МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1 1

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1
Рассмотрим задачу со следующими параметрами:
a
3
b
-3
c
1
d
6
e
-5
т.е.
f(x1 , x 2 )=3 x12  3 x1x 2  x 22  6 x1  5 x 2
Аналитическое решение. Воспользуемся необходимым условием
экстремума функции 2 переменных:
 f ( x1 , x 2 ) 


x1
0
grad f ( x1 , x 2 )  
 f ( x1 , x 2 ) 


x 2


В нашем случае
f ( x1 , x 2 )
 6 x1  3 x 2  6 ,
x1
f ( x1 , x 2 )
 3 x1  2 x 2  5.
x 2
Поэтому, решая систему
6 x1  3 x 2  6,

3 x1  2 x 2  5,
получаем:
1 
x*   .
4
Точка x* является подозрительной на экстремум. Для выяснения,
является ли она точкой экстремума, проверим достаточное условие. Для
этого вычислим гессиан функции f(x1,x2):
  2f ( x1 , x 2 )

2

x
1
G( f ( x1 , x 2 ))   2
  f ( x1 , x 2 )

 x 2x1
 2f ( x1 , x 2 ) 

x1x 2   6 3 

.
 2f ( x1 , x 2 )   3 2 

x12

Как известно из теории необходимых и достаточных условий
экстремума функции n переменных, если
1) гессиан положительно определен, то x* - точка минимума;
2) гессиан отрицательно определен, то x* - точка максимума;
3) знак гессиана не определен, то x* - седловая точка.
В остальных случаях требуется дополнительное исследование.
Для выяснения знака гессиана, вычислим его главные миноры:
M1=6>0;
6 3
M2 
 6  2  ( 3 )  ( 3 )  12  9  3  0
3 2
Поскольку оба главных минора положительны,
положительно определен, а x* - точка минимума f(x1,x2).
то
гессиан
Численное решение методом покоординатного спуска. В
соответствии с условием, в качестве начальной точки выбираем x0=(0,0)T,
f(x0)=0.
Итерация 1. Вычислим в точке x0 градиент функции:
 6x  3x2  6 
 6
grad f ( x 0 )   1

 g0



 3 x1  2 x 2  5  x10  5 
x 2 0
Поскольку g10  6   и g10  5   , то точка x0 не может быть принята в
 1
качестве приближенного решения, а направление l 0    является
0
направлением спуска. Найдем точку минимума нашей функции вдоль этого
направления. Для этого рассмотрим луч
0
 1   
x(  )  x 0   l 0          
0
0  0 
и функцию
 (  )  f ( x 0   l 0 )  f   , 0   3(  )2  6(  )  3 2  6 .
Функция φ(θ), в которую «превратилась» функция двух переменных
f(x1,x2) вдоль луча x(θ), является функцией одной переменной, хорошо
известной из школы: её график – парабола, ветви которой ориентированы
вверх. Поэтому она имеет единственную точку экстремума – минимум, для
нахождения которого используем необходимое условие экстремума
функции одной переменной:
d (  )
 6  6  0 .
d
Отсюда θ=1.
 1
Точка x( 1)    является точкой минимума функции f(x1,x2) вдоль
0 
луча x(θ) и принимается в качестве точки x1, с которой переходим к
следующей итерации, f(x1)=-3.
Итерация 2. Вычислим в точке x1 градиент функции:
 6x  3x2  6 
0
grad f ( x 1 )   1

 g1



 3 x1  2 x 2  5  x11  2 
x 2 0
Поскольку
g21   , то точка x1 не может быть принята в качестве
приближенного решения, а направление l 1   0,1 является направлением
спуска. Найдем точку минимума нашей функции вдоль этого направления:
 1
 0   1
x(  )  x 1   l 1           ,
0
 1   
T
 (  )  f ( x(  ))  f  1,    3( 1) 2  3( 1)   2  6( 1)  5   2  2  3 .
Отсюда:
 1
d (  )
 2  2  0,   1, x 2  x( 1)    , f ( x 2 )  4 .
d
1
Итерация 3. Вычислим в точке x2 градиент функции:
 6x  3x2  6 
 3 
g2   1


 0 .

