Интегро – дифференциальное уравнение Эйлера – Пуассона В

Интегро – дифференциальное уравнение Эйлера – Пуассона
В этой теме будут рассмотрены некоторые из затронутых выше
вариационных задач более сложного типа. При исследовании этих задач мы,
как правило, ограничимся знакомством с простейшими условиями. В ходе
изложения мы опустим замечания, аналогичные тем, которые были сделаны
в связи с простейшей вариационной задачей. Отметим, что между
необходимыми и достаточными условиями для простейших задач и для тех,
которые будут изложены, имеется большое сходство, о котором уже
упоминалось, однако в некоторых вопросах имеются и существенные
различия. Часть этих вопросов будет разобрана в задачах, относительно
остальных ограничимся указанием литературы.
1. Вариационные задачи более высокого порядка.
1.1. Формулировка проблемы. Лемма Дюбуа—Реймона
Пусть:
а) n- данное натуральное;
б) Q ⊂ Rn+2 – данная область [точки Q обозначим через (x, y, y’,…, y(n))], T=
pr12...(n+1)Q;
в) F Є (R2n+2→R1) ∩ D1 (Q)– данная функция;
г) P1=(x1, y1, y1’, ... y1(n-1)), P2=(x2, y2, y2’, …, y2(n-1)) – две произвольные
фиксированные точки Т, для которых х1<х2.
Определим функционал v[y] следующим образом:
10. Функцию y Є R1→R1 назовем допустимой функцией (обозначение: y Є D1),
если:
i) y Є Dn (x1, x2],
ii) y(i) (x1)= y’1, y(i) (x2)= y’2 (i=0,…, n–1),
iii) (x, y (x), y’ (x),…, y(n)(x)) Є Q (x Є [x1, x2]).
20. Предполагая, что D1 не пусто, каждой функции y Є D1 поставим в
соответствие действительное число
(1)
(x, y(x), y(x),…, y(n)(x)) dx.
v [y]
Замечание 1. Если
n=1, то v[y] совпадает с функционалом,
рассмотренным ранее, поэтому дальнейшие результаты будут новыми только
в случае n
2.
2. В дальнейшем, если речь идет о вариационной задаче высокого порядка,
всегда подразумевается некоторый функционал, относящийся к только что
определенному типу в случае n
2.
Лемма. ( лемма Дюбуа–Реймона). Пусть n Є N, m Є (R1→ R1)∩ D [x1,
x2]. Предположим, что равенство
(x) ŋ(n) (x) dx=0
(2)
выполняется для любой функции ŋ, удовлетворяющей условиям
(3)
ŋ Є (R1→R1)∩ Dn [x1, x2]; ŋ(i) (x1)=ŋ(i) (x2)=0
(i=0,…, n–1).
Тогда существует такой многочлен pn-1 Є R1→R1 порядка не выше (n–1), что
в любой точке множества D m выполняется равенство m(x)=pn-1 (x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого многочлена pn–1 (x) с произвольными
коэффициентами ci Є R1(i=0,…, n–1) из равенства (2) и условии (3)
последовательным интегрированным по частям получаем равенство
(4)
(x)—(c0+c1x+…+cn–1xn–1)} ŋ(n)(x)dx=
ŋ(n)(x)dx=0.
2
(x)—pn–1(x)}
Пусть теперь p2n-1 Є R1→R1 — такой многочлен порядка не выше (2n–1),
который удовлетворяет условиям
(5)
(x1)=0,
(t0)dt0dt1 … dtn–i–1,
(x2)=
(i=0,1,…, n—1).
Из известной интерполяционной теоремы Эрмита следует, что существует
(ровно один) такой многочлен.
Рассмотрим теперь функцию
Є R1→R1, определённую в интервале
[x1, x2] следующим образом:
x tn 1
t1
x1 x1
x1
 ( x)  
 ...  m(t0 )dt0dt1...dtn1  p2n1( x).
Из этого определения и из (5) следует, что ƞ– удовлетворяет условиям (3).
Обозначим n-ю производную многочлена p2n-1 символом p-n-1. Тогда
непосредственно из определения ƞ- следует, что в каждой точке x ϵ Dm
выполняется равенство
(x)=m(x) — p-n-1(x).
(6)
Если положить в (4)
pn-1 = p-n-1
и
ƞ=ƞ- , то с учетом (6) равенство (4)
можно преобразовать так:
m(x) — p-n-1(x)]2dx=0.
В этом равенстве подынтегральная функция неотрицательна и принадлежит
D[ x1, x2 ] , поэтому в любой точке x ϵ Dm она обращается в нуль , т.е.
выполняется равенство m(x) = p-n-1(x). Лемма 1 доказана.
1.2. Интегро – дифференциальное уравнение Эйлера – Пуассона
Определение 1. Будем говорить , что функционал v[y] на функции
y0 ϵ D1
достигает слабого [сильного] локального минимума (другими
словами: у0 доставляет слабый [сильный] локальный минимум функционалу
v[y] ) , если у функции y0 существует такая окрестность K (1) ( y0 ) первого
3
порядка [окрестность К(y0) нулевого порядка], что для любой функции
y  K (1) ( y0 )  Dv [ y  K ( y0 )  Dv ] выполняется неравенство v[ y ]  v[ y0 ].
 0 , 1 ,...,  n  ( R n  2  R1 )  D1 (Q )  данные
Определение 2. Пусть
функции,
p  R1  R1
а
данный
многочлен.
Будем
говорить,
что
функция y0  R1  R1 есть решение интегро-дифференциального уравнения
(и-д. у.)

