вопросы к экз. ркт1

1
Вопросы для подготовки к экзамену
по курсу Теория вероятности и математическая статистика
(для РКТ1-61)
МОДУЛЬ 1: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пространство элементарных событий. Классическое, статистическое и аксиоматическое определение вероятности. Комбинаторное и геометрическое определение вероятности.
2. Теорема сложения вероятностей. Совместные и несовместные события. Условная
вероятность. Теорема умножения вероятностей.
3. Независимые случайные события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4. Дискретные случайные величины. Биномиальная схема независимых испытаний.
Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Теорема Бернулли.
5. Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии.
6. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности и функции распределения
непрерывной случайной величины.
7. Равномерное и нормальное распределения. Функция Лапласа. Показательное распределение, Г-распределение и его свойства.
8. Функция от случайной величины и ее числовые характеристики.
9. Случайные векторы (многомерные случайные величины). Дискретные случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее основные свойства.
10. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распределения непрерывного
случайного вектора.
11. Независимые случайные величины. Ковариация и ее основные свойства. Коэффициент корреляции и его основные свойства. Ковариационная матрица.
12. Закон больших чисел и его основные содержание. Неравенство Чебышева. Теорема
Чебышева.
13. Центральная предельная теорема. Теорема Бернулли и теорема Муавра-Лапласа как
следствия центральной предельной теоремы.
1.
МОДУЛЬ 2: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
14. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность,
выборка, вариационный ряд, мода, медиана. Гистограмма и полигон частот, выборочная функция распределения.
15. Статистическая оценка неизвестного параметра. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Примеры оценок.
16. Точечные оценки. Метод моментов. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Показатели асимметрии и эксцесса.
17. Метод максимального правдоподобия (МП). Оценка МП для вероятности
успеха в биномиальной схеме.
2
18. Оценка МП для параметра экспоненциального распределения.
19. Оценка МП дисперсии нормального распределения.
20. Неравенство Рао-Крамера. Доказательство несмещенности и эффективности
оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
21. Доказательство несмещенности и эффективности оценки дисперсии при известном математическом ожидании нормального распределения.
22. Доказательство смещенности выборочной дисперсии и несмещенности исправленной выборочной дисперсии как оценок дисперсии нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией.
23. Основные распределения математической статистики: Г- распределение,
экспоненциальное, нормальное, хи-квадрат, Стьюдента и Фишера. Свойства Граспределения.
24. Интервальные оценки. Интервальные оценки математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии и при неизвестной дисперсии
Интервальная оценка дисперсии нормального распределения.
25. Общий принцип построения интервальных оценок. Оценка параметра экспоненциального распределения.
26. Приближенные интервальные оценки. Оценка параметра в схеме Бернулли.
27. Проверка статистических гипотез. Основные понятия: нулевая и конкурирующая гипотеза, простые и сложные гипотезы. Статистический критерий, критическая область, область принятия решений. Ошибки первого и второго рода. Уровень
значимости и мощность критерия.
28. Критерий Колмогорова. Проверка нормальности распределения по критерию Колмогорова.
29. Критерий хи-квадрат Пирсона.
30. Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения.
31. Лемма Неймана-Пирсона.
32.
Метод наименьших квадратов. Оценивание параметров модели при повторных наблюдениях. Отбрасывание грубых (ошибочных) наблюдений.
33. Статистический анализ уравнения регрессии. Проверка адекватности регрессионной модели.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
7.1. Основная литература
1. Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М. и др. Математическая статистика – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
1972. – 368 с
3. Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Вся высшая математика. Т. 3 и 4. – М.: УРСС, 2001
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 386 с
5. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 2006. – 584 с.
7.3 Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)
3
1. Карташов Г.Д., Павлов И.В., Тимонин В.И. Проверка статистических гипотез. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.
2. Карташов Г.Д., Павлов И.В., Тимонин В.И. Методические указания к выполнению типового расчета по математической статистике. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1995 .