от акустики древнегреческого театра до локализации андерсона

ОТ АКУСТИКИ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОГО ТЕАТРА ДО
ЛОКАЛИЗАЦИИ АНДЕРСОНА
М.И. ЖЕНИРОВСКИЙ1, В.Т. МАЦЫПУРА2, А.А. СНАРСКИЙ3
1
Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины, Киев
2
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
3
Национальный технический университет Украины ”КПИ”, Киев
Проведен анализ распространения волн в дискретных и непрерывных средах разной физической природы,
параметры которых претерпевают периодические изменения. Исследованы частотные зоны проникновения
и “запирания” таких сред для волнового процесса.
Проведено аналіз розповсюдження хвиль в дискретних і неперервних середовищах різної фізичної природи,
параметри яких мають періодичні зміни. Досліджені частотні зони проникнення і “замкнення” таких
середовищ для хвилевого процесу.
- Ну, - сказала Сова, - обычная процедура
в таких случаях нижеследующая…
А.Милн.”ВИННИ-ПУХ И ВСЕ-ВСЕ-ВСЕ”
ВВЕДЕНИЕ
Знаменитый своей акустикой театр в древнегреческом городе Эпидавре (сохранился в руинах)
построен в четвертом веке до Рождества Христова. Его извлекли на свет из-под слоя земли на
полуострове Пелопоннес в 1881 году. Театр имеет классическую полукруглую форму – сцена и 34
ряда с каменными сиденьями. Позднее римляне добавили еще 21 ряд.
Удивительная акустика театра позволяет зрителям на последнем ряду, расположенном на
расстоянии 60 м от сцены, не напрягаясь, слышать актеров. Эти чудесные свойства приписывали
либо ветрам, дующим от сцены в сторону зрителей, либо особому ритму речи актеров, маски
которых способствовали усилению звука. Однако все эти предположения не могут объяснить,
почему так хорошо слышны современные актеры, выступающие на этой сцене безо всяких масок,
и темп речи которых отличается от принятого в древнегреческом театре.
1
Как оказалось разгадка прекрасной акустики театра в Эпидавре связана с его архитектурными
особенностями, а именно с периодической структурой возвышающихся рядов и чередованием на
них сидений.
Следует сказать, что исследованию процесса распространения волн в дискретных и
непрерывных
средах
разной
физической
природы,
параметры
которых
претерпевают
периодические изменения, посвящено значительное число работ. Однако некоторые моменты,
связанные с предельным переходом от конечного количества звеньев, которые формируют среду,
до их бесконечного количества еще требуют осмысления. Здесь возможно возникновение
нестандартных ситуаций, анализу которых и посвящена данная работа.
Под дискретной средой будем понимать совокупность звеньев акустического, механического
или электрического фильтра. Использование электроакустической либо электромеханической
системы аналогий позволяет построить электрический аналог акустической или механической
системы с сосредоточенными параметрами. Такая процедура очень удобна, т. к. введение
комплексного импеданса позволяет свести анализ цепи к алгебраическим операциям с
комплексными величинами амплитуд токов и напряжений.
Использование понятия входного импеданса также позволяет с единых позиций рассмотреть
такие, казалось бы, далекие друг от друга на первый взгляд задачи физики как прохождение звука
через слоистую среду, распространение электромагнитной волны вдоль дискретно неоднородной
длинной линии, движение электрона в среде со скачками потенциала.
Все эти задачи, в конечном итоге, сводятся к анализу итерационного процесса, который
определяет входной импеданс структуры в зависимости от числа звеньев в дискретной цепи либо
числа однородных слоев (отрезков длинной линии, потенциальных ступенек) непрерывной среды.
Что касается древнегреческого театра, то разговор о гипотезе, проливающей свет на разгадку
причин его чудесной акустики, которая предложена американскими исследователями [1], отложим
до заключительного слова в статье.
1. СИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Обратимся к хорошо известной из классического курса общей физики задаче об импедансе
LC -лестничной цепи (рис. 1). Удивительно, что даже в известных учебниках по курсу общей
физики, например [2] и [3], даны разные решения этой задачи (см. также [4]). Тем более это
удивительно, если принять во внимание, что
LC -цепочка – это простейший фильтр,
использующийся во многих реальных устройствах.
2
z1
z1
z1
z2
z1
z2
z2
z2
Рис. 1. Бесконечная лестничная LC -цепочка (фильтр).
При изложении первого раздела статьи будем опираться на работу [5]. Импеданс Z
бесконечной лестничной цепи можно найти в ходе итерационного процесса
Zn1  f  Z n  ,
f  Z n   z1 
Z n z2
, n  1, 2,..., ,
Z n  z2
(1)
где Z n – импеданс цепи, состоящей из n звеньев, z1 и z2 – комплексные сопротивления.
При любых z1 и z2 есть неподвижная точка Z , которая определяется из уравнения
 
