ТЕОРИЯ РИСКА Факультет экономики ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет экономики
Программа дисциплины
ТЕОРИЯ РИСКА
ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ 080100.68 «ЭКОНОМИКА» ПОДГОТОВКИ
МАГИСТРА
АВТОР: А.Г.ШОЛОМИЦКИЙ([email protected])
Рекомендована секцией УМС
« КОНКРЕТНАЯ ЭКОНОМИКА»
ПРЕДСЕДАТЕЛЬ
СМИРНОВ С.Н.
________________
«______» _______________________ 2008 Г.
УТВЕРЖДЕНА УС ФАКУЛЬТЕТА
ЭКОНОМИКИ
УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ
ПРОТАСЕВИЧ Т.А.
_________________
«______» ______________________ 2008 Г
ОДОБРЕНА НА ЗАСЕДАНИИ
КАФЕДРЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЯ
МОСКВА, 2008
ЗАВ. КАФЕДРОЙ СМИРНОВ С.Н.
_________________________
«_______» ________________2008 Г.
1. Пояснительная записка.
Автор программы – к.ф.-м.н. А.Г.Шоломицкий.
Аннотация.
Курс «Теория риска» рассчитан на один семестр и читается студентам
первого курса магистратуры направления Экономика, обучающимся по
магистерской программе «Математические методы анализа».
Курс предназначен для ознакомления слушателей с теорией экономического
поведения и принятия решений при неопределенности и в ситуациях, связанных
с присутствием риска, а также с основными теоретическими принципами
оценки риска.
Полученные знания могут быть использованы в курсах экономического
профиля и при подготовке магистерских диссертаций, связанных с проблемами
учета риска при оптимизации экономических решений.
Для успешного усвоения курса студентам необходимо не просто получить
представление об основных методах анализа, но и научиться применять эти
методы. Это требует непрерывной практики в решении задач. Одной из форм
контроля является домашнее задание, которое включает в себя примеры задач
использования различных методов и моделей оценки риска.
Требования к студентам.
Предполагается, что студенты знакомы с необходимым математическим
аппаратом (математический анализ, теория вероятностей, теория случайных
процессов).
Учебная задача дисциплины.
В результате изучения курса «Методы и модели оценки риска» студент должен:
- знать основные результаты современной теории принятия решений в
условиях риска и неопределенности;
- обладать навыками использования различных методов и моделей оценки
риска;
- уметь применять полученные знания при решении теоретических и
практических задач.
2.Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
Всего
Часов
Аудиторные часы
Самостоятел
ьная работа
1
Задачи выбора в экономике
10
4
-
6
2
Проблемы изменения риска
16
6
-
10
3
Ожидаемая полезность и её
применения к задачам выбора в
условиях риска
18
8
-
10
4
Парадоксы и нелинейные модели
выбора в условиях риска
22
6
-
16
5
Выбор
в
неопределённости
15
6
-
9
30
-
51
Лекции Семинары
условиях
Итого:
81
3.Литература.
Базовый учебник.
1. Шоломицкий А.Г. (2005) Выбор при неопределенности и моделирование
риска. – М.: ИД ГУ ВШЭ (готовится к выходу) [Ш]
Основная.
1. Starmer, C. (2000) Developments in non-expected utility theory: the hunt for a
descriptive theory of choice under risk. – J. of Economic Literature, XXXVIII,
332 – 382. [Starmer]
2. Бауэрс, Н. Л., и др. (Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A.,
and Nesbitt, C.J.) (1997; рус. пер. 2001) Актуарная математика (2-е изд.).
– М.: Янус-К. [Бауэрс]
3. Fishburn, P. C. (1988) Nonlinear preference and utility theory. – Johns
Hopkins Univ. Press. [Fishburn]
4. Jorion, P. (1997) Value at risk. McGraw-Hill. [Jorion]
Дополнительная.
1. M.Machina Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Economic perspectives, 1987, 1, 121 -154. [Machina]
2. Tversky, A., and Kahneman, D. (1992) Advances in prospect theory:
cumulative representation of uncertainty. – J. of Risk and Uncertainty, 5, 297 –
323. [Tversky]
3. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. (1999) Coherent measures
of risk. – Mathematical Finance, 9, 3, 203 – 228. [Artzner]
4. McNeil, A. J. (1997) Estimating the tails of loss severity distributions using
extreme value theory. – ASTIN Bulletin, 27, 1, 117 – 137. [McNeil]
5. Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosh, T. (1997) Modelling extremal
events for finance and insurance. – Springer. [Embrechts]
6. Loewenstein, G., and Prelec, D. (1992) Anomalies in intertemporal choice:
evidence and interpretation. – Quarterly J. of Economics, 107, 2, 573 – 597.
