010400 Теория случайных процессов

1.
Цели и задачи дисциплины
1.1.
Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом
требований ФГОС)
Дисциплина «Теория случайных процессов» является специальной дисциплиной
математического и естественно-научного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению
«Прикладная математика и информатика».
Цели: дать студентам научное представление о различных случайных процессах, а также
о методах их исследования. Студенты должны усвоить методы построения
математической модели, допускающей строгое определение случайного процесса, а
также владеть методами исследования этой модели. Студенты должны уметь
классифицировать случайный процесс, владеть аналитическим аппаратом, дающим
возможность вычислить его вероятностные характеристики.
Задачи: теоретическое освоение студентами современных понятий о случайных
процессах; приобретение практических навыков применения аппарата теории случайных
процессов.
1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины
Обучающийся должен знать основные классы случайных процессов - марковские,
стационарные, гауссовские, винеровские процессы, стационарные процессы;
Обучающийся должен уметь: находить характеристики случайных процессов; выполнять
преобразования случайных процессов, применять методы теории случайных процессов
для решения экономических задач.
Обучающийся должен иметь представление о теории случайных процессов как о способе
математического моделирования реальных процессов различной природы.
У обучающегося должны быть сформированы следующие
профессиональные
компетенции (ПК) : ПК-1 – способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных
наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и информатикой; ПК-2- способностью приобретать новые научные и
профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; ПК-3способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный
математический аппарат; ПК-4- способностью в составе научно-исследовательского и производственного
коллектива решать задачи профессиональной деятельности; ПК-5- способностью критически
переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной
деятельности; ПК-11- способностью приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в
профессиональной и социальной деятельности;
1.3.Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих и предшествующих
Перечень последующих дисциплин, видов
дисциплин
работ
Математический анализ
Финансовая математика
Алгебра и геометрия
Эконометрика
Теория вероятностей и математическая
Дипломное проектирование
статистика
Дифференциальные уравнения
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение
содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и
самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и
студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
Показательный (изложение материала с приемами показа)
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
М
П
Д
Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты Э
рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают
выводы и решают поставленную задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно ПБ
пути ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе И
разрешения проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы ПГ
студентов осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных
технических средств)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при
этом в п.п. 2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения
Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются
составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы».
110
1-2
10
2
3-4
2
5-6
2
7-8
2
910
2
2
1118
1112
8
2
1314
2
2
2
Очная форма обучения
Пятый семестр
Лекции
Модуль1 «Случайные процессы, характеристики, основные виды
случайных процессов»
Тема «Понятие о случайном процессе, примеры, классификация
случайных процессов».
Предмет и задачи теории случайных процессов. Определение
случайного процесса, сечение и траектория случайного процесса.
Примеры. Классификация случайных процессов.
Тема «Основные характеристики случайных процессов».
Математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция и
взаимная корреляционная функция случайных процессов,
свойства, примеры.
Тема «Стационарные случайные процессы. Нормальные
случайные процессы»
Определение. Свойства. Стационарность в узком и широком
смысле. Определение, свойства, характеристики нормальных
случайных процессов.
Тема «Случайные процессы с независимыми приращениями».
Нахождение характеристик случайных процессов с независимыми
приращениями.
Тема «Винеровские случайные процессы».
Определение, свойства, характеристики винеровских случайных
процессов. Примеры.
Модуль 2 «Элементы стохастического анализа»
Тема «Сходимость случайных процессов».
Сходимость в смысле среднего квадратичного. Непрерывность