Z f Z :
Z
z1
z2
 1  z1 z2 .
2
4
(2)
Если неподвижная точка Z является устойчивой, то импеданс Z бесконечной лестничной
цепочки существует и является пределом lim Z n  Z . В противном случае lim Z n не существует, а
n 
n 
это означает, что не имеет смысла говорить об импедансе бесконечной цепочки.
Анализ соотношения (1) показывает, что в случае чисто мнимых величин z1 и z2 (цепочка
состоит из идеальных емкостей и индуктивностей) при определенных значениях z1 и z2 не
существует устойчивой неподвижной точки
Z . В самом деле, неподвижная точка Z
итерационного процесса (1) устойчива, если [6,7]
df  Z n 
dZ n Z
df  Z n 
dZ n Z

n Z
1
1  Z / z 
2
2

2  z / z 
1
2
 1. В рассматриваемом случае
n Z
4
 z1 / z2 
2
 4 z1 / z2

2
.
(3)
3
Введя обозначение    z1 / z2 , перепишем условие устойчивости итерационного процесса в виде
F ( ) 
2  
4
  4
2

2
 1.
(4)
При действительном  функция F ( ) , как легко убедиться непосредственно, ведет себя в
диапазоне 0    4 несколько неожиданно – не зависит от  и точно равна 1, рис. 2.
F

Рис. 2 График функции F ( ) : сплошная линия – знак плюс в формуле (4), пунктир – знак минус.
Таким образом, в диапазоне 0    4 неравенство (4) не выполняется, и неподвижная точка,
как следует из представленных ниже расчетов, не является устойчивой. Отметим, что при
появлении сколь угодно малой действительной части у величины z1 или z2 условие устойчивости
выполняется всегда. Это объясняется тем, что система с F ( )  1 находится на грани
устойчивости, и достаточно сколь угодно малого сдвига, чтобы итерационная последовательность
(1) приобрела неподвижную устойчивую точку.
Устойчивая
Z

точка
существует
при

 0
и
определяется

таким
соотношением:

1
1
z1  z12  4 z1 z2 , а при   4 соответственно имеем Z  z1  z12  4 z1 z2 .
2
2
Рассмотрим подробнее случай чисто мнимых величин z1 и z2 с разными знаками. Если
z1  i L и z2  1/  iC  , то из (4) следует, что при частоте   0  2 / LC , неподвижная
точка устойчива, импеданс бесконечной цепочки существует и, как и следовало ожидать, является
чисто мнимым,
 L
 2 L2 L 
Z  i

