9 - LanCats

9. Многочлены над C,R,Q.
Рассмотрим F[x]- кольцо многочлена от одной неизвестной
f  an xn  ...  a1x  a0  F[ x],  F - называется корнем многочлена f, если
f ( )  a  n  ...  a   a  0 .
n
1
0
В кольце F[x] мы можем евклидово разделить f(x) на (х-α): f(x)= (х-α)q(x)+r(x), r F . По
т.Безу остаток от деления многочлена f на линейный двучлен (х-α) равен значению
многочлена при х=2, f(α)=r(α), α является корнем многочлена  (х-α)if(x) (т.Безу).
Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой ненулевой многочлен f F[x]
степени >0 имеет хотя бы один корень.
Пример: f(x)=х2+1 R[x] алгебраически замкнутым не является R.
Основная теорема алгебры: поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.
Многочлен f(x) называется неприводимым над полем Р, если f(x)=g(x)t(x)  degg=0 или
degt=0 (если его нельзя представить в виде произведения многочленов ненулевой степени.
Например: f(x)=х2+1 неприводим на R[x], и приводим на С, т.к. f(x)=(x-i)(x+i).
Свойства неприводимых многочленов:
1.
f(x)  Р[x], g(x)-неприводим над Р.Тогда НОД(f(x), g(x))=  g (x)

1
2. если произведение многочленов делится на неприводимый многочлен, то хотя бы один
из них делится на этот многочлен.
Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей: пусть
f(x)  Р[x], deg f(x)≥1. Тогда f(x) можно представить в виде произведения неприводимых
многочленов , причём два таких разложения многочлена считаются равными, если они
отличаются друг от друга только порядком множителей или константой. Такое разложение
на неприводимые множители единственно.
Непривод.многочлены над С: т.к. С-алгебраически замкнуто, то на С неприводимы лишь
многочлены первой степени. Рассмотрим поле R, R  С  формально, любой
вещественный многочлен мы можем считать многочленом комплексным. Если
  a  bi
  a  bi
1)    R,     0,2)   ,3)      
4)  R     ,5)    ,6)
1.

 
  