Ф0 x, y, y, ..., y
(7)
n 
x t i 1
t1
    1   ... Ф x, y, y, ..., y   dtdt ...dt
n
i
n
i
i 1
x1 x1
1
i 1
 px .
x1
Если:
 ) y0  Dn  x1, x2 ;

 ) x, y0  x  , y0  x  , ..., y0 n 1  x  , y0 n   x  0   Q  x   x1 , x2 

 ) Ф0 x, y0  x  , y0  x  , ..., y0
( 1)
n
n
x

   Ф t, y t  , y t  , ..., y   t  dt  ... 
x
n
1
0
0
0
x1
n
  ....  Фn t, y0  t  , y0  t  , ..., y0  t  dtdt1...dtn 1  p  x 
x tn 1
t1
x1 x1
x1
для любого значения x  Dy   pr1DФ .
n
0
И-д. у. (7) часто записывают в сокращенной форме, предварительно


введя для любой функции f ( x )  R1  R1  С  x1, x2  обозначение
Mf 
x
i
i 1
 f  t  dt, M  f   M  M  f  , i  2,3, ... .
x1
Тогда, считая, что Фi x   Фi x, yx , yx , ..., y n x , и-д. у. (7) можно записать
так:
n
Ф0    1 M i Фi   p.
i
i 1
4
Теорема. Если функционал v[y] на функции y0  DI достигает слабого
локального минимума и если Fy , Fy ' , ..., Fy  n   D1 Q  , то существует такой
многочлен pn 1 ( x )  R1  R1 порядка не выше n 1 , что y0 удовлетворяет
и-д. у.
(8)
x t1
x
F
n
y 
F
y
n 1
x1
dt    F
y
n 2 
dtdt1  ...   1
n
x1 x1
x tn 1
t1
x1 x1
x1
  ...  Fy dtdt1...dtn1  pn1 ( x),
называемому интегро-дифференциальным уравнением Эйлера-Пуассона (в
дальнейшем и-д. у. Э-П).
Доказательство. Обозначим через
K (1)  y0 
такую окрестность
функции y0 первого порядка, в которой


v  y   v  y0   0 y  K (1)  y0   DI .
(9)
Фиксируем произвольную функцию, удовлетворяющую условиям (3), и
рассмотрим однопараметрическое семейство функции
y0    y0     R 2  R1 , D y0    x1, x2   R1  . Из открытости Q и из (3)
следует, что если  фиксировано и достаточно мало, т.е. принадлежит
достаточно малой окрестности нуля k 0 , то
 y0     K (1)  y0   DI .
Из этого включения и из неравенства (9) очевидно, что функция   R1  R1 ,
определенная
равенством
    I  y0      k  0 ,
в
точке
0  R1
достигает локального минимума. Так как  дифференцируема в точке 0 и
дифференцирование можно произвести под знаком интеграла, то
(10)
  0 
n
i
F    x, y0  x  , y0  x  , ... , y0   x     x  dx  0.