 .
 2
4
C 

(5)
4
Неподвижной устойчивой точки не существует при частоте   0  2 / LC , и, следовательно,
нельзя говорить об импедансе бесконечной цепочки.
Обратимся к численным результатам. На рис. 3 показан ход итерационного процесса (1) для
двух ситуаций, когда частота    0 (рис. 3а) и   0 (рис. 3б). При значениях элементов
цепочки L  3 102 Гн, C  104 Ф имеем величину  0  1,5 103 c 1 . Как видим, характер
итерационного процесса для двух ситуаций существенно отличается. Если при частоте
  1, 7 103 c1  0 (рис. 3б) итерационный процесс быстро сходится, что позволяет определить
импеданс бесконечной цепочки, то при   1, 02 103 c 1   0 (рис. 3а) наблюдается нерегулярный
характер процесса, что говорит об отсутствии сходимости. (Для наглядности на рис. 3 выбран
логарифмический масштаб вдоль оси ординат.)
ln Zn
n
а
ln Zn
n
б
Рис.
3.
Последовательность
значений
итерационного
процесса;
параметры
цепочки
L  3 102 Гн, C  104 Ф, 0  1,5 103 c 1 :
а –   1, 02 103 c 1   0 , б –   1, 7 103 c 1   0 .
Очевидно, следует ожидать, что величина импеданса Z n , при фиксированном числе итераций
n , для разных значений частоты  из диапазона    0 будет существенно отличаться. Этот
вывод наглядно иллюстрируется расчетами, которые представлены на рис. 4. Здесь в интервале
5
частот    0 наблюдаем сильную нерегулярность значений импеданса, а при   0 имеем
плавный рост соответствующей зависимости.
Im Z n

Рис. 4. Зависимость импеданса лестничной цепи от частоты  ; число элементов n  300
(левая шкала оси ординат соответствует частотам    0 , а правая –   0 ,  0  1,5 103 c 1 ).
Таким образом, согласно результатам расчетов (рис. 4), незначительные изменения частоты 
в интервале    0 приводит к существенному изменению хода итерационного процесса. Это
свидетельствует о неустойчивости траектории итерационного процесса, который является одной
из особенностей хаотического режима динамической системы. Количественной мерой этой
неустойчивости является показатель Ляпунова [6, 7], который для одномерного отображения (1), с
учетом формулы (3), можно оценить таким соотношением:

df  Z k  1 n
1 n
1
ln
  ln
,

n k 1
dZ k
n k 1 1  Z k / z2 2
(6)
при этом число итераций n должно быть достаточно большим.


6
Рис. 5. Зависимость показателя Ляпунова от частоты  ; число итераций n  300 (левая шкала
оси ординат соответствует частотам    0 , а правая –   0 ,  0  1,5 103 c 1 ).
В соответствии с расчетами, проведенными по формуле (6), на рис. 5 показана зависимость
показателя Ляпунова от частоты  , как параметра итерационного процесса. При частоте   0
показатель Ляпунова   0 , что указывает на устойчивость траекторий итерационного процесса,
его сходимость и тем самым, с физической точки зрения, на существование импеданса
бесконечной LC -цепочки. В интервале частот    0 показатель Ляпунова может быть и   0 ,
и   0 . На частотах  при которых   0 итерационный процесс носит хаотический характер
и, естественно, нет смысла говорить об импедансе бесконечной LC -цепочки. В окнах
периодичности, т. е. на частотах  при которых   0 , образуются устойчивые циклы разных
периодов, что также говорит об отсутствии импеданса бесконечной LC -цепочки. В качестве
примера на рис. 6а показан ход итерационного процесса при   760c 1 (здесь величина
  0, 031 ). Как видим, наблюдается цикл периода 3 . Цикличность процесса удобно
представить путем построения так называемого отображения m -ого возвращения ( m - целое
число) [6, 7]. Соответствующее отображение первого возвращения ( m  1 ), изображенное на рис.
6б, дает ясное представление о цикле периода 3.
ln Z n1
ln Zn
ln Zn
n
а
б
Рис. 6. Последовательность значений итерационного процесса (а) и отображение первого
возвращения (б):   760c 1 ,   0, 031 .
Представляет интерес следующий вопрос: изменится ли характер итерационного процесса (1)
если величины L и C элементов цепочки имеют случайный разброс? Ответ на этот вопрос дает
график на рис. 7, на котором, аналогично рис. 4, приведена зависимость импеданса лестничной
цепи от частоты  при наличии случайного разброса величин L и C в интервале 10 %. Как
7
видим, характер итерационного процесса не претерпел изменений, по-прежнему величина  0
разделяет частотный диапазон на область существования импеданса (   0 ) и его отсутствия
(    0 ).
Im Z n

