На правах рукописи Юрченко Станислав Олегович

На правах рукописи
Юрченко Станислав Олегович
УСТОЙЧИВОСТЬ И ЭВОЛЮЦИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ
ПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЕЙ ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Специальность 01.04.02 – Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2009
Работа выполнена на кафедре «Физика» Московского государственного
технического университета им. Н.Э. Баумана
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Алиев Исмаил Новрузович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Дадиванян Артем Константинович
доктор физико-математических наук, профессор
Ерофеев Владимир Иванович
Ведущая организация:
ОАО «Высокотехнологический научно-исследовательский институт неорганических материалов им.
академика А.А. Бочвара»
Защита диссертации состоится « 12 » ноября
2009 г. в 16 часов на
заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном
областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского
государственного областного университета.
Автореферат разослан « 29 » сентября
Ученый секретарь
диссертационного совета
2009 г.
Барабанова Н.Н.
-2-
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Одной из современных задач теоретической физики
является развитие теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильно неравновесных систем. Как указал классик этого направления
И. Пригожин, «…взаимодействие системы с внешним миром, ее погружение в
неравновесные условия может стать исходным пунктом в формировании новых
динамических состояний…». Именно поэтому вопросы устойчивости границы
раздела фаз в электрических полях постоянно находятся в поле интересов современных исследователей.
В переходах типа «беспорядок-порядок» в жидкостях до последнего времени, как правило, рассматривалась конвективная неустойчивость и теория турбулентности. Однако, наличие обнаруженных сравнительно недавно точек бифуркаций в динамике жидкостей в присутствии электрического поля приводит к мысли,
что последние могут пополнить класс физических систем, способных к саморегуляции.
Ветвление решений уравнений, исследование которых широко представлено
в настоящей работе, можно, по сложившейся традиции, интерпретировать как неединственность путей эволюции динамической системы.
Таким образом, предлагаемый к рассмотрению круг вопросов тесно связан с
теорией исследования нелинейной (как обобщение линейной) динамики системы,
находящейся в электрическом поле (как сильно неравновесной системы). Именно
это положение привело к настоящей структуре диссертации, когда основные вопросы нелинейной теории, изложенные в последней главе, базируются на предварительных оригинальных результатах линейной теории, выведенных в первых
двух главах.
Значительный интерес к вопросам устойчивости и временной эволюции поверхности жидкостей, находящихся в сильных электрических полях, связан с реальными запросами практики. Возникновение неустойчивости поверхности проводящей жидкости определяет характер процессов при вакуумных разрядах. Неустойчивость заряженной поверхности жидкости состоит в том, что эмиссионные
выступы в некоторых точках этой поверхности приводят к испусканию высокодисперсных сильнозаряженных капель. Это явление используется в жидкометаллических источниках ионов; при создании потоков монодисперсных капель в термоядерном синтезе; в каплеструйной печати; в ускорителях макрочастиц; при распылении жидкости для быстрого рассеяния плотных аэродисперсных систем (облаков грозовых туч); в реактивной космической технике и т.д. На разрушении поверхности жидкости в электрическом поле основана работа электрогидродинамических распылителей жидкости, позволяющих получать монодисперсные аэрозоли, покрытия, пленки.
Реальные геометрии объектов, конфигурации электростатических полей и
степени нелинейности процессов в указанных технологиях несопоставимо слож-3-
нее, чем возможные для аналитического расчета. К тому же, если в линейной теории уже существуют стандартные и общепринятые методы вывода и решения
уравнений, то последовательной нелинейной теории на сегодня не существует.
Несомненно, будущее развития и внедрения электрогидродинамических
технологий связано с численными методиками расчета и проектирования. В этой
связи, теоретические результаты являются надежным подспорьем и основой базы
модельных задач, на которой отрабатываются алгоритмы численных методик, а
теоретические исследования остаются жизненно-важными для развития современных численных технологий расчета.
Цель диссертационной работы – теоретическое описание закономерностей
влияния электрического поля на устойчивость, линейную эволюцию и нелинейные
волновые движения сильно неравновесной системы, представленной в настоящем
исследовании проводящей жидкостью в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле.
Научная новизна. В диссертации получила развитие теория общих свойств
и закономерностей электрогидродинамических систем, находящихся в сильно
неравновесных состояниях.
1. Обнаружено, что совместное действие электрического поля и температурного градиента приводит к снижению порогов конвективной неустойчивости при подогреве снизу и возникновению инверсионной электроконвективной неустойчивости при нагреве сверху.
2. Показано, что описание спектров волн в рассматриваемых системах сводится к ряду модельных случаев, для которых удается построить функции
Грина.
