Тогда для суммарных годовых затрат управления запасами

1
Модели управления запасами
2
Содержание:
Введение .............................................................................................................. 3
Глава 1.Общая схема и параметры управления запасами ....................... 6
Глава 2. Классическая модель расчета параметров заказа — EOQ
модель .................................................................................................................. 9
Глава 3. Простейшие модели управления запасами .................................. 14
3.1.Модель с постоянным размером заказа (двухбункерная система) .......... 15
3.2.Модель с постоянной периодичностью заказа........................................... 16
3.3.Модель с установленной периодичностью пополнения запаса до
постоянного уровня............................................................................................. 16
Глава 4. Детерминированные модели ........................................................... 19
4.1. Однопродуктовая статическая модель ....................................................... 19
4.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен ..................... 22
4.3. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями складских
помещений ........................................................................................................... 24
4.4. Однопродуктовая N-этапная динамическая модель ................................. 25
4.5. Частный случай убывающих или постоянных предельных затрат ........ 27
Глава 5. Нестационарные и стохастические модели управления
запасами .............................................................................................................. 29
Заключение ......................................................................................................... 32
Литература.......................................................................................................... 34
3
ВВЕДЕНИЕ
Управление
запасами
является
ключевой
активностью,
составляющей наиболее важную сферу менеджмента фирмы, т.е. точки
зрения трудоемкости, так и связанных с нею затрат. Запасы в том или
ином виде присутствуют на всем протяжении этических цепей и каналов,
иммобилизируя значительную часть основного капитала фирмы.
Запасы как экономическая категория играют важную роль в сферах
производства и обращения продукции.
По месту продукции в канале (цепи) и ее укрупнению можно
выделить запасы МР, НП, ГП, тары и возвратных отходов. С позиции
интегрального подхода по отношению к базисным активностям запасы
подразделяются на запасы МР в снабжении, производственные запасы
МР, НП и ГП, сбытовые (товарные) запасы ГП в системе дистрибьюции и
совокупные материальные запасы.
Запасы в снабжении — это МР, находящиеся в каналах (цепях) от
поставщиков до складов МР товаропроизводителя, предназначенные для
обеспечения производства ГП.
Производственные запасы — это запасы МР и НП, предназначенные для обеспечения выполнения производственного расписания в
пределах производственно-технологических подразделении фирмы.
Сбытовые (товарные) запасы — это запасы ГП, находящиеся на
складах ГП фирмы-производителя и в дистрибутивной сети и
предназначенные для удовлетворения спроса потребителей (продажи).
Снабженческие, производственные и сбытовые запасы составляют
совокупные материальные запасы фирмы, являющиеся объектом
оптимизации менеджмента с позиций общих издержек.
К специфическим складским запасам относятся запасы в процессе
грузопереработки без операции хранения (например, перевалка в одном
транспортном узле с одного вида транспорта на другой, консолидация,
сортировка и др.).
По функциональному назначению запасы подразделяются на
текущие, страховые (гарантийные), подготовительные и сезонные.
Текущий запас (часть запаса) — основная часть производственного
(сбытового) запаса, предназначенная для обеспечения непрерывности
процесса производства (сбыта) между двумя смежными поставками.
Страховой или гарантийный запас (часть запаса) предназначен для
элиминирования финансовых рисков, связанных с непредвиденными
колебаниями спроса на ГП, невыполнением договорных обязательств по
поставкам МР (нарушением сроков, объемов поставок, качества
поставляемых МР и т.п.), сбоями в производственно-технологических
циклах и другими непредвиденными обстоятельствами.
Подготовительный запас (часть запаса) — часть производственного
(сбытового) запаса, предназначенная для подготовки МР (ГП) к
производственному или личному потреблению. Наличие данною вида
4
запаса
вызвано
необходимостью
выполнения
определенных
логистических элементарных активностей по приемке, оформлению,
погрузке-разгрузке, дополнительной подготовке (растариванию, чистке,
рихтовке и т.п.) к потреблению.
Сезонные запасы — это запасы МР и ГП, создаваемые и
поддерживаемые при явно выраженных сезонных колебаниях спроса или
характера производства.
Запасы продвижения ГП формируются и поддерживаются в
дистрибутивных каналах для быстрой реакции на проводимую фирмой
маркетинговую политику продвижения товара на рынок, обычно сопровождаемую широкомасштабной рекламой в средствах массовой
информации. Эти запасы (чаще всего для товаров широкого потребления:
аудио- и видеотехники, табачных изделий и т.п.) должны удовлетворять
возможное резкое увеличение спроса на ГП фирмы.
Спекулятивные запасы обычно создаются фирмами для МР
(компонентов, полуфабрикатов) в целях защиты от возможного повышения цен на них или введения протекционистских квот или тарифов.
Типичным примером является закупка многими европейски ми и
американскими фирмами больших объемов дешевых электронных
компонентов (микросхем, блоков и т.п.) компьютеров, аудио- и
видеотехники в Японии, Корее, Сингапуре.
Устаревшие (неликвидные) запасы, как правило, образуются, когда
циклы в производстве и дистрибьюции не совпадают с жизненным
циклом товара (см. рис. 4.4). В этом случае морально устаревшие товары
не находят сбыта. Задачей менеджмента является предотвращение
возможности по явления таких запасов.
Запасы играют как положительную, так и отрицательную роль в
экономике в целом и отдельных организациях бизнеса. Положительная
роль запасов заключается в том, что они обеспечивают непрерывность
процесса производства и сбыта, являясь своеобразным буфером,
сглаживающим непредвиденные колебания спроса, сбои в поставках и
производственном процессе, повышают надежность логистического
менеджмента.
Негативной стороной запасов является то, что в них
замораживаются (иммобилизируются) значительные финансовые
ресурсы и объемы товарно-материальных ценностей, которые могли бы
быть использованы фирмой на другие цели, например, инвестиции в
технологии, маркетинг, повышение производительности труда и т.п.
Кроме того, большие уровни запасов ГП тормозят улучшение ее
качества, так как фирма, прежде всего, заинтересована в реализации до
инноваций в качество. И, наконец, наличие значительных запасов в
снабжении, производстве и сбыте препятствует внедрению интегральной
парадигмы и концепции затрат.
5
Основной проблемой управления запасами является согласование
(координация) зачастую противоположных идей различных сфер бизнеса
фирмы (маркетинга, производства финансов) по отношению к запасам.
Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать
запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью
удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или
бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного
функционирования практически любой организации необходимо
создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется
определять количество заказываемой продукции и сроки размещения
заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса
на весь рассматриваемый период времени или посредством создания
запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая
соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и
недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).
6
ГЛАВА 1.ОБЩАЯ СХЕМА И ПАРАМЕТРЫ УПРАВЛЕНИЯ
ЗАПАСАМИ
Совокупность правил, по которым принимаются
решения,
называются стратегией (моделью) управления запасами.. С практической
точки зрения наибольший интерес представляют оптимальные стратегии
управления запасами,. Наиболее часто в качестве критерия оптимизации
используется минимум издержек, связанных с управлением запасами,
хотя могут применяться и другие критерии, например, минимальное
время выполнения заказа, максимальная надежность поставки и т. д.
Модель управления запасами включает: выбор и обоснование
критерия оптимизации, расчет издержек управления запасами,
формулировку ограничений, моделирование спроса (расхода) и
пополнения запасов, расчет стратегии управления. В настоящее время
существует очень большое количество методов и моделей управления
запасами, являющихся предметом изучения одного из разделов
исследования операций — теории управления запасами1.
В самом общем случае модель управления запасами можно представить в виде схемы (рис. 1.).
Расход ГП со складов фирмы-производителя или дистрибутивной
сети (расход МР от поставщиков) определяется спросом (производственным потреблением). Для отслеживания спроса необходимо
реализовать некоторое правило выполнения заказов потребителей в
соответствии с заданной стратегией управления запасами. Регулирование
запасов при этом состоит в принятии решений о восполнении их уровня в
складской системе. Правило выполнения заказов указывает, каким
образом поставляется заказанная партия ГП (МР), в каком объеме
(партия поставки) и определяет величину интервала времени от момента
заказа до момента поставки продукции на склад.
1
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
7
заказы
поставщик
м………
(производитель) (гп)
пополнение
стратегия
управления
запасами
кладская …м………
система (ГП)
уровень
запаса
расход
спрос
потребитель
правило
выполнения
заказа
рис. 1 Схема управления запасами
Рассмотрим основные параметры управления запасами Нисходя из
общей схемы (рис. 1) Такими параметрами являются:
• параметры спроса (расхода): интенсивность спроса (), функция
спроса (t), временные характеристики дискретного спроса (интервалы
между смежными потреблениями);
• параметры заказов: величина заказа (qз ), момент заказа (tз,),
интервал времени между двумя смежными заказами (сз);
• параметры поставок: величина партии поставки (qn); момент
поставки (tn); интервал времени между двумя смежными поставками
(сз); время запаздывания поставки (выполнения заказа) (зп);
• уровень запаса на складе: текущий (Q), средний (Q), максимальный (Qmax) страховой (Остр).
Проиллюстрируем приведенные выше параметры управления
запасами на графике расходования и пополнения запасов (рис. 2) при
условиях детерминированных постоянных параметров и равномерного
спроса, а также при наличии страхового (гарантийного) запаса (Qстр).
График, приведенный на рис. 2, представляет собой идеализированную схему расходования и пополнения запасов ГП (МР) одного
вида, когда при  = const пополнение запаса происходит до его
максимального значения Qmax на складе.
Как только уровень запаса снижается до величины Qз, равной
запасу в точке заказа (tз), производится заказ на поставку в объеме qз
Через определенный заготовительный интервал времени
мгновенно происходит поставка, на величину партии, равная заказу Запас
в момент i (момент поставки) будет равен максимальному Этот процесс
8
повторяется через определенные промежутки време ни (циклы) между
заказами и поставками.
Среди огромного разнообразия методов и моделей управления
запасами на практике применяется достаточно ограниченное их
количество, в основном те модели, которые позволяют получить
относительно простые способы регулирования параметров заказа.
поставок и уровней запасов на складе, а также не требуют больших
объемов исходной информации и сложных методов контроля.
Основными признаками классификации являются: спрос (расход),
параметры пополнения запасов, издержки, связанные с формированием и
поддержанием запасов, ограничения и стратегия управления. Согласно
предлагаемой классификации различают детерминированные и
стохастические (вероятностные) модели управления запасами в
зависимости от действия случайных факторов на параметры системы
управления2. Если хотя бы один из параметров является случайной
величиной (процессом), то модель будет стохастической, в противном
случае — детерминированной.
Стратегия управления запасами; т. е. структура правила определения момента и объема заказа и пополнения запасов, обычно бывает
двух видов: периодическая и критических уровней.
рис.2. График расходования и пополнения запасов
(классическая модель)
В периодических стратегиях заказ производится в каждом периоде
t, в стратегиях с критическими уровнями — при снижении текущего
запаса до порога заказа Qз или ниже. Простейшие стратегии различаются
и по способу определения объема заказа: заказ либо имеет постоянный
объем qп либо делается до максимального уровня Qmax. Таким образом,
каждая из четырех простейших стратегий характеризуется двумя
параметрами: (t, q2 ), (t, Qmax ), (Qз , q2 ),(Qз,Qmax).
2
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
9
ГЛАВА 2. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА
ПАРАМЕТРОВ ЗАКАЗА — EOQ МОДЕЛЬ
Рассмотрим одну из классических и наиболее распространенных на
практике оптимизационных моделей управления запасами — модель
экономичного размера заказа (Economic order quantity — EOQ). Эта
модель предполагает следующие допущения:
• спрос (расход) является непрерывным, а интенсивность спроса  =
const;
• период между двумя смежными заказами (поставками) постоянен
( сз =  сп = const)
• спрос удовлетворяется полностью и мгновенно;
• транзитный и страховой запасы отсутствуют;
• емкость склада не ограничена;
• затраты на выполнение заказа (Сo) и цена поставляемой продукции в течение планового периода постоянные;
• затраты на поддержание запаса единицы продукции в течение
единицы времени постоянные и равны Ch,.
Критерием оптимизации размера заказа на пополнение запасов в
данной модели является минимум общих затрат на выполнение заказов и
поддержание запаса (МР, ГП) на складе в течение планового периода
(например, года)3. Составляющие суммарных затрат по-разному зависят
от размера заказа (величины партии поставки), что отражено на графиках
(рис. 3).
Затраты на выполнение заказа возрастают прямо пропорционально
размеру заказа, а затраты на поддержание запаса с увеличением его
размера падают, как это отражено на графиках. Суммарные годовые
затраты (с) имеют характерный вид вогнутой кривой, имеющей
минимум, что позволяет оптимизировать размер запаса.