  
Теорема: свойства компл. корней.
Если f  R[x], degf>0, α  С- комплексный корень многочлена f, то  (сопряжённое для α)
тоже является корнем многочлена f.
Док-во: вещ.многочлен f является автоматически компл.многочленом может и не иметь
вещ.корней, но в силу алг.замкн. С обязательно имеет компл. корни. Пусть α С – корень f.
Если α  R, то  =α  корень. Пусть   R f  a xn  ...  a x  a  R[ x], a  R  a  ai .
n
1
0
i
i
f ( )  an ( )n  ...  a1  a0  an  n  ...  a1  a0  an n  ...  a1  a0  f ( )  0  0 , т.е. f ( )  0   - корень.
ч.т.д.
Следствие 1:Пусть α С-компл., не вещ. корень вещ.многчлена f. Тогда по доказанному
 - тоже корень многочлена f. А значит, (х-α)| f  (x  ) |f (в С), т.к. (х-α) и
( x  ) взаимнопросты ((х-α), ( x  ) )=1. Тогда  |f, где
2
 = ( x   )(   )  x  (   )      R[ x] .Это означает, что все компл., невещ.корни
вещ. многочлена f разбиваются на пары сопряжённых корней, а  комплексных
невещ.корней у вещественного многочлена чётное число.
Следствие 2: пустьf(x) R[x], вещ.многочлен нечётной степени, degf=2к+1. Рассматривая f
как комплексный многочлен, мы найдём у него degf комплексных корней, среди которых
невещественных будет чётное число. Т.о. всех корней нечётное число  любой вещ.
многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень.
Неприводимые многочлены над R:
Теорема: Над полем R неприводимы лишь многочлены первой степени и второй степени с
отрицательным дискриминантом.
a
a
a
f ( x)  n x n  ...  1 x  0 Q[ x]
bn
b1
b0
Приводимость многочленов над Q: Рассмотрим поле Q.
ai , bi  Z , b j  N
Пусть d=НОД(аn,…,a0), m=НОК(bn,…,b0), f ( x) 
d
(cn x n  ...  c1 x  c0 ) (1), где Сi  Z,
m
причём (с0,с1,…, сn)=1 (2).
Целочисленный многочлен (с цел.коэф.), коэффициенты кот. взаимнопросты называется
примитивным.
Любой рац.многочлен можно представить как произведение нек.рац.числа на примитивный
целочисленный многочлен (формула (1)). f 
^
d ^
 f , где f -примит.целочисл.
m
Лемма Гаоса: Произведение двух целочисленных примитивных многочленов является
многочленом примитивным.
d ^
Теорема 1: Пусть дан рац.многочлен f  Q[x], представим его в виде f  f (3).
m
^
Многочлен f приводим над полем Q  в формуле (3) f (примит.мног.) приводим над
кольцом целых чисел Z. Т.о. данная теорема вопрос о приводимости рац.многочлена
сводит к вопросу о приводимости целочисленных многочленов. Относительно
целочисл.многочленов имеется достаточный признак неприводимости известный под
названием критерий Эйзенштейна: Пусть дан целочисленный многочлен
f  a xn  ...  a x  a , a  Z ,i  0, n или существует простое число р, такое что:1) р не
n
1
0
i
делит an. 2)p делит ai, i= 1, n  1 . 3)р2 не делит а0, то многочлен f неприводим над кольцом Z.
Док-во: предположим противное, пусть мы f разложили в произведение многочленов
меньшей степени:
g  bm x m  ...  b1 x  b0
h  ck x k  ...  c1 x  c0
(*) f=g*h, k,m<n, внесём в (*) разложения для f ,g и h, перемножим f*g и приравняем
коэффициенты, получим:1. a0=b0c0 2. a1=b0c1+b1c0
…
(m) am=b0cm+…+bm-1c1+bmc0
...
an=bmck
возьмём равенство1.: p|a0  p|b0  p|c0 , в силу условия 3) теоремы мы получим, что р делит
только один из коэффициентов b0 или c0, пусть для определённости это b0, т.е.p| b0  р не
делит c0 (**). Из равенства 2., получим p|a1 и с учётом (**) р|b1! Переходим к 3. равенству,
из которого получим p|b2 ….Рассм.равенство m+1, получим, что p|bm , для последнего
равенства:p|an, что противоречит первому условию теоремы  предположение не верно
 f- приводим. По критерию Эйзенштейна можно построить неприводимый
целочисленный многочлен любой наперёд заданной степени  и над Q можно построить
неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени. При переходе C  R  Q
степень неприводимого многочлена возрастает.
Рациональные корни целочисленных многочленов:
Пусть f  Q [x], degf>0, нас интересуют рац.корни многочлена f 
d
g (1), g  Z[x],d/m
m
 Q.У многочленов f и g- одни и те же корни  рац.корни можно искать не у f, а у g.
f ( )  an n  ...  a1  a0  Z[ x] . Пусть p/q  Q –корень многочлена f.
p,q  Z, q  N, (p,q)=1. Если p/q- корень f, то f(p/q)=0 или
an p n  ...  a1 pq n 1  a0 q n  0  р делит правую часть этого равенства и первые n
слаг.в правой части  p|a0qn  p|a0, q|anpn  q|an, т.е. если несокр.дробь p/q является
корнем целочисл.многочленом f, то p|a0 b q|an  получаем алгоритм отыскания рац.корней
целочисл.мн. f:1) выпис.все натуральные делители свободного члена а0 многочлена f. p|a0, p
N
2)выписываем все целые делители старшего коэффициента аn, q|an,q  Z
3)из чисел р и q сост.всевозможные дроби p/q.
4)каждую из дробей p/q проверяем(является ли она корнем). В результате все рац.корни
мног. f будут найдены.
Следствия: 1)целые корни целочисл.многочлена следует искать среди делителей
свободного члена.