3
x

2
x

5
x

1
 

1
2
 1
x 2 1
Поскольку
g12   , то точка x2 не может быть принята в качестве
приближенного решения, а направление l 2  1, 0  является направлением
спуска. Найдем точку минимума нашей функции вдоль этого направления:
T
 1
 1   1   
x(  )  x 2   l 2         

1
0  1 
 (  )  f ( x(  ))  f  1,    3( 1   ) 2  3( 1   )  1  6( 1   )  5  3 2  3  1.
Отсюда:
 0.5 
d (  )
 6  3  0,   0.5, x 3  x( 0.5 )  
, f ( x 3 )  4.75 .

d
 1 
Результаты последующих итераций приведем в виде таблицы
K
xk
gk
x(θ)
φ(θ)
θ
xk+1
f(xk+1)
4
 0.5 


 1 
 0 


 1.5 
 0.5 


 1  
 2  1.5  4.75
0.75
 0.5 


 1.75 
-5.313
5
 0.5 


 1.75 
 2.25 


 0 
 0.5   


 1.75 
3 2  2.25  5.313
0.375
 0.125 


 1.75 
-5.734
6
 0.125 


 1.75 
 0 


 1.125 
 0.125 


 1.75   
 2  1.125  5.734
0.563
 0.125 


 2.313 
-6.051
7
 0.125 


 2.313 
 1.689 


 0.001 
 0.125   


 2.313 
3 2  1.689  6.051
0.282
 0.157 


 2.313 
-6.289
8
 0.157 


 2.313 
 0.003 


 0.845 
 0.157 


 2.313   
 2  0.845  6.289
0.423
 0.157 


 2.736 
-6.467
9
 0.157 


 2.736 
 1.266 


 0.001 
 0.157   


 2.736 
3 2  1.266  6.467
0.211
 0.368 


 2.736 
-6.601
10
 0.368 


 2.736 
 0 


 0.632 
 0.368 


 2.736   
 2  0.632  6.601
0.316
 0.368 


 3.052 
-6.700
11
 0.368 


 3.052 
 0.948 


 0 
 0.368   


 3.052 
3 2  0.948  6.7
0.158
 0.526 


 3.052 
-6.775
12
 0.526 


 3.052 
 0 


 0.474 
 0.526 


 3.052   
 2  0.474  6.775
0.237
 0.526 


 3.289 
6.831
13
 0.526 


 3.289 
 0.711


 0 
 0.526   


 3.289 
3 2  0.711  6.831
0.119
 0.645 


 3.289 
-6.874
14
 0.645 


 3.289 
 0.003 


 0.357 
 0.645 


 3.289   
 2  0.357  6.874
0.179
 0.645 


 3.468 
-6.905
15
 0.645 


 3.468 
 0.534 


 0.001 
 0.645   


 3.468 
3 2  0.534  6.905
0.089
 0.734 


 3.468 
-6.929
16
 0.734 


 3.468 
 0 


 0.266 
 0.734 


 3.468   
 2  0.266  6.929
0.133
 0.734 


 3.601 
-6.945
17
 0.734 


 3.601 
 0.399 


 0 
 0.734   


 3.601 
3 2  0.399  6.945
0.067
 0.801


 3.601
-6.96
18
 0.801


 3.601
 0.003 


 0.201
 0.801 


 3.601   
 2  0.201  6.96
0.101
 0.801


 3.702 
-6.97
19
 0.801


 3.702 
 0 . 3 


 0.001
 0.801   


 3.702 
3 2  0.3  6.97
0.05
 0.851


 3.702 
-6.978
20
 0.851


 3.702 
 0 


 0.149 
 0.851 


 3.702   
 2  0.149  6.978
0.075
 0.851 


 3.777 
-6.983
21
 0.851 


 3.777 
 0.225 


 0.001 
 0.851   


 3.777 
3 2  0.225  6.983
0.038
 0.889 


 3.777 
-6.988
22
 0.889 


 3.777 
 0.003 


 0.113 
 0.889 


 3.777   
 2  0.113  6.988
0.057
 0.889 


 3.834 
-6.991
23
 0.889 


 3.834 
 0.168 


 0.001 
 0.889   


 3.834 
3 2  0.168  6.991
0.028
 0.917 


 3.834 
-6.993
24
 0.917 


 3.834 
 0 


 0.083 
На 24-ой итерации вычисления остановлены, поскольку достигнута
требуемая точность: g124  0    0.1, g224  0.083    0.1.
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2
Допустим, что матрица игры имеет вид:
 22 7 11 14 
A
.
2
12
6
4


