Уравнения и неравенства с модулями, 10 кл

Элективный курс профильного обучения
по алгебре
«Уравнения и неравенства с модулями»
для учащихся 10 кл. на 17 ч.
Содержание
1.
Аннотация………………………………………………………..3
2.
Пояснительная записка………………………………………….3
3.
Цели и задачи курса……………………………………………..4
4.
Место курса в системе профильной подготовки……………....5
5.
Требования к уровню усвоения курса………………………….5
6.
Учебная программа………………………………………………6
7.
Учебно-тематический план……………………………………...6
8.
Содержание курса……………………………………………..…7
9.
Приложения
Планы занятий……………….……………………………9
Защита проектов в форме презентаций
10. Терминологический словарь……………………………………28
11. Рекомендуемая литература……………………………………..29
2
Аннотация
За последние годы в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ наметилась тенденция к усложнению заданий высокого уровня сложности, которые фигурируются в третьей части под номерами С3-С5. Почти в каждом
из вариантов есть задания с модулем. В школьной программе мало времени отведено на решения подобных заданий, да и в сборниках по подготовке к ЕГЭ есть решение только для одного варианта из десяти, что явно недостаточно. Поэтому целесообразно данную тему «Уравнения и неравенство с модулями», предназначенную для учащихся 10 класса, изучить не
только в рамках элективного курса, но и во внеклассной работе, в урочной
деятельности. Это будет способствовать повышению математической подготовки учащихся, самоопределению в выборе профиля обучения, выявлению способностей ученика осваивать выбранный элективный курс на
повышенном уровне сложности.
Пояснительная записка
Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулями» рассчитан
на 17 часов для учащихся 10 класса. Он ориентирован на профильную
подготовку учащихся по математике, углубляет базовый курс по алгебре,
дает учащимся познакомиться со свойствами модулей, геометрическим
местом точек модуля, решением уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей.
Выпускник, научившийся решать уравнения и неравенства, быстро
справится с заданиями при сдаче ЕГЭ. Поэтому думаю как можно раньше
и подробнее изучить эту тему с учащимися для того, чтобы они успешно
смогли сдать экзамен за курс средней школы.
Также думаю, что вопросы, входящие в элективный курс, не вызовут
трудностей у учащихся, а наоборот, заинтересуют их, повысится интерес к
предмету, потому как, кроме обычных занятий (семинар, лекция, практи3
кум, контроль) здесь будут проектные работы, содоклады, презентации,
дополняющие выступления учителя, а это будет способствовать их самообразованию, саморазвитию, самореализации в процессе изучения курса, а
самое главное – самоопределению в выборе профиля обучения.
Цели курса:
– научить решать уравнения и неравенства с модулями;
– создавать условия для саморазвития, самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;
– развивать математические, интеллектуальные способности
учащихся;
– воспитывать волевые и нравственные качества характера
личности, приобщать к миру вечного, разумного и прекрасного.
Задачи курса:
– научить решать неравенства разными способами (методом
интервалов, графическим способом, совокупностью систем); строить графики функции с модулями; решать уравнения с модулями,
систему уравнений с модулями;
– приобщать к работе с математической литературой, компьютером;
– выделить логически обобщенные приемы мышления, формировать аналитико-синтетическую деятельность;
– обеспечить групповую форму математической деятельности;
– предоставить учащимся возможность проанализировать
свои способности к математической деятельности.
4
Курс призван помочь ученику оценить свои возможности и способности
с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах математического и естественно-научного профиля.
Место курса в системе профильной подготовки
Курс ориентирован на профильную подготовку учащихся по математике.
Он
углубляет
базовый
курс
по
алгебре,
является
предметно-
ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными уравнениями и неравенствами с модулем, проверить способности к
математике.
Примеры, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому
данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, может оценить свои возможности по математике и более
осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.
Требования к уровню усвоения курса
Учащиеся должны:
 знать способы решения неравенств и уравнений и уметь их применять;
 уметь решать уравнения и неравенства, содержащие неизвестную
величину под знаком модуля;
 строить графики функции с модулями.
В результате изучения элективного курса учащийся выполнит проектную работу на одну из тем: «Уравнения и неравенства с одним модулем»,
«Уравнения и неравенства с двумя модулями», «Уравнения и неравенства с
5
тремя модулями», «Графики функций с модулями» и защитит в форме презентации.
Учебная программа
Количе-
№ Наименование разделов
1
ство часов
Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля.
.
2
.
3
.
5
Функция с модулем
3
Неравенства с модулями
9
Итого:
17
Учебно-тематический план
№ Наименование разделов, тем
лекция семинар практикум контроль
1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
1 Модуль числа. Свойства мо.1
дулей
1
1 Уравнения с одним модулем и
.2
0,5
уравнения с двумя модулями
1 Уравнения с тремя модулями.
.3
0,5
Тест №1
1 Решение систем уравнений с
.4
.5
0,5
1
модулем. Задания из ЕГЭ
1 Самостоятельная
0,5
работа
1
«Уравнения с модулями»
2. Функция с модулем
6
2 Анализ самостоятельной ра.1
боты. Функция с модулем
0,5
0,5
2 Построение графиков функ.2
0,5
ций. Тест №2
2 Нахождение значения функ.3
0,5
1
ции. Задания из ЕГЭ
3. Неравенства с модулями
3.1 Разные способы решения неравенств
1
3.2 Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
0,5
0,5
1,5
0,5
Тест №3
3.3 Самостоятельная работа «Не-
1
равенства с модулями».
3.4 Анализ самостоятельной работы.
Решение
неравенств.
1
Задание из ЕГЭ.
Контрольная работа «Уравнения и неравенства с модуля-
1
ми»
Анализ контрольной работы.
1
Защита проектов.
Итоговое занятие
1
Итого
17
Содержание программы.
Тема 1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
( 1 ч - лекция, 0,5 ч – семинар, 2 ч – практикум, 1,5 – контроль)
7
В данной теме рассматриваются свойства модулей, методы решения
уравнений с модулями, знакомятся с решением уравнений, содержащих несколько модулей, проводится тестирование, решаются уравнения из ЕГЭ.
Например, решить уравнения:
1. 2х  3  х  5
2. 2 х  1  3  х  х  4
3. 3х  2 х  1  2 х
4. х  а  х  2
Тема завершается проведением самостоятельной работы.
Тема 2. Функция с модулем (0,5 ч – лекция, 0,5 ч – семинар, 1,5 ч – практикум, 0,5 ч - контроль)
В этой теме большое внимание уделяется области определения функции,
умению строить графики функций и выделить нужные промежутки функции.
Решаются задания типа:
Найти область определения функции:
у
2 х 5 2


