мат.логика - в г. Златоусте

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Филиал в г. Златоусте
ФАКУЛЬТЕТ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ
ВЫПУСКАЮЩАЯ КАФЕДРА «Математика и вычислительная техника»
СОГЛАСОВАНО:
Зав. выпускающей кафедры
УТВЕРЖДАЮ:
Декан металлургического
факультета
____________Дильдин О.Н.
«___»____________2010г.
________________ Тарасова О.Ю.
«___»____________2010г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплины «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ»
(очное отделение)
Индекс дисциплины ЕН.Ф.01.4
Направление подготовки дипломированных специалистов 23010065 «Информатика и
вычислительная техника».
Специальность 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и
автоматизированных систем».
Кафедра разработчик «Математика и вычислительная техника».
Факультет: металлургический.
Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки
23010065 «Информатика и вычислительная техника», специальность 230105
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»,
примерной программой дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»,
рекомендованной
Минобразованием
России
для
направления
подготовки
дипломированного специалиста 23010065 «Информатика и вычислительная техника».
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры
«___»________2010г. протокол №_____
Зав. кафедрой «МиВТ», к.ф.-м.н., доц.
________________________О.Ю. Тарасова
Уч. секретарь кафедры «МиВТ», ст.преп.каф. ________________________Е.Н. Заскалина
Разработчик программы, ст.преп. каф.
_____________________М.Ю. Пушникова
Златоуст 2010
1. Введение
1.1. Требования к уровню освоение содержания дисциплины.
В соответствии с п.7 Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования (ГОС) дипломированный
специалист должен

Знать основные методы построения и анализа алгоритмов,
основные результаты теории сложности алгоритмов и программ;

Владеть методами разработки и анализа алгоритмов, моделей и
структур данных, объектов и интерфейсов;
1.2. Требования к уровню подготовки для освоения дисциплины.
Предшествующий уровень образования абитуриента – среднее
(полное) общее образование.
2.Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины.
Целью преподавания дисциплины является умение получать и
исследовать математические модели, решать математические задачи,
обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
В соответствии с п.4 ГОС в обязательный минимум содержания
основной образовательной программы подготовки должны входить:
Логика высказываний; логика предикатов; исчисления; непротиворечивость;
полнота; синтаксис и семантика языка логики предикатов. Клаузальная форма. Метод
резолюций в логике предикатов. Принцип логического программирования. Темпоральные
логики; нечеткая и модальные логики; нечеткая арифметика; алгоритмическая логика Ч.
Хоара. Логика высказываний. Логическое следование, принцип дедукции. Метод
резолюций. Аксиоматические системы, формальный вывод. Метатеория формальных
систем. Понятие алгоритмической системы. Рекурсивные функции. Формализация
понятия алгоритма; Машина Тьюринга. Тезис Черча; Алгоритмически неразрешимые
проблемы. Меры сложности алгоритмов. Легко и трудноразрешимые задачи. Классы задач
P и NP. NP – полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные алгоритмы.
Основы нечеткой логики. Элементы алгоритмической логики.
3. Объем дисциплины и виды учебной работы.
Таблица 1 — Состав и объем дисциплины
Вид учебной работы
Всего
часов
Распределение
по семестрам в
часах
Семестр
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
ГОС
100
план
99
III
99
27
18
27
18
Индивидуальные занятия
Самостоятельная работа (СРС)
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
и (или) другие виды самостоятельной
работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
4. Содержание дисциплины.
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий
Таблица 2 — Разделы дисциплины, виды и объем занятий
№
Наименование разделов,
п/п
тем дисциплины
1
Классическая логика
2
Формальные теории (исчисления)
3
Неклассические логики
4
Алгоритмы
5
Сложность алгоритмов
Итого
54
54
Экзамен
зачет
Экзамен
зачет
Всего
99
Л
ПЗ
СРС
15
4
4
2
2
27
8
4
2
2
2
18
20
10
8
8
8
54
4.2. Содержание (и методические рекомендации) разделов и тем дисциплины
I. Классическая логика (15 часов)
1.1. Логика высказываний.