случайных процессов.
Тема «Дифференцируемость и интегрируемость случайных
процессов».
Условия дифференцируемости и интегрируемости случайных
процессов. Нахождение характеристик производных и интегралов
М,Д
М,Д
Реализуемые
компетенции
Вид занятия, тема и краткое содержание
Методы
Кол. час
Неделя
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)
2.1.
ПК-1,
ПК-11
ПК-1,
ПК-11
М,Д,
И
ПК-1,
ПК-11
М,Д
ПК-1,
ПК-11
М,Д
ПК-1,
ПК-11
М
ПК-1,
ПК-11
М,Д
ПК-2,
ПК-11
ПК-2,
ПК-11
М
М,Д
ПК-2,
ПК-11
1516
2
1718
2
110
1
20
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
2
1118
11
16
12
2
13
2
14
2
15
2
16
2
17
2
2
4
2
2
2
2
2
2
от случайных процессов.
Тема «Действие линейного оператора на случайный процесс.
Эргодические случайные процессы».
Стохастические
линейные
дифференциальные
уравнения.
Передаточная функция. Характеристики случайных процессов.
Эргодичность.
Тема «Стохастические модели состояния. Стохастические
интегралы»
Стохастические дифференциальные уравнения, задача Коши.
Стохастические интегралы Ито и Стратоновича, связь между
ними.
Очная форма обучения
Пятый семестр
Практические занятия
Модуль 1«Случайные процессы, основные понятия,
классификация, характеристики»
Тема «Примеры случайных процессов».
Примеры случайных процессов в экономике и технике.
Тема «Стохастически эквивалентные случайные процессы».
Проверка
случайных
процессов
на
стохастическую
эквивалентность
Тема «Основные характеристики случайных процессов».
Нахождение
математического
ожидания,
дисперсии,
корреляционной функции случайного процесса
Тема «Основные характеристики комплексного случайного
процесса».
Нахождение
математического
ожидания,
дисперсии,
корреляционной функции комплексного случайного процесса
Тема «Взаимная корреляционная функция случайных процессов».
Нахождение взаимной корреляционной функции случайных
процессов.
М,И
ПК-2,
ПК-11
М,Д
ПК-2,
ПК-11
М,Д,
П, ПБ
Э, Д
ПК-1,
ПК-11
ПК-1,
ПК-11
ПК-1,
ПК-11
Д, П,
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
Тема «Стационарные случайные процессы (в узком смысле) ».
Проверка процессов на стационарность в узком смысле.
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
Тема «Стационарные случайные процессы».
Проверка процессов на стационарность в широком смысле.
Тема «Нормальные случайные процессы»
Нахождение характеристик нормальных случайных процессов.
Тема «Случайные процессы с ортогональными приращениями».
Нахождение
характеристик
случайных
процессов
с
ортогональными приращениями.
Тема «Винеровские случайные процессы».
Нахождение характеристик винеровских случайных процессов.
Модуль 2 «Элементы стохастического анализа»
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
ПК-1,
ПК-11
ПК-1,
ПК-11
Тема «Сходимость случайных процессов».
Исследование сходимости случайных процессов.
Тема «Непрерывность случайных процессов».
Проверка случайных процессов на непрерывность.
Тема «Дифференцируемость случайных процессов».
Проверка дифференцируемости случайного процесса, нахождение
характеристик случайных процессов.
Тема «Интегрируемость случайных процессов».
Проверка интегрируемости случайного процесса, нахождение
характеристик случайных процессов.
Тема «Действие линейного оператора на случайный процесс»
Нахождение передаточной функции. Нахождение характеристик
случайных процессов.
Тема «Эргодические случайные процессы».
Проверка случайных процессов на эргодичность.
Тема «Стохастические задачи Коши».
Д, П,
Д, П,
Д, П,
Д, П,
Д, П,
Д, П,
ПК-1,
ПК-11
ПК-2,
ПК-11
ПК-2,
ПК-11
ПК-2,
ПК-11
ПК-2,
ПК-11
Д, П,
ПК-2,
ПК-11
Д, П,
ПК-2,
ПК-11
Д, П,
ПК-2,
ПК-11
ПК-2,
Д, П,
18
Решение стохастической задачи Коши, нахождение
характеристик.
Тема «Стохастические интегралы».
Нахождение характеристик стохастических интегралов.
2
2429
2425
6
2
2627
2
2829
3041
3031
2
2
12
2
3233
2
3435
2
3637
2
3839
2
4041
2
2429
2425
6
2
2
2
2627
2
2829
2
3041
12
2
2
2
2
его
ПК-11
Д, П,
ПК-2,
ПК-11
Модуль3
случайных
процессов»
Тема «Спектральная теория стационарных случайных процессов».
Стационарные случайные процессы с дискретным спектром.
Определение. Теорема. Представление корреляционной функции.
Тема «Стационарные случайные процессы с непрерывным
спектром».
Представление
стационарного
случайного
процесса
с
непрерывным спектром. Спектральная плотность, её свойства.
Белый шум.
Тема «Стационарный белый шум».
Определение белого шума. Свойства. Характеристики. Примеры
Модуль 4 «Марковские случайные процессы»
М,Д,
П, ПБ
М,Д
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-3,
ПК-4
М,Д
Тема «Марковские процессы с дискретными состояниями,
однородные цепи».
Определение марковского процесса и цепи Маркова. Вероятности
перехода, матрица перехода, стохастические матрицы, примеры.
Однородные цепи Маркова, тождество Маркова
Тема «Замкнутые множества. Классификация состояний.
Эргодическое свойство марковских цепей»