у  log 5 х 2  4 х  3
Построить график функции у  х  1  х
Проводится тест №2.
Тема 3. Неравенства с модулями.
При решении неравенств, содержащих разные функции с модулем, ярко
проявляется метод интервалов, выполняются задания из ЕГЭ. Например,
Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства хх  6  а  3 х  3  3 содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 4, и знаменателем -3<q<1. Здесь же проводится тест №3, а в конце темы самостоятельная работа.
В конце курса знания учащихся проверяются проведением контрольной
работы и защитой проектных работ в форме презентации.
8
Занятие 1. Лекция. Модуль числа. Свойства модулей
Цели. Познакомить учащихся со свойствами модулей, с теоремами, с
методами решений уравнений с модулями, решением уравнений, содержащих несколько модулей.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с учебным планом всего курса.
II Лекция.
а, если а  0
а 
 а , если a  0
  3    3 , т.к.   3,14.., а   5  5   , т.к.   5  0
Геометрически a означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
Свойства модулей:
10. а  0
20. а   а
30. аb  a  b для любых чисел a и b
40.
a a
 ,b  0
b b
50. a  a 2
2
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Методы решения уравнений с модулями.
g  0
Теорема: f  g   f  g
 f   g

f  g
Теорема: f  g  
 f  g
Теорема: f  g  f 2  g 2
9
IV Решение уравнений
1) 2х  3  х  5
2
3
Ответ: х1   ; х2  8
2) 2 х  1  3  х  х  4
Ответ: х 
3
2
3) 3  2 х  1  2 х
Ответ: х 
1
2
Вывод: при решении уравнений, содержащих переменную под знаком
модуля,
часто
удобно
пользоваться
f  g
и f  g  f 2  g2 .
f  g 
f


g

Домашнее задание.
Решите уравнение:
1) 3х  2  13
Ответ: х  5, х  
11
3
2) х 2  2 х  2 х  х 2
Ответ: х   ; 0 2;  
10
следующими
переходами:
Занятие 2. Решение уравнений с одним модулем и уравнений
с двумя модулями.
Цели. Уметь решать уравнения с одним модулем и двумя модулями.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Решение уравнений.
1) х 2  9 х  8  9 х  8
Ответ: х1=4, х2=18.
2) 3х 2  а  1  а  1
Ответ: Если а  1, то х  
Если а  1, то х  0;