Рис. 7. Зависимость импеданса лестничной цепи от частоты  ; число элементов n  300 ,
интервал случайного разброса величин L и C составляет 10 % (левая шкала оси ординат
соответствует частотам    0 , а правая –   0 ,  0  1,5 103 c 1 ).
Проведенное исследование итерационного процесса (1) позволяет сказать, что при частоте
  0 импеданс бесконечной LC -цепочки существует, а на частотах    0 говорить о его
величине не имеет смысла. В действительности, как известно [8], для конечного фильтра из n
звеньев с чисто мнимыми элементами существуют два решения, связывающие напряжения
U  t   U 0 cos t  на входе и U n  t  на выходе. Одно из них [8, с. 323] справедливо для
диапазона пропускания фильтра (    0 ) и определяет амплитуду прошедшего сигнала. Другое
[8, с. 325] – справедливо в диапазоне   0 и определяет амплитуду на выходе фильтра, которая
экспоненциально уменьшается с увеличением числа звеньев n .
В заключение первого раздела статьи, отметим, что качественное объяснение работы фильтра
заключается в следующем. В области пропускания находятся резонансы. В конечной цепочке
частоты пропускания близки к резонансным частотам. В бесконечной цепочке резонансы
сливаются, и все частоты пропускания лежат на резонансных частотах.
2. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Во втором разделе статьи, в качестве примера конкретной системы с распределенными
параметрами, рассмотрим прохождение плоской звуковой волны через слоистую среду при
отсутствии потерь. Пусть имеем среду, которая состоит из плоских однородных слоев с
чередующимися свойствами, т. е. от слоя к слою волновое сопротивление равно z1  1c1 или
z2  2c2 , где 1 , 2 - плотность и c1 , c2 - скорость звука в соответствующем слое (рис. 8). Справа
8
слоистая конструкция опирается на препятствие с импедансом Z 0 , а слева имеем слой с волновым
сопротивлением z2 . Отметим, что номер n  1, 2,3,... будет фиксировать количество пар слоев с
параметрами z1 и z2 . Слева от последнего слоя располагается среда с волновым сопротивлением
z1 .
a1
a2
z1
z2
z1
z2
z1
Z0
ln
l 1
Рис. 8. Слоистая конструкция, которая опирается на препятствие с импедансом Z 0 .
Входной импеданс одного слоя с волновым сопротивлением z и толщиной a , который
опирается на препятствие с импедансом Z 0 , определяется известным соотношением [9]:
Zz
Z 0  iztg  ka 
,
z  iZ 0 tg  ka 
(7)
где волновое число k   / c . Заметим, что выражение (7) справедливо и для электромагнитных
волн. Располагая слева от препятствия парное количество слоев, можно построить итерационный
процесс для определения входного импеданса слоистой конструкции, которая опирается на
препятствие с известным импедансом Z 0 . Этот процесс будет определяться таким итерационным
соотношением:
Z n  iz1tg  k1a1 
 iz2 tg  k2 a2 
z1  iZ n tg  k1a1 
Z n 1  z2
,
Z n  iz1tg  k1a1 
z2  iz1
tg  k2 a2 
z1  iZ n tg  k1a1 
z1
Энергетический коэффициент отражения Vn
n  0,1, 2,... .
(8)
от соответствующей слоистой конструкции
определится выражением [9]:
9
2
Z z
Vn  n 1 .
Z n  z1
(9)
Перейдем к анализу численных результатов. Зададим параметры слоистой конструкции:
относительные волновые сопротивления сред слоев z1 / Z0  2,1 и z2 / Z0  0,7 ; отношение
волновых толщин слоев k2 a2 /  k1a1   2, 2 . На рис. 9 показана зависимость коэффициента
отражения Vn от волновой толщины слоя k1a1 , число итераций n  200 . Как видно, можно
выделить зоны запирания слоистой конструкции (здесь Vn  1 ) и зоны пропускания звука, в
которых коэффициент пропускания претерпевает осцилляции при изменении частоты сигнала.
Vn
k1a1