1.
2.
3.
4.
Высказывания и основные законы логики. Логический парадокс Рассела.
Алгебра (логика) высказываний. Алгебра Буля.
Истинные и общезначимые формулы. Проблема разрешимости.
Логическое следствие. Силлогизмы. Компьютерные программы для вычислений в алгебре
высказываний.
1.2. Логика предикатов.
5. Предикаты и формулы. Интерпретации. Истинность и выполнимость формул. Модели и
общезначимость.
6. Готтлоб Фреге. Сколемовские функции и сколемизация формул.
1.3. Метод резолюций.
7. Метод резолюций в логике высказываний и в логике предикатов.
II. Формальные теории (4 часа)
2.1. Определение формальной теории или исчисления. Исчисление высказываний.
8. Доказательство. Непротиворечивость теории. Полнота теории. Язык и правила вывода
исчисления высказываний. Пример доказательства теоремы. Полнота и непротиворечивость
исчисления высказываний.
2.2. Исчисления предикатов. Формальная арифметика.
9. Язык и правила вывода исчисления предикатов. Полнота и непротиворечивость
исчисления предикатов. Эгалитарные теории. Язык и правила вывода формальной арифметики.
Теорема Генцена. Теорема Геделя о неполноте. Курт Гедель. Автоматическое доказательство
теорем и идеи логического программирования.
III. Неклассические логики (4 часа)
1.1. Интуиционистская логика. Нечеткая логика. Модальные логики.
10. Нечеткие множества. Нечеткая логика высказываний. Исчисления I и T (Фейса-фон
Вригта). Исчисления S4, S5 и исчисления Брауэра. Означивание формул. Семантика
Крипке. Другие интепретации модальных знаков.
3.2. Временные логики. Алгоритмические логики.
11. Временная логика Прайора. Временная Логика Леммона. Приложение временных логик
к программированию. Временная логика Пнуели. Принципы построения алгоритмической логики.
Алгоритмическая логика Хоара. С. А. Р. Хоар.
IV. Алгоритмы (2 часа)
4.1. Понятие алгоритма и вычислимой функции. Рекурсивные функции. Машина
Тьюринга-Поста.
12. Примитивно рекурсивные функции. Частично рекурсивные функции. Тезис Черча.
Вычисление функций на машине Тьюринга-Поста. Тезис Тьюринга. Примеры вычислений.
Алгоритмически неразрешимые проблемы.
V. Сложность алгоритмов (2 часа)
13. Понятие о сложности алгоритмов. Классы задач P
вычислений. Эффективные алгоритмы.
и NP. Понятие сложности
5. Лабораторные работы (не предусмотрены).
6. Практические занятия.
6.1. Объем и содержание практических занятий, характер и цель занятий.
Задачи на усмотрение преподавателя.
Таблица 4 — Состав и объем практических занятий
Номер
Номер
Наименование и краткое
Характер
занятия раздела
содержание практических
занятий и
или
занятий
цель
темы
Высказывания и основные законы логики. Логический
1
I
Освоение
парадокс Рассела.
методов
Алгебра (логика) высказываний. Алгебра Буля.
решения
задач.
Истинные и общезначимые формулы. Проблема
2
I
Освоение
разрешимости.
методов
Логическое следствие. Силлогизмы.
решения
задач.
Компьютерные программы для вычислений в алгебре
3
I
Освоение
высказываний.
методов
Предикаты и формулы. Интерпретации.
решения
задач.
Истинность и выполнимость формул. Модели и
4
I
Освоение
общезначимость. Готтлоб Фреге. Сколемовские функции
методов
и сколемизация формул.
решения
Метод резолюций в логике высказываний и в логике
задач.
5
II
6
II
предикатов.
Определение формальной теории или исчисления.
Исчисление высказываний.
Доказательство. Непротиворечивость теории. Полнота
теории.
Язык
и
правила
вывода
исчисления
высказываний. Пример доказательства теоремы. Полнота
и непротиворечивость исчисления высказываний.
Исчисления предикатов. Формальная арифметика.