7. Phelan, M. (1995) Probability and statistics applied to the practice of
financial risk management: the case of JP Morgan’s RiskMetrics TM . –
Working Paper 95-19, Wharton Business School, Univ. of Pennsylvania.
[Phelan]
8. Смоляк, С. А. (2002) Оценка эффективности инвестиционных проектов
в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). –
М.: Наука. [Смоляк]
9. Фишберн, П. (Fishburn, P.) (1970; рус. пер. 1978) Теория полезности для
принятия решений. – М.: Наука. [Фишберн]
10. Mas-Colell, A., Whinston, M. D., Green, J. R. (1995) Microeconomic theory.
– Oxford Univ. Press. [Mas-Colell]
11. Вилкас, Э. Й. (1990) Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука.
12. Anscomb, F. J., Aumann, R. J. (1963) A definition of subjective probability. –
Annals of Mathematical Statistics, 34, 1, 199 – 205. [Anscomb and Aumann]
13. Ingersoll, J. E. (1987) Theory of financial decision making. – Rowman and
Littlefield. [Ingersoll]
14. Kahneman, D., and Tversky, A. (eds.) (2000) Choices, values, and frames. –
Cambridge Univ. Press.
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
4.Формы контроля.
1. Текущий контроль – посещение лекций и активность студентов на
занятии.
2. Промежуточный контроль – домашнее задание (30% от общей
оценки)
3. Итоговый контроль – письменный зачёт в конце курса (60% от
общей оценки)
Итоговый контроль – зачёт. Письменная работа в конце семестра,
которая включает в себя ответы на теоретические вопросы и решение
задач.
Итоговая оценка складывается из результатов текущего контроля (Отек),
промежуточного контроля (Опр) и оценки по 10-бальной шкале,
полученной на зачёте (Ок).
Итоговая оценка (Оср) определяется как средневзвешенная величина из
оценок текущего контроля (Отек), промежуточного контроля (Опр) и
контрольного теста (итоговый зачёт) (Ок)
Удельный вес каждой формы контроля составляет:
Текущий контроль = 0,1
Промежуточный контроль = 0,3
Контрольный тест (итоговый зачёт) = 0,6
Оср=0,1*Отек +0,3*Опр+0,6*Ок
5.Содержание программы.
Раздел I. Задачи выбора в экономике (Ш, гл. 1).
Обзор экономических задач выбора: выбор из чисел, векторов,
последовательностей платежей,
выбор в условиях риска и в условиях
неопределенности. Общая постановка задачи выбора. Предпочтения.
Аксиоматический подход к задачам выбора. Практические подходы к задачам
выбора.
Раздел II. Проблемы измерения риска.
Стохастическое доминирование первого и второго рода. Принцип «среднее
– дисперсия» и портфельная теория Марковица. Диверсификация. (Ш, гл. 1, 2).
VaR. Теоретические свойства и основные практически- ориентированные
модификации подхода. Пример: методика RiskMetrics. Меры риска,
развивающие подход VaR. Когерентность. (Ш, 2.3; Jorion; Hull, Ch. 6; Phelan;
Artzner et al.).
Оценка экстремальных рисков и теория экстремальных значений (EVT) (Ш,
2.5; Embrechts and Kluppelberg; McNeil).
Раздел III. Ожидаемая полезность и ее применения к задачам выбора в
условиях риска. (Ш, гл. 3; Mas-Colell; Фишберн; Бауэрс, гл. 1; Ingersoll).
Теория Бернулли. Аксиоматическое построение Неймана – Моргенштерна.
Аксиома независимости. Приложения ожидаемой полезности: модель выбора
страховой премии, теорема Эрроу об оптимальном страховании, выбор
портфеля в статическом и динамическом случаях.
Раздел IV. Парадоксы и нелинейные модели выбора в условиях риска. (Ш,
гл. 4, 5; Fishburn, Ch. 2, 3; Starmer).
Критика теории ожидаемой полезности. «Парадоксы» теории и
рациональное поведение при неопределенности. Развитие теории. Нелинейные
модели и их аксиоматизация.
Раздел V. Выбор в условиях неопределенности (Ш, гл. 6; Fishburn, Ch. 7, 8;
Starmer; Смоляк; Tversky).