Определим суммарные годовые затраты управления запасами (С).
Предположим, что годовая потребность в МР (спрос на ГП) равна D.
Тогда за год необходимо сделать D/q поставок на пополнение запаса, а
суммарные затраты на выполнение заказов будут равны Co=co х D/q
Затраты на поддержание запасов на складе в течение года можно
определить по формуле
Ch=chxQ
Где Q — средняя величина запаса, поддерживаемая на складе, ед.
Затраты сh, могут быть выражены в долях (или процентах) от стоимости
единицы продукции, тогда
Сh = с х i x Q,
где с — цена единицы продукции, хранимой на складе, ден. ед.;
i — доля от цены, приходящаяся на затраты по поддержанию
3
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
10
запасов. Средняя величина запаса Q при указанных выше
допущениях будет равна ½ q (рис. 4).
Тогда для суммарных годовых затрат управления запасами получим
С,=Со+Сh=сo х D/q +c х i x q/2.
Годовые затраты
общие затраты
затраты на поддержания запаса Сh
затраты на выполнение заказов Сп
ЕОQ
размер заказа(поставки) q
Рис. 3 Зависимость затрат от размера заказа (партии поставок)
Размещение заказа
Рис. 4. Классическая модель пополнения запасов
Оптимальный размер заказа q* (EOQ) будет соответствовать
минимуму суммарных затрат в точке, где dC / dq= 0
Важную роль в теории управления запасами, в частности в классической модели EOQ, играет определение момента заказа (tз) или гочки
заказа/перезаказа (Reorder point — ROP), т. е. достижение при
расходовании запаса со склада такого уровня (Qз), когда необходимо
делать заказ. Точка заказа может быть определена для классической
11
модели с использованием параметра  интенсивности спроса по формуле
ROP=Qз =  х  з2
Величина времени запаздывания поставки (tз) соответствует
будущему времени выполнения .цикла заказа (Order cycle lead time).
Необходимо отметить, что EOQ модель мало чувствительна в
определенных пределах к ошибкам в исходной информации или .
неточности прогнозирования спроса. Это объясняется пологим
характером (малой кривизной) графика общих затрат в области оптимального размера заказа. В некоторых случаях нельзя пренебрегать
временем пополнения запаса от момента tп начала поставки, в течение
которого производится определенный объем продукции. В этом случае
базовая EOQ модель преобразуется в так называемую модель
производственного размера заказа (Production order quantity — POQ.
В тех случаях, когда время транспортировки заказа на склад
занимает большую часть времени его выполнения (tз2,) и сопоставимо с
циклом пополнения запаса необходимо учитывать затраты, связанные с
запасом в пути (Inventory in transit costs). Классическая EOQ модель не
учитывает эти затраты, предполагая, что они входят в цену продукции по
базисным условиям поставки F.O.B. Рассмотрим модернизированную
EOQ модель, учитывающую затраты на запасы в пути с целью
возможного выбора способа доставки из нескольких видов транспорта.
Схема, иллюстрирующая этот случай, приведена на рис. 5
Введем следующие обозначения:
с, — затраты, связанные с запасом в пути;
т„ — время в пути;
Q, — средняя величина запаса в пути.
Тогда среднюю величину запаса в пути можно определить по
Формуле
Q1=  п / сз х q
(1)
С учетом приведенных выше обозначений и формулы (1) суммарные затраты управления запасами будут равны
С = сo х D/ q + c x i х q/2 + с. х  2 / сз х q.
(2)
Если по аналогии с затратами Сh представить затраты С1 в долях j
от цены единицы товара, то формула (2) примет вид
С = сo х D/q + с х i х q/2 + t2/tсз х с х j х q. (3)
В большинстве случаев с увеличением величины партии подставки продукции на склад транспортная составляющая на один заказ
снижается, также как и затраты, связанные с поддержанием запаса в
пути. Однако такое снижение указанных затрат происходит не плавно, а
скачкообразно в соответствии с транзитной нормой отправки (carload,
truckload shipment). Как правило, если заказ соответствует транзитной
норме отправки транспортом общего пользования или иным
перевозчиком, транспортный тариф минимальный, а доставка продукции
12
осуществляется быстрее.
В этом случае графики изменения общих
затрат при определении экономичного размера заказа будут иметь вид,
представленный на рис. 5
Рис.5. Графики изменения затрат при определении EOQ с
учетом размера отправки груза
На графиках показано изменение затрат при достижении размером
заказа величины транзитной нормы грузовой отправки. В этом случае
общие затраты Cs складываются из затрат на поддержание запаса на
складе (Сh), затрат на выполнение заказа (Co), затрат, связанных с
запасом в пути (Сi) и транспортных расходов (Сv).
Затраты Сv и Сt, уменьшаются скачком, когда заказ становится
равным величине транзитной грузовой нормы отправки. В этом случае
общие затраты могут достигнуть минимума, например в точке q*, не
совпадающей с EOQ = q*.
Величина суммарных затрат, связанных с определением оптимального размера заказа, может быть рассчитана по формулам:
С = с х D/q * + с х i х q */2 + сi х t /сз х q * + p x D
Классическая EOQ модель является идеализированной схемой,
иллюстрирующей процесс управления запасами (оптимизации) при
полностью детерминированных параметрах. На практике постоянно
приходится сталкиваться с различными ситуациями, вызывающими
неопределенность параметров спроса, заказа и поставок. Эта
неопределенность объясняется как самой стохастической природой
некоторых параметров, например, интенсивности спроса/расхода, так и
влиянием различных рисков.
На рис. проиллюстрировано влияние неопределенности спроса(расхода) на параметры управления запасами. Если предположить, что
параметры управления запасами ROP, = EOQ, tсз были определены для
классической модели при-средней интенсивности спроса , а реальный
спрос является случайной величиной, распределенной по нормальному
13
закону, то плотность распределения величины ROP будет иметь вид,
представленный на рис..
На графике (рис.7) показано, что разброс возможных значений Qз
вокруг среднего Qз = ROP для нормального распределения ;
вероятностью  = 0,97 укладывается в диапазон (ROP — 3, ROP -3, ) —
по правилу «шесть сигм».
Рис. 6. Возникновение ситуации дефицита при неопределенном
спросе
Для элиминирования возможности возникновения дефицита
создают страхов (гарантийные) запасы.. Определение величины Qстр,
страхового запаса производится обычно на основе элементарных методов
математической статистики4. Тогда для модели EOQ величина точки
заказа будет равна
ROP = Q+ Qстр,
4
Экономико- математическое моделирование. Учебное пособие.М.,2002.