Рис. 9. Зависимость энергетического коэффициента отражения Vn от волновой толщины слоя k1a1 ;
число парных слоев n  200 .
Естественно возникает вопрос: как изменяется величина коэффициента отражения Vn в
зависимости от количества парных слоев n или, другими словами, сходится или нет
итерационный процесс (8) для областей пропускания и запирания слоистой конструкции. Ответ на
этот вопрос дают графики на рис. 10 где представлены соответствующие зависимости для
ситуации в зоне запирания ( k1a1  1 ) и – зоне пропускания ( k1a1  2,58 ). Как видно, если в зоне
запирания (кривая 1) уже после трех итераций коэффициент отражения становится равным
единице, то в зоне пропускания звука (кривая 2) значение коэффициента отражения совершает
квазипериодические осцилляции относительно некоторой средней величины.
Vn
1
2
n
10
Рис. 10. Зависимость энергетического коэффициента отражения Vn от числа звеньев n :
кривая 1 – k1a1  1 , кривая 2 – k1a1  2,58 .
Результаты расчетов, связанные с кривой 2 на рис. 10, наглядно дополняет отображение первого
возвращения для итерационного процесса (8) при k1a1  2,58 , приведенное на рис. 11. Его вид
дает четкое представление о квазипериодическом характере изменения величины коэффициента
отражения Vn от числа итераций n .
Vn 1
Vn
Рис. 11. Отображение первого возвращения для итерационного процесса (8) при k1a1  2,58 .
Более детальная информация о сходимости итерационного процесса в зонах запирания
представлена на рис. 12а. Здесь приведены значения параметра n итерационного процесса (8) в
зонах запирания при достижении величины коэффициента отражения Vn  0,9 . На рис. 12б более
детально рассмотрена одна зона запирания, а именно k1a1  5,79...6,03 .
n
k1a1
а
n
k1a1
11
б
Рис. 12. Значения параметра n итерационного процесса (8) в зонах запирания при достижении
величины коэффициента отражения Vn  0,9 :
а – k1a1  0...10 , б – k1a1  5,79...6,03 .
Таким образом, можно заключить, что для рассматриваемой слоистой конструкции
итерационный процесс (8) сходится для частот соответствующих зонам запирания и не сходится
на частотах прохождения звука через слоистую среду.
Совершенно аналогичная ситуация имеет место и в задаче о распространении сигнала в
длинных линиях без затухания, рис.13.
a2
L2 , C2
L1 , C1
a1
L2 , C2
Z0
L1 , C1
l 1
ln
Рис. 13. Кусочно неоднородная длинная линия без затухания,
Lp , C p , p  1, 2
- погонные
индуктивность и емкость.
Коэффициент отражение входного сигнала от такой периодической структуры можно
получить, используя итерационный процесс (8), где теперь
k p   LpC p
,
z p  Lp / C p
,
p  1, 2.
Согласно численному счету по алгоритму (8), как и должно быть в строго периодической
линии, наблюдается зонная структура “запирание-прохождение”, подобная той, что показана на
рис.9. При введении случайного разброса, например, длины отрезков
a1
и
a 2 , зонная структура
разрушается и с ростом числа звеньев длинная линия запирается во все большем диапазоне частот.
Для характеристики степени запирания введем величину, которую естественно назвать
плотность запрещенных зон в данном диапазоне частот.
1 
G
f  d ,
 2  1 
2
1
0, пропускание
f    
.
 1, запирание
На рис. 14 приведена зависимость величины
G
(10)
от числа звеньев n для периодической длинной
12
линии (кривая 1) и для случайной реализации длинной линии (кривая 2).
G
2
1
n
Рис. 14. Зависимость
G
от числа звеньев n для периодической длинной линии (кривая 1) и
случайной реализации длинной линии (кривая 2); для расчета были взяты следующие параметры:
1  2,586 108 c1 , 2  8 108 c1 , интервал случайного разброса величин a1