Модель выбора в условиях неопределенности. Субъективные вероятности:
теории Энскомба и Ауманна, Сэвиджа. Парадоксы Эллсберга. Теория
проспектов Канемана и Тверски.
6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний:
1. Сравните распределения по критериям стохастического доминирования
первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания
и дисперсии распределений.
10 50 100 
 Значение
F1  
 и
 Вероятность 0 2 0 6 0 2 
10 60 100 
 Значение
F2  
.
 Вероятность 0 2 0 5 0 3 
2.
Рассмотрим следующее правило сравнения альтернатив: если
P  X A  X B   1 2 то A ± B . Величины X A и X B считаются независимыми.
Монотонно ли это правило относительно первого стохастического
доминирования?
3. Покажите, что отношение стохастического доминирования второго порядка
II транзитивно.
4. Покажите, что множество эффективных портфелей на плоскости ( r  mr )
изображается выпуклым множеством точек.
5.
Покажите, что критерий математического ожидания, V ( A)  mA ,
удовлетворяет свойству монотонности относительно первого стохастического
доминирования.
6. Докажите, что если FA доминирует FB в смысле второго стохастического
доминирования и mA  mB , то  A   B . Верно ли обратное? Если да, докажите.
Если нет, приведите пример.
7. Пусть 1 ( x) и  2 ( x) – две нормальные функции распределения. Покажите,
что 1 I  2 в том и только том случае, когда (m1  m2   1   2 ) .
8. Инвестор формирует свой портфель из двух активов: доллара и евро так,
чтобы минимизировать DEaR. Предположим, что для периода в один день
 1  0 44% ,  2  0 53% ,   0 38 . Найти b – оптимальную долю вложений в
доллар.
9. Какие из следующих мер риска удовлетворяют условию однородности?
Условию
монотонности
относительно
первого
стохастического
доминирования?
(а) Математическое ожидание mX ;
(б) мера риска R  m  a ;
(в) мера риска Полячека – Тверского R  m  a 2 ;
(г) VaR (квантиль распределения);
(д) мера риска R( X )  E  X | X  t  ;
(е) мера риска R( X )  E  X | X  mX  a X  ;
(ж) условное ожидание хвоста R( X )  E  X | X  VaR   .
10. Докажите следующие утверждения.
(a) Мера риска R  m  a является когерентной мерой риска, если
распределения всех убытков X и их сумм нормальны.
(b) Мера риска R  m  a не является когерентной мерой риска, если
распределения убытков X могут быть произвольными.
(c) VaR, определенная как квантиль соответствующего распределения, не
является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть
произвольными.
11.
Нами рассматривались меры риска, для которых неприятие риска
выражалось убыванием V по дисперсии. В теории ожидаемой полезности
неприятие риска выражается вогнутостью функции полезности денег.
Покажите, что эти два принципа противоречивы.
Указание. Постройте пример случайных величин X и Y и вогнутой функции
u () таких, что mX  mY   X   Y , но Eu ( X )  Eu (Y ) . Почему нельзя привести
такого примера с нормально распределенными X и Y ?
12. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно
первого и/или второго стохастического доминирования, а какие – нет? Почему?
(а) U ( X )  E( X ) ;
(b) U ( X )  E( X )  0 02  ( D( X )) 3 ;
(c) U ( X )  Ee001 X ;
(d) U ( X )  Ee001 X ;
(e) U ( X )  Ee001 X 0001 X ,
где E – математическое ожидание, D – дисперсия.
13. Один и тот же человек регулярно покупает лотерейные билеты, надеясь
выиграть автомобиль ценой $10 000, и страхует свой собственный автомобиль
такой же стоимости от угона. Можно ли объяснить его поведение с помощью
модели ожидаемой полезности? Какую форму должна иметь функция
полезности? (Friedman and Savage, 1948).
14. Ущерб по некоторому риску распределен равномерно от 0 до 20. Какую
максимальную страховую премию за страхование такого риска готов будет
заплатить страхователь, имеющий капитал 50 и руководствующийся правилом
максимизации ожидаемой полезности с функцией полезности u ( x)  x  ax 2 ,
a  0 01 ?
15. Предположим, что ущерб страхователя имеет следующее распределение: в
случае аварии (с вероятностью 0,02) ущерб распределен равномерно на [0100] ;
в противном случае ущерб равен 0. Найти максимальную страховую премию,
которую готов заплатить страхователь в этом случае.