14
ГЛАВА 3. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
ЗАПАСАМИ
Периодическая модель с предельным верхним уровнем запаса (,
Qmax) является более гибкой и быстро реагирует на изменение спроса.
Модели с периодическим пополнением имеют общий недостаток
— нерегулируемую частоту заказов. В системах дистрибьюции это
вызывает
дополнительные
транспортно-заготовительные
и
административно-управленческие расходы после периодов с низким
спросом и увеличивают вероятность невыполнения заказов при высоком
спросе5.
Модель с критическим уровнем (Q , q ) реагирует на спрос более
медленно, чем система (, Qmax), так как спрос с момента последней
поставки до перехода критического уровня накапливается, не вызывая
реакции системы.
Система двух уровней (Qз, Qmax) является наиболее гибкой по
отношению к спросу и позволяет поддерживать относительное постоянство запаса вблизи критического уровня при достаточно редких
поставках. В практическом использовании она сложнее, чем (Q.з qп)Употребительным частным случаем стратегии (Qз, Qmax) является
модель Qmax-Qp=1 (при дискретном спросе). Здесь заказ производится
после получения каждого очередного требования. Такой вариант
представляется разумным при пополнении запасов товаров единичного
(мелкосерийного) производства или специализированной продукции.
При поступлении требований в дискретные моменты времени нет
смысла контролировать вместе с Qз остаток после удовлетворения
каждого требования. Учет этого обстоятельства позволяет считать, что
для одного товара задача управления запасами оптимальна при
использовании стратегии (Qз, Qmax).
На рис. 7 приведена графическая интерпретация модели двух
уровней (Qз, Qmax).
В системе двух уровней (Qз, Qmax) , которую часто в зарубежной
литературе называют «системой (s, S)», уровень запаса проверяется
только в конце каждого постоянного промежутка времени между
смежными заказами, но сам заказ делается лишь в том случае, если
уровень запаса равен или ниже некоторого заданного уровня Qз. Размер
заказа определяется как разность между максимальным и фактическим
уровнем запаса в точке заказа, т.е.
qз = Qmax-Qфакт
В системе (Qз, Qmax) необходимо заранее определить параметры
Qз,Qmax,
tсз которые являются постоянными. Размер заказа qз —
переменная величина.
5
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
15
3.1. Модель с постоянным размером заказа (двухбункерная
система)
Предусматривает пополнение запаса каждый раз на одну и ту же
фиксированную величину, причем заказ на нее производится в момент,
когда наличие запаса на складе снижается до определенного заданного
уровня.
При неравномерном (случайном) спросе моменты заказов возникают через неравные промежутки времени (рис. 8.
Из рисунка видно, что запас условно разделен на два бункера Q1
Q2. Из первого бункера от уровня Q1, + Q2 запас расходуется для
удовлетворения потребностей в течение периода между последней
доставкой и моментом заказа tз. Из второго бункера запас (Q2,)
расходуется от момента заказа до момента очередной поставки, т.е. на
время выполнения заказа tз, которое является постоянной величиной (
з2= const). Запас второго бункера должен быть достаточным для
удовлетворения спроса за время выполнения заказа и может включать (в
случае необходимости) страховой запас.
Рис. 7. Модель с двумя установленными уровнями без постоянной
периодичности заказа — система (s, S)
Рис. 8. График пополнения и расходования запаса в двухбункерной
системе с постоянным размером заказа
16
В такой системе необходимо определить, какими должны быть
параметры qз и размер запаса второго бункера Q2 = ROP.
Размер второго бункера должен удовлетворять потребности в
материале в течение периода6.
Учитывая, что в данной схеме ( з2= const, величина запаса Q2
может быть определена по формуле Q2=Qстр+ х 
где Qстр - величина страхового запаса;
А, —- средняя интенсивность расхода (спроса) МР (ГП). Для двух
бункерной системы величины Q2 и qз (q2) — постоянные.
Такая система пополнения запасов может применяться в том
случае, если ведется регулярный (ежедневный) контроль за уровнем
запасов на складе и имеется возможность заказывать и получать поставки
в любое время, а также относительно точно может быть установлена
потребность в продукции за время выполнения заказа.
3.2. Модель с постоянной периодичностью заказа
Заказ повторяется через равные промежутки времени. В момент
заказа проверяется наличие запаса на складе, размер заказа равен
разности между фиксированным необходимым (максимальным) запасом
и его фактическим наличием, т.е.
qз= Qmax-Qфакт
Таким образом qз является переменной величиной ( рис. 9). В
данной модели определению подлежит уровень максимального запаса и
период между двумя смежными поставками. Максимальный уровень
запаса в системе должен быть равен
Qmax=qз+ Qстр
а величина периода между смежными заказами (tсз)
 сз= qз /
Величины Qmax и tсз являются постоянными. Применение данной
модели целесообразно при установлении регулярных сроков поставки и
возможности запасать продукцию в любом количестве.
Достоинством системы является то, что при ней не нужно вести
регулярный (ежедневный) учет наличия запасов на складе, а лишь к
моменту, когда подходит время заказа. Это сокращает трудоемкость
учета.
3.3. Модель с установленной периодичностью пополнения
запаса до постоянного уровня
Эта модель объединяет принципы управления запасами для двух
предыдущих систем.
Заказ делается через равные промежутки времени, однако в том
случае, если фактический остаток на складе снизится до уровня второго
6
Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.
17
бункера, т.е. станет равен Q2 то делается внеочередной заказ. Размер
заказа равен разности между максимальным заказом и фактическим
наличием запаса на момент заказа, т.е.
qз= Qmax-Qфакт
или между максимальным запасом и запасом в точке заказа, т.е.
qз= Qmax-Qз
Рис. 9. График пополнения и расходования запаса в системе с
постоянной периодичностью
Графически этот случай изображен на рис. 10.
Управляющими параметрами, которые здесь нужно определить,
являются период между двумя смежными заказами и максимальный
размер запаса. Все эти параметры будут постоянными, а объем заказа —
переменной величиной.
Применение системы целесообразно при значительных изменениях
в потребности МР, ГП (колебаниях расхода) и необходимости исключить
возможность их нехватки до наступления срока очередной поставки.
Реализация этой модели требует оперативного (ежедневного) контроля
наличия запасов на складе.
