Документ 923153

Айзенберг Н.И.
Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН
Иркутск
ПОСТРОЕНИЕ ИНДЕКСОВ ЦЕН В ВИДЕ ОБОБЩЁННОГО СРЕДНЕГО С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ CES-ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Работа выполняется при финансовой поддержке РГНФ, грант № 09-0200278а
За более чем двухсотлетнюю практику в экономической статистике сложились
некоторые традиции использования определённых формул расчёта для вычисления
индексов цен и объёмов. В целом агрегирование цен и объёмов базируется на различных
способах усреднения, использующих отличные друг от друга весовые коэффициенты,
сравнительные базы и др. Наиболее распространёнными и общепризнанными являются
формулы Ласпейреса и Пааше, которые стали использоваться в статистике одними из
первых. В процессе долгой «эволюции» взглядов на качества экономических параметров
были предложены более сложные формулы расчёта, в том числе индексы Фишера,
Торнквиста, Уолша, Эджворта. Их хорошие свойства доказаны рядом исследователей в
рамках тестового, аксиоматического и экономического подхода к индексному анализу [14]. Важное преимущество этих методов перед индексами Ласпейреса и Пааше состоит, в
том числе, в использовании одновременно данных объёмов как базисного так и текущего
периодов. Это позволяет учитывать изменение в предпочтениях потребителя во времени.
Однако в силу объективной невозможности быстрого сбора сведений о текущих объёмах,
такие индексы нельзя рассчитывать оперативно. В докладе рассматривается формула
обобщенного среднего, где в качестве параметра среднего используется эластичность
замены одного товара другим. Эту формулу можно получить, руководствуясь моделью
рынка покупателя с функцией затрат, характеризующейся постоянной эластичностью
замены одного товара другим (CES-функция) [5]. Индекс цен, найденный через
обобщенное среднее, может рассчитываться оперативно, т.к. не требует данных об
объёмах текущего периода, при этом изменение потребительских предпочтений будет
отражать показатель эластичности.
Рассмотрим задачу построения экономических индексов с точки зрения некоторой
модели поведения покупателя или продавца [6]. Обозначим Rn и Rn множество n мерных векторов с неотрицательными и положительными всеми компонентами. Пусть
Q  Rn вектор количеств выбираемых потребителем благ на рынке с компонентами Qi , n
– количество рассматриваемых благ, i [1, n] – номер товара, P  Rn – вектор цен с
компонентами Pi , u Q  – функция полезности, описывающая потребительские
предпочтения. Тогда будем полагать, что наблюдаемый вектор объёмов в исследуемом
периоде является решением задачи минимизации расходов потребителя при заданном
векторе цен и некотором уровне удовлетворения потребительских предпочтений


QP, U   arg min  Pi Qi : Q  Rn , u Q   U  ,
(1)
 i

где U – заданное значение функции полезности u(Q) .
Решение этой задачи для уровня полезности U и вектора цен P определяет
функцию затрат потребителя. Аналитические индексы являются соотношением
минимальных затрат на достижение одного и того же уровня полезности U при ценах
сравниваемых периодов.
Известно, что при положительно однородной функции полезности аналитический
индекс цен определится однозначно. Одним из примеров вектор-функции, порождающей
линейную однородность функции полезности, может стать QP,U  , соответствующая
1
постоянной, одинаковой по всем товарам эластичности объёма от цены при
зафиксированном значении U функции u Q  [1].
Qi P,U   GP,U i Pi  ,
где  i – весовой коэффициент; G (U , P)
достигнутого уровня полезности U

(2)
некоторая масштабирующая функция от

 1
 n
1  


G ( P, U )  U    j Pj  
, при   1
 j 1


G( P,U )  U  Pj  j , при   1 .
(3)
j
В этом случае функцией минимальных затрат будет известная в литературе CESфункция (constant elasticity of substitution) с постоянной эластичностью замены между
товарами [7]. Тогда аналитический индекс цен может быть представлен в виде формулы
обобщенного среднего. Этот результат был получен Ллойдом (1975), Зоркальцевым
(1995), Моултоном (1996). В литературе индекс носит название Ллойда-Моултона.
1
1 
t

