орский индустриальный колледж

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Орский индустриальный колледж»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
(наименование дисциплины)
080802 «Прикладная информатика (по отраслям)»
(наименование специальности)
базовый
(уровень СПО)
2009г.
Одобрена предметной (цикловой) комиссией
информационных технологий
Составлена в соответствии с
государственными требованиями к
минимуму содержания и уровню подготовки
выпускников по специальности 080802
Председатель
________________________
Фрейз И.И.
Заместитель директора по УМР
__________________________
Селезнева С.В.
Автор:
преподаватель ГОУ СПО «Орский
индустриальный колледж»
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Черников Е.В.
Программа учебной дисциплины «Дискретная математика» предназначена для
реализации Государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки
выпускников по специальности и включает основные понятия и методы комбинаторики и
теории графов. Дисциплина является необходимым языковым и методологическим
основанием для формирования специального дискретного мышления. Дисциплина
направлена на развитие навыков формализации и организации понятий при создании и
изучении математических моделей общих и конкретных социально-экономических явлений,
при постановке и решении соответствующих математических задач. В настоящее время
умение описывать дискретные математические объекты, строить математические и
прикладные дискретные модели и работать с ними составляет необходимую часть ремесла
грамотного исследователя, аналитика, практика. Предпочтение в курсе отдается
комбинаторным рассуждениям и конструктивной операционной стороне дела, а не теоремам
существования. Цель курса состоит в том, чтобы подготовить каждого студента к
выполнению дискретных операций (типа вычисления конечных сумм) настолько же,
насколько изучающие математический анализ подготовлены к выполнению непрерывных
операций (типа вычисления определенных интегралов). Дискретной математике вообще, а
комбинаторике с графами - в особенности, присущи особая внутренняя целостность и
внешняя элегантность. В соответствии с государственными требованиями после изучения
дисциплины
Студент должен:
 иметь представление: о роли и месте знаний по дисциплине при освоении смежных
дисциплин по выбранной специальности и в сфере профессиональной деятельности;
 о значении и областях применения дискретной математики; знать: аппарат алгебры
логики и теорию булевых функций;
 основы теории множеств;
 простейшие криптографические шифры;
 метод математической индукции;
 основы теории графов и теории автоматов.
Студент должен уметь:
 строить таблицы истинности для формул логики и упрощать формулы логики;
 выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств для
решения задач;
 выполнять операции над предикатами, записывать области истинности предикатов;
 исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
 применять простейшие криптографические шифры для шифрования текстов;
 доказывать утверждения с помощью метода математической индукции;
 находить характеристики графов, выделять структурные особенности графов;
 применять аппарат теории графов для решения прикладных задач;
 строить автоматы.
Курс по предмету «Дискретная математика» рассчитан на 1 год
обучения, при недельной нагрузке 4 часа в 1 семестре и при
недельной нагрузке 2 часа во 2 семестре, итогом является экзамен.
Запланирована 1 итоговая контрольная работа, максимальная
учебная нагрузка составляет 121 час, запланировано 27 часов
самостоятельной работы, на лабораторно-практические занятия
отводится 40 часов.ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
№
п/п
Тема
1
2
Максимальная учебная
нагрузка студента
3
Количество аудиторных часов при очной форме
обучения
всего
Лабораторные
работы
Самостоятельная
работа студента
4
5
7
28
14
4
4
2
4
2
6
4
3 семестр
Раздел 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Тема
Понятие множества. Подмножество.
1.1
Тема Диаграммы Венна. Универсальное
множество.
1.2
Тема Операции над множествами.
2
1.3
Тема
Бесконечные множества.
1.4
Тема Теоретико-множественные
преобразования.
1.5
Тема
Декартово произведение множеств.
1.6
Тема Бинарные отношения. Отношение
эквивалентности.
1.7
Раздел 2. БУЛЕВА АЛГЕБРА
Тема
Элементарные булевы функции.
