А.К.Айзинбуд Формирование точного

А.К.Айзинбуд
Формирование
гидродинамического
точного
расчета
автомодельного
упорного
решения
подшипника,
задачи
обладающего
повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами,
работающего на двуслойной смазке в нестационарном режиме трения
Как уже было отмечено в работе [1], при взаимодействии на границе раздела
жидкости с твердой опорной поверхностью подшипника, происходит
образование пристенного слоя
жидкости другой вязкости, отличной от
вязкости смазок в основном слое. В работе [1] в отличие от других работ,
посвященных данной проблеме при анализе основных характеристик, режим
течения в смазочном слое считался нестационарным. Однако, недостаток
предыдущей работы заключался в
демпфирующими
свойствами,
том, что подшипник не обладал
поверхности
подшипника
являлись
сплошными. Так как большинство пар трения работают в нестационарном
режиме трения, поэтому разработка расчетной модели подшипников
скольжения в нестационарном режиме трения с учетом сил инерции и
демпфирующих
свойств подшипника
является
актуальной
задачей
трибологии, непосредственно связанной с анализом устойчивости работы
подшипника.
В данной статье, предложенный в работе [1] метод расчета основных
рабочих характеристик подшипника обобщается на случай, когда на
направляющей поверхности подшипника присутствует пористый
Постановка задачи. Начальные и граничные условия.
Рассматривается
неустановившееся
стратифицированное
течение
двухслойной вязкой несжимаемой жидкости в зазоре упорного подшипника
скольжения с адаптированным профилем опорной поверхности.
1
Предполагается, что ползун неподвижен, а шип с пористым слоем
движется в сторону сужения зазора с заданной скоростью u* , на которую
накладываются возмущения A' sin  't ' A' sin  't ' , где A' - амплитуда, ' - частота
возмущения (рис.1).
Рис. 1 Схематическое изображение двухслойной смазки в зазоре
упорного подшипника при наличии пористого слоя на поверхности
направляющей
В декартовой системе координат xOy уравнение адаптированного
контура CП ползуна, границы раздела СГ, а также направляющей СН с
пористым слоем толщины Н, имеют вид:
y  h0  xtgα  a sin ωx  h( x), y  αh( x), y  0, y   H .
Здесь
a и ω
соответственно
амплитуда
и
частота
(1)
контурных
возмущений, характеризующих степень отклонения контура ползуна от
прямолинейного, α [0,1] , h0  начальный зазор; tgα  угловой коэффициент
линейного контура.
В дальнейшем ω  ωl определяется из условия максимума несущей
способности подшипника, a и ltgα  одного порядка малости, где l – длина
ползуна.
В качестве основных уравнений, по аналогии с [2,3], в расчётах берутся
безразмерная
нестационарная
система
уравнений
движения
вязкой
несжимаемой жидкости для случая «тонкого слоя», уравнения неразрывности
и уравнение Дарси(в пористом слое режим считается квазистационарным):
2
 2vi dpi
dvi ui vi
2P 2P

 Rei
,

 0, (i  1,2),

0
y 2 dx
dt y x
x 2 y 2
(2)
где размерные величины x, y, υi , ui, pi в смазочном слое связаны с
безразмерными x, y, υi , ui , pi соотношениями
y  h0 y, x  l  x, υi  u *υi , ui  u *εui , ε 
h0
,
l
lμ iu*
 h2
pi  p pi , p  2 , Rei  *i 0 , t   t *t
t i
h0
*
i
*
i
(3)
Здесь ui, υi - компоненты вектора скорости, pi - гидродинамическое
давление в смазочных слоях, μ i - динамический коэффициент вязкости.
В пористом слое переход к безразмерным переменным осуществляется
y  H   , x  l  x, P  pi*P,
по формулам:
(4)
где P - гидродинамическое давление в пористом слое.
Граничные
условия
на
поверхности
ползуна
и
направляющей
записываются в виде:
P
u1 y 0   N

p1  P
 0
 0
,
, υ1
P

y 0
 1
pa  h02
 1  A sin t , p1 (0)  p1 (1) 
 Pg ,
l 1u*
 0, u2
y h ( x )
 0, υ2
y h ( x )
 0,
pа h02
p2 (0)  p2 (1) 
 Pg .
l 2u*
(5)
На границе раздела слоёв
u1
u1
1
y αh
 u2
y αh
, υ1
y αh
 υ2
y αh
,
υ1
y
y αh
 αh( x), h( x)  1   x  1 sin ωx,  