2а  1 
Если а  1, то х  0; 

3


3) х 2  х  х  3  1
Ответ: х1=2, х2=-2
IV Самостоятельная работа
1) 5х  4  8  х
Ответ: х1=2, х2=-1
2)
х2  х  3
 2х 1
3
Ответ: х1=0, х2=6
3) х  а  х  2
Ответ. Если а  2, то х 
а2
2
Если а  2, то х  2
Если а  2, то х  
V Анализ самостоятельной работы.
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра 9. №162 (2;4)
11
Занятие 3. Уравнение с тремя модулями. Тест
Цели. Уметь решать уравнения, содержащие неизвестную величину под
знаком модуля, проверить освоение материала в ходе тестирования.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания
II Решение уравнений
1) 2 х  1  3  х  х  4
Ответ: х 
3
2
2) 3  2 х  1  2 х
Ответ: х 
1
2
Тест.
Решить уравнения:
1) 3х 2  7 х  3  10 х  3
А: 1 и
1
3
В: -1 и 
1
3
С: -1 и
1
3
2) 2 х  8  3х  1
А: 5 и 7
В:
5
7
С:
7
5
С:
1
и0
3
3) х 2  3х  2  1  1
А: 0 и 3
В: 0 и -3
Домашнее задание.
Выступление «Уравнения с несколькими модулями».
12
Занятие 4. Решение систем уравнений с модулями. Задания из
ЕГЭ
Цели. Уметь решать системы уравнений с модулями.
Ход занятия.
I Выступление «Уравнения с несколькими модулями».
II Решение систем уравнений.
 х 1  2 у  2  1
1) 
 у  х  1  3
Ответ. (-1;2); (1;2)
 2х  7  3 у  2  1
2) 
 у  3  2 х  7
Ответ. (-3;2); (-4;2).
х 2 у  3
3) 
5 у  7 х  2
11 19
Ответ.   ; 

9 9
IV Задания из ЕГЭ.
Найдите сумму всех значений переменных, являющихся
1.
решением (или решениями, если их несколько) системы.
 х  5  9   у  22


2

 х  5  49   у  2
Ответ. 8
Найдите число решений системы уравнений.
2.
 х 2  4ху  32 2 у 2  у  cos х  0


2
2
 4  х  4  1  у  4  х  4  1  у
Ответ. 13
Домашнее задание.
Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
8  2 log
х
0,5
5x  1
 2x  8
2x  4
13
Ответ. 1
Занятие 5. Самостоятельная работа «Уравнения с модулями»
Цели. Проверить знания учащихся по пройденным темам.
Ход занятия.
I Повторение.
–
Свойства модулей
–
Методы решения уравнений
II Знакомство учащихся с работой.
III Некоторые замечания по работе.
IV Выполнение работы.
Решить уравнение:
1) х2 13 х  42  0
2) х 3  2 х  1  х 3  1
х 2  3х
3) 2
1
х  2х  3
4) 2 х  10  х  4  1
5) х 2  х  х  3  1
6) 7 2  3х  2 3х 1  4  3х
7) 2х  3  3х  4  5х  7
Домашнее задание.
3  х  2 х 1  х  х  2
14
Занятие 6. Анализ самостоятельной работы. Функция с модулем.
Цели. Знать понятие функции, область определения функции, график
функции с модулем, уметь находить область определения функции, строить
график функции с модулями.
Ход занятия.
I Анализ самостоятельной работы
II Функция, область определения функции, график функции.
III Нахождение области определения функции.
1) у х   2 х 2  3х  5
2) ух   х  1  2
х 1
3) ух   3 х1  27
4
4) ух   х  1х  1х  4  3
5) ух   2  х  5  2
6) у х   log 5 х 2  4 х  3
IV Построение графиков функций.
1) у  2 х  1
2) у  х  1  х
3) у  х х  2 х
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра 9., №163(2,4)
15
Занятие 7. Построение графиков функций.
Цели. Уметь строить графики функций с модулями, проверить усвоение
материала в ходе тестирования.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Выполнение упражнений на построение.
1) у  log 3 x
2) y  1 log 2 x
3) y  3 x  2
4) y  2 x
1
5) y   
3
x
6) y  x  x  2
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл., №106**(2,4),
№107**(2,4)
16
Занятие 8. Нахождение значения функции. Решение заданий из
ЕГЭ.
Цели. Уметь находить значения функции, содержащей независимую переменную под знаком модуля.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания.
II Выполнение упражнений.
Задания из ЕГЭ-2007 (стр.154)
1)
Найдите значение функции