y
i 0
x2 n
i
x1
5
Проинтегрируем слагаемое с номером i в подинтегральном выражении n  i 
раз по частям. Тогда, введя обозначение

df
n
Fy ( i )  x   Fy ( i ) x, y0  x  , y0  x  , ... , y0   x 
  x  D
y0
n
 pr1DF
y
i 


и использовав условия (3), получим
   0 
x2

x1
x tn 1 t1
x t1


n
 1   ...  Fy  t  dtdt1...dtn 1  ...    Fy n2  t  dtdt1 

x1 x1
x1
x1 x1



n
  Fy ( n1)  t  dt  Fy ( n )  x       x  dx  0.

x1

x
Обозначим через m функцию, заключенную в фигурные скобки, и
заметим, что m  R1  R1   Dx1 , x2  . Тогда, применив к функции m лемму ,
получим тождество
x t1
x
(11)
F
n
y 
 x    Fy    t  dt    Fy 
n 1
x1
( 1)
x tn 1
n
n 2
 t  dtdt1  ... 
x1 x1
t1


  ...  Fy  t  dtdt1...dtn1  pn 1  x   x  D y    pr1DF    ,
n
x1 x1
0
x1
y
n
где pn 1 ( x ) - многочлен порядка не выше n  1 . А это означает, что y0
удовлетворяет д.у. Э-П. (8). Теорема 1 доказана.
Решения и-д. у. (8) называют стационарными функциями функционала
v (или стационарными функциями, соответствующими основной функции
F)
Из многочисленных следствий и-д. Э-П. (8), сформулируем и докажем
только то, которое говорит о возможности замены и-д. у. (8) обыкновенным
дифференциальным уравнением.
6
Утверждение. Если F  Cn 1 Q  и если y0  DI
- стационарная
функция функционала v , непрерывно дифференцируемая 2n раз, то y0
удовлетворяет дифференциальному уравнению
n
d
d2
n d
Fy  Fy   2 Fy   ...   1
F n  0 ,
dx
dx
dx n y
(12)
называемому д.у. Эйлера-Пуассона (в дальнейшем д.у. Э-П).
Замечание 2. Левую часть (12) в соответствии с установившейся
традицией понимают следующим образом.
Фиксируем произвольную 2n раз непрерывно дифференцируемую
функцию y и договоримся считать, что аргументы функции F и ее частных
производных имеют соответственно вид x, yx , yx , ..., y n  x  , т.е. функция F
и ее частные производные являются сложными функциями x . Произведя
формально дифференцирование в левой части (12), получим выражение,
содержащее x, y, y, ..., y 2n  . Приравнивая это выражение к нулю, получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2n для определения
неизвестной функции y .
Доказательство. Если F  Cn 1 Q  , y0  C2n [ x1, x2 ] и удовлетворяет ид. Э-П. (8), то каждое в сумме, расположенной в левой части (11), является
функцией из Cn  [ x1 , x2 ] . Дифференцируя обе части равенства (11) n
раз,
получаем тождество
n
d
d2
n d
Fy  x   Fy   x   2 Fy   x   ...   1
F  n   x   0,  x   x1 , x2  ,
dx
dx
dx n y
которое и означает, что y0 есть решение д.у. (12). Утверждение доказано.
Пример. Пусть n  2 , а v - функционал, определенный данными
df
df
Q  R , F  x, y , y , y  
4
2
1
 y    y
2
[
- положительные постоянные],
p1  l , 0, 0, p2 l , 0, 0 [ l - положительная константа], Найдем стационарные
df
df
функции.
7
И-д. у. Э-П. (8) имеет следующий вид:
x t1
y    dtdt1  c1  c0 x.
(13)
x1 x1
Отсюда следует, что уравнение (13) эквивалентно д.у. второго порядка
(зависящему от параметров c1 , c0  R1 )
y  
 2
x  c0 x  c1 .
2
Запишем общее решение этого уравнения:
yx, c0 , c1 , c2 , c3   
 4
x  c0 x 3  c1 x 2  c2 x  c3 x, c0 , c1 , c2 , c3  R1 .
24
В результате простых вычислений получаем, что имеется ровно одна
удовлетворяющая данным граничным условиям стационарная функция
2




 x 4  2l 2 x 2  l 4   
x 2  l 2  x   l , l .
24
24
yx  
Замечание 3. К исследованию минимума рассмотренного функционала
приводит задача о нахождении положения равновесия закрепленного с двух
сторон упругого стержня цилиндрической формы.
Согласно принципу Гамильтона, относящемуся к упругим телам, в
положении равновесия полная потенциальная энергия рассматриваемого
стержня минимальна. Если y  yx - уравнение осевой линии стержня
y  R
1


