Потенциальная энергия. ЗСЭ

Лекция 5.
Потенциальная
механической энергии
энергия.
Закон
сохранения
ПЛАН ЛЕКЦИИ
Учебные вопросы
Введение.
1. Потенциальный характер гравитационного поля. Гравитационный
потенциал.
2. Консервативные силы. Потенциальная энергия, механическая
энергия, закон сохранения и превращения механической энергии.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. -М.: 1996.
2. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. -M: -Наука, 1996. Глава 3,
§ 21,22,23,24.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 12,13,14.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука,
1996. Глава 3.
Материальное обеспечение занятия:
Демонстрации: «Мертвая петля», «Механическая модель сторонних
сил».
1. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ.
ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Потенциальная энергия - часть общей механической энергии системы,
зависящей от взаимного расположения материальных точек, составляющих
эту систему и от их положений во внешнем силовом поле.
Численно потенциальная энергия системы в данном её положении
равна работе, которую произведут действующие на систему силы при
перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия
условно принимается равной 0.
Выведем выражение потенциальной энергии для случая движения
материальной точки m, в гравитационном поле, создаваемом телом массой М.
Между ними действует сила гравитационного взаимодействия


mM r
(1)
F  2 .
r r
Эта сила пропорциональна 1/r2 и является центральной силой.
Центральная сила, приложенная к материальному телу - это сила, линия
действия которой при любом положении тела проходит через некоторую
определенную точку, называемую центром силы. Примеры центральных сил
- сила тяготения, направленная к центру планеты, кулоновские силы
притяжения или отталкивания.

Найдем работу гравитационной силы F при перемещении от точки 1
до точки 2.

r 
2
 r mM r  r mM  
A   dA   F dr    2 dr    2 r dr cos
r r
r
1
r
r
r
(2)
r
r
r

mM
dr
1|
mM  
mM 
  
  П2  П1.
   2 dr  mM  2  mM
 
r
r | r 
r2  
r1 
r
r r
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
Из формулы (2) следует, что работа гравитационных сил не зависит
от формы траектории, а определяется начальным и конечным
положением точки.
Сила, работа которой зависит только от начального и конечного
положения точки её приложения и не зависит ни от вида траектории, ни
от закона движения этой точки, называется потенциальной.
Значит, гравитационная сила - это сила потенциальная. Можем
обобщить сделанный нами вывод на. все центральные силы, которые
2
являются потенциальными.
 
Если начальная и конечная точка совпадают, т.е. r1  r2 то работа
на замкнутом пути будет равна 0.
Эта особенность потенциальных сил записывается следующим образом
 
(3)
A   Fdr  0.
В этом случае работу можно считать разностью двух величин,
численные значения которых однозначно определяются координатами
начальной и конечной точек пути.
A  П (r2 )  П(r1 ).
(4)
Для рассмотренного случая
mM
(5)
.
r2
На основании уравнения (4) функцию П(r) необходимо считать
энергией. Эту энергию, значение которой определяется взаимным
расположением тел системы, следует называть потенциальной энергией
по определению, данному в начале параграфа.
Проанализируем выражение (5).
Потенциальная
энергия
гравитационного
взаимодействия
отрицательна, она растет с ростом r, достигая максимума при r   , П  0
при r   (рис.1).
П (r )  
Рис.1.
Максимум потенциальной энергии - при бесконечном удалении тел, а
минимум - при наименьшем расстоянии между ними.
Отношение потенциальной энергии к массе тела называется
гравитационным потенциалом  .
Гравитационный потенциал описывает гравитационное поле,
создаваемое телом массой М. Гравитационный потенциал возрастает с
ростом r. Единица его измерения    1 Дж / кг.
В случае, когда материальная точка находится в потенциальном поле,
3
связь между силой F, действующей на точку, и потенциальной энергией П
имеет вид.