μ 2 υ2
μ1 y
y αh
,
ltgα
a
, 1  ,
h0
h0
(6)
ω  ωl , N  k *l 2 / k04 , k *  проницаемость пористого слоя.
Граничные условия (5) означают прилипание смазки к поверхности
ползуна и направляющей, а также, что переходя через пористую поверхность,
3
давление меняется непрерывно, а нормальная составляющая скорости
определяется законом Дарси.
Помимо
этого,
на
непроницаемой
поверхности
направляющей
нормальная составляющая скорости равна нулю. Давление в начальном и
конечном сечениях равно атмосферному.
Условия (6) означают: условие существования слоистого течения
смазки, т.е. требуется, чтобы скорость точек границы раздела слоёв в каждой
точке была направлена по касательной к контуру раздела слоёв, а также
равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений на границе
раздела слоев.
Полагая толщину пористого слоя достаточно малой, осредним
уравнение Дарси по толщине этого слоя
1
 H 2 2P 2P 
0  l 2 x 2   2 d  0.
Точное
автомодельное
решение
(7)
системы
уравнений
(2),
удовлетворяющее граничным условиям (5) и (6), с учётом (7), будем искать в
виде:
ui  
ψi
ψ
 U i ( x, y), υi  i  Vi ( x, y), ψ i  ψi (ξ),
x
y
U i ( x, y )  ui (ξ)h( x), Vi ( x, y )  υi (ξ), ξ 
y
,
h
p1
c c
 1  1 ( , t )
 Re1 [
 v1 ( , t )   ]  12  23
x
t h 
h h
 
p2
c c
 1  2 ( , t )
 Re2 [
 v2 ( , t )   ]  12  23
x
t h

h h
 
P  A( x)   1  2  c*   1  h  p.
2
2
(8)
4
Подставляя (8) в (2) и в граничные условия (5) и (6), с учётом (7), будем
иметь:
u1 ( , t )
v1 ( , t )
 2v1 ( , t )
3 1 ( , t)


 0,

c
(
t
)

c
(
t
)
,
,
1
2



 3
u ( , t )
v ( , t )
 2v2 ( , t )
 3 2 ( , t )
 2
 0;
 c1 (t ) , 2

c
(
t
)
,
2
3




 1 ( , t )
 0,
  0
u~1 ( , t )  0  0,
v~1 ( , t )  0  1  A s int ,
 2 ( ,t )
 0,

 1
 1 ( , t )
 2 ( , t ) ,



 
 
v~2 ( , t )  1  0,
u~2 ( , t )  1  0,
(9)
 v ( , t )
v~1 ( , t )    v~2 ( , t )   , u~1 ( , t )    u~2 ( , t )   , v1 ( , t )
,
 2 2
   1   

1
 2 1 ( , t )
2  2 2 ( , t ) , p  2 p , v ( , t )d  v ( , t )d  Nc*   .

1
2
1 2 0 1
 2   1
 2  


Решение
задачи
–
(9)

находится
(10)
(10)
непосредственным
интегрированием.
Для определения постоянных ci (i  2,3,...11),
к
c1 , c2 , c1 , cпридём
2
алгебраической системе, которая сводится к матричному уравнению вида:
M  x  b , где


1
2
x  c1; c4 ; c5 ; c8 ; c9 , b  c2 ;0;      A sin t ;  c2
 k  1 ;  1  A sin t 
2
2




0
1
2
3
3
1
Мk


6
6 6
0
2
2
(k  1)
1
1
0
0
0
0
1
1
k
2

2

0
0
α(k  1)
1
2
0
0
0
α(k  1)
2
1
2
1 α
0
1
Выражения, полученные для постоянных ci (i  2,3,...11), c1 , c2 , c1 , c2 в
работе не приводятся в виду их громоздкости.
5
Безразмерные расходы Q1 и Q2 двухслойной смазочной жидкости
определяются выражениями:
Q1  c2
3
6
 c2
2
2
 c3 , Q2 
c2 c4
3
2
  c5  c6
 c4
 c5 .
6 2
6
2
Безразмерная поддерживающей сила
Ry
и безразмерная сила трения
Lmp , определяются выражениями:
Ry 
Lmp 
Lmp l
1u
*
1
p1*l
  ( p1 (0)  p1 ( x))dx
0
 (0) v1 (0)
 (
0
1
Ry
''
1
2
h ( x)