 R1  C2  l , l , y l   y l   yl   yl   0 ,
то полная потенциальная энергия стержня равна
l
1
y2 x 
2
l 2  1  y2 x 5 / 2 dx  l yx  1  y x dx.
l


Первый интеграл есть потенциальная энергия, определяемая упругими
силами; второй – потенциальная энергия, созданная полем силы тяжести;  постоянная, зависящая лишь от коэффициента упругости и момента инерции
поперечного сечения;  - линейная плотность стержня.
8
Если вместо полной потенциальной энергии взять ее приближенное
значение, полученное обычным пренебрежением величиной yx x  x1, x2  ,
то для полной потенциальной энергии получим представление
v  y 
l
 1 n2


y
x


y
x





dx.
 2

l
1.3. Задачи.
1.
Докажите
m, 1 , ...,  n  R1  R1
следующий
вариант
леммы
1.
Пусть
функции
ограничены и интегрируемы по Лебегу на x1 , x2 .
Предложим, что равенство
x2
  xmxdx  0 i  1, ..., n
x1
выполняется для любой ограниченной и интегрируемой по Лебегу на x1 , x2 
функции  x , удовлетворяющей условиям
x2
  x x dx  0 i  1, ..., n.
i
x1
Тогда существуют такие постоянные c1 , ..., cn  R1 , что почти всюду на x1 , x2 
выполняется равенство
n
mx    cii x .
i 1
2. Пусть f  C1 Q , а y  DI - произвольная фиксированная функция.
Определим функционал v следующим образом:   DI тогда и только тогда,
когда ( y   )  Dv ; если   Dv , то положим v[ ]  v[ y   ]. Докажите, что v
на функции 0 [т.е. на функции, которая в любой точке x1 , x2  равна нулю]
дифференцируема по Фреше и


n

 I y     I 0       Fyi x, y  x  , y   x  , ..., y  n   x   i   x   dx.

x1  i  0
df
x2
9
3. Предположим, что F  C2 Q  , и пусть функция y  DI доставляет
слабый локальный минимум функционалу v [ y ] . Докажите, что в любой
точке множества Q y  выполняется неравенство
n
F
n
n
y  y 
 x, y  x  , y  x  , ..., y   x   0
n
условие Лежандра)
Указание.
Найдите
вторую
вариацию
v,
при
доказательстве
воспользуйтесь методом от противного.
4. Докажите, что если
- стационарная функция регулярного
y
функционала v , то y  Cn1.
Замечание 4. Говорят, что функционал v - регулярный, если y  C2 Q и
выполняется неравенство
F
n
n
y  y 
 x, y, y, ..., y    0  x, y, y, ..., y   Q  .
n
n
Указание. Докажите вначале, что выполняется условие ВейерштрассаЭрдмана для точки излома
и что справедлива теорема Гильберта о
дифференцируемости.
5. Обобщите условие Якоби и докажите теорему, соответствующую
теореме случае вариационной задачи высокого порядка,
6. Исследуйте то расширение функционала в примере п. 2, которое
получается отбрасыванием граничного условия y l   yl   0.
7.
Найдите
стационарные
функции
из
C4 x1 , x2 
функционала
определенного данными
df


Q  R3  y n  R | y n  0 ,

2
1 1  y
F  x, y , y , y  
2
yn
df

2
df
df
, P1   x1 , y1 , y1  , P2   x2 , y2 , y2 
Замечание 5. К исследованию данного функционала приводит
следующая задача. Пусть даны направленные прямые l1 и l2 , проходящие
10
соответственно через точки x1, y1  и x2 , y2  , Требуется среди плоских
кривых, соединяющих точки
x1, y1  и x2 , y2  , и имеющих в этих точках
нормали, направленные вдоль l1 и l2 , найти ту, для которой площадь фугуры,
образованной данной кривой, ее эволютой и отрезками данных прямых,
минимальна.
Исследуйте и тот случай, когда направление нормали в концевых
точках не указано.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Коша. Вариационное исчисление. Москва, «Высшая школа». 1983.
2. В.М. Алексеев, Э. М. Галлиев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по
оптимизации. М. «Наука» 1984 г.
11