 6 х  19 , если х  2
g ( x)  

log 3 х , если х  1
Ответ. 37
2)
Укажите наименьшее целое число из области определения функ-
ции
у  lg 28  2 x  3 
3)
Укажите сумму всех целых чисел из области определения функ-
ции.
y  6 8  5x  14
Ответ. 9
Домашнее задание.
Найдите нули функции
2 x  1, если х  3
f x   
sin х  3, если х  3
Ответ. 0
17
Занятие 9. Разные способы решения неравенств.
Цели. Познакомить учащихся с разными способами решения неравенств.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Лекция.
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля,
используется определение модуля:
 f ( x), если f ( x)  0
f x   
 f ( x), если f ( x)  0
Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой a означает расстояние точки а
координатной прямой от начала отсчета 0, а a  b означает расстояние между
точками a и b на координатной прямой.
Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:
f  x   g  x   f 2 ( x )  g 2 ( x)
Пример: x 1  2
1 способ: х  1 можно рассматривать как расстояние на координатной
прямой между точками х и 1. Значит, нужно указать все точки х, которые
удалены от точки 1 меньше, чем на 2 единицы. С помощью координатной
прямой устанавливаем, что множество решений есть интервал (-1;3)
2 способ: возведем обе части неравенства в квадрат.
x 1  2 ,
х  12  4,
x2  2x  1  4  0
x2  2x  3  0
1  x  3
18
3 способ. По определению модуля.
 х  1, если х  1  0
х 1  
 х  1, если х  1  0
Ответ. (-1;3)
III Решение неравенств.
1) 2 x  5  7
Ответ. x  6, x  1
2) 2 x 1  3x  1
Ответ. x  2, x  0
3) 2 x  4  3x  2
Ответ. x  2
Домашнее задание
Выступление «Решение неравенств методом интервалов»
19
Занятие 10. Неравенства, содержащие неизвестную величину под
знаком модуля.
Цели. Напомнить самый рациональный способ решения неравенств
- метод интервалов, уметь его применять при решении неравенств с модулями.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Выступление «Решение неравенств методом интервалов»
ОДЗ  Корни  Ось  Знаки  Концы  Ответ
III Решение неравенств.
Для решения неравенств, содержащих величину х под знаком модуля
необходимо:
найти значение х, при которых выражения, стоящие под
1)
знаком модуля, обращаются в нуль.
решить неравенства для каждого из промежутков, образо-
2)
ванных такими х (на каждом промежутке это будет обычное алгебраическое неравенство)
Решение исходного неравенства представляет собой объединение множества решений на интервалах.
Пример.
х 2  5х  6  0 , х  
6
5
6
1)   ;  х2  5х  6  0 , х 2  5х  6  0, x  3, x  2

5
6
6
2)   ;  х 2  5х  6  0 , х 2  5 х  6  0,   x  1, x  6
 5

5
Ответ.  3  x,  2  x  1, x  6
Решить неравенство:
1) 5  8х  11
3
4
Ответ.   x  2
20
2) x 1  x  2  3
Ответ.  2  x  1
3) x  a  a
Ответ.
Если а  0, то х 
а
2
Если а  0, то х  
21
Занятие 11. Решение неравенств.
Цели. Уметь решать неравенства с модулями.
Ход занятия.
I Повторение
–
неравенство
–
метод интервалов
–
совокупность систем
–
графический
II Решение неравенств.
1) 4 х1  16
Ответ. х  3, x  1
2) 5 x4  25 x
1
3
Ответ. x  1 , x  4
3) x 1  x  2  3
Ответ.  2  x  1
4)
x  3  x 1
0
2x  5  x  6
Ответ.  3  x  2 , х>1
5) На координатной плоскости изобразить множество точек (х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству 2х  у  x  2 y .
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл. №797(2,4), №798(2,4)
22
Занятие 12. Неравенства с модулями.
Цели. Уметь решать неравенства с модулями, проверить знания учащихся в ходе тестирования.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания
II Решение неравенств.
3  4  х2  х 1
1)
х2  х
0
Ответ.  2 1;0  0;2
2)
2x  7  x  2
0
x  3 1
Ответ.  3,5;2  1;
3) 5  x  1  2  x
Ответ. 0  x  4
Тест.
Решить неравенство:
1. x 1  x  1  4
А: (2;-2)
2.
С:  2;2
В: (-2;2)
2х 1
1