3. Рассмотрена линейная эволюция волновых пакетов при околокритическом значении напряженности электрического поля и установлены закономерности пространственно-временного развития сильнонеравновесного начального возмущения типа «ступенька».
4. Выведены квадратично-нелинейные уравнения, описывающие эволюцию
возмущения поверхности тяжелой электропроводной жидкости, находящейся в электрическом поле, ортогональном к невозмущенной поверхности.
5. В нелинейной теории введен оператор давления, включающий действие
капиллярных, электрических и гравитационных сил; установлена связь
введенного оператора давления с дисперсионными соотношениями, получаемыми в линейной теории.
6. Выведено обобщенное уравнение Римана, позволяющее по известному
оператору давления строить уравнения простых волн не только плоской,
но и цилиндрической симметрии. Настоящий результат справедлив в нелинейной динамике для систем уравнений типа Буссинеска.
7. Установлены закономерности влияния слабого электрического поля на
стационарные волны (солитон и кноидальные волны) в теории «мелкой
-4-
воды»; найден стационарный профиль возмущения в вырожденном случае – электрокапиллярный солитон.
Практическая значимость. Результаты исследований представляют собой
развитие теории неравновесных систем в применении к поверхностной электрогидродинамике.
Найденные условия неустойчивости возмущений поверхности жидкости в
неравновесном состоянии могут служить теоретическим обоснованием при разработке дисперсных и струйных систем при производстве микро- и нанопорошков,
полимерных волокон, для технологий капсулирования и расщепления в медицине
и фармацевтике, при получении наноструктурированных материалов с контролируемыми свойствами. Рассчитанные условия электро-конвективной неустойчивости могут служить теоретическим обоснованием при разработке технологий электродиспергирования, связанных с высокоинтенсивным нагревом при производстве
порошков тугоплавких соединений.
Разработанный способ вывода нелинейных эволюционных уравнений может
быть применен для уравнений типа Буссинеска в теории волновых движений жидкости, газовой динамике, нелинейной теории упругости, методов нелинейной динамики.
Найденные профили нелинейных волн могут использоваться в качестве модельных задач для апробации адекватности численных методик расчета более
сложных геометрических и динамических конфигураций электрогидродинамических задач.
Достоверность результатов подтверждается согласованностью с общими
положениями электрогидродинамики, теории устойчивости и нелинейной динамики, теории неравновесных систем; в предельных случаях решения согласуются
с ранее известными результатами.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Установленные закономерности комбинированного влияния электрического поля, температурного градиента, капиллярных и гравитационных
сил на устойчивость равновесия и линейную эволюцию возмущений в
исследуемых системах.
2. Установленные закономерности пространственно-временного развития
сильнонеравновесной структуры типа «ступенька» при околокритическом значении напряженности электрического поля.
3. Разработанная квадратично-нелинейная теория волновых движений и
обобщение способа вывода уравнения стационарных волн.
4. Найденные профили стационарных нелинейных волн в приближении
действия слабого электрического поля и в случае вырождения эволюционного уравнения.
Личный вклад автора состоит в решении изложенных задач, построении
нелинейной теории, анализе и обобщении полученных результатов, проведении
расчетов. Все основные результаты получены автором лично.
-5-
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и
обсуждались на Академических чтениях по космонавтике им. С.П. Королева
(Москва, 2006, 2007), Всероссийской конференции «Необратимые процессы в
природе и технике» (Москва, 2007, 2009), Всероссийской межвузовской научнотехнической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в
энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы
контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2007, 2009),
Международной научно-технической конференции «Чкаловские чтения» (Егорьевск, 2007); на научных семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана и Московского государственного областного университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы
в 13 научных работах, из которых 6 – научные статьи, в том числе, 4 – в рекомендованных ВАКом изданиях для публикации основных результатов научных работ
соискателей ученой степени кандидата и доктора наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав
и заключения, содержит 130 страниц, 38 рисунков, 1 таблицу. Список литературы
включает 132 работ.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ВО ВВЕДЕНИИ показана актуальность темы, проведен критический обзор
работ, посвященных современным проблемам и приложениям поверхностной
электрогидродинамики. Сформулирована цель и задачи диссертации, выделена
научная новизна и ценность, практическая ценность и значимость результатов работы.
В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ изучаются флуктуации заряженной поверхности раздела двух сред, а также заряженной поверхности вертикально прогреваемого слоя
жидкости и комбинированные неустойчивости в описанных системах.
В разделе 1.1 выводится дисперсионное соотношение для флуктуаций заряженной горизонтальной поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей
конечной глубины в зазоре между двумя электродами идеально проводящими:
верхняя считается идеальной, а нижняя – вязкой; на поверхности раздела сохраняется тангенциальный разрыв скорости.
