Брагина Л.Н._Теоретические основы начального курса

Министерство образования и науки Красноярского края
КГАОУ СПО “Канский педагогический колледж”
Теоретические основы
начального курса математики
Материалы для самостоятельной работы
и самоконтроля
Специальность 050146 – «Преподавание в начальных классах»
Канск 2012
Автор-составитель: Л.Н. Брагина, преподаватель Канского
педагогического колледжа.
Рецензент: Е.В. Чепикова, учитель высшей квалификационной
категории МБОУ Гимназии № 1, руководитель городского методического объединения учителей математики г. Канска
Теоретические основы начального курса математики: материалы для самостоятельной работы и самоконтроля / автор-сост.
Л.Н. Брагина, рец. Е.В. Чепикова; КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж». Канск, 2012. – 18 с.
Данные материалы могут быть использованы студентами для
самопроверки полученных знаний по основным разделам по МДК
01.04 «Теоретические основы начального курса математики с методикой» специальности 050146 «Преподавание в начальных классах».
© КГАОУ СПО «Канский
педагогический колледж»
2
Входной контроль
Примерное содержание контрольной работы
1.Запишите выражение для ответа на вопрос:
а) велосипедист ехал 2 часа со скоростью а км \ч , а потом еще 3 часа
со скоростью в км \ч. Какое расстояние проехал велосипедист.
б) площадь прямоугольника равна с кв. м. .а его длина в м. Каков периметр прямоугольника.
2.Скорость одного пешехода х км\ч , а другого у км\ч. Объясни , что
означает выражение:
а) х + у
в) 4 х
с)5 ( х+у)
3.Составь план нахождения площади фигуры.
4.Вычислить:
10 897 + 313436 : (822*106 – (3047+83 468) )
5.Решить задачу разными способами:
Раздел «Множества и операции над ними»
Зачет по теме “Множества”
- Сформулировать определение,
- записать его схематически,
- привести пример.
1. Определение подмножества.
2. Определение равных множеств
3. Определение пересечения множеств.
4. Определение объединения множеств
5. Определение разности множеств.
6. Определение дополнения множеств.
7. Определение декартова произведения множеств.
3
Задание: Подобрать задания из школьных учебников математики, в
которых неявно используются теоретико-множественные понятия.
Рекомендации к заданию Задание нужно выполнить, используя
таблицу:
Данные учебника математики (класс, авторы).
№ задания,
текст задания
Теоретикомножественное понятие
Обоснования
Промежуточный контроль
Примерное содержание контрольной работы
1.Укажите характеристические свойства множества:
а) В  С  А , в)А\ (С  В)
если А = [2; 7], В = (-3; 3] , С = [2;4)
2. I- множество студентов группы 101, А- множество блондинок в
группе 101, В- множество спортсменок этой группы, С- множество
студентов этой группы, посещающих студию танцев.
а) Изобразите множества I, A ,B и C с помощью кругов Эйлера,
в) Отметьте штриховкой множество Х = (В  С)\А и укажите его характеристические свойства.
3. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения X  Y, если
Х={x\ х  R, 4  х  7},
У= {у\у  Z, -2  у  2}.
4
4. Докажите, что для любых множеств А, В и С имеет место равенство:
(А\ В)  С = ( А  C)\( В  С).
5.О каких теоретико-множественных понятиях идет речь в задании:
“Запиши по порядку числа от 10 до 20, подчеркни четные числа.
Раздел “Отношения на множестве.
Соответствие между множествами”
Задание к зачету:
-сформулировать определение;
-записать его в схематическом виде;
- привести пример.
Вопросы к зачету:
1. Определение бинарного отношения.
2. Свойство рефлексивности.
3. Ссвойство транзитивности.
4. Свойство симметричности.
5. Свойство антисимметричности.
6. Свойство связанности.
7. Отношение эквивалентности.
8. Теорема о разбиении множества на попарно- непересекающиеся
подмножества.
9. Отношение порядка.
10. Определение соответствия.
11. Соответствие обратное данному.
12. Взаимно- однозначное соответствие.
13. Равномощные множества.
14. Функциональное соответствие.
Задание: Подобрать задания из школьных учебников математики, в
которых устанавливаются отношения на множестве или соответствия
между множествами.
5
Рекомендации к заданию
Задание нужно выполнить, используя таблицу:
Данные учебника математики (класс, авторы).