Все системы пополнения запасов связаны с определенным порядком контроля их фактического уровня на складах, что часто требует
затрат финансовых, трудовых и информационных ресурсов, особенно для
многономенклатурных (многоассортиментных) запасов. Однако обычно
из общего числа наименований наибольшая стоимость запаса (или
основная доля затрат на управление ими) падает на относительно
небольшое их количество.
18
Рис. 10. График пополнения и расходования запаса в системе с
установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного
уровня
19
ГЛАВА 4. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ
Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления
запасами, которая учитывала бы все разновидности условий,
наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить
достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически
разрешимой7. Представление в этом разделе модели соответствуют
некоторым системам запасами. Маловероятно, что эти модели могут
точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью
различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления
запасами.
4.1. Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуются
постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и
отсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих
типичных ситуациях:
Использование осветительных ламп в здании;
Использование таких канцелярских товаров, как бумага, блокноты
и карандаши, крупной фирмой;
Использование некоторых промышленных изделий, таких, как
гайки и болты;
Потребление основных продуктов питания (например, хлеба и
молока).
На рисунке 11 показано изменение уровня запаса во времени.
Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна .
Наивысшего уровня запас достигается в момент поставки заказа
размером у (предполагается, что запаздывание поставки является
заданной константой.) Уровень запаса достигает нуля спустя у/ единиц
времени после получения заказа размером у.
Уровень
запаса
Моменты поставки заказов
Средний уровень
запаса = у/2
t0=y/
Время
Рисунок 11. Изменение уровня запаса во времени
7
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
20
Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать новые
заказы. С другой стороны, с увеличением размера заказа уровень запаса
повышается, но заказы размещаются реже (рисунок 12). Так как затраты
зависят от частоты размещения заказов и объема хранимого запаса, то
величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности
между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения
соответствующей модели управления запасами.
Низкая частота
Размещения заказов
Уровень
запаса
Высокая частота
Размещения заказов
Время
Рисунок 12. Уровень запаса
Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий
раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение
единицы заказа в единицу времени равны h следовательно, суммарные
затраты в единицу времени TCU(y) как функцию от у можно представить
в виде:
TCU(y) = Затраты на оформление заказа в единицу времени
+ Затраты на хранение запасов в единицу времени =
=
K
 y
 h  .
y
2

Как видно из рисунка 11, продолжительность цикла движения
заказа составляет t0=y/ и средний уровень запаса равен y/2.
Оптимальное значение у получается в результате минимизации
TCU(y) по у. Таким образов, в предположении, что у – непрерывная
переменная, имеем:
откуда
TCU ( y )
K h
  2   0,
y
2
y
оптимальное
выражением: y * 
значение
размера
заказа
определяется
2 K
.
h
(Можно доказать, что y*доставляет минимум TCU(y), показав, что
вторая производная в точке у* строго положительна). Полученное выше
выражение для размера заказа обычно называют формулой экономичного
размера заказа Уилсона.
21
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у* единиц
продукции через каждые t0*=y*/ единиц времени. Оптимальные затраты
TCU(y*),
полученные
путем
непосредственной
подстановки
составляют 2Kh .
Для
большинства
реальных
ситуаций
существует
(положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от
момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия
размещения заказов в приведенной модели должна определять точку
возобновления заказа. Рисунок 13 иллюстрирует случай, когда точка
возобновления заказа должна опережать на L единиц времени
ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно
просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через
уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На
практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до
момента достижения очередной очки возобновления заказа. Возможно,
по этой причине модель экономичного размера заказа иногда называют
моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить,
что с точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок
выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности
цикла t0* .
Уровень
запаса
Точки возобновления заказов
Время
L
L
Рисунок 13. Точка возобновления заказа
Принятые в рассмотренной выше модели допущения могут не
соответствовать некоторым реальным условиям в следствие вероятстного
характера спроса. На практике получил распространение приближенный
метод, сохраняющий простоту модели экономичного размера заказа и в
то же время в какой-то мере учитывающий вероятностный характер
спроса. Идея метода чрезвычайно проста. Она предусматривает создание
некоторого (постоянного) буферного запаса на всем горизонте
планирования. Размер резерва определяется таким образом, чтобы
вероятность истощения запаса в течение периоды выполнения заказа L не
превышало наперед заданной величины. Предположим, что f(x) –
22
плотность распределения вероятностей спроса в течение этого срока.
Далее предположим, что вероятность истощения запаса в течение
периода L не должна превышать . Тогда размер резервного запаса B
определяется из условия: Px  B  L    , где L представляет собой
потребление в течение времени L. Изменение запаса при наличии резерва
показано на рисунке 14.
Уровень
запаса
Точки возобновления заказов
B+y*
B+L
B
Резервный запас
L
Время
L
Рисунок 14. Изменение запаса при наличии резерва
4.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен
В моделях предыдущего полраздела не учитывается удельные
затраты на приобретение товара, т.к. они постоянны и не влияют на
уровень запаса. Однако не редко цена единицы продукции зависит от
размера закупаемой партии. В таких случаях цены меняются
скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в модели
управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.
Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным
пополнением запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена
единицы продукции равна с1 при y<q и равна с2 при y>=q, где с1>c2 и q –
размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда
суммарные затраты за цикл помимо издержек оформления заказа и
хранения запаса должны включать издержки приобретения.
Суммарные затраты на единицу времени при y<q равны
TCU 1  y   c1 
K h
 y.
y
2
При y>=q эти затраты составляют
TCU 2  y   c 2 
K h
 y.
y
2
Графики этих двух функций приведены на рисунке 15. Пренебрегая
влиянием снижения цен, обозначим через ym размер заказа, при котором
23
достигается минимум величин TCU1 и TCU2. Тогда y m  2 K h . Из вида
функции затрат TCU1 и TCU2, приведенных рисунке 15 следует, что
оптимальный размер заказа y* зависит от того, где по отношению к трем
показанным на рисунке зонам I, II и III находится точка разрыва цены q.
Эти зоны находятся в результате определения q1(>ym) из уравнения
TCU1(ym)=TCU2(q1).
Затраты
TCU1
TCU2
I
II
ym
III
у
Рисунок 15. Графики функций TCU1 и TCU2
Так как значение ym известно (= 2 K h ), то решение уравнения
дает значение величины q1. Тогда зоны определяются следующим
образом:
Зона I: 0<=q<ym,
Зона II: ym<=q<q1,
Зона III: q>=q1.