Полная система уравнений включает уравнение Пуассона для потенциалов
скорости и электрического поля в отсутствии объемных зарядов; уравнения НавьеСтокса и непрерывности; граничные условия для поля скоростей и электрического
поля; условие неразрывности поверхности раздела, равенства нормальных к границе раздела компонент скорости верхней и нижней жидкостей; условие непрерывности компонент тензора напряжений на границе «идеальная – вязкая жидкость». Дисперсионное уравнение (ДУ) формулируется в виде равенства нулю
дисперсионного определителя.
В разделе 1.2 проведен анализ предельных случаев ДУ: бесконечно глубокая вязкая жидкость; случай двух идеальных жидкостей; в случае двух бесконечно
глубоких жидкостей получено ДУ
-6-
2
æ
ö
iw
çç2 - iw2 ÷
+ W(k )- K (k , w)= 4 1 ,
÷
÷
çè
nk ø
nk 2
2
(Uk - w)
2
Re 1 2
iw
>0
nk 2
(1)
gk - 4ps k + (1- a )r 1 g
r
,
a= 2
2 3
nk
r 1n k
r1
где w , k – комплексная частота и волновое число; n – кинематическая вязкость;
r 1 , r 2 – плотности нижней и верхней жидкости; g – ускорение свободного падения; U – скорость невозмущенного течения верхней жидкости; g – коэффициент
поверхностного натяжения; s – поверхностная плотность заряда невозмущенной
поверхности жидкости.
На рис. 1 приведены численно-рассчитанные зависимости коэффициента затухания b и циклической частоты w от волнового числа k при следующих данных: g = 0.062 Дж/м2; n = 5 ×10- 4 м2/с; r = 103 кг/м3; U = 1 м/с s = 6 ×10- 6 Кл/м2.
Проведено разделение действительной и мнимой части уравнения (1).
Раздел 1.3 посвящен анализу влияния поверхностного заряда и фонового
движения верхней жидкости на реализацию комбинированной неустойчивости
Френкеля–Тонкса и Кельвина–Гельмгольца. Показано, что множество критических точек в плоскости (U , s ) образуют эллипс неустойчивости. Эффективный коK (k , w)= a
2
4
,
W(k )=
эффициент поверхностного натяжения снижается пропорционально U 2 при малых
U.
Последнее означает, что фоновое движение и поверхностный заряд могут
использоваться для эффективного управления, например, процессами испарения,
т.к. снижают эффективное поверхностное натяжение.
Рис. 1 Зависимость коэффициента затухания и циклической частоты от волнового
вектора для случая отсутствующей верхней жидкости (а, b), a = 0 ; и движущейся
верхней жидкости (c, d), a = 0.15
-7-
Раздел 1.4 посвящен исследованию комбинированной конвективной и
Френкеля–Тонкса неустойчивости. Вывод дисперсионного уравнения возмущений
малой амплитуды проводится для плоского слоя тяжелой тепло- и электропроводной, слабосжимаемой жидкости. Нижняя граница – соприкасается с твердой подложкой с высокой теплопроводностью, а верхняя – свободна и находится в постоянном ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле. Относительное гидростатическое изменение плотности мало; разность температур на
верхней и нижней границах поддерживается постоянной. Температура на границах слоя фиксирована, вертикальный градиент равновесной температуры в невозмущенном состоянии известен.
Движения в системе описываются системой уравнений Навье-Стокса, непрерывности, теплопереноса в приближении Буссинеска – Обербека, уравнения
Пуассона для электрического потенциала с соответствующими граничными условиями. Линеаризация исходных уравнений приводит к трансцендентному ДУ в
виде определителя 6 порядка.
Раздел 1.5 посвящен обсуждению справедливости граничных условий, допускающих монотонные и колебательные движения, а также анализу свойств амплитудных функций возмущений. Для комбинированной конвективной и Френкеля–Тонкса неустойчивости выведена система разрешающих уравнений и показано,
что условие неустойчивости при подогреве снизу определяется равенством нулю
дисперсионного определителя системы относительно констант A j :
z j Aj = 0,
å
Aj = 0,
j
Aj
2
zj - k
2
(z j 2 + k 2 )Aj exp éëz j ùû= 0,
= 0,
æ
ö
æ
ö÷
F
k2 ÷
2ç
çç
÷
k
1
k
+
÷
ç
÷
çç
çè
÷÷
÷
Wø
W
÷
ççmz j éêz j 2 - 3k 2 ù
÷
+
Aj exp éëz j ù
ú
2
2
÷
û= 0,
ë
û
çç
÷
zj - k
÷
÷
çç
÷
÷
è
ø
2
z1;2
= k 2 - Ra1 3 k 2 3 ,
2
z 3;4;5;6
= k2 +
W = r (1 + e)gh 2 g ,
F = 4ps 2
Aj exp éëz j ù
û= 0
1
1 ± i 3 Ra1 3 k 2 3 , j = 1...6.