№ задания,
текст задания
Отношение
(соответствие)
Множество
(множества)
Обоснования.
Промежуточный контроль
Примерное содержание контрольной работы
1.На множестве Х= {5-2, 8-5, 9-7, 5-3., 6-4, 7-2} задано отношение
R:”иметь одинаковое значение”.
а) Построить граф R.
б) Определить свойства отношения R.
в) Является ли R – отношением эквивалентности?
г) Назовите классы эквивалентности.
2. Можно ли упорядочить множество деревьев отношением «быть
выше»?
3. Между множествами Х= {-1, 0, 1, 2, 3.} и Y = R задано соответствие М : “ х больше чем у в 2 раза”.
а) Задайте М в виде упорядоченных пар.
б ) Cформулируйте соответствие, обратное данному в виде предложения с двумя переменными.
в) Постройте графики соответствия и соответствия обратного данному.
г) Верно ли, что 2 М 1; 1М2 ?
6
Раздел «Целые неотрицательные числа»
Задание к зачету:
-сформулировать определение.
-записать его в схематическом виде,
- привести пример.
Вопросы к зачету
1.Определение отрезка натурального ряда.
2.Определение счета.
3.Теоретико-множественный смысл натурального числа.
4 Теоретико-множественный смысл нуля.
5. Определение равных чисел.
6. Теоретико-множественное обоснование отношения “меньше”.
7. Определение отношения ”меньше “(через Na).
8 .Определение отношения ”меньше” ( через сумму).
9. Теоретико-множественный смысл суммы.
10. Теоретико-множественный смысл разности.
11.Определение разности (через сумму).
12.Определение произведения (через сумму).
13.Определение произведения (через декартово произведение)\
14.Теоретико–множественный смысл частного (деление по содержанию).
15. Теоретико-множественный смысл частного (деление на равные
части).
16.Определение частного ( через произведение).
17.Определоние деления с остатком.
7
Задание к коллоквиуму:
-сформулировать теоретическое положение;
-сделать его логический и математический анализ;
- составить план доказательства в виде:
УТВЕРЖДЕНИЕ
ОБОСНОВАНИЕ
1.
2.
3. И Т.Д.
- доказать.
Вопросы к коллоквиуму
1. Коммутативный закон сложения.
2. Ассоциативный закон сложения.
3. Условие существования разности.
4. Правило вычитания числа из суммы.
5. Правило вычитания суммы из числа.
6. Коммутативный закон умножения.
7. Ассоциативный закон умножения.
8. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения.
9. Условие существования частного.
10.
Невозможность деления на нуль.
11.
Правило деления суммы на число.
12.
Правило деления числа на произведение.
8
Примерное содержание промежуточного контроля
1. Обосновать выбор действий в задаче М-3 (1-4) № 4 стр. 127
1. Вычислить рациональным способом 6892  8 + 6892  2 .
3. Сформулировать правило умножения частного на число.
4. Вычислить разными способами: 500 –( 160+140).
Раздел ” Делимость натуральных чисел”
Примерное содержание промежуточной контрольной работы
1. Найти НОД и НОК чисел 864 и 468 способом разложения на простые множители.
2. Не производя вычислений установите, делится ли число 16389 на
30.
3. Привести дроби 5\ 234 и 6\315 к общему знаменателю.
4. Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и
самим числом делится на 6.
Задание к зачету:
-сформулировать теоретическое положение;
-сделать его логический и математический анализ;
- составить план доказательства в виде:
УТВЕРЖДЕНИЕ
ОБОСНОВАНИЕ
1.
2.
3. И Т.Д.
- доказать.
9
1.Теорема о делимости суммы на число.
2. Теорема о делимости разности на число.
3. Теорема о делимости произведения ни число.
4. Теорема о делимости произведения на произведение.
5. Теорема о неделимости суммы на число.
6. Признак делимости на 2
7. Признак делимости на 3.
8. Признак делимости на 4
9. Признак делимости на 5
10. Признак делимости на 9.
Раздел Расширение понятия числа
Вопросы к коллоквиуму
1. Понятие дроби.
2. Понятие положительного рационального числа.
3. Определение суммы положительных рациональных чисел.
4. Законы сложения положительных рациональных чисел.
5. Определение разности положительных рациональных чисел.
6. Определение произведения положительных рациональных чисел.
7. Определение частного положительных рациональных чисел.
8. Сравнение положительных рациональных чисел.
9. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел.
10. Свойства множества положительных рациональных чисел.
Примерное содержание домашней контрольной работы
1. Какие из высказываний истинны:
2,4(5)  Q ,
17  R
2,4(5)  I,
17  Q.
2. Найдите результат выполнения операций: N  Z, Z  I , Q\ N.
3. Даны действительные числа х = 5,2754389… , у = 3,5653771….
Найти х+у и х  у с точностью до 0,001
4. Постройте отрезок длиной
3.
10
Примерное содержание промежуточной контрольной работы
1. Докажите равносильность дробей
2. Определить, является ли дробь
2 4
и .
7 14
258
сократимой?
567
3. Записать три рациональных числа, заключенных между числами
2
и
7
3
.
7
4. Решить уравнение , используя взаимосвязь между результатом и
компонентами арифметических действий:
4
3
1
3
1 7
: ( (2 х + 4 ) :21 )- 1 =5
15
4
2
4
8 8
4
5. Постройте отрезок длиной е.
9
3
6.Как изменится частное, если делимое умножить на
6
3
а делитель на ?
7
7
Зачетные задания
5 25
и
.
8 40
2857
2. Определить является ли дробь
сократимой?
5479
1. Доказать равносильность дробей
3. Запишите три рациональных числа, заключенных между числами
и
4
.
5
11
3
5
4. Изменится ли дробь , если числитель и знаменатель ее увеличить на
20.
5. Докажите, что дробь
ab
a
сократим а, если дробь
сократима.
a
b
6. Покажите, как в процессе измерения отрезка может быть получена
дробь
8
.
3
2408
7. Сократите дробь 5264 .
8. Найдите множество таких натуральных чисел х, при которых
2х  1
- правильная дробь.
11
9. Найдите рациональный способ сравнения значений выражений:
-5 - 1
1
3
и -5 - 1 .
8
8
10. Объясните, почему дробь
5
можно представить в виде десятичной
6
периодической дроби.
11. Сравните разными способами дроби
7 15
и
.
8 24
12. Выберите единицу длины и постройте отрезок длиной
13. Сумму чисел 12
12
.
7
5
3
1
и 10 уменьшить на 2 . Сколькими спосо12
4
15
бами это можно сделать?
47
55
или
?
56
68
3 12
15. Доказать равносильность дробей
и
.
7
28
3456
16. Определить является ли дробь
сократимой?
6543
14. Какое из чисел ближе к 1 :
17. Запишите три рациональных числа, заключенных между числами
3
4
и .
11 11
12
18. Изменится ли дробь, если числитель и знаменатель ее увеличить на
20 %.
19. Докажите, что дробь
аб
a
сократима, если дробь
сократима.
аб
b
20. Покажите, как в процессе измерения отрезка может быть получена
дробь
3
.
7
21. Сократите дробь
2380
.
4964
22. Найдите множество таких натуральных чисел х, при которых
2х  1
- неправильная дробь.
11
23. Найдите рациональный способ сравнения значений выражений:
315 *
3
5
и 315 *
4
6
24. Объясните, почему дробь
7
можно представить в виде десятич12
ной периодической дроби.
25. Сравните разными способами дроби
8 15
и
.
27 24
26. Выберите единицу длины и постройте отрезок длиной
27. Сумму чисел 25
6
.
7
5
3
1
и 12 уменьшить на 7 . Сколькими спосо12
4
15
бами это можно сделать?
28. Какое из чисел ближе к 1:
15
46
или
55
?
68
29. Запишите число 0,3(15) в виде обыкновенной дроби.
30. Запишите число 5,(164) в виде обыкновенной дроби.
13
Раздел «Элементы алгебры. Элементы геометрии»
Задания к зачету
1. Выполнить задания 1-15.
2. Защитить три задания.
1. Численное значение длины отрезка, измеренной при помощи
единицы 1 равно 6, а измеренной при помощи единицы 2 -равно 4.
е
е
В каком отношении находятся между собой единицы длины
е ие
1
2
?
2. Постройте отрезок, длиной 3,6 е.
3.Два треугольника имеют равные площади. Следует ли из этого,
что они равны?
4. Площади фигуры F 1 больше площади фигуры F 2 . Следует
ли из этого, что фигура
F
2
целиком содержится в фигуре F 1 ?