х х2 2
2
А: 4;1   2;5
В:  4;1  2;5
4;1   2;5
3. x 2  2 x  4  x  1  1
А: x<2
В: x  2
С: x  2
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл., №833(4,6,8)
23
С:
Занятие 13. Самостоятельная работа «Неравенство с модулями»
Цели. Проверить знания учащихся в ходе самостоятельной работы.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с заданиями.
II Некоторые замечания по работе.
III Выполнение работы.
Решить неравенство
1) 2 х  3  x
x2  4x  3
0
2)
lg x  2
Ответ. x   ;1  1;2  2;3  3;
3  4  x2  x 1
3)
x2  x
0
Ответ. x  2 1;0  0;2
4) x 3  1  1  x
Ответ. x   ;1  0;1  1;
5) x  2  x  4  0
Ответ. x  1;
Домашнее задание.
Выполнение проектной работы.
24
Занятие 14. Анализ самостоятельной работы. Решение неравенств из сборника для ЕГЭ
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Решение неравенств с модулями».
Ход занятия.
I Анализ самостоятельной работы.
II Решение неравенств
1) х 2  х  2  х 2  х  12
Ответ. х   ; 7   7 ;5
2) х 2  5  1  x  2
Ответ. x   ; 5   5;3
3) Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество
решений неравенства xx  6  a  3 x  3  3 содержит все члены некоторой
геометрической прогрессии с первым членом, равным 4, и знаменателем 3<q<-1.
Ответ. 105.
х 3  48 х  2
1
 2
4) Найдите число целых решений неравенства
2
х  2 х  7 х  9 х  14
Ответ. 2
Домашнее задание.
Работа над проектом.
25
Занятие 15. Контрольная работа «Уравнения и неравенства с модулями».
Цель. Проверить знания учащихся в ходе контрольной работы.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с работой.
II Некоторые замечания по работе.
III Выполнение контрольной работы.
Решить уравнение.
1.
1) 2 х  1  3  х  х  4
Ответ. х 
3
2
2) 3  2 х  1  2 х
Ответ. х 
1
2
3) х 2  3х  2  1  1
Ответ. х1=0, х2=3.
2.
Решить неравенство.
1) 3 х2  9
Ответ. 0<x<4
2) 2 x2  4 x1
Ответ. -4<x<0
3) х 1  х  2  3
Ответ.  2  х  1
3.
Построить график функции.
1) у  3 х  3
2) у  х  х  2
Домашнее задание.
Работа над проектом.
26
Занятие 16-17. Анализ контрольной работы. Защита проектов.
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по всему пройденному материалу.
Ход занятия.
I Анализ контрольной работы
II Защита проектов.
Уравнения и неравенства с одним модулем
Уравнения и неравенства с двумя модулями
Уравнения и неравенства с несколькими модулями.
Графики функций с модулями.
III Оценка за проекты.
IV Подведение итогов.
27
Терминологический словарь
Модуль числа есть само это число, если оно не отрицательно, и противоположное число, если число отрицательное.
Неравенство – два числовых или алгебраических выражения, соединенных знаком > или <. Строгие неравенства – неравенства со знаками >
(больше) и < (меньше). Нестрогие неравенства – неравенства со знаками
 (больше или равно) и  (меньше или равно).
Уравнение с одним неизвестным – равенство, содержащее неизвестное
число, обозначенное буквой. Корень уравнения – значение неизвестного, при
котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – это
значит найти все его корни или установить, что их нет.
Функция. Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана
функция у(х). При этом х называют независимой переменной, а у – зависимой
переменной. Область определения функции – множество всех значений, которые может принимать ее независимая переменная. Если функция задана
формулой, то считают, что ее область определения – множество значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. График
функции у(х)- множество всех точек координатной плоскости с координатами
(х; у(х))
28
Рекомендуемая литература.
1.
Ш.А.Алимов., Ю.М.Колягин и др. Алгебра 9 кл. - М.: Про-
свещение, 2002 г.
2.
Ш.А.Алимов., Ю.М.Колягин и др. Алгебра и начала анали-
за 10 кл. - М.: Просвещение, 2002 г.
3.
Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ по ма-
тематике, 2004-2008 г.
4.
В.В.Мочалов., В.В.Сильвестров. Уравнения и неравенства с
параметрами. Учебное пособие. - Издательство Чувашского университета, 1997 г.
5.
В.В.Сильвестров. Обобщенный метод интервалов. Учебное
пособие. Чебоксары: Издательство Чувашского университета, 1998 г.
6.
В.А.Гусев., А.Т.Мордкович. Математика. Справочный ма-
териал. М.: Просвещение, 1988.
29