и
a2
составляет
4 %.
Такое “запирание” проводимости одномерной системы хорошо известно в физике твердого
тела под названием локализация Андерсона [12, 13].
3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим теперь прохождение электрона над системой потенциальных барьеров рис. 15.
U
E
U
E
U0
k2  E 
k1  E 
U1
k3  E 
a
k1  E 
Keff  E 
x
x
b
13
Рис. 15. Зависимость потенциальной энергии
U
от координаты
x
в системе потенциальных
барьеров. а – вид зависимости потенциальной энергии на периоде, б – вид эффективного барьера.
Движение электрона в такой системе описывается стационарным уравнением Шредингера
d 2 2m
 2  E  U  x    0 . Согласно теореме Блоха (в математике Флоке-Ляпунова, см.,
dx 2
например,
[10]),
решение
для
периодического
потенциала
U  x
ищется
в
виде
  x    0 exp  i  x  u  x  , где u  x  периодическая функция с периодом структуры. Рассмотрим
электрон, налетающий на такую структуру слева при энергиях электрона
определенных значениях энергии
E
E  U0 .
При
электрон отражается от структуры. В противоположенном
случае существует конечная вероятность обнаружения электрона как угодно далеко.
Пусть функциональная зависимость
U  x
определена на своем периоде согласно рис. 15а.
Будем исследовать прохождение электрона над системой потенциальных барьеров, построив
соответствующий итерационный процесс. При этом на каждом шаге итераций (добавлении
следующего периода) система потенциальных барьеров сводится к эффективному барьеру с
K eff
(рис. 15б):
k3  E 
 tg  iak2  E  
k2  E 
K eff  E   k2  E 
,
k3  E 
1
tg  iak2  E  
k2  E 
где
k 2  E   2m /
2
E U 
0
и
k3  E   2 m /
2
(11)
E U  .
1
Видно, что формула (11) аналогична формуле (7). В соответствии с этой аналогией (см.
близкие рассуждения в [11]) приходим к следующему итерационному процессу:
K n1  E   k2  E 
k1  E 
K n  E   k1  E  tg  ibk1  E  
k1  E   K n  E  tg  ibk1  E  
k2  E   k1  E 
 k2  E  tg  iak2  E  
K n  E   k1  E  tg  ibk1  E  
k1  E   K n  E  tg  ibk1  E  
tg  iak2  E  
.
(12)
14
В барьерных задачах принято вводить такую характеристику, как, коэффициент отражения
2
rn = (K n (E )- K1 (E ))/ (K n (E )+ K1 (E )) , который аналогичен коэффициенту отражения Vn в
слоистых структурах (см. (9)).
Из приведенных соотношений следует очевидный вывод: так же как и в системах с
распределенными
параметрами
потенциальной энергии
U
(рис.14),
при
от координаты
x
нарушении
периодической
зависимости
происходит запирание рассматриваемой
квантовомеханической системы.
Обратимся теперь к электрическим свойствам кристаллов. Отличие металла от изолятора
заключается в том, существуют ли делокализованные состояния на уровне Ферми. Если они есть,
то есть и электроны проводимости. В противном случае носители заряда локализованы, и среда не
может проводить ток. Конечно, речь идет о температурах стремящихся к нулю (чтобы „убрать”
прыжковую проводимость в изоляторе).
Два главных фактора влияют на состояние электронов – степень беспорядка в периодической
структуре и электрон-электронные взаимодействия. Переход от проводящего (металл) в
непроводящее состояние в системе невзаимодействующих электронов за счет вносимого в строго
периодическую систему беспорядка называется переходом Андерсона. Переход же за счет
электрон-электронного взаимодействия называется переходом Мотта.
Как отмечено в [12, с. 81] „…андерсоновская локализация в значительной мере обусловлена
волновыми свойствами электронов”, подробно эти вопросы освещены в [13]. Согласно [13, с. 172173] „…в одномерной системе все электронные волновые функции локализованы, причем даже