Язык и правила вывода исчисления предикатов. Полнота
и
непротиворечивость
исчисления
предикатов.
Эгалитарные теории. Язык и правила вывода формальной
арифметики. Теорема Генцена. Теорема Геделя о
неполноте. Курт Гедель.
Автоматическое
доказательство
теорем и
идеи
логического программирования.
Колво
часо
в
2
2
2
2
Освоение
методов
решения
задач.
2
Освоение
методов
решения
задач.
2
7
III
8
IV
9
V
Интуиционистская логика. Нечеткая логика. Модальные
логики.
Нечеткие множества. Нечеткая логика высказываний.
Исчисления I и T (Фейса-фон Вригта). Исчисления S4, S5
и исчисления Брауэра. Означивание формул. Семантика
Крипке. Другие интепретации модальных знаков.
Временные логики. Алгоритмические логики.
Временная логика Прайора. Временная Логика Леммона.
Приложение временных логик к программированию.
Временная логика Пнуели. Принципы построения
алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
С. А. Р. Хоар.
Понятие алгоритма и вычислимой функции. Рекурсивные
функции.
Примитивно
рекурсивные
функции.
Частично
рекурсивные функции. Тезис Черча.
Машина Тьюринга-Поста.
Вычисление функций на машине Тьюринга-Поста. Тезис
Тьюринга. Примеры вычислений. Алгоритмически
неразрешимые проблемы.
Понятие о сложности алгоритмов. Классы задач P и NP.
Понятие
сложности
вычислений.
Эффективные
алгоритмы.
Освоение
методов
решения
задач.
2
Освоение
методов
решения
задач.
2
Освоение
методов
решения
задач.
2
6.2 Контрольные вопросы по практическим занятиям.
№
№
занятия раздела
1.
I
2.
I
3.
I
Контрольные
вопросы
Что такое логика?
Дайте определение высказывания.
Какими бывают высказывания?
Какие логические связки используются для построения новых
высказываний?
5. Воспроизведите истинностные таблицы.
6. Перечислите основные законы логики высказываний.
7. В чем состоит логический парадокс Рассела?
8. Какое выражение в логике высказываний называется
формулой?
9. Какие формулы называются равносильными?
10. Перечислите равносильные формулы.
11. Дайте определение алгебры Буля.
1. Какая формула называется истинной?
2. Какая формула называется общезначимой?
3. Любая ли формула разрешима?
4. Какая формула называется логическим следствием формул?
5. В чем состоит теорема о дедукции? И ее следствие?
6. Дайте определение силлогизма.
7. Приведите примеры силлогизмов.
1. Что такое предикат?
2. Какие бывают предикаты?
3. Что такое терм?
4. Дайте определение формулы в логике предикатов.
5. Какие кванторы известны?
1.
2.
3.
4.
4.
I
5.
II
6.
II
7.
III
8.
IV
6. Какие переменные называются связанными, а какие
свободными?
7. В чем состоит интерпретация формулы?
1. Какая формула называется истинной, выполнимой,
общезначимой?
2. Что такое модель?
3. Дайте определение противоречия.
4. Какие формулы называются равносильными?
5. Приведите примеры равносильных формул.
6. Какие функции называются сколемовскими?
7. Признак и свойство модели.
8. Дайте определение конъюнктивной нормальной формы.
9. Что такое дизъюнкт?
10. Что такое резольвента?
11. В каком случае резольвента называется пустой?
12. В чем состоит алгоритм метода резолюций?
1. Дайте определение формальной теории.
2. Из каких компонент состоит формальная теория?
3. В чем состоит формальное доказательство формулы?
4. Какая формула называется теоремой?
5. Какая формальная теория называется полной?
6. какая формальная теория называется непротиворечивой?
7. Что включается в алфавит исчисления высказываний?
8. Какие формулы включает в себя исчисление высказываний?
9. Перечислите основные аксиомы – схемы Клини.
10. Что вы можете сказать о полноте и непротиворечивости
исчисления высказываний?
1. Какие добавления добавлены к исчислению высказываний,
чтобы получилось исчисление предикатов?