2.1
Тема Задания булевых функций с помощью
таблиц истинности.
2.2
Тема Существенные и фиктивные
переменные.
2.3
Тема
Определение логической формулы.
2.4
Тема Тождества булевой алгебры.
Получение эквивалентных формул.
2.5
Тема
Двойственные функции
2.6
Раздел 3. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНАТА
СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Тема Замкнутые классы булевых функций.
Замыкание.
3.1
Класс функций, сохраняющих нуль,
Тема сохраняющих единицу, Класс
самодвойственных функций, Класс
3.2
монотонных функций
Тема
Класс линейных функций
3.3
Понятие функциональной полноты.
Тема
Теорема Поста о функциональной
3.4
полноте
Итого за 3 семестр
1
2
Раздел 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Основные понятия и операции
Тема
комбинаторики. Факториал. Правила
4.1
произведения, суммы.
Тема Выборки без повторений, выборки с
повторениями
4.2
Раздел 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Тема Основные понятия теории графов.
Способы задания графов
5.1
Тема
Маршруты, цепи, циклы
5.2
Тема
Прикладные задачи теории графов.
5.3
Раздел 6. ТЕОРИЯ ДНФ
Тема Понятие дизъюнктивной нормальной
формы.
6.1
Геометрическое представление
Тема
булевых функций. Понятие интервала.
6.2
Покрытие.
Минимизация булевых функций:
Тема
алгоритм Квайна, алгоритм Петрика,
6.3
карты Вейча.
Раздел 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
Тема Понятие конечного автомата. Способы
2
4
2
2
6
4
2
24
12
2
2
4
2
2
4
2
8
6
4
2
2
12
4
9
2
3
2
2
4
2
2
4
2
2
79
64
30
15
3
4
5
6
6
2
4
2
4
2
4
6
4
2
2
2
10
4
4
2
2
2
2
6
4
8
4
2
2
7.1
Тема
7.2
задания конечных автоматов.
Минимизация конечных автоматов.
Комбинационные схемы
6
4
2
Итого за 4 семестр
42
30
10
12
итого
121
94
40
27
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.
Раздел 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Множества Способы задания множеств. Кардинальное число множеств. Элементы
множества. Подмножества. Собственные и несобственные подмножества. Понятие булеана.
Множество. Диаграммы Венна. Универсальное множество. Множества и операции над
множествами. Понятие бесконечности. Сравнение множеств. Мощность и ее нахождение.
Понятие бинарного отношения; примеры бинарных отношений. Диаграмма бинарного
отношения. Рефлексивные бинарные отношения. Симметричные бинарные отношения.
Транзитивные бинарные отношения. Отношение эквивалентности; теорема о разбиении
множества на классы эквивалентности.
Тема 1.1
Понятие множества. Подмножества.
Студент должен знать:
 название раздела математики изучающего свойства множеств;
 способы задания множеств;
 кардинальное число множеств;
 определение подмножества;
 количество подмножеств для конкретного множества;
 определение собственного и несобственного подмножества;
 понятие булеана.
Студент должен уметь:
 задавать множество;
 находить кардинальное число;
 перечислять элементы;
 строить все подмножества данного множества;
 находить кардинальное число булеана.
Лабораторная работа № 1: Множества. Подмножество. Универсальное множество.
Тема 1.2
Диаграммы Венна. Универсальное множество.
Студент должен знать:
 как изображать множества;
 как обозначать множества.
Студент должен уметь:
 строить множества.
Лабораторная работа № 2: Построение диаграмм Венна.
Тема 1.3
Операции над множествами.
Студент должен знать:
 определения объединения, пересечения, разности множеств;
 свойства операций;
Студент должен уметь:
 кардинальные числа;
 пересечение множеств;
 дополнение множеств;
 знать законы де Моргана;
 разность множеств;
 операцию поглощения;
 операцию склеивания;
 теоретико-множественные преобразования.
Лабораторная работа № 3: Операции над множествами.