Приведено решение уравнения для рассматриваемого случая,
зависящее от того, где находится q по отношению к зонам I, II и III. В
результате оптимальный размер заказа y* определяется следующим
образом:
 y m , если 0  q  y m ( зона I ),

y  q, если y m  q  q1 ( зона II ),
 y , если q  q
( зона III ).
1
 m
*
1.
лгоритм определения y* можно представить в следующем виде:
2.
пределить ym= 2 K h . Если q<ym (зона I), то y*=ym и алгоритм закончен.
В противном случае перейти к шагу 2.
3Определить q1 из уравнения TCU1(ym)=TCU2(q1) и установить, где
по отношению к зонам II и III находится значение q.
а. Если ym<=q<=q1 (зона II), то y*=q.
б. Если q>=q1 (зона III), то y*=ym.
А
О
24
4.3. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями
складских помещений
Эта модель предназначена для систем управления запасами,
включающие n(>1) видов продукции, которая хранится на одном складе
ограниченной площади8. Данное условие определяет взаимосвязь между
различными видами продукции может быть включено в модель как
ограничение.
Пусть А – максимально допустимая площадь складского
помещения для n видов продукции; предположим, что площадь,
необходимая для хранения единицы продукции i-го вида, то ограничение
на потребность в складском помещении принимают вид
n
a y
i 1
i
i
 A.
Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется
мгновенно и скидки цен отсутствуют. Предположим далее, что дефицит
не допускается. Пусть i, Ki и hi – интенсивность спроса, затраты на
оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу
времени для i-го вида продукции соответственно. Общие затраты по
продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае
эквивалентной
однопродуктовой
модели.
Таким
образом,
рассматриваемая
задача
имеет
вид
минимизировать
n
K 
hy 
TCU ( y,....., y n )    i i  i i 
2 
i 1  y i
при
n
a y
i 1
i
i
 A,
y i  0 для всех i.
Общее решение этой задачи находится методом множителей
Лагранжа. Однако, прежде чем применять этот метод, необходимо
установить, действуют ли указанное ограничение, проверив
выполнимость ограничений на площадь склада для решения y i* 
2K i  i
hi
неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно
избыточно, и им можно пренебречь.
Ограничение действует, если оно не выполняется для значений y i* .
В таком случае нужно найти новое оптимальное значение yi,
удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства.
Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида
hy 
 n
 n K 
 n

L , y1 , y 2 , , y n   TCU  y1 , , y n      ai y i  A     i i  i i      ai y i  A  ,
2 
 i 1
 i 1  y i
 i 1

где
(<0) – множитель Лагранжа.
Оптимальные значения yi и  можно найти, приравняв нулю
соответствующие частные производные, что дает
K
h
L
  i 2 i  i  ai  0 ,
y i
2
yi
8
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
25
n
L
  a i y i  A  0 .

i 1
Из второго уравнения следует, что значение y i* должно
удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из
первого уравнения следует, что y i* 
2K i  i
hi  2* a i
.
Заметим, что y i* зависит от оптимального значения * множителя .
Кроме того, при *=0 значение y i* является решением задачи без
ограничения.
Значение * можно найти методом систематических проб и
ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче
минимизации <0, то при последовательной проверке отрицательных
значений  найденное значение * будет одновременно определять
значения y*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде
равенства. Таким образом, в результате определения * автоматически
получаются значения y* .
4.4. Однопродуктовая N-этапная динамическая модель
В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно
известен, он может изменяться от этапа к этапу. Уровень запаса
контролируется периодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное
фиксированным числом периодов) допустима, в модели предполагается,
что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец,
дефицит не допускается.
Построение динамической детерминированной модели сводится к
конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения
числового решения соответствующих задач требуется использование
метода динамического программирования, который в данном случае
можно практически применять только при конечном числе этапов
(шагов). Однако это не является серьёзным препятствием, т.к. спрос в
отдалённом будущем обычно не оказывает существенное влияние на
решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонта
времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что
продукция будет храниться в запасе бесконечно.
Определим для этапа i, i=1, 2, . . . , N, следующие величины:
zi – количество заказанной продукции (размер заказа),
i – потребность в продукции (спрос),
xi – исходный запас (на начало этапа i),
hi – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа i в
этап i+1,
Ki – затраты на оформление заказа,
26
ci(zi) – функция предельных затрат, связанных с закупкой
(производством) при заданном значении zi.
0, z i  0,
.
1, z i  0
Пусть Ci z i    i K i  ci z i  , где  i  
Функция ci(zi) представляет интерес только тогда, когда затраты на
покупку единицы продукции изменяются во времени или существуют
разрывы цены.
Так как дефицит не допускается, то требуется найти оптимальное
значения zi, минимизирующие общие затраты на оформление заказов,
закупку и хранение по всем N этапам. Затраты на хранение
предполагаются пропорциональными величине xi 1  xi  z i   i , которая
представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i+1. В
результате затраты на хранение на этапе i равны hixi+1. Это
предположение вводится исключительно с целью упрощения, т.к. модель
легко можно обобщить на случай произвольной функции затрат Hi(xi+1),
заменив hixi+1 на Hi(xi+1). Аналогично для оценивания затрат на хранение
можно воспользоваться величинами xi или (xi+xi+1)/2.
Построение модели динамического программирования упрощается,
если представить задачу схематически. Каждый этап соответствует
одному шагу. Используя обратное рекуррентное уравнение, определим
состояние системы на шаге i как объем исходного запаса xi. Пусть fi(xi) –
минимальные общие затраты на этапах i, i+1, … , N. Рекуррентное
уравнение
имеет
вид
f N x N  
f i xi  
min
C N z N ,
z N  x N  N , z N  0
min
Ci z i   hi xi  z i   i  
 i  xi  zi  i  N , zi  0
f i 1 x i  z i   i ,
i  1, 2,  , N  1.
Прямое рекуррентное уравнение можно получить, определив
состояние на шаге i как объем запаса на конец этапа i. Эти состояния
заданы величинами xi+1. На любом шаге на величины xi+1 наложены
следующие ограничения: 0  xi 1   i 1     N .
Таким образом, в предельном случае объем заказанной продукции
zi на этапе i может быть настолько велик, что запас xi+1 удовлетворяет
спрос на всех последующих этапов.
Пусть fi(xi+1) – минимальные общие затраты на этапах 1, 2, … , N
при заданной величине запаса xi+1 на конец этапа i. Тогда рекуррентное
уравнение
записывается
в
виде
f 1 x 2   min
0  z1 1 x 2
f i x i 1  
min
C1 z i   h1 x 2 ,
0  z i  i  xi 1
C i z i   hi xi 1 
f i 1 x i 1   i  z i , i  2, 3,  , N .