Периодические, возвратные и невозвратные состояния. Критерий
невозвратности. Эргодическое свойство.
Тема «Процессы с непрерывным временем».
Процесс Пуассона, процессы
чистого размножения и
размножения и гибели.
Тема «Системы массового обслуживания».
СМО, классификация. Формулы Литтла. Формулы Эрланга.
Оптимизация в системах массового обслуживания
Тема «Прямые уравнения Колмогорова».
Уравнения Колмогорова-Чепмена. Вывод прямых уравнений
Колмогорова, примеры.
Тема «Обратные уравнения Колмогорова».
Обратные уравнения для процесса размножения и гибели. Вывод
обратных уравнений Колмогорова, примеры.
Очная форма обучения
Шестой семестр
Практические занятия
Модуль 3 «Спектральная теория стационарных случайных
процессов»
Тема «Стационарные случайные процессы с дискретным
спектром».
Элементарный стационарный случайный процесс. Стационарные
случайные процессы с дискретным спектром. Разложение
случайного процесса в ряд Фурье.
Тема «Стационарные случайные процессы с непрерывным
спектром».
Нахождение корреляционной функции. Нахождение спектральной
плотности.
Тема «Стационарный белый шум».
Прохождение белого шума через линейную динамическую
систему
Модуль 4 «Марковские случайные процессы»
М,Д
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-5
ПК-3,
ПК-5
Очная форма обучения
Шестой семестр
Лекции
«Спектральная теория стационарных
М,Д
М,Д
ПК-3,
ПК-5
М,Д
ПК-3,
ПК-5
М,Д,
П, ПБ
ПК-3,
ПК-5
М,Д
ПК-3,
ПК-5
М,Д
ПК-3,
ПК-5
Д, П,
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-4
Д, П,
Д, П,
ПК-3,
ПК-4
Д, П,
ПК-3,
ПК-4
М, Д,
П, ПБ
ПК-3,
ПК-5
3031
2
3233
2
3435
2
3637
2
3839
2
4041
2
2
Тема «Цепи Маркова, задачи о блуждании».
Случайные блуждания с отражающими и поглощающими
экранами, циклические блуждания, нахождение вероятностей
перехода за несколько шагов.
Тема «Неприводимые цепи. Поглощающие цепи, их свойства».
Исследование
цепей
на
неприводимость.
Нахождение
неприводимого множества. Поглощающие цепи.
Тема «Эргодическое свойство».
Решение задачи о разорении игрока. Нахождение стационарных
распределений.
Тема « Оптимизация СМО»
Деловая игра по теме. Цель игры – математическое
моделирование работы предприятий сферы обслуживания и
оптимизация их работы. Необходимо так организовать работу
СМО, чтобы оптимизировать число каналов обслуживания. Это
значит, что и организаторы системы должны получить прибыль, и
потребители должны обслуживаться ритмично, без простоев.
Тема « СМО с ожиданием»
Нахождение характеристик СМО с ожиданием. Немарковские
СМО.
Тема « Уравнения Колмогорова»
Вероятность пребывания марковского процесса в заданной
области.
М, И,
П
ПК-3,
ПК-5
Д, И,
П
ПК-3,
ПК-5
Д, П,
ПК-3,
ПК-5
П,
ПБ, Э
ПК-3,
ПК-5
П,
ПБ, Э
ПК-3,
ПК-5
Д, П,
ПК-3,
ПК-5
Неделя
Кол. час
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и
лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ,
рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др.
1-18
1-18
1-4
5-10
1114
1518
1-18
9
2441
2441
2425
2629
3037
3839
2441
9
2
1
1
Очная форма обучения
Пятый семестр
Усвоение текущего учебного материала.
1. Нахождение характеристик случайных процессов
2. Проверка процессов на стационарность
3. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов
1
4. Стохастические интегралы
4
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
Реализуемые
компетенции
2.2.Самостоятельная работа студента
ПК-1,
ПК-2,
ПК11
ПК-1,
ПК-2,
ПК11
Шестой семестр
Усвоение текущего учебного материала.
1
1. Случайные процессы с дискретным спектром
1
2. Случайные процессы с непрерывным спектром
2
3. Цепи Маркова
1
4. Немарковские СМО
4
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
ПК-3
ПК-4,
ПК-5
ПК-3
ПК-4,
ПК-5
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в
образовательном процессе
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий.
Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих
способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы,
тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на
активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализовываться на
базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и др.).
№
Наименование основных форм
Деловые
и ролевые игры
Разбор
конкретных ситуаций
Краткое описание и примеры,
использования в модулях темах, место
проведения
Учебная
деловая
игра
по
теме
«Оптимизация СМО»
в модуле 2 второго семестра на
практическом занятии
Темы лекций «Винеровские случайные
процессы»;
«Действие
линейного
оператора
на
случайный
процесс.
Эргодические
случайные
процессы»;
«Стационарный белый шум»; «Системы
массового обслуживания».
Темы практических занятий «Основные
характеристики случайных процессов»;
«Стационарные случайные процессы»;
«Дифференцируемость
случайных
процессов»; «Стационарные случайные
процессы с дискретным спектром»;
«Стационарные случайные процессы с
непрерывным спектром.
Часы
2
16
3. Средства обучения
3.1.Информационно-методические