Лабораторная работа № 4: Способы записи логических функций.
Самостоятельная работа № 1: Операции над множествами
Тема 1.4
Бесконечные множества
Студент должен знать:
 понятие бесконечности;
 сравнение бесконечных множеств;
 счетные множества;
 понятие мощности множества четных и нечетных чисел.
Студент должен уметь:
 находить мощность множества;
 сравнивать бесконечные множества.
Тема 1.5
Теоретико-множественные преобразования.
Студент должен знать:
 способы получения тождественных выражений;
 свойства операций объединения, пересечения и дополнения;
 формулы поглощения и склеивания;
 законы де Моргана.
Студент должен уметь:
 преобразовывать выражения, с учетом дополнительных условий;
 применять формулы поглощения и склеивания, законы де Моргана.
Лабораторная работа № 5: Формулы и тождества булевой алгебры.
Тема 1.6
Декартово произведение множеств.
Студент должен знать:
 определение декартово произведения множеств;
 способы записи и графического отображения декартово произведения множества.
Студент должен уметь:
 записывать декартово произведение множеств;
 графически отображать декартово произведение множеств.
Тема 1.7
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности.
Студент должен знать:
 понятие бинарного отношения;
 понятия рефлексивного бинарного отношения, симметричного бинарного отношения,
транзитивного бинарного отношения;
 понятие отношения эквивалентности, теорему о разбиении множества на классы
эквивалентности.
Студент должен уметь:
 строить диаграмму бинарного отношения;

исследовать
бинарное
отношение
на
рефлективность,
транзитивность;
 выделять классы эквивалентности.
Лабораторная работа № 6: Свойства бинарных отношений.
Лабораторная работа № 7: Отношение эквивалентности.
Самостоятельная работа № 2: Бинарные отношения
симметричность,
Раздел 2. БУЛЕВА АЛГЕБРА
Законы логики. Методика упрощения формул логики с помощью равносильных
преобразований. Равносильные формулы. Методика упрощения формул логики с помощью
равносильных преобразований. Понятие выражения одних булевых функций через другие.
Проблема возможности выражения одних булевых функций через другие.
Тема 2.1
Элементарные булевы функции.
Студент должен знать:
 понятия булевой (логической) переменной, булевой функции;
 способы записи функций;
 простейшие функции: конъюнкция, сложение по модулю 2, дизъюнкция, стрелка
Пирса (функция Вебба), эквивалентность, импликация, штрих Шеффера,
Студент должен уметь:
 записывать булевы функции.
Тема 2.2
Задание булевых функций с помощью таблиц истинности.
Студент должен знать:
 методика построения таблицы истинности.
Студент должен уметь:
 строить таблицу истинности для элементарных и булевых функций.
Лабораторная работа № 8: Построение таблиц истинности.
Тема 2.3
Существенные и фиктивные переменные.
Студент должен знать:
 виды переменных в логических формулах;
 наборы значений логической функции.
Студент должен уметь:
 определять вид переменных в логической формуле.
Тема 2.4
Определение логической формулы.
Студент должен знать:
 понятие выражения одних булевых функций через другие;
 основные логические операции;
 понятие формулы логики, понятие таблицы истинности формулы логики и методику
ее построения, понятие тождественно-истинной формулы.
Студент должен уметь:
 строить таблицу истинности для формулы логики;
 применять индуктивный метод для получения формулы.
Лабораторная работа № 9: Определение существенных и фиктивных переменных в
формуле.
Тема 2.5
Тождества булевой алгебры. Получение эквивалентных формул.
Студент должен знать:
законы логики;
 методику упрощения формул логики с помощью равносильных преобразований;
 понятие равносильности двух формул логики.
Студент должен уметь:
 упрощать формулу логики с помощью равносильных преобразований.
Лабораторная работа № 10: Законы булевой алгебры.
Лабораторная работа № 11: Получение эквивалентных формул.