16. Страховой ущерб в случае пожара распределен равномерно от 0 до 100;
вероятность пожара равна 0,02. Найти форму страхового контракта,
оптимальную с точки зрения страхователя, имеющего возрастающую и
вогнутую функцию полезности, максимизирующего свою ожидаемую
полезность и готового заплатить за страхование данного риска сумму P .
17. Инвестор имеет возможность сформировать портфель из двух активов,
годовые нормы доходности которых моделируются нормальными случайными
величинами со средними m1  16% и m2  9% и средними квадратическими
отклонениями  1  30% и  2  12% , соответственно, и коррелированы с
коэффициентом корреляции   0 46 . Считая, что инвестор вкладывает 1 ден.
ед., имеет функцию полезности u( x)  x  0 02 x 2 и стремится максимизировать
ожидаемую полезность стоимости капитала на конец года, найти оптимальные с
его точки зрения доли вложений в первый и второй активы.
18. Проверьте, что если предпочтения определяются критерием «субъективно
взвешенной ожидаемой полезности», то выполнена основная аксиома Сэвиджа
(sure thing principle).
2
19. Пусть лицу, осуществляющему выбор, известны физические вероятности
событий и выбор определяется только распределением результата, т.е. имеет
место выбор в условиях риска. Покажите, что в этом случае аксиома sure thing
principle Сэвиджа сильнее аксиомы независимости фон Неймана –
Моргенштерна.
Указание. Воспользуйтесь представлением альтернатив выбора в виде
двухступенчатых лотерей.
20. Покажите, что первый из парадоксов Эллсберга представляет нарушение
аксиомы (G4) Сэвиджа.
21. В экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между
правом сыграть в игру
(A) выиграть $1000 с вероятностью 2/3 (0 в противном случае – везде далее
опускается)
и альтернативой
(B) получить $500 без риска.
Опрошенные в среднем признали альтернативы равнозначными. Затем было
предложено выбрать одну из альтернатив:
(C) выиграть $1000 с вероятностью 0,4 и $500 с вероятностью p
и
(D) выиграть $500 с вероятностью 0,8.
Каким должно быть p , чтобы выбор во второй паре альтернатив
соответствовал теории ожидаемой полезности?
22. В некотором экперименте испытуемым было сначала предложено выбрать
между правом сыграть в игру
(A) выиграть $200 с вероятностью 0,6
и альтернативой
(B) получить $100 без риска.
Большинство опрошенных выбрали (B). Затем было предложено выбрать одну
из альтернатив:
(C) выиграть $200 с вероятностью 0,3 и $100 с веростностью 0,4
и
(D) выиграть $100 с вероятностью 0,8.
Какой выбор во второй паре альтернатив согласуется с теорией ожидаемой
полезности?
23. Рассмотрим следующий пример (Аллэ, 1953). Предлагается выбор между
C1 : получить 1 млн. франков без риска; и C 2 : 5 млн. франков с вероятностью
0,8, 0 с вероятностью 0,2. Затем предлагается выбор между D1 : 1 млн. франков
с вероятностью 0,05 и 0 с вероятностью 0,95; и D 2 : 5 млн. франков с
вероятностью 0,04 и 0 с вероятность 0,96. Большинство людей предпочитают
C1 в первой паре и D 2 во второй. Покажите, что такие предпочтения нельзя
описать моделью ожидаемой полезности.
7. Методические рекомендации преподавателю.
При построении лекций необходимо, во возможности, демонстрировать связь
теории принятия решений с различными феноменами, наблюдаемыми в
реальных экономических ситуациях. Не следует вкладывать в сознание
студентов определенные стереотипы, «канонизируя» какой-либо «рецепт»
оценки риска, например, ожидаемую полезность или VaR. Следует развивать у
студентов критическое мышление, внимание к условиям и границам
применения тех или иных моделей.
Для освоения данного курса важно научить студентов понимать различные
свойства мер риска и критериев выбора. При этом важную роль играет решение
соответствующих задач.
8. Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и
семинарские занятия, но и активно готовится к ним. Решение домашних
заданий очень важно для усвоения курса.
9.
Рекомендации
по
использованию
информационных
технологий.
Различные материалы по этому курсу будут вывешиваться на личных страницах
преподавателей на сайте ГУ – ВШЭ, а также на сайте www.xion.ru.
Автор программы:_________________________________ Шоломицкий А.Г.