Омский государственный университет

Омский государственный университет
Математический факультет
Государственный экзамен по математике
2006/2007 учебный год
Вариант I-2
Алгебра
1. (2 балла) Вычислить определитель
a1  x1
x1
x2
a2  x2
xn
xn
x1
x2
an  xn
.
2. (2 балла) Пусть L1 , L2 , L3 подпространства векторного пространства L . Верно ли, что
L1  ( L2 L3 )  ( L1  L2 ) ( L1  L3 ) ?
Математическая логика
3. (2 балла) Для данной релейно-контактной схемы построить функцию проводимости и
наиболее простую релейно-контактную схему, эквивалентную исходной.
4. (3 балла) Доказать, что формулы 1 , 2 ,3 образуют непротиворечивое множество
предложений языка первого порядка, содержащего только трехместный предикатный
символ, а также проверить независимость  2 от 1 ,3  .
1  xyzt  P  x, y, z  & P  x, y, t   ,
2  xyz  P  x, y, z   P  y, x, z   ,
3  xyzt  P  x, y, z      x  t  &   y  t  &   z  t   .
Математический анализ
5. (2 балла) Найти inf xn , sup xn , limxn , limxn для последовательности xn 
n 1
2 n
.
cos
n 1
3
2x
  sgn x при x  1 .
1  x2
Обыкновенные дифференциальные уравнения
7. (2 балла) Решить уравнение y  2 y  y  2  e x .
6. (4 балла) Доказать тождество:
2arctg x  arcsin
Уравнения математической физики
8. (4 балла) Найти гармоническую функцию u  u( x, y) внутри кольца 1  r  2 ,
r  x 2  y 2 , удовлетворяющую краевым условиям u r 1  2 xy , u r 2  1.
Омский государственный университет
Математический факультет
Государственный экзамен по математике
2006/2007 учебный год
Вариант II-2
Геометрия
1. (2 балла) На плоскости заданы точки A и B, расстояние между которыми равно 6.
Найти расстояние от точки D до середины отрезка AB, если известно, что периметр треугольника ABD равен 16, расстояние от D до прямой AB равно 2.
2. (2 балла) Î A  a ; OB  b ; OC  c и OA1  ñ  3b ; OB1  3ñ  b ; OC1  4a  2b  5c . Из
вершины C и C1 тетраэдров OABC и OA1B1C1 проведены высоты. Найти отношение их
длин.
Математический анализ
3. (2 балла) Доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке

n e
2  nx
, 1  x   .
n 1
4. (2 балла) Исследовать функцию u ( x, y ) на экстремум u( x, y)  3x 2 y  y 3  12 x  15 y  3 .
5. (4 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данной кривой:
x 2  y 2  2( x 2  y 2  x) .
Теория функций комплексного переменного
6. (2 балла) Найти образ области D  | z  2 | 1,Re z  3 при отображении f ( z ) 
7. (4 балла) Вычислить
1
.
z 3
dz
.
5
3

z

9
z
| z 1i| 4
Теория вероятностей
8. (2 балла) На плоскости дан квадрат со стороной 1. Найти математическое ожидание
длины ортогональной проекции этого квадрата на прямую, составляющую угол  с осью
абсцисс, если угол  равномерно распределён в промежутке [0,  ) .