Лабораторная работа № 12: Нормализация логических формул.
Тема 2.6
Двойственные функции.
Студент должен знать:
 определение суперпозиций;
 определение двойственной функции;
 принцип двойственности.
Студент должен уметь:
 находить двойственную функцию через таблицу истинности, через определение
двойственности.
Лабораторная работа № 13: Разложение функции по переменным.
Самостоятельная работа № 3: Двойственные функции
Раздел 3. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНАТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Полнота множества функций. Замыкание множества функций. Понятие замкнутого
класса функций. Важнейшие замкнутые классы: ТО (класс функций, сохраняющих
константу 0), Т1 (класс функций, сохраняющих константу 1), S (класс самодвойственных
функций), L (класс линейных функций), М (класс монотонных функций). Теорема Поста.
Шефферовские функции. Функция Шеффера и функция Пирса как простейшие
шефферовские функции.
Тема 3.1
Замкнутые классы булевых функций. Замыкание.
Студент должен знать
 множества функций;
 определение замыкания;
 свойства замыкания;
 основные замкнутые классы.
Студент должен уметь:
 отображать классы замкнутых функций графически.
Самостоятельная работа № 4: Замкнутые классы булевых функций. Замыкание.
Тема 3.2
Класс функций, сохраняющих нуль, сохраняющих единицу, класс самодвойственных
функций, класс монотонных функций
Студент должен знать:
 понятие замкнутого класса;
 замкнутый класс Т0;
 методику проверки булевой функции на принадлежность классу Т0;
 мощность класса Т0.
 замкнутый класс Т1;
 методику проверки булевой функции на принадлежность классу Т1;











мощность класса Т1.
понятие самодвойственности;
свойство самодвойственности;
понятие замкнутого класса;
замкнутый класс S;
методику проверки булевой функции на принадлежность классу S;
мощность класса S.
понятие замкнутого класса;
замкнутый класс М;
методику проверки булевой функции на принадлежность классу М;
мощность класса М.
Студент должен уметь:
 проверять булеву функцию на принадлежность классу Т0.
 проверять булеву функцию на принадлежность классу Т1.
 проверять булеву функцию на принадлежность классу S.
 проверять булеву функцию на принадлежность классу М.
Самостоятельная работа № 5: Класс функций, сохраняющих нуль, сохраняющих единицу,
класс самодвойственных функций, класс монотонных функций
Тема 3.3
Класс линейных функций
Студент должен знать:
 понятие замкнутого класса;
 замкнутый класс L;
 методику проверки булевой функции на принадлежность классу L;
 мощность класса L;
 понятия полинома Жегалкина;
 понятие линейного полинома Жегалкина.
Студент должен уметь:
 проверять булеву функцию на принадлежность классу L;
 раскладывать любую булеву функцию в полином Жегалкина.
Лабораторная работа № 14: Представление функции в виде полинома Жегалкина.
Самостоятельная работа № 6: Класс линейных функций
Тема 3.4
Понятие функциональной полноты. Теорема Поста о функциональной полноте.
Студент должен знать:
 понятие полноты множества функций;
 теорему Поста.
Студент должен уметь:
 проверять множество булевых функций на полноту (с помощью теоремы Поста).
Лабораторная работа № 15: Класс самодвойственных и линейных функций.
Самостоятельная работа № 7: Понятие функциональной полноты. Теорема Поста о
функциональной полноте.
Раздел 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Тема 4.1
Основные понятия и операции комбинаторики. Факториал. Правила произведения, суммы.
Студент должен знать:
 предмет и объект исследования комбинаторики;
 понятие факториала;
 правило произведения;
 правило суммы;
 методы решения задач с использованием факториала, правил произведения, суммы.
Студент должен уметь:
 решать задачи по комбинаторике, применяя правила произведения, суммы, понятие
факториала.
Тема 4.2
Выборки без повторений, с повторениями.