 1
t
  Pi 

I A   si     ,
(4)
 i  Pi  



t
где P и P – векторы цен в базисный период  и текущий период t , si – весовой
коэффициент, определяемый как удельный вес стоимости i -го товара в общей стоимости
в период  .
Для расчёта индекса (4) необходима следующая информация:

доли расходов базисного периода для получения весовых коэффициентов,

соотношения цен в двух периодах,

оценка эластичности замещения товаров.
Оценка параметра эластичности замены:
Первый шаг это вычисление индекса Ллойда-Моултона с различными
эластичностями и весовыми коэффициентами по базисному году. Величина эластичности
варьируется от -2 до 2. При положительном значении  все описанные (2)-(3) ситуации
определяют модели поведения потребителя, для которого характерна отрицательная
взаимосвязь между ростом цены и объёмом потребления. Если  будет меньше нуля, то
модель (2)-(3) описывает поведение продавца, для которого свойственно увеличивать
объёмы продаж при увеличении цен.
Далее индекс Ллойда-Моултона, вычисленный с различными параметрами
эластичности, сравнивается со значением известных статистических индексов, хорошие
свойства которых теоретически доказаны (Фишера, Торнквиста, Уолша). Вычисляется
степень несовпадения индекса Ллода-Моултона с перечисленными индексами по
следующему критерию по всем периодам
t 1 t
T


1 Ip
   exp  ln t 1 t  1100% ,


I A
t 1 T


t 1 t
где I A – индекс Ллойда-Моултона с определённым значением  , I tp1 t – индекс
рассчитанный по одной из формул
индекс Уолша
IE pt   Pi t (Qit  Qi )  Pi  (Qit  Qi ) ;
индекс Торнквиста
 
IT pt   pit
i
,
i
2


Pi t Qit
1  Pi Qi
где весовой коэффициент i 

n
2 n  
P
Q
Pi t Qit
 i i

i 1
 i 1
IFpt  ILpt IPpt .
индекс Фишера
где ILpt   Pi t Qi


 ;



P Q

i

i
– индекс Ласпейреса, а IPpt   Pi t Qit
P Q

i
t
i
– индекс Паше.
Выделяется параметр  , при котором  наименьшие. Формируется индекс
Ллойда-Моултона (4) для расчёта динамики цен.
Формирование индекса Ллойда-Моултона.
Для расчётов были выбраны четыре базы данных розничных цен и объёмов,
которые различаются набором товаров и уровнем инфляции.
1. Россия 1992 – 2001 год – в этот период наблюдалась значительная инфляция. Базу
данных составили цены и объёмы 15-ти разнородных товаров, включающие в себя
наименования продуктов питания и одежды. Эластичность замещения оценена
около 0,6. Это видно из таблицы расчётов – этой эластичности замещения
соответствуют самые небольшие отклонения индекса Ллойда-Муолтона от
значений известных индексов. Соответственно сам индекс Ллойда-Муолтона для
периодов со схожими характеристиками будет выглядеть следующим образом
0, 4
t


t
  Pi 

I A   si    
 i  Pi  


1
0, 4
, где si 
Pi Qi
.
 Pi Qi
i
Таблица. Отклонения значений индексов Ллойда-Моултона, вычисленных при разных
эластичностях, от значений индексов Фишера, Торнквиста и Уолша, усредненные по всем
периодам.
Параметр
эластичности