2
(
)
gr g (1 + e), e = bAh
где Ra= gbAh4 vc – число Рэлея; Pr = v c – число Прандтля; m= nc gh3 – число
Вебера; A – градиент температуры; b – коэффициент термического объемного
расширения; h – толщина слоя; c – температуропроводность. Проведены численные расчеты зависимости критического числа Рэлея Rac (k ) при различных напряженностях электрического поля.
Раздел 1.6 посвящен случаю влияния температурного градиента на реализацию неустойчивости Френкеля–Тонкса при нагреве сверху. Благодаря относительному снижению плотности верхних слоев жидкости ( b > 0 ) становится возможным неустойчивость Френкеля–Тонкса при инверсионном нагреве.
-8-
Показано, что критический параметр Френкеля–Тонкса F * = 2 1- e , что
меньше, чем в отсутствии нагрева. Проведенные оценки показывают, что снижение порогового значения напряженности электрического поля может составить до
2.5% для органических жидкостей и : 2.5...16% для металлов и сплавов.
Раздел 1.7 содержит выводы по Главе 1.
ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена исследованию структуры решений ДУ (1), а
также эволюции пакетов возмущений на заряженной границе раздела двух сред в
различных постановках задачи.
В разделе 2.1 исследуется влияние слабого движения верхней жидкости на
решение ДУ (1). Показано (рис. 2), что наличие даже малого фонового движения
верхней жидкости всегда приводит к устранению точек бифуркации и образованию «тонкой структуры» решения ДУ.
w, b
w
b
k
k
Рис. 2 Схема расщепления решения дисперсионного уравнения вблизи точки бифуркации (штриховая линия – в отсутствии фонового движения)
В разделе 2.2 для случая U = 0 проводится параметризация ДУ (1)
æ
1- a
1 ö÷ % 2u - 1
%2 = 4u ççu 3 +
w
u,
÷, b =
çè
1+ a
1 + a ø÷
(1 + a )u
2
W=
4(1 + a ) u 6 + 4(1 - a 2 )u 4 - 4a u 2 - 1
% 0,
w=
(1 + a )u 2
, u ³ u* ,
2u - 1
%
b=
;
(1 + a )u
1- (1- a )u
1 - (1 - a )u
1 + 4a u 2
W= +
4
,
³ 0,
u
(1 + a )u 2
(1 + a )u
% Re(w nk 2 ), %
b = Im (w nk 2 ) – безразмерные циклическая частота и коэфгде w=
фициент затухания, u* – действительный корень уравнения
-9-
(1 + a )u*3 + (1- a )u* - 1 = 0
Зависимость параметра W(k ) можно представить в безразмерном виде (здесь
F – параметр Френкеля–Тонкса):
k%2 - Fk%+ (1- a )
% r g g , A = (r g g )3 2 n 2 g
W=
,
k
=
k
Ak%3
В разделе 2.3 на основе найденного параметрического представления проводится полный анализ структуры решений ДУ для различных спектров волн. Вычислены зависимости бифуркационных значений параметров W, b от соотношения плотностей a .
В разделе 2.4 обсуждаются общие свойства дисперсионных соотношений.
Из самых общих соображений показано, что в пространственно-симметричных
системах циклическая частота и коэффициент затухания – нечетная и четная
функция волнового числа, соответственно. Таким образом, в степенных разложениях w(k ) возможны нечетно-продолженные слагаемые четных порядков.
В разделе 2.5 для случая двух идеальных покоящихся жидкостей дисперсионное уравнение, выведенное в разделе 1.2, приведено к безразмерному виду. Показано, что степенные разложения w(k ) для докритических и критических спектров могут описываться выражениями
%(k%) = c%0 k%- %
%(k%) = c%0 k%- %
w
bk%3 , w
dk%%
k- %
bk%3
(2)
%(k%) = c%0 k% k%- 1 , w=
% dk%%
w
k
Тильдами обозначены безразмерные переменные.
В разделе 2.6 вычисляются функции Грина для решения задач линейной
эволюции возмущений в системах со спектрами (2). Показано, что соответствующие функции Грина выражаются через специальные функции Эйри, синус- и косинус-интегралы Френеля, гипергеометрические функции Гаусса.
В разделе 2.7 устанавливаются закономерности линейной эволюции структуры типа «ступенька» для пороговых спектров на мелкой и глубокой жидкости.