Студент должен знать:
 определения размещения, перестановки и сочетания без повторений;
 формулы расчетов размещения, перестановки и сочетания без повторений.
 определения размещения, перестановки и сочетания с повторениями;
 формулы расчетов размещения, перестановки и сочетания с повторениями;
 решения классических комбинаторных задач.
Студент должен уметь:
 решать задачи на выборки без повторений.
 решать задачи на выборки с повторениями.
Лабораторная работа № 16: Выборки с повтарениями. Выборки без повторений.
Самостоятельная работа № 8, 9: Выборки без повторений, с повторениями.
Раздел 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Двудольные графы. Методика проверки графа на двудольность. Полный двудольный
граф.
Изоморфные граф. Методика проверки пары графов на изоморфность.
Эйлеровы графы. Теорема Эйлера (критерий эйлеровости графа). Методика
нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе. Гамильтоновы фафы.
Деревья и их свойства. Плоские графы. Грани плоской укладки плоского графа.
Соотношения между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе. Примеры
неплоских графов.
Тема 5.1
Основные понятия теории графов. Способы задания графов
Студент должен знать:
 понятие неориентированного графа и основные определения, связанные с ним;
 понятие ориентированного графа и основные определения, связанные с ним;
 теорему о сумме степеней вершин графа; формулу количества ребер в полном графе;
 методику выделения компонент связности в графе;
 понятие моста и разделяющей вершины;
 понятие расстояния между вершинами в графе и методику его нахождения.
 понятие двудольного графа;
 методику проверки графа на двудольность;
 понятие полного двудольного графа;
 понятие изоморфности двух графов;
 методику проверки пары графов на изоморфность;
 понятие эйлерова графа;
 теорему Эйлера;
 методику нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе;
 понятие гамильтонова графа;
 понятие дерева, свойства деревьев.
Студент должен уметь:
 записывать матрицу смежности для графа;
 записывать матрицу инцидентности для графа;
 находить количество рёбер в графе (с помощью теоремы о сумме степеней вершин
графа);
 выделять компоненты связности в графе;
 определять, является ли данное ребро мостом или является ли данная вершина
разделяющей;
 определять компонент связности в графе, мосты и разделяющие вершины (точки
сочленения).
 строить граф по матрицам смежности и инцидентности;
 проверять графы на изоморфность;
 находить эйлеров цикл в эйлеровом графе;
 выполнять обход дерева.
Тема 5.2
Маршруты, цепи, циклы
Студент должен знать:
 понятие плоского графа;
 соотношения между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе;
 простейшие примеры неплоских графов.
Студент должен уметь:
 находить количество рёбер в графе (с помощью теоремы о сумме степеней вершин
графа);
 выделять компоненты связности в графе;
 определять, является ли данное ребро мостом или является ли данная вершина
разделяющей;
 находить расстояние между двумя вершинами в графе;
 проверять, является ли данный граф двудольным;
 проверять, является ли данный граф эйлеровым;
 проверять, является ли данный граф гамильтоновым (в простейших случаях);
 проверять, является ли данный граф плоским (в простейших случаях).
Тема 5.3
Прикладные задачи теории графов.
Студент должен знать:
 способы нахождение минимальных путей.
 способы размещения «центров», покрывающих заданную область;
 задачу поиска минимального остова графа;
Студент должен уметь:
 задачу планирования производства;
 задачу о раскраске графа;
 задачу о коммивояжере.
Самостоятельная работа № 10, 11: Прикладные задачи теории графов.
Раздел 6. ТЕОРИЯ ДНФ
Тема 6.1
Понятие дизъюнктивной нормальной формы.
Студент должен знать:
 понятие дизъюнктивной нормальной формы;
 понятие длины ДНФ;
 виды ДНФ.
Студент должен уметь:
 представлять любую булеву функцию в виде ДНФ;
 определять ранг конъюнкции;
 определять длину ДНФ.
Тема 6.2
Геометрическое представление булевых функций. Понятие интервала. Покрытие.