2
1,5
1
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0
-0,5
-1
-1,5
-2
Значение параметра  , %
Отклонения от
Отклонения от
Отклонения от
значения индекса
значения индекса
значения индекса
Фишера
Торнквиста
Уолша
43,6
43,8
43,7
31,2
31,4
31,3
19,7
19,6
19,9
16,6
16,5
16,8
15,9
15,9
16,0
15,8
15,7
15,9
16,1
16,1
16,2
17,7
17,8
17,9
26,5
26,7
26,5
42,1
42,3
42,1
60,9
61,1
61,1
81,1
81,3
81,3
99,5
99,7
99,6
2. Россия 2000 – 2007 год, 34 разнородных товара, умеренная инфляция.
Эластичность замещения оценена около 0,1.
3. Россия 1921 – 1938 год, 16 товаров – только продовольственные, умеренная
инфляция. Эластичность замещения – около 1,1.
4. Венгрия 1960 – 1975 год, 35 товаров – только продовольственные, значительная
инфляция. Эластичность замещения – около 0,9.
3
Обсуждение результатов.
Положительные моменты расчёта индекса цен формулой (4) с заранее выбранной
эластичностью замещения одного товара другим:
Простота расчёта. Минимум необходимых данных для вычисления значений
индекса, что особенно ценно при оперативном расчёте индекса цен.
Возможно применение этой формулы в условиях достаточно высокой инфляции,
когда очень важен учёт эффекта замещения одних товаров другими. В официальной
статистике при вычислении индекса потребительских цен эффекты замещения одного
товара другим учитываются с помощью ежегодной корректировки объёмов потребления
на основе наблюдений за домашними хозяйствами. В случае значительной инфляции
такая редкая корректировка явно не достаточна, важны изменения потребительских
предпочтений внутри года. Индекс Ллойда-Моултона учитывает это через параметр
эластичности без дополнительных исследований и необходимости получения данных об
объёмах.
По итогам исследований можно сказать, что формулу Ллойда-Моултона имеет
смысл применять для взаимозаменяемых товаров. Эластичность замещения для рынков
продовольствия в эксперименте получилась отличной от нуля, т.е. влияние взаимозамены
продуктов существенно, что и будет отражать индекс (4).
Важной является самостоятельная задача оценки эластичности спроса на товары по
цене. Такие данные зачастую необходимы для построения некоторых общих моделей,
анализа, прогноза, корректировки и др. Рассмотренная методика, построенная на основе
формулы (4), оценивает эластичность спроса (правда для всех исследуемых товаров
разом) достаточно изящно.
Отрицательные моменты.
Использование для описания предпочтений потребителя, для которых эластичность
замещения одинакова для всех товаров и неизменна во времени, далеко от реальности. Т.е.
замещение между мясом и хлебом или мясом и носками описывается одинаковым
параметром! Поэтому утверждение, что потребительские предпочтения описываются
CES-функцией можно принять лишь в некотором приближении, учитывая, что это тоже
будет порождать ошибку при вычислении индекса.
Если эластичность замещения близка к нулю, т.е. четкую взаимосвязь между
динамикой цен и объёмов выделить сложно, то формула Ллойда-Моултона перейдёт в
формулу с нормативными объёмами. Ее иначе называют индексом фиксированного
состава. В этом случае общепринятые формулы, широко используемые в статистике,
(например, Ласпейреса) смотрятся предпочтительнее.
Литература:
1. Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. Новосибирск: Наука,
1996. 279 с.
2. Фишер И. Построение индексов: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1990.
3. Diewert W.E., Nakamura A.O. Essays in Index Number Theory, Contributions to
Economic Analysis. 1993. Amsterdam: North-Holland 445P.
4. Ершов Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа
// Экономика и математические методы, 2003, том 39, №2.
5. Balk B.M. On Curing the CPI’s Substitution and New Goods Bias // Research Paper
0005, Department of Statistical Methods (Voorburg: Statistics Netherlands). 2000.
6. Аллен Р. Экономические индексы: Пер. с англ. М.: Статистика. 1980. 321 c.
7. Consumer price index manual: Theory and practice. Geneva, International Labour Office,
2004
4