П
П
П
или F   gradП.
(6)
Fx  
; Fy  
; Fz  
x
z
y
Рассмотрим частный случай, когда тело находится на высоте h над
поверхностью Земли h<<R. В этом случае Fтяж можно считать постоянной
по величине и направлению. При подъеме тела на высоту h изменяется
потенциальная энергия.
П  

mM
mM 
mMh
mM
  
   
  2 h  mgh,
( R1  h) 
RЗ 
RЗ ( RЗ  h)
RЗ
где RЗ  h  RЗ , т.к. h  RЗ .
g 
M
- ускорение свободного падения в поле тяжести Земли.
RЗ2
2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ,
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Работа потенциальных сил, как показано выше, равна изменению
потенциальной энергии (4):
Aпот  П .
(7)
Bсe потенциальные силы относятся к консервативным силам.
Консервативные силы не изменяют механическую энергию тела.
Например, силатяготения, Лоренца и все потенциальные силы.
К неконсервативным силам относятся так называемые диссипативные
силы - это силы трения и сопротивления. Важной особенностью данных
сил является то, что суммарная работа внутренних диссипативных сил
рассматриваемой системы отрицательна в любой системе отсчета.
.
Aвдис
нутр.  0.
(8)
Выше было показано, что приращение кинетической энергии системы
Ек равно работе, которую совершают все силы, действующие на все части
системы. Разделив эти силы на внешние и внутренние, а внутренние - на
потенциальные и диссипативные, запишем изменение кинетической энергии
системы тел:
4
дис
Е к  Aв неш  Ав нутр  Ав неш  Авпот
нутр  Ав нутр.
(9)
Учтем, что работа внутренних потенциальных сил равна убыли
собственной потенциальной энергии системы
.
Aвпот
нутр   П .
(10)
Тогда выражение (9) примет вид
дис
Е к  П  Aвнеш  Авнутр
.
(11)
Представим полную механическую энергию системы как сумму
кинетической и потенциальной энергий системы:
Е Е к П,
(12)
Е  Е2  Е1  Ек  П .
(13)
Тогда
Сравнивая (12) и (13), получим:
Е2  Е1  Ав неш  Авдис
нутр.
(14)
Приращение механической энергии системы тел равно
алгебраической сумме работ всех внешних сил и всех внутренних
диссипативных сил.
Отсюда вытекает очень важный вывод: закон сохранения
механической энергии системы тел.
Механическая энергия замкнутой системы тел, в которой нет
диссипативных сил, сохраняется в процессе движения.
Е  Ек  П  0;
Е  Ек  П  const .
(15)
Замкнутой системой тел называется такая система, на которую
или не действуют внешние силы, или векторная сумма их равна нулю.
Система тел, в которой действуют диссипативные силы,
называется диссипативной. Все реальные системы тел – диссипативные.
Система тел, в которой действуют только консервативные силы,
называется консервативной.
Консервативная система тел - это идеальная система тел. Реальную
систему тел можно считать консервативной только с определенной степенью
точности. Например, когда
дис
конс
Авнутр
 Авнутр
.
Для консервативной системы тел закон сохранения полной
5
механической энергии: в замкнутой консервативной системе тел полная
механическая энергия сохраняется в процессе движения.
Если система неконсервативна, то есть в ней действуют диссипативные
силы, то механическая энергия такой замкнутой системы
дис
Е2  Е1  Авнутр
 0.
(16)
Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к
фундаментальному выводу о существовании в природе универсального
закона сохранения энергии.
Энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только
переходить из одной формы в другую или обмениваться между
отдельными частями материи.
При этом понятие энергии пришлось расширить введением новых
форм её - энергия электромагнитная, химическая энергия, ядерная и другие.
Универсальный закон сохранения энергии охватывает, таким образом,
и те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются.
Он может быть выведен из этих законов, а должен рассматриваться как
самостоятельный закон, представляющий собой одно из наиболее широких
обобщений опытных фактов.
Возвращаясь к уравнению (15) можно сказать: при уменьшении
механической энергии замкнутой системы всегда возникает
эквивалентное количество энергии других видов, не связанных с
видимым движением.
Уравнение (15) можно рассматривать как более общую формулировку
закона сохранения энергии, в которой указана причина изменения
механической энергии у незамкнутой системы.
6