Студент должен знать:
 понятия набора, веса набора;
 виды наборов;
 графическое представление булевых функций.
 понятия интервала, покрытия;
 виды интервалов;
 соответствие ДНФ покрытиям.
Студент должен уметь:
 графически отображать булевы функции от 2 и 3 переменных;
 строить покрытия и указывать соответствующие им ДНФ.
Самостоятельная работа № 12: Геометрическое представление булевых функций. Понятие
интервала. Покрытие.
Тема 6.3
Минимизация булевых функций: алгоритм Квайна, алгоритм Петрика, карты Вейча.
Студент должен знать:
 понятие импликанты;
 виды импликант;
 свойства простых импликант;
 теорему Квайна, алгоритм Квайна для получения сокращенной ДНФ;
 алгоритм поиска всех безызбыточных покрытий (алгоритм Петрика);
 схему минимизации булевой функции;
 алгоритм карт Вейча.
Студент должен уметь:
 находить простые импликанты произвольной булевой функции;
 находить методом Квайна сокращенную ДНФ, строить таблицу Квайна;
 находить тупиковые ДНФ.
Лабораторная работа № 17: Получение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.
Лабораторная работа № 18: Алгоритмы минимизации булевых функций.
Самостоятельная работа № 13: Минимизация булевых функций: алгоритм Квайна,
алгоритм Петрика, карты Вейча.
Раздел 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
Тема 7.1
Понятие конечного автомата. Способы задания конечных автоматов. Минимизация
конечных автоматов
Студент должен знать:
 понятие переключательной схемы;
 соответствие булевых операций элементарным переключательным схемам;
 понятие конечно автомата;
 виды конечных автоматов.
 способы задания конечных автоматов;
 понятие эквивалентных конечных автоматов;


алгоритм Мили для поиска минимального автомата;
общие задачи теории автоматов.
Студент должен уметь:
 строить простейшие переключательные схемы;
 различать виды конечных автоматов,
 отображать конечный автомат на графе.
 задавать конечный автомат 3 различными способами;
 строить диаграммы переходов и выходов.
 применять алгоритм Мили для поиска минимального автомата.
Тема 7.2
Комбинационные схемы
Студент должен знать:
 понятие комбинационного автомата;
 понятие комбинационной схемы;
 переключательные элементы комбинационной схемы;
 понятие суперпозиции переключательных элементов комбинационной схемы;
 алгоритм синтеза комбинационной схемы;
 примеры реальных комбинационных схем.
Студент должен уметь:
 строить произвольные комбинационные схемы;
 строить реальные комбинационные схемы;
 проектировать дискретное устройство.
Лабораторная работа № 19: Построение комбинационных схем.
Лабораторная работа № 20: Синтез комбинационных схем.
Лабораторные работы
1. Множества. Подмножество. Универсальное множество.
2. Построение диаграмм Венна.
3. Отношения эквивалентности.
4. Способы записи логических функций.
5. Формулы и тождества булевой алгебры.
6. Свойства бинарных отношений.
7. Отношение эквивалентности.
8. Построение таблиц истинности.
9. Определение существенных и фиктивных переменных в формуле.
10. Законы булевой алгебры.
11. Получение эквивалентных формул.
12. Нормализация логических формул.
13. Разложение функции по переменным.
14. Представление функции в виде полинома Жегалкина.
15. Класс самодвойственных и линейных функций.
16. Выборки без повторений. Выборки с повторениями.
17. Получение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ
18. Алгоритмы минимизации булевых функций.
19. Построение комбинационных схем.
Синтез комбинационных схем.Литература
Основная:
1. Шевелев Ю.П.Дискретная математика часть1 часть2 Томск 2000г.
2.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов -СПб: Питер,2001
Дополнительная:
1.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику - М Наука 1989г.
2.Владимиров Д.А. Булевы алгебры, Наука ,1979г.
3.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М,. «Мир», 1978г.