3.1.Информационно-методические
Перечень основной и дополнительной литературы, методических
разработок;
№
с указанием наличия в библиотеке
Основная литература:
1.
2.
3.
4.
Письменный, Дмитрий Трофимович. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам [Текст] / Д. Т. Письменный. - М. :
Айрис-пресс, 2006. - 288 с.
Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие / под ред. В. С.
Мхитаряна. - М. : Маркет ДС, 2007. - 240 с.
Балдин, Константин Васильевич. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] :
учеб. / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. - М. : Дашков и К, 2008. - 473 с.
Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие / В. С. Мхитарян,
Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин ; под ред. В. С. Мхитаряна. 2-е изд.,
перераб. и доп. - М. : МФПА, 2011. - 328 с.
20
100
20
20
Дополнительная литература:
1.
2.
3.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, 1-й том, М., Мир, 1963.-498 с.
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., Юнити,
1999. , -1006 с.
Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М., изд. МГТУ им Баумана,
1999, -447 с.
2
2
2
3.2. Материально-технические
№ ауд.
Основное оборудование, специально
Основное назначение
оборудованные кабинеты и аудитории:
(опытное, обучающее,
компьютерные классы, лингафонные
контролирующее) и краткая
кабинеты, аудитории, оборудованные
характеристика использования
мультимедийными средствами обучения,
при изучении явлений и
обеспечивающие проведение лабораторных и
процессов, выполнении
практических занятий, научнорасчетов.
исследовательской работы студентов.
201,203 Компьютерная техника с выходом в сеть ППП MS Excel, Maple 10.
Интернет
307
Телевизионная техника.
4. Текущий, промежуточный контроль знаний студентов
№
Тесты (демонстрационный вариант), темы курсовых работ/проектов, вопросы и
задания для текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену
4.1. Текущий контроль успеваемости
1
4.1.Темы контрольных тестов
Модуль 1. Характеристики случайных процессов, виды случайных процессов.
1
4
Задание 1. Случайный процесс определяется формулой Y  t   X  t , где X  случайная величина
с математическим ожиданием MX  2 . Тогда математическое ожидание Y  t  равно
1. t
1
t
4
1
3.
t
8
1
4.
t
2
2.
Задание 2. Случайный процесс является стационарным в широком смысле, если он удовлетворяет
следующим условиям:
1. математическое ожидание является постоянным и корреляционная
функция зависит от разности аргументов.
2. математическое ожидание не является постоянным и корреляционная
функция зависит от разности аргументов.
3. математическое ожидание является постоянным и корреляционная
функция зависит не только от разности аргументов.
4. математическое ожидание не является постоянным и корреляционная
функция зависит не только от разности аргументов.
Задание 3. Случайный процесс определяется формулой: Y  t   X  4t , где X –случайная величина
с дисперсией DX 
1.
2.
3.
1
. Тогда дисперсия Y  t  равна
2
8t 2
2t 2
2t
16t 2 .
4.
Задание 4. Указать, какой из процессов является стационарным:
1. X  t   V sin t , t  0 , V ~ N  2;4 ;
2. X  t   sin  t    , t  0 ,  ~ R 0;2  ;
3. X  t   Asin  t  0  , t  0 ,  0  const, A- случайная величина;
4. X  t   Y sin t , Y  случайная величина.
2
Модуль 2. Элементы стохастического анализа.
Задание 1. Случайный процесс определяется формулой Y  t   X  e  t , где X  случайная величина
с математическим ожиданием MX  3 . Тогда математическое ожидание Z  t  
dY  t 
равно
dt
1. 3e  t
3e  t
t
3. 3e
4. e  t
2.
t
Задание 2. Случайный процесс определяется формулой Y  t   X  e , где X  случайная величина
с математическим ожиданием MX  3 . Тогда корреляционная функция Z  t  
1. e
2.
 t1 t2 
 t t
3e  1 2 
3. 3e
4.
dY  t 
равна
dt
 t1 t2 
et1t2
t
Задание 3. Случайный процесс определяется формулой Y  t   X  e , где X  случайная величина
t
с математическим ожиданием MX  3 . Тогда математическое ожидание Z  t  
 Y  d
равно
0
1. 3  3e
t
3e  t
t
3. 3  3e
t
4. 3  e
2.
t
Задание 4. Случайный процесс определяется формулой Y  t   X  e , где X  случайная величина
t
с математическим ожиданием MX  3 . Тогда корреляционная функция Z  t  
1.
2.
3.
4.
3
1  e 1  e 
1  e 1  e 
1  e 1  e 
1  3e 1  3e 
t1
t1
t1
t1
 Y  d
равна
0
t2
t2
t2
t2
Модуль 3. Спектральная теория случайных процессов
Задание 1. Спектральная плотность действительного стационарного случайного процесса обладает
свойством
1. нечётности
2. чётности.
3. неположительности.
4. линейности.
Задание 2. Спектральная плотность действительного стационарного случайного процесса не обладает
свойством
1. нечётности
2. чётности
3. неотрицательности
4. бесконечной малости при аргументе, стремящемся к бесконечности
Корреляционная функция стационарного с.п. X  t  имеет вид K X    2  e
Задание 3.
3
. Тогда
спектральная плотность X  t  равна:
1.
2.
3.
4.
12