Прямая и обратная постановка задачи с вычислительной точки
зрения эквивалентны. Однако прямой алгоритм наиболее эффективен при
анализе важного частного случая рассмотренной выше модели.
27
4.5. Частный случай убывающих или постоянных предельных
затрат
Рассмотренную модель динамического программирования можно
использовать при любых функциях затрат. Важным частным случаем
этой модели является такой, когда на этапе i как затраты на приобретение
(производства), так и затрат на хранение на единицу продукции является
постоянными или убывающими функциями xi и xi+1 соответственно. В
таких условиях предельные затраты постоянны или убывают. Типичные
примеры таких функций затрат приведены на рисунке 17. С
математической точки зрения эти функции являются вогнутыми9. Случай
(а) соответствует постоянным предельным затратам. Случай (б)
характерен для многих функций затрат на производство (или закупку),
когда независимо от объёма производства на оформление заказа
требуются затраты К. В этом случае предельные затраты постоянны, но
если при zi=q предоставляется скидка или происходит разрыв, то
предельные затраты при zi>q уменьшается. Случай (в) отражает общий
вид вогнутой функции.
Затраты
Затраты
Затраты
K
0
zi
(а)
0
q
zi
0
(б)
zi
(в)
Рисунок 17. Типичные примеры функций затрат
При указанных выше условиях можно доказать следующее:
При заданном исходном уровне запаса x1=0 на любом этапе Nэтапной модели оптимальным является положительное значение z i* или
положительный исходный запас x i* ; их произведение должно быть равно
0, т.е. z i* x i* =0.
Размер заказа z i* на любом этапе i оптимален только тогда, когда он
равен 0 или в точности соответствует спросу одного или более этапов.
Эти последующие этапы таковы, что если спрос на этапе i+m (<N)
удовлетворяется за счет z i* , то спрос на этапах i, i+1, …, i+m-1 также
должен удовлетворяться за счет z i* .
Из первого свойства теоремы следует, что на любом этапе i
нерационально пополнять запас и размещать заказ в одно и тоже время.
9
Экономико- математическое моделирование. Учебное пособие.М.,2002.
28
Так, предположим, что минимальные предельные затраты на
приобретение и хранение одной дополнительной единицы продукции из
предыдущего этапа i’ на рассматриваемом этапе i” (i’<i”) равны b’, тогда
как предельные затраты на размещение заказа на одну дополнительную
единицу в начале этапа i” составляют b”.
Если b”<=b’, то размер заказа на этапе i” можно увеличить,
полностью удовлетворив спрос на этапе i”, не повышая полных затрат
относительно условия, когда спрос удовлетворяется за счет запаса,
имеющегося на этапе i’. Этот результат объясняется тем, что предельные
затраты не возрастают. Следовательно, выполнение условия xi”zi”=0
обеспечивает решение, которое по меньшей мере не хуже любого
другого. С другой стороны, если b”>b’, то выгоднее увеличить размер
заказа на этапе i’, удовлетворив спрос на этапах i’ и i”, вследствие чего
размер заказа на этапе i” равен нулю. Этот вывод также следует из
условия не возрастания предельных затрат. Отсюда вытекает, что
условие xizi=0 не приводит к какому-либо ухудшению решения при
условии, что предельные затраты постоянны или убывают, а исходный
запас равен нулю. Второе свойство, в соответствии с которым требуется
размещение заказа, покрывающего спрос одного или нескольких этапов,
непосредственно вытекает из первого свойства.
Описанные выше свойства (в случае их применимости) позволяют
упростить вычислительную схему, в основе которой по-прежнему лежат
изложенные ранее общие алгоритмы динамического программирования.
Это утверждение поясняется на примере использования алгоритма
прямой прогонки.
Так как в соответствии со вторым свойством объем запаса к концу
этапа i, т.е. xi+1, должен в точности соответствовать потребностям одного
или более последующих этапов, то число оценок состояния системы на
любом этапе определяются числом последующих этапов (а не
количеством единиц продукции, требуемой на последующих этапах, как
это имеет место в обычной модели). Например, пусть N=5 при спросе 10,
15, 20, 50 и 70 соответственно. Тогда к концу третьего этапа (шага) число
оценок состояния x4 в обычной модели будет 50+70+1=121, тогда как в
новой модели оно сокращается до трёх (оставшееся число этапов плюс
один), т.к. x4 может принимать только значения 0, 50 или 120.
Аналогичное рассуждение, основанное на первом свойстве, также
показывает, что число альтернатив zi в новой модели намного меньше. В
результате объем вычислений для этой модели весьма существенно
сокращается.
29
ГЛАВА 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
В тех случаях, когда нельзя пренебрегать нестационарностью или
стохастичностью отдельных параметров, применяются более сложные
методы и модели управления запасами.
Рассмотрим нестационарную модель оптимизации параметров
управления запасами материальных ресурсов10.
Зафиксируем последовательность возможных моментов tn ,(п = 1,
N ) получения поставок МР в течение планового периода Т.
Величины: An =tn + 1 — tn
n = 1, N; t n+1 = Т назовем
длительностя ми п-го этапа (цикла). Спрос за этап «n» равен
tn +1
a (n)= ∫  (t) dt
tn
где a(t) — функция расхода (спроса) МР. Если обозначить объем
наличного запаса МР в момент, непосредственно предшествующий tn
через Q(n), то издержки на поддержание запаса Сh за этап n выражаются
через эту величину и объем поставок qn (n) в виде
t n+1 t
Сh( n) = Сh(n)Δn х Q(n + 1) + Сh(n) ∫ dt ∫ ((t)-  () d
tn
tn
где Q(n+l) = Q(n) + q2(n) + d(n).
Таким образом, суммарные издержки за плановый период Т
будут равны
N


С = {Ch (n)+Co(n)x 1[q(n)]},
n=1
1, при q2 >0
где 1 ( qn)= 0, при q2 = 0
Затраты С за вычетом постоянных слагаемых можно записать в
виде
N
С ={Ch(n)Q(n+l)+Co(n)xl[q(n)]}, где
п=1

Сh = Ch (n) x Dn
Функция С принимается в качестве целевой функции оптимизации
управления запасами (поставками) МР для внутрипроизводственной
системы, которую следует минимизировать выбором объемов поставок

10
Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.