2. Что вы можете сказать о полноте и непротиворечивости
исчисления предикатов?
3. Какая теория называется эгалитарной?
4. Дайте определение формальной арифметики.
5. Что вы можете сказать о полноте и непротиворечивости
формальной арифметики?
6. В чем заключается принцип Генцена?
7. Сформулируйте теорему Геделя.
1. В чем отличие классической теории множеств от нечеткой?
2. Дайте определение нечеткого подмножества.
3. Что такое модальная логика?
4. Что такое исчисление Фейса – фон Вригта или исчисление Т?
5. Дайте определение исчислений S4 и S5.
6. Какое модальное исчисление называется нормальным?
7. Что такое семантика Крипке?
8. Дайте определение Т-означивания.
9. В чем заключается временная логика Прайора?
10. В чем заключается временная логика Леммона?
11. В чем заключается временная логика Пнуели?
12. Дайте определение алгоритмической логики.
13. В чем заключается алгоритмическая логика Хоара?
1. Дайте понятие алгоритма.
2. Какая функция называется частичной?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Какая функция называется простейшей?
Какая функция называется примитивно рекурсивной?
Какая функция называется частично рекурсивной?
В чем состоит тезис Черча?
Что такое машина Тьюринга – Поста?
Из чего состоит машина Тьюринга – Поста?
7. Семинарские занятия не предусмотрены.
8. Самостоятельная работа студентов (СРС).
1. Выполнение домашних заданий.
2. Выполнение индивидуальных типовых расчетов.
Таблица 5 - Содержание и объем типовых расчетов
Номер Наименование и содержание разОбъем расчетной или
раздела делов типового расчета
графической частей
Исчисление высказываний.
I
6
Исчисления предикатов.
II
3
Кол-во часов на одного
студента
0,5
0,5
3. Самостоятельное изучение некоторых несложных тем курса (по усмотрению лектора)
Вид
работы
Номер
раздела
Наименование и краткое
содержание
Количество Используемая
часов
литература
СРС
I
Cофизмы.
5
[3], гл.8
СРС
I
6
[4], §3
СРС
I
5
[4], §3
СРС
I
8
[4], §3
СРС
СРС
I
II
Правильные и неправильные
рассуждения.
Необходимые и достаточные
условия.
Обратная и противоположная
теоремы.
Парадоксы.
Релейно-контактные схемы.
8
6
[3], гл.5
[3], гл.7
СРС
III
8
[5], гл.3
СРС
V
С. А. Р. Хоар и алгоритмическая
логика.
А.Н. Колмогоров и сложность
алгоритма.
Итого
8
[5], гл.3
54
9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
9.1. Рекомендуемая литература.
9.1.1. Основная литература:
1. Судоплатов, С. В. Математическая логика и теория алгоритмов: Учеб./ С. В. Судоплатов, Е.
В. Овчинникова.-2-е изд., перераб.-М.: Инфра-М; Изд-во НГТУ, 2008.-224 с.
2. Аляев, Ю.А. Дискретная математика и математическая логика: учебник/ Ю.А. Аляев, С.Ф.
Тюрин.
М.:
Финансы
и
статистика,
2006.
–
368
с.
9.1.2. Дополнительная литература:
3. Аляев, Ю.А. Дискретная математика и математическая логика: Учебник/ Ю.А. Аляев, С.Ф.
Тюрин. –М.: Финансы и статистика, 2006. – 368с.
4. Осипова, В. А. Основы дискретной математики: Учеб. пособие/ В. А. Осипова.-М.: ИнфраМ, Форум, 2006. - 160 с.
5. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов: учеб. пособие для
вузов / Ф. А. Новиков. – 2-е изд. – М. и др.: Питер, 2007.-363с.: ил.
6. Эвнин, А.Ю. Задачник по дискретной математике: сборник задач/ А.Ю. Эвнин. 2-е изд.,
перер. и доп. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2002. – 164с.
9.2. Средства обеспечения освоения дисциплины.
Программы Microsoft Office Word, Microsoft Office PowerPoint.
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Компьютерный класс — видеозал