 9  2

12
 9  2
2

 9  2
12

 4  2

.



.
Задание 4.
Спектральная плотность
X t 
стационарного с.п.
X  t  имеет вид

2,   1,
. Тогда корреляционная функция X  t  равна:
S *x    

0,   1.
1.
2.
3.
4.
4
4sin

.
4sin 2

2sin

2sin 2

Модуль 4. Марковские случайные процессы
 0,4 0,6 
 – матрица перехода однородной цепи Маркова
 0,36 0,64 
Задание 1. Если 
с дискретным временем за два шага, то матрица переходных вероятностей имеет вид:
 0,1 0,9 
;
 0,74 0,27 
1. 
 0,4 0,6 
 0,5 0,5 
 0,5 0,6 
; 3. 
; 4. 
.


 0,4 0,6 
 0,36 0,64 
 0,3 0,7 
2. 
Задание 2. Пусть интенсивность входящего потока требований равна 1, а интенсивность
обслуживания требований в СМО – 4. Тогда коэффициент загрузки СМО равен
1. 1
2.
1
4
3. -1
4. 4
Задание 3. Интенсивность входящего потока требований, поступающих на одноканальную СМО с
неограниченной очередью, равна 4, а интенсивность обслуживания равна 5. Среднее число заявок в
СМО равно
1.
2.
1
3
3.
4
5
4. 4
Задание 4. В приёмно-отправочный парк станции поступает простейший поток поездов со средней
интенсивностью 3 состава в час. Бригада рабочих обрабатывает состав со средней
продолжительностью 15 мин. Время обработки распределено по показательному закону. Среднее
время (в часах) пребывания состава в парке равно
1.
2.
1
2
3.
4
5
4.
3
4.2. Вопросы к зачету за 5 семестр
Случайный процесс, общие сведения. Пример.
Классификация случайных процессов, примеры.
Основные характеристики случайных процессов: математическое ожидание, дисперсия.
Корреляционная функция случайного процесса, свойства.
Взаимная корреляционная функция, свойства.
Стационарность в узком и широком смысле.
Нормальные случайные процессы.
Случайные процессы с независимыми приращениями.
Винеровские случайные процессы.
Сходимость и непрерывность случайных процессов.
Дифференцируемость случайных процессов.
Интегрируемость случайных процессов.
Действие линейного оператора на случайный процесс.
Эргодические случайные процессы.
Стохастические дифференциальные уравнения, задача Коши.
Стохастические интегралы.
4.5. Вопросы к зачету за 6 семестр
1. Стационарность суммы элементарных случайных процессов.
2. Стационарный случайный процесс с дискретным спектром.
3. Спектральная плотность.
4. Стационарный белый шум.
5. Цепи Маркова. Определение. Примеры.
6. Тождество Маркова. Поглощающие состояния. Замкнутое множество состояний.
7. Критерий неприводимости. Пример. Блочная структура стохастической матрицы.
8. Классификация состояний. Теорема.
9. Неприводимые цепи. Теорема солидарности.
10. Теорема о разбиении цепи Маркова.
11. Процесс чистого размножения. Расходящийся процесс размножения.
12. Процесс размножения и гибели.
13. Многоканальные СМО с отказами, формулы Эрланга.
14. Оптимизация СМО.
15. Многоканальные СМО с неограниченной очередью.
16. Прямые уравнения Колмогорова.
17. Обратные уравнения Колмогорова.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________