30
q2 (n), n = 1N, с учетом следующих ограничений:
1) Q(l) - задано; Q(n + 1) = Q(n) + q2(n) - а(п);

2) q2 (n) i 0; n = 1, N
3) Q(n) i 0; n = 2, .... N+l.
При оптимизации управления запасами МР или ГП в дистрибутивной сети часто возникает задача распределения продукции по
нескольким уровням складского хранения. В этом случае задача может
сформулирована следующим образом:определить оптимальные по
периодам планирования поставки МР (ГП) потребителям, минимизировав
суммарные затраты, связанные с заказами и поддержанием запасов при
ограничении на величину поставок.
Для решения данной задачи можно использовать алгоритм оптимизации, основанный на применении аппарата марковских цепей и
метода динамического программирования. Предположим, что снабжение
МР потребителя осуществляется по двухуровневой схеме: с
распределительного центра (базы) завода-изготовителя МР и склада
дилера, что часто встречается на практике. Назовем распределительный
центр поставщиком №1, склад дилера — поставщиком №2. Состояние
потребителя МР зададим вектором ni=(n1i, n2i, n3i), компоненты которого
соответственно представляет собой: n1i, — суммарная потребность в МР
i-ro наименования; n2i — поставка МР i-ro наименования от первого
поставщика; n3i — доставка МР от второго поставщика.
Период планирования Т поставок МР i-ro вида разобьем на k
интервалов (k = 1, ..., М).
Предположим, что на k-м шаге состояние потребителя МР i-ro вида
описывается вероятностью перехода Рnimi, из состояния ni=(n1i, n2i, n3i ) в
состояние mi=(m1i, m2i, m3i )а расходы, соответствующие этому переходу,
обозначим через Cnimi
Введем обозначения:
fk(x) = P {ζk = х} — распределение случайной величины ζk —
потребности в МР i-ro вида;
pk(u/uk) = Р { ηk = u/uk} — условное распределение случайной ветчины поставки hk с базы первого поставщика;
qk (υ /υk ) = P{ χk = υ /υk }-условное распределение случайной величины поставки χk со склада второго поставщика.
Стохастический характер поставок ηk χk по периодам планирования
(k = 1,М) определяется например, неритмичностью производства МР,
перебоями в доставке и целым рядом других причин.
Потребность ζk в МР i-ro наименования на k-й период
планирования может быть определена по данным прогноза (точечная или
Интервальная оценка,). Интервальная оценка потребнобности в МР
позволяет, задавшись определенной доверительной вероятностью,
перевести ζk в нерандомизированную (неслучайную) компоненту,
31
понизив тем самым размерность марковского процесса. Тогда состояние
будет характеризоваться двумерным вектором ni=( n2i, n3i ).
Состав затрат, формирующих критерий оптимизации при
использовании обозначений будет следующим:
С02i, С03i — затраты на заказы МР i-ro вида при поставках с баз
первого и второго поставщика соответственно;
Сhi — удельные затраты хранения МР i-ro вида на складе в течение
одного промежутка времени между двумя последовательными
поставками;
CДсфi — Удельный ущерб потребителя вследствие дефицита МР i-го
вида за это же время.
Для решения задачи оптимального управления поставками МР i го вида введем следующие допущения и ограничения:
— случайные величины ηk и χk независимы;
— суммарный объем поставок за период (0, Т) ограничен и равен
Wо (при uk ≥ 0, uk ≥ O);
— приращение поставок МР i-го вида с базы второго поставщика
по интервалам планируемого периода равно υk = lkVo , lk= 0, 1, 2, ...
Используя введенные обозначения, определим вероятность Рnimi
перехода процесса из состояния ni в состояние mi и суммарные расходы
Cnimi сопутствующие этому переходу (при условии, что Сn =СnC+Cnv
Pnimi. = pk(m2i - n2i / uk)qk(m3i - n3i / uk );
М
c
Сnimi =Cni + Со2i.(m2i, - n2i) + Сo3i (mзi – n3i) +CДеф i (  ij -m2i –
J=k
М
v
m3i) mi (k) +Сhi (mзi + m3i -  wij )( 1- mi (k))
32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, как видно из данной работы разработаны самые
разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним
из решающих факторов при разработке модели управления запасами
является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается,
что спрос является статическим детерминированным.
В большинстве моделей управление запасами осуществляется
оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление
заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита.
Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут
быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например,
ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на
оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи
расходов существенно усложняет математическое описание задачи.
Известные модели управления запасами редко точно описывают
реальную систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей
этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы,
а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится
прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы
получить достаточно надежное решение.
Таким образом, для моделирования эффективной системы
управления запасами
материальных
ресурсов необходимо
разработать
нормы запасов данных
материалов,
используя
эвристические,
методы
технико-экономических
расчетов
и
экономикоматематические методы.
Важным шагом разработки системы управления запасами должно
стать проектирование системы контроля уровня запасов. При этом,
опираясь на широкий выбор теоретических моделей, менеджерам
необходимо проектировать оригинальные варианты таких моделей,
которые бы учитывали особенности конкретного производства.
При помощи моделирования доказывается эффективность
применяемых мер внутри производства или производственной
программы, поскольку могут быть измерены периоды прохода продукта
через всю технологическую линию. При помощи моделирования можно
также проверить проекты гибких производственных участков,
обслуживаемых автоматическими транспортными средствами, оценить
затраты на материально-техническое снабжение производства.
Проектирование складов с применением компьютера дает возможности
получить информацию об их оптимальной системе, величине
необходимых капиталовложений и затратах на эксплуатацию складов.
Фирмы часто используют математические модели для выбора уровней
запасов путем балансирования затрат на подготовительные операции или
расходов на выполнение заказа и сопоставления затрат при дефиците
запасов с затратами на хранение запасов. Затраты на хранение запасов
33
включают в себя не только затраты на содержание запасов на складе,
издержки вследствие порчи продукции, а стоимость морального износа,
но и издержки капитала, иными словами, норму прибыли, которую
можно было бы получить, используй другие возможности
инвестирования при эквивалентном риске.
34
Литература
1.
Гаджинский А.М. Основы логистики: Учебное пособие. М.:,1996.
2.
Дегтяренко В.Н. Основы маркетинга: Учебное пособие /
Ростов, 1992.
3.
Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003
№8
4.
Основы маркетинга:Учебник для вузов. М,2003.
5.
Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции.
Саратов, 1995.
6.
Экономико-математическое
моделирование. Учебное
пособие.М.,2002.