1) решение графическим способом. Поскольку у первого игрока
Ò
только две чистых стратегии, то его смешанная стратегия   1 ,  2 
может быть описана следующим образом:
1   ,  2  1  
Если второй игрок использует чистую стратегию y1, то выигрыш первого
игрока в зависимости от θ описывается функцией:
L(θ,y1)=22θ+2(1-θ).
Графически выигрыш первого игрока можно показать следующим
образом
L
22
0
20
0
10
0
2
θ
0
1
Для других чистых стратегий второго игрока имеем:
L(θ,y2)=7θ+12(1-θ).
L(θ,y3)=11θ+6(1-θ).
L(θ,y4)=14θ+4(1-θ).
После нанесения соответствующих прямых на рисунок, получим:
L
22
20
0
14
12
0
10
0
11
7
6
2
0
θ
θ0
1
Жирная ломаная линия показывает минимальный выигрыш первого
игрока независимо от того, какую стратегию использует второй игрок.
Следовательно, максимальный гарантированный выигрыш первого игрока
достигается при использовании им оптимальной смешанной стратегии
ξ0=(θ0,1- θ0). Найдём значение θ0, при котором он достигается. В точке θ0
выполняется равенство:
L(θ,y2)=L(θ,y3).
Отсюда
7θ+12(1-θ)=11θ+6(1-θ),
4θ-6(1-θ)=0,
10θ-6=0,
θ0=0.6
Цена игры (максимальный гарантированный выигрыш первого игрока или
минимальный гарантированный проигрыш второго игрока) составляет:
ν=L(0.6,y2)=7·0.6+12·0.4=4.2+4.8=9.
Найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока
η0=(η01, η02, η03, η04)Т. Как следует из геометрической интерпретации, в
состав оптимальной смешанной стратегии второго игрока не входят чистые
стратегии y1 и y4, т.е. η01= η04=0.
Обе стратегии первого игрока являются полезными. Поэтому, если
первый игрок использует любую чистую стратегию, а второй –
оптимальную смешанную, выигрыш первого игрока будет равен цене игры:
L(x1,η0)=L(x2,η0).
Отсюда получаем систему уравнений для отыскания η02 и η03:
72  113  9,

122  63  9,
решив которую получаем: η02=0.5 и η03=0.5.
Таким образом, чтобы максимизировать свой минимально возможный
выигрыш, первый игрок должен чередовать свои чистые стратегии x1 и x2 с
вероятностями 0.6 и 0.4 соответственно. Второй же игрок для того, чтобы
минимизировать свой максимально возможный проигрыш, должен
чередовать свои чистые стратегии y2 и y3 в равных пропорциях.
2) решение посредством сведения к задаче линейного
программирования. По матрице игры сформируем задачу линейного
программирования:
p1  p2  min,
22 p1  2 p2  1,
7 p  12 p  1,
2
 1
11p1  6 p2  1,
14 p  4 p  1,
1
2

 p1  0, p2  0.
Решив эту задачу, например, с помощью программы Simplex, получим:
p1=1/15, p1=2/45.
Цена игры находится из равенства:
ν=1/(p1+p2)=1/(1/15+2/45)=45/5=9.
Оптимальную смешанную стратегию первого игрока 0  01 , 02 
находим из соотношений:
Ò
ξ01= ν·p1=9/15=0.6; ξ02 =ν·p1=9·2/45=0.4.
Как видим, полученные результаты совпадают с тем, что было найдено
ранее с помощью геометрической интерпретации.
Оптимальная