Показано, что на «мелкой воде» образуется структура волнового бора, изменяющаяся со временем только масштабно. Начальное возмущение на «глубокой воде»
распадается на два профиля, изменяющихся масштабно и движущихся в противоположные стороны, т.е. эволюция не сводится к только масштабному преобразованию. Приводятся результаты расчетов эволюции «ступеньки» на поверхности
глубокой жидкости в околокритическом режиме.
В разделе 2.8 приводятся выводы по Главе 2.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена развитию нелинейной теории с учетом результатов дисперсионного анализа и методов эволюции возмущений в линейной теории. Рассматривается горизонтальный слой жидкости, находящийся в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле и поле сил тяжести; полупространство над поверхностью жидкости – вакуум. Жидкость предполагается не- 10 -
сжимаемой, невязкой, идеально проводящей электрический ток, движение жидкости – потенциально.
В разделе 3.1 приводится система уравнений движения и граничных условий в рассматриваемой системе. Способ вывода нелинейных уравнений состоит в
разложении искомых функций в асимптотические ряды по параметру амплитуды
волны. Тогда поиск потенциалов электрического поля и поля скоростей сводится к
последовательному решению линейных задач. Найдены квадратично-нелинейные
уравнения движения в рассматриваемой системе.
В разделе 3.2 найденная система уравнений приводится к длинноволновому
приближению Буссинеска (теория «мелкой воды»). Затем вводится линейный оператор давления в виде
(3)
ut + (uÑ 1 )u = - Ñ 1 p[h ], h t + Ñ 1 (h u)= 0
æ
ö
g ÷
E 2m
2 ç1
p [h ]= h + m ç L[h ], L[x]= 2p ò x* k exp[- ikr ]dk
÷D 1h çè3 r gh 2 ÷
8p 2r gh
ø
где u – «плоский» вектор возмущений скорости; h – безразмерная полная глубина; m – параметр дисперсии; Ñ 1 , D 1 – «плоские» операторы Гамильтона и Лапласа; E – напряженность невозмущенного электрического поля; p – оператор эффективного давления; индексами *, t обозначены Фурье-преобразование и производная по времени; интегрирование производится по всем значениям волнового
вектора k .
В разделе 3.3 выводятся квадратично-нелинейные уравнений на поверхности глубокой заряженной жидкости (приближение коротких волн):
e
2
F t + (Ñ 1F ) + p[x]= 0,
mxt - L[F ]= 0
2
g 2
E2
p[x]= xmD 1xmL[x]
r gh 2
8p 2r gh
Здесь x – вертикальное отклонение поверхности от равновесного состояния; F –
потенциал поля скоростей; e – параметр амплитуды волны.
Таким образом, демонстрируется достаточная общность исходной постановки задачи и применимость методики построения нелинейной теории и вывода
уравнений.
В разделе 3.4 выводится векторное операторное уравнение простой волны.
Систему уравнений типа уравнений Буссинеска (3) можно представить в виде (исµh )
пользуется соотношение p[h ]= P
µ Ñ h,
ut + (uÑ 1 )u = - h- 1C
1
2
h t + Ñ 1 (h u)= 0
где введен векторный оператор Ĉ скорости возмущения. Показано, что обобщенное уравнение Римана простой волны имеет вид
µ(u)Ñ u = 0,
µ(u)= 1 u + u u - 1 · P
(4)
ut + uÑ 1 + C
C
1
2
(
)
- 11 -
· ·
µ. Установлено,
P следует понимать в том смысле, что P P = P
µ* = (w(k ) k )2 . Таким образом, по известному операчто Фурье-образ оператора P
µ можно построить уравнение простой волны. Соотношения (4) справедлитору P
вы в нелинейной газодинамике и теории мелкой воды.
На основе (4) выведено нелинейное эволюционное уравнение
æ 3 xö
a
÷
xt + c0 çç1 +
x
+
bx
L[xx ]= 0
(5)
÷
x
xxx
çè 2 h ÷
ø
2p
2ps 2c0
c æ
3g 12p 2s 4 ö÷
c0 = gh , a =
,
b = 0 ççh 2 + 2 2 ÷
÷
rg
6 çè
rg
r g ø÷
где оператор
·
Показано, что в докритическом электрическом поле возможен случай b = 0 ,
т.е. вырождение (5). Стационарная волна описывается уравнением
3 c0 2
a
(6)
bxxx +
x - V xL[x]+ A = 0
4h
2p
где x – бегущая переменная; V + c0 – скорость волны; A – константа интегрирования.
