ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ Программа курса лекций 1. Введение

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Программа курса лекций
(3 курс, 5 сем., 72 ч., диф. зачет)
Профессор, д.ф.м.н. Гинзбург Эдуард Израилевич
1. Введение
Переменные состояния. Оператор эволюции. Динамические системы
(ДС). ДС с сосредоточенными и распределенными параметрами (ДССП и
ДСРП). Математическая модель ДССП. Число степеней свободы.
Обобщенные
координаты
и
скорости.
Фазовые
пространства.
Интегральные
кривые
и
фазовые
траектории.
Классификация
динамических систем. Методы теории нелинейных колебаний
(классификация).
2. Колебания в линейных системах
Линейные автономные динамические системы с одной степенью
свободы (линейный осциллятор). Фазовые портреты таких систем. Модели
Ломки и Вольтерра. Плоскость параметров системы. Бифуркационные
кривые. Неавтономные системы. Резонанс. Нормальные координаты.
Колебания в линейных системах с двумя степенями свободы (связанные
осцилляторы). Коэффициенты распределения, связанности и связи,
графики Вина, внутренний резонанс. Вынужденные колебания в таких
системах. Обобщение на n степеней свободы. Колебания в нормальных
координатах. Параметрические колебания. Модели Хилла и Матье.
Теорема Флоке.
3. Теория устойчивости ДС.
Понятие устойчивости по Ляпунову. Устойчивость равновесного
состояния. Устойчивость периодического движения. Прямой метод
Ляпунова. Метод первого приближения. Устойчивость линейных систем.
Критерии устойчивости Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста.
Устойчивость неавтономных систем.
4. Аналитические методы
Особенности аналитических методов. Метод малого параметра
Пуанкаре. Нерезонансные вынужденные колебания. Задача Дюффинга.
Колебания при резонансе на основной гармонике и на субгармониках.
Модель Дюффинга и нелинейный резонанс. Нелинейные фазовые
колебания в циклических накопителях электронов. Собственные
периодические колебания нелинейных систем. Вариационные методы.
Метод Галеркина. Метод вариации параметров. Асимптотические методы.
U-метод для автономных систем. Модель Ван-дер-Поля. Триодный
генератор. Вращающаяся фазовая плоскость. Асимптотический метод для
неавтономных систем. Эквивалентная линеаризация нелинейных систем.
Метод усреднения. Перемещение Ван-дер-Поля. Нелинейный резонанс.
Перекрытие нелинейных резонансов. Автоколебания в многочастотных
системах. Вынужденная синхронизация. Конкуренция. Взаимная
синхронизация мод.
5. Качественные методы
5.1. Фазовые портреты консервативных систем. Построение фазовых
траекторий на основе энергетического баланса. Фазовые траектории в
окрестности равновесного состояния. Типы движений в консервативных
системах. Орбитная устойчивость. Неизохронность и ангармоничность
нелинейных колебаний. Одночастичные движения в магнитной ловушке
(электрон в продольном поле). Модель Вольтерра. Ансамбль нелинейных
осцилляторов. Фазовый портрет перекрытия нелинейных резонансов.
5.2. Периодические автоколебания. Предельные циклы на фазовой
плоскости. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы.
Релаксационные автоколебания. "Быстрые" и "медленные" движения.
Качественные
исследования
разрывных
колебаний.
Модель
релаксационного генератора.
5.3. Фазовые портреты равновесных диссипативных систем. Грубость
динамической системы. Законы совместного существования особых точек.
Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре. Обобщенная
электронная схема с нелинейным элементом. Криотронные схемы.
Триггерные ячейки памяти. Колебания в сверхпроводящих соленоидах.
6. Метод точечных преобразований.
Метод точечных преобразований при исследовании автоколебательных
систем. Криотронный генератор. Гармонический осциллятор с нелинейным
затуханием.
7. Применение качественных методов к исследованию неавтономных
систем.
Синхронная многолистная фазовая плоскость. Субгармонические
колебания в ферромагнитной пленке. Параметрическая неустойчивость.
Бетатронные колебания в ускорителях с жесткой фокусировкой. Принцип
автофазировки и синхротронные колебания в электронных ускорителях и
накопителях.
2
8. Стохастическая динамика простых систем.
Точечные отображения. Бифуркация периодических движений.
Гомоклинические структуры. Случайность в динамической системе.
Стохастическая динамика одномерных отображений. Генератор шума, его
статистическое описание. Пути возникновения странных аттракторов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Литература
Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Наука, 1972.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука,
1964.
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
Фомель Б.М. Методы теории нелинейных колебаний. Новосибирск:
Изд-во НГУ, 1970.
Гольдин Л.Л. Физика ускорителей. М.: Наука, 1983.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.
М.: Наука, 1984.
3