Document 931194

Тема 1
A1.
Если z1 , z 2 комплексные числа, доказать, что z1  z 2  z1  z 2 (8 баллов)
A2.
Когда две функции f,g называются равными
(4 балла)
A3.
Когда прямая y   называется горизонтально асимптотичной графика
функции f к + 
(3 балла)
B.
Охарактеризуйте следующие выражения (Верно, Не верно)
α) Если функция f непрерывна на отрезке [α,β] и

для всех x  [α,β] верно f(x)>=0, тогда  f ( x)dx  0

(2 балла)
β) Пусть функция f непрерывна на интервале Δ и имеет производную на
каждой внутренней точке x из Δ. Если функция f строго возрастающая на
интервале Δ, тогда f ' ( x)  0 в каждой внутренней точке x из Δ.
(2 балла)
γ) Если функция f непрерывна в x0 и функция g непрерывна в x0, тогда
их композиция gof непрерывна в x0
(2 балла)
δ) Если f непрерывна на некотором интервале Δ и α точка этого
интервала, тогда (
g ( x)

f (t )dt )'  f ( g ( x)) * g ' ( x) при условии, что используемые
символы имеют смысл.
ε) Если   1 тогда
lim a
(2 балла)
x
0
(2 балла)
x
Тема 2
Дается комплексное число z 
2  i
где   R
  2i
α) Доказать, что изображение комплексного числа z принадлежит окружности с
центром O(0,0) и радиусом ρ=1
(9 баллов)
2  i
β) Пусть z1 и z 2 комплексные числа, которые получаются из z 
  2i
при   0 и   2 соответственно
i) Найти расстояние между изображениями комплексных чисел z1 и z 2
(8 баллов)
2

ii) Доказать, что верно ( z1 )  ( z 2 ) для любого натурального ν
(8 баллов)
Тема 3
Дана функция
f ( x)  x 3  3 x  2 sin

где   R постоянная с   k  , k  Z
2
2

α) Доказать, что f имеет один локальный max, один локальный min и одну точку
возврата
(7 баллов)
β) Доказать, что функция f имеет ровно 3 действительных корня
(8 баллов)
γ) Если x1 , x2 точки локальных экстремумов и x3 место точки возврата
функции f доказать, что точки ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) и ( x3 , f ( x3 ))
находятся на прямой y  2 x  2 sin 2 x
(3 балла)
δ) Вычислить площадь участка который образуется функцией f и прямой
(7 баллов)
y  2 x  2 sin 2 x
Тема 4
Пусть f непрерывная и строго возрастающая функция на отрезке [0,1] для
которой верно f(0)>0
Дается также функция g , непрерывная на отрезке [0,1] для которой верно
g(x)>0 для всех x из [0,1]
x
x
0
0
Определяем функции F ( x)   f (t ) g (t )dt , x  [0,1] , G( x)   g (t )dt , x  [0,1]
α) Доказать, что F(x)>0 для каждого x из интервала (0,1]
(8 баллов)
β) Доказать, что f(x)-G(x) > F(x) для всех x из интервала (0,1]
(6 баллов)
γ) Доказать, что верно
F ( x) F (1)
для всех x из интервала (0,1]

G ( x) G (1)
x
δ) Найти предел
lim
x 0 
(  f (t ) g (t ) dt )  ( 
0
x2
0
x
sin t 2 dt )
(  g (t ) dt )  x 5
0
(4 балла)
(7 баллов)