В разделе 3.5 находится слабонелинейное решение уравнения (6). Показано,
что в случае b < 0 возможны различные профили волн (рис. 3) в зависимости от
соотношения между волновым числом k и
k* =
( 1 + 12 b c
0
)
a2- 1 a 6b
Рис. 3 Профили волн для слабонелинейного решения
В разделе 3.6 находится солитонное решение (6) в приближении действия
слабого электрического поля, т.е. при a = 1 . Разложение (6) по малому параметру
a приводит к уравнению Кортевега–де Фриза и неоднородному стационарному
- 12 -
уравнению Шрёдингера. Найденные профили солитонов могут иметь до 3 «горбов» и приведены на рис. 4.
В разделе 3.7 рассматривается вырожденный случай b = 0 . Показано, что
линейный оператор L связан с преобразованием Гильберта (интеграл понимается
в смысле главного значения):
+¥
u (x¢, t )dx¢
é¶ u ù
1
L[u ]= - 2p H ê ú, H[u ]= VP ò
êë¶ x ú
p - ¥ x - x¢
û
Таким образом, уравнение (5) обобщает уравнения Кортевега–де Фриза и
Бенджамина–Оно:
æ
3 ö
ut + ççc0 + u ÷
÷u x + bu xxx + a H[u xx ]= 0
çè
2 ø÷
Тогда при b = 0 существует стационарное решение с рациональным профилем u (z )= 4a (4 + a a 2 z 2 ), и скоростью V = 2a 3a .
Рис. 4 Профили уединенных волн (1-4): a V b = 0; 0.016; 0.05; 0.1
В разделе 3.8 найдено решение уравнения (6) в виде ряда
¥
3
u (z )= y 0 (z )+ å a n y n (z ),
y ¢0¢+ y 02 - y 0 + A = 0
(7)
2
n= 1
y
Функции n – решения неоднородных стационарных уравнений Шредингера, определяемые рекуррентно
- 2
y n (z )= y ¢0 ò ò y ¢0Gn (z )dz (y ¢0 ) dz, G1 (z )= H éëy ¢0 ù
û
(
Gn (z )= H éëy ¢n- 1 ù
û+
)
n- 1
å
y k y n- k , n ³ 2
k= 1
Показано, что ряд (7) представляет собой асимптотическое разложение Пуанкаре – каждое слагаемое расходится при z ® ¥ , но, набирая достаточное число
слагаемых, на ограниченном интервале по z можно получать сколь угодно точное
решение.
- 13 -
В разделе 3.9 решается задача исследования влияния электрического поля
на кноидальные волны. Расходимость ряда (7) устраняется методом Линдштедта–
Пуанкаре при помощи «растяжения» масштаба по горизонтальной переменной,
откуда
- 2
¢
¢
y 0 (z )= a dn 2 [z, s ]+ b, y 1 (z )= y ¢
0 ò ò y 0G1 (z )dz + A (y 0 ) dz
(
)
z = t (1 + a w1 + O (a 2 )), w1 = K (s ) 8p
где a , s – амплитуда и модуль кноидальной волны; K (s) – полный эллиптический
интеграл 1 рода; константа A определяется из условия y ¢ = 0 :
z= K
- 2
y ¢0¢y 1 + w
,
w(z )= y ¢0 ò (y ¢0 ) dz
z® K y ¢
¢
0y 1 + 1
На рис. 5 представлены безразмерные функции возмущений, вычисленные согласно приведенным формулам. Результаты прекрасно согласуются с расчетами для
солитонного решения.
A = - lim
Рис. 5 Вид безразмерной функции возмущения при различных модулях s ,
кривые (1–5): 0.05; 0.5; 0.7; 0.8; 0.85
Пространственный эффект влияния слабого электрического поля состоит в
«расплывании» возмущений по горизонтали.
Электрическое поле приводит к заострению профиля нелинейной волны в
случае b > 0 . Нелинейная волна с модулем s = 0.8 подвергается такому влиянию
слабее, чем волна с модулем s = 0.5 . В случае b < 0 слабое электрическое поле
оказывает наоборот, сглаживающее воздействие на нелинейные волны. Так, при
s = 0.5 с увеличением параметра поля на месте минимумов исходного профиля
может появиться максимум возмущенного профиля. Нелинейные волны с модулем s = 0.8 подвержены влиянию электрического поля слабее, но характер влия- 14 -
ния поля остается прежним – профиль волны сглаживается, минимумы поднимаются, а максимумы – опускаются.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
В качестве основных результатов диссертационной работы в рамках развития теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильнонеравновесных систем можно выделить следующие положения:
1. Выведено дисперсионное уравнение для флуктуаций заряженной границы
раздела двух сред конечной толщины, нижняя жидкость – вязкая, проводник; верхняя – идеальная, диэлектрик; верхняя жидкость имеет фоновое
движение относительно нижней. Проанализированы предельные случаи;
дисперсионное уравнение малых возмущений заряженной границы раздела
двух бесконечно глубоких сред разделено на действительную и мнимую части, проведен численный анализ решений.