h( x )
1
c
c2
 6 dx
h ( x ) h( x )
0
)dx  
2
Результаты численного анализа полученных аналитических выражений
для основных рабочих характеристик, показывают:
1. С увеличением вязкостного отношения, несущая способность
возрастает.
2. С уменьшением параметра α, характеризующего протяженность
слоев, при k>1, несущая способность увеличивается.
3. С увеличением параметра  , несущая способность уменьшается, при
этом для значений   0.5 теряется устойчивость.
4. При k  1 ,   0.4 ,   0.42;0.91 с ростом Re1 , несущая способность
увеличивается.
5. С ростом
Re1
безразмерный расход
Q1
увеличивается,
Q2 -
уменьшается.
6.
С
уменьшением
параметра
k,
увеличением
параметра
,
уменьшением Re1 , при   0.5 -сила трения увеличивается.
7. С ростом параметра k, ростом  -безразмерный расход
Q1 -
увеличивается, а безразмерный расход Q2 - уменьшается.
6
1)k  1.5,   0.5,   0.6, Re1  0.5,   0.1
2)k  2,   0.3,   0.6, Re1  3,   0.1
3)k  2.5,   0.2,   0.6, Re1  30,   0.1
Рис. 2 Зависимость безразмерной несущей способности от
параметров ω и η при разных значениях параметров α , k и Re1
1)k  1.2,   0.1,   0.4, Re1  0.3,   0.1
1)k  1.2,   0.1,   0.4, Re1  0.3,   0.1
2)k  1.5,   0.3,   0.4, Re1  3,   0.1
2)k  1.5,   0.3,   0.4, Re1  3,   0.1
3)k  2,   0.5,   0.4, Re1  30,   0.1
3)k  2,   0.5,   0.4, Re1  30,   0.1
Рис.3 Зависимость расхода Q1 от
Рис.4 Зависимость расхода Q2 от
параметров ω и η при разных
параметров ω и η при разных
значениях параметров α , k и Re1
значениях параметров α , k и Re1
Литература:
1. Айзинбуд А.К. Разработка метода гидродинамического расчета
упорного
подшипника,
работающего
на
двухслойной
смазке
в
нестационарном режиме трения.//Вестник РГУПС №3,2013.-С. 170-177
7
2.
Ахвердиев
К.С.,
Александровна
Е.Е.,
Мукутадзе
М.А,
Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре упорного
подшипника,
обладающего
демпфирующими
повышенной
свойствами//Проблемы
несущей
синергетики
способностью
в
и
трибологии,
трибоэлектрохимии, материаловедении и мехатронике: материалы VIII
Междунар. науч.-практ. конф. /ЮРГТУ- Новочеркасск, 2009.- С.14-22.
3. Александровна Е.Е., Мукутадзе М.А., Копотун Б.Е., Математическая
модель двухслойной смазки в зазоре упорного подшипника, обладающего
повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами //Труды
Международной
научно-практической
конференции
«Проблемы
и
перспективы развития транспортного комплекса: образование, наука,
производство» - Ростов н/Д , 2009.- С.8-9.
4. Ахвердиев К.С., Воронцов П.А., Черкасова Т.С., Гидродинамический
расчет подшипников скольжения с использованием моделей слоистого
течения вязкой смазки//Трение и износ. 1998.- Т.16, №6-С 698-707
5. Фукс Г.И., Кутейникова З.А., Блехеров М.М., О двухслойной
смазке// Вуз сб.: Исследования по физикохимии контактных взаимодействий.
Уфа: Башиздат, 1971.-с.79-93.
6. Коровчинский М.В., Теоретические основы работы подшипников
скольжения. М., Машгиз., 1959.-403с
7. Raimondi A.A. An adiabatic solution for the finite slider bearing.- Trans.
ASLE , 1966.-V.9,3,-P.283-286.
8. Ахвердие К.С., Александрова Е.Е., Кручина Е.В., Мукутадзе М.А.,
Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре упорного
подшипника, обладающего повышенной несущей способностью///Вестник
Дон. Гос.техн. ун-та-2010. - Т.10 №2(45). -С.217-223.
9. Мукутадзе М.А., Флекс Б.М., Задорожная Н.С., Полчков Е.В.,
Мукутадзе
А.М.,
Расчетная
модель
гидродинамической
смазки
неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в
устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной
8
подачи смазки [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013 г.,
№3 – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1765
(доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
10. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations / Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. - N.J., 1972. – С. 52.
11.
Баранова
Д.А.,
Математическая
модель
деформирования
подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала
[Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 г., №2 – Режим
доступа:
http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745
(доступ
свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус
9