при наличии малого беспорядка. Локализация является прямым следствием разрушительного
действия квантовой интерференции, возникающей при когерентном отражении от нерегулярных
включений”.
Конечно, в двух и трехмерном случаях все существенно сложнее. Удивительно, однако, что
одномерный случай такого сложного явления как андерсоновская локализация может быть понят
на основе всё тех же соображений о волнах в периодических системах с внесенным беспорядком,
которые рассматривались выше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вернемся теперь к древнегреческому театру. Сотрудники Технологического института
Джорджии (США, Атланта) считают [1], что ключевым фактором, определяющим прекрасную
акустику театра, является конструкция в виде возвышающихся рядов и чередование на них
сидений. Эта структура – есть акустический фильтр, подавляющий низкочастотные звуки,
которые определяют основную составляющую фонового шума, и никоим образом не влияющий на
звуки высокой частоты голосов актеров. Случайна такая конструкция или результат сложных
расчетов, узнать вряд ли удастся.
15
Расчеты показали, что рельефная поверхность амфитеатра, образованная совокупностью рядов
и сидений, подавляет звуки частотой ниже 500 Гц. Большая часть акустического шума вокруг
театра относится именно к низкочастотным звукам (например, шум листвы). На этом фоне хорошо
выделяются голоса актеров с их основной высокочастотной составляющей. Впрочем, низкие
частоты присутствуют в любом голосе. Но дело в том, что сужение полосы звукового сигнала с
любой из периферийных сторон частотного спектра речи не препятствует восприятию
информации речевого сигнала, т. е. человеческий мозг в состоянии восстановить исходный
звуковой сигнал даже в отсутствие низких частот [14].
Большинство современных театров и стадионов полагаются на системы озвучивания [15]. С
этим не согласны авторы данной гипотезы – они уверены, что для открытых арен следует
обращать внимание на конструкцию амфитеатра, представляющую собой естественный фильтр.
1. http://www.membrana.ru
2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6.
Электродинамика. – М.: Мир, 1977. – 347 с.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 3. Электричество. – М.: Физматлит, 2004. – 656 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 8. Электродинамика сплошных
сред. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
5. Дыхне А.М., Снарский А.А., Женировский М.И. Устойчивость и хаос в двумерных
случайно-неоднородных средах и LC-цепочках // УФН. – 2004. – 174, №8. – С. 887-894.
6. Шустер Г. Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1988. – 240 с.
7. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и
фракталы. Изд. 2-е. – М.: Изд-во ЛКИ, 2007. – 264 с.
8. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Том 4. – М.: Изд-во АН СССР, 1955. – 512 с.
9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – М.: Изд-во АН СССР, 1957, – 503 с.
10. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: Физматлит, 2001. –496 с.
11. Нелин А.А. Импедансная модель для “барьерных” задач квантовой механики // УФН. –
2007. – 177, №3. – С. 308-313.
12. Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах. – М.: Физматлит, 2003. – 176 с.
13. Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос. – М.: Физматлит, 2004. – 376 с.
14. Ржевкин С.Н. Слух и речь в свете современных физических исследований. – М.: ОНТИ
НКТП, 1935. – 312 с.
15. Сапожков М.А. Электроакустика. – М.: Связь, 1978. – 272 с.
16