2. Показано, что электрическое поле эффективно снижает пороговые условия
конвективной неустойчивости при подогреве снизу. В зависимости критического числа Рэлея от волнового числа синусоидального возмущения появляется минимум. При околокритических значениях напряженности электрического поля достаточно даже слабого подогрева снизу для наступления конвективной неустойчивости. Последнее обстоятельство говорит о глубокой
связи и взаимном влиянии тепловых потоков и электрических полей на
неравновесность системы.
3. Определено, что нагрев сверху приводит к комбинированной инверсионной
электро-конвективной неустойчивости (ИЭКН). Физически такая неустойчивость связана с тем, что неустойчивость Френкеля-Тонкса в стратифицированной среде определяется плотностью на поверхности, которая при
нагреве сверху – уменьшается. Эффективные значения параметра электрического поля и волнового числа неустойчивого возмущения оказываются
пропорциональны квадратному корню из отношения плотностей жидкости
на поверхности и на дне. Проведенные оценки указывают необходимость
учета ИЭКН при разработке технологий электродиспергирования металлов
и сплавов, а саму ИЭКН следует рассматривать как обусловленную сильной
неравновесностью системы.
4. Установлено, что даже малое фоновое относительное движение жидкостей
приводит к устранению точек бифуркации дисперсионных соотношений.
При малых значениях скорости относительного движения дисперсионные
зависимости для флуктуаций, распространяющихся вправо и влево, различаются на малую величину первого порядка по параметру скорости. Дисперсионные кривые расщепляются, образуя «тонкую» структуру спектра линейных волн.
5. Найдено новое параметрическое представление дисперсионного соотношения для флуктуаций заряженной поверхности раздела двух покоящихся
жидкостей, нижняя из которых – вязкая, проводник; верхняя – идеальная,
- 15 -
диэлектрик. При помощи параметрического представления показано, что
наличие верхней жидкости приводит к изменению бифуркационных значений волновых чисел, отвечающих переходу двух затухающих периодических мод в две апериодические. Влияние поверхностного натяжения, электрического поля и силы тяжести может быть описано при помощи одного
безразмерного комплекса W(k ), который в зависимости от соотношения параметров определяет капиллярный, гравитационный, электрокапиллярный и
электрокапиллярно-гравитационный спектры.
6. Выведены при помощи найденного дисперсионного соотношения характерные спектры волн малой амплитуды, содержащие знак модуля. Последний
появляется в связи с нечетным продолжением зависимости w(k ); найден
приближенный спектр w(k ) вблизи критических значений электрического
поля.
7. Вычислены для характерных разложений дисперсионной зависимости w(k )
функции Грина, определяющие линейную эволюцию волновых пакетов. В
случае «мелкой» жидкости сильнонеравновесное возмущение типа «ступенька» видоизменяется масштабным преобразованием и параллельным
сдвигом. В случае глубокой жидкости, находящейся в околокритическом
электрическом поле, начальное возмущение распадается на две части, движущиеся навстречу друг другу: в различные моменты времени профиль
волны, описывающий линейную эволюцию сильнонеравновесного возмущения типа «ступенька» на поверхности глубокой жидкости в критическом
электрическом поле, изменяется преобразованием, не сводящимся только
масштабному изменению.
8. Выведены квадратично-нелинейные по амплитуде уравнения, длинноволновое и коротковолновое приближения, а также уравнения простых волн для
возмущений тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле. Для этого предложен эффективный способ использования разложения в ряд по малому амплитудному параметру всех искомых функций, кроме плоского потенциала поля скоростей функции отклонения точек поверхности от невозмущенного состояния. Развита методика вывода уравнений любого наперед
заданного порядка нелинейности с учетом влияния электрического поля.
9. Показано, что в рамках квадратично-нелинейной теории капиллярные, электрические и гравитационные эффекты могут быть описаны при помощи линейного интегрально-дифференциального оператора давления. Установлено,
что фурье-образ введенного оператора давления однозначно связан с дисперсионным соотношением, найденным в линейном приближении. Отрицательные значения Фурье-образа оператора давления приводят к неустойчивостям, а сам оператор играет важную роль при выводе уравнений простых
волн.
10.Разработан для теории «мелкой воды» новый способ вывода уравнений простых волн, обобщающий известное уравнение Римана. Обобщенное уравне- 16 -
ние простых волн Римана представляет собой нелинейное векторное уравнение, в котором вместо скорости (классическое уравнение Римана) фигурирует векторный оператор скорости. Последний определяется описанным
выше оператором давления.