5. Следует ли из равносоставленности двух прямоугольников равенство этих прямоугольников
6. Следует ли из равносоставленности двух прямоугольников их
равновеликость?
7. Существуют ли многоугольники, из равносоставленности которых следует их равенство?
8.Могут ли быть равновеликими два неравных прямоугольника,
имеющие по равной стороне?
9. Могут ли быть равновеликими два неравных треугольника,
имеющие по две соответственно равные стороны?
10.Трапеция своими диагоналями разделена на четыре треугольника. Докажите что треугольники, прилежащие к боковым сторонам
равновелики.
11. Как изменится площадь квадрата, если увеличить его диагональ в n раз?
12. Периметр прямоугольника равен 28 см, а разность смежных
сторон равна 2см. Определите длину диагонали и площадь прямоугольника.
13 Как построить квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади данного квадрата.
14. Даны квадрат и произвольный прямоугольник, диагонали которого равны диагоналям квадрата. Площадь, какой из этих фигур
больше? Почему?
14
15. Будут ли равновеликими прямоугольники, если сторонами одного из них являются катеты прямоугольного треугольника, а сторонами другого - гипотенуза и опущенная на нее высота.
Примерное содержание промежуточной контрольной работы
1. Ниже приведенные записи разбейте на группы и дайте название
каждой группе.
48:6; ( а+7)  3  4 ; х-3; (30+56)  16 ; в  7; (24+36):12; а+с ; 64 :(3-у);
2х-3  5; 32:у+3=5у ; х+2у  7 ; 6(2а+в)+с.
2. Установите область определения выражения:
x  3x  70
3.Упростите выражение путем тождественных преобразований:
3(х-4)(х+2)+(3х-1)(5-х)
4.Известно, что а  в истинное неравенство. Поставьте вместо  знак
 или  , чтобы получилось истинное неравенство.
2а  2в ; -3а  -3в; а+5 в  5 ; а-5 в  5.
5.Решите уравнение, используя зависимость между результатами и
компонентами действий: (2,61-4z):0,03+4,6=90
Итоговый модуль
Вопросы к экзамену
1. Теоретико-множественный смысл количественного натурального
числа и нуля.
2. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных
чисел.
3. Законы сложения целых неотрицательных чисел.
4. Отношения «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел.
5. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.
15
6. Связь действий сложения и вычитания. Существование и единственность разности на множестве целых неотрицательных чисел.
7. Правила вычитания целых неотрицательных чисел.
8. Умножение целых неотрицательных чисел.
9. Законы умножения целых неотрицательных чисел.
10. Деление целых неотрицательных чисел.
11. Существование и единственность частного. Деление с нулем на
множестве целых неотрицательных чисел.
12. Правила деления целых неотрицательных чисел.
13. Деление с остатком.
14. Свойства множества целых неотрицательных чисел.
15. Смысл натурального числа – результата измерения величины.
16. Смысл сложения и вычитания чисел, являющихся значениями величин.
17. Смысл умножения и деления чисел, являющихся значениями величин.
18. Запись чисел в десятичной системе счисления.
19. Сложение многозначных чисел в десятичной системе счисления.
20. Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления.
21. Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления.
22. Деление многозначных чисел в десятичной системе счисления.
23. Понятие отношения делимости. Свойства отношения делимости.
24. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.
25. Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления.
26. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Способы нахождения НОК и НОД.
27. Признаки делимости на составные числа.
28. Понятие дроби и положительного рационального числа.
29. Сложение и вычитание положительных рациональных чисел.
30. Умножение и деление положительных рациональных чисел.
31. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел.
32. Десятичные дроби.
16
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Понятие положительного иррационального числа.
Действия над положительными действительными числами.
Отрицательные числа.
Числовые выражения и выражения с переменной. Тождественные
преобразования выражений.
Числовые равенства и неравенства, их свойства.
Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений.
Неравенства с одной переменной. Равносильность неравенств.
Понятие величины. Понятие измерения величины.
Длина отрезка и ее измерение.
Площадь фигуры и ее измерение.
Масса тела и ее измерение.
Промежутки времени и их измерение.
17
Оригинал-макет и компьютерная верстка:
А.П. Афанасьева, Т.Н. Игошина, Е.Н. Федоров,
методисты отдела информационных технологий
663606, г. Канск, ул. 40 лет Октября, 65
тел. (39161) 2-56-30, факс (39161) 2-55-91
E-mail: [email protected]
18