пространство соболева

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
математики, 4-ый курс
ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА
1. Операция усреднения в R^m, операция усреднения в ограниченной области,
плотность множества C^\infty_0(\Omega) в
L_p(\Omega), лемма
вариационного исчисления.
2. Производная по Соболеву, простейшие свойства (единственность,
линейность, связь с классической, связь с операцией усреднения), функция с
нулевыми производными порядка \alpha.
3. Пространство W^1_p(\Omega): линейность, норма, замкнутость оператора
соболевской производной, полнота, сепарабельность, рефлексивность.
4. Примеры: составная функция, особенность в точке, особенность на плотном
счетном множестве точек.
5. Пространство \overset\circ\to{W}^1_p(\Omega): определение, неравенство
Фридрихса, эквивалентная норма, финитные функции из пространства
W^1_p(\Omega).
6. Плотность гладких функций в пространстве W^1_p(\Omega): плотность в
строго внутренней подобласти, плотность в \Omega, плотность в \bar\Omega
при \partial\Omega\in C^1. Следствия: произведение функций из
пространства W^1_p(\Omega)\cap L_\infty(\Omega), суперпозиция функций
f\in C^1(R^1) и u\in W^1_p(\Omega), функция |u(x)|, u\in W^1_p(\Omega).
7. Пространство W^1_{\infty loc} (\Omega) и пространсство Lip_{loc}(\Omega).
8. Теорема о продолжении.
9. Теорема вложения \overset\circ\to W^1_p(\Omega) в C(\bar\Omega) при p>m
теорема вложения W^1_p(\Omega) в C(\bar\Omega)
при
p>m,
\partial\Omega\in C^1.
10. Теорема Реллиха: пространство \overset\circ\to W^1_p(\Omega) компактно
вкладывается в L_p(\Omega), пространство W^1_p(\Omega) компактно
вкладывается в L_p(\Omega) при \partial\Omega\in C^1.
11. Неравенство Соболева.
12. Ограниченночть оператора вложения пространства
\overset\circ\to
W^1_p(\Omega) в L_q(\Omega) при 1\le q\le p^*, мультипликативное
неравенство, компактность оператора вложения при 1\le q<p^*, случай
пространства W^1_p(\Omega), \partial\Omega\in C^1.
13. Теорема о следах: определение следа, непрерывность оператора вложения
пространства W^1_p(\Omega) в L_q(\partial\Omega), p<m, q\in[1,p^+],
компактность оператора следа при q\in[1,p^+), формула интегрирования по
частям для функций из пространства W^1_2(\Omega).
14. Теорема об эквивалентных нормировках, ее проиложения: неравенство
Фридрихса и неравенство Пуанкаре.
15. Пространство Соболева на отрезке: связь с абсолютно непрерывными
функциями, ограниченность оператора вложения пространства W^1_1(a,b) в
C[a,b], приложение к многомерному случаю.
16. Обзор результатов для пространства W^l_p(\Omega).
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
1. Классическое и обобщенное решения однородной задачи Дирихле,
энергетическое неравенство, фредгольмова разрешимость, теоремы
Фредгольма, вариационная постановка задачи Дирихле, метод Галеркина,
неоднородная задача Дирихле.
2. Третья краевая задача: классическая и обобщенная постановки,
энергетическое неравенство, фредгольмова разрешимость.
3. Собственные числа и собственные функции эллиптического оператора:
классическая и обобщенные постановки,
сведение к задаче о
характеристических числах для компактного самосопряженного оператора в
энергетическом пространстве, свойства собственных чисел для
эллиптического
оператора,
полнота
ортонормированной
системы
собственных функций в энергетическом пространсте и прстранстве
L_2(\Omega).
4. Гладкость обобщенного решения однородной зазадчи Дирихле: разностные
соотношения и соболевские производные, принадлежность обобщенного
решения пространству W^2_2_{loc}(\Omega), принадлежность обощенного
решения пространству W^2_2(\Omega) при \partial\Omega\in C^2, переход от
обобщенного решения к поточечному равенству при п.в. x\in\Omega.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1 Теорема существования решения вариационной задачи для слабо
полунепрерывного снизу коэрцитивного функционала в рефлексивном
банаховом пространстве.
2 Критерий слобой полунеперывности снизу интегрального функционала в
модельном случае: I[u]=\int_\Omega F(\nabla u)\,dx. Слабая сходимость и
сходимость функционала влечет сильную сходимость.
3 Критерий слабой полунепрерывности снизу в общем случае при наличии
гладкости интегранта. Критерий слабой полунепрерывности снизу для
непрерывности интегранта в одномерном случае.
4 Теорема существования глабального минимума у интегрального
функционала. Уравнение эйлера. Гладкость экстремали интегрального
функционала.
5 Вариационные задачи для векторнозначных функций: квазивыпуклость,
поливыпуклость, условия лежандра-Адамара.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
1 Вспомогательные функциональные пространства в цилиндре.
2 Уравнение теплопроводности: классическая и обобщенные постановки,
теорема единственности, метод Фурье.
3 Волновое уравнение: классическая и обобщенная постановки, теорема
единственности, метод Фурье.
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
1. Вариационный метод: квазилинейное эллиптическое уравнение, сведение
его обобщенной постановки к уравнению Эйлера, разрешимость, гладкость
решения.
2. Метод компактных операторов: теорема и принцип Лере-Шаудера,
приложение к одной нелинейной задаче, исследование стационарного
уравнения Навье-Стокса.
3. Метод верхних и нижних решений: построение итерационного процесса для
квазилинейного уравнения, его сходимость к решению.
4. Метод монотонности: теорема об однозначной разрешимости задачи с
сильно монотонным оператором, приложение к разрешимости уравнения в
частных производных.
5. Вариационные задачи теории упругости: постановка и разрешимость
классической и контактной задач теории упругости, постановка задачи о
фазовых переходах, функции ограниченной вариации и их свойства,
обобщение понятия площади, разрешимость вариационной задачи о фазовых
переходах.