11.Установлено, что уравнение эволюции длинноволновых возмущений на поверхности тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле (теория
«мелкой воды») обобщает собой уравнения Кортевега–де Фриза и Бенджамина–Оно. С увеличением напряженности электрического поля эволюционное уравнение вырождается в уравнение Бенджамина – Оно. Найденное вырождение обнаружено впервые и связано с взаимодействием электрических,
капиллярных и гравитационных сил; оказывается возможным существование электро-капиллярного солитона – стационарного решения уравнения
Бенджамина–Оно, как стационарной нелинейной волны, в системе с квадратичной дисперсией.
12.Обнаружено, что даже слабое электрическое поле существенно влияет на
вид стационарных решений эволюционного уравнения. При разложении по
параметру электрического поля поиск профиля стационарной волны сводится к решению уравнений Кортевега–де Фриза и Шрёдингера. Учет слабого
электрического поля приводит к появлению дополнительных максимумов в
профиле солитона. Найдены соответствующие функции поправки.
13.Определено, что электрическое поле приводит к сглаживанию кноидальных
волн. Особенно чувствительны к действию электрического поля слабонелинейные волны. Причина обнаруженных эффектов влияния электрического
поля кроется в качественном изменении дисперсионной зависимости для
линейных волн: в снижении значения параметра кубической дисперсии и
появлении квадратичного по волновому числу слагаемого, пропорционального квадрату напряженности электрического поля.
Основные результаты диссертации отражены в работах автора:
1. Юрченко С.О., Алиев И.Н. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXX Академических чтений по космонавтике. (Москва, январь 2006 г.) / Под ред. А.К. Медведевой. – М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2006. – С. 316-318.
2. И.Н. Алиев, А.В. Косогоров, С.О. Юрченко. О постановке нелинейной задачи в электродинамике поверхности жидкости // Необратимые процессы в
природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. – М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана, ФИАН, 2007. – С. 209-211.
3. Юрченко С.О. Учет нелинейных эффектов в динамке движения топлива в
двигателях малой тяги // Актуальные проблемы российской космонавтики:
Труды XXXI Академических чтений по космонавтике. (Москва, январь
- 17 -
2007 г.) / Под ред. А.К. Медведевой. – М.: Комиссия РАН по разработке
научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2007. –
С. 364.
4. И.Н. Алиев, В.П. Карасева, С.О. Юрченко. Некоторые вопросы динамики
движения топлива в реактивных двигателях малой тяги // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная
акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды,
веществ, материалов и изделий. Сб. материалов XIX Всероссийской
межвузовской научно-технической конференции. – Казань: Изд-во «Отечество», 2007. – C. 125-127.
5. И.Н. Алиев, В.П. Карасева, С.О. Юрченко. Учет нелинейных эффектов в
динамике движения топлива в реактивных двигателях малой тяги // Шестая
международная научно-техническая конференция. Чкаловские чтения. Посвящается 70-летию перелета экипажа Чкалова и 60-летию ЕАТК ГА им.
В.П. Чкалова. Сборник материалов. – Егорьевск: ЕАТК ГА им. В.П. Чкалова, 2007. – С. 79-80.
6. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Инженерно-физический журнал. – 2007. – Т.80, №5. – С. 64-69.
7. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. К вопросу о неустойчивости
границы раздела двух сред конечной толщины // Инженерно-физический
журнал. – 2007. – Т. 80, №6. – С. 127-133.
8. Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах на заряженной границе
раздела двух движущихся сред // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия
«Естественные науки». – 2008. – №1. – С. 56-69.
9. И.Н. Алиев, Е.В. Назарова, С.О. Юрченко. Исследование комбинированной Френкеля-Тонкса и конвективной неустойчивости // Вестник МГТУ
им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2008. – №3. – С. 16-28.
10.С.О. Юрченко, И.Н. Алиев, В.А. Павлов. О расщеплении решений дисперсионного уравнения волн малой амплитуды на поверхности раздела несмешивающихся жидкостей // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. – М.: МГТУ им.
Н.Э. Баумана, ФИАН, 2009. – С. 142-145.
11.С.О. Юрченко, И.Н. Алиев, С.Л. Гайдашов. О влиянии электрического
поля на вид нелинейных волн на поверхности проводящей жидкости //
Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля
природной среды, веществ, материалов и изделий. Сб. материалов XX Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. – Казань:
Изд-во «Отечество», 2009. – C. 5-6
- 18 -
12.Юрченко С.О., Алиев И.Н. О расщеплении и бифуркациях решений дисперсионного уравнения волн малой амплитуды на заряженной поверхности
раздела двух сред // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2009. – №5. – С.38-45
13.Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах, распространяющихся
на поверхности идеальной проводящей жидкости в электрическом поле //
Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2009. – №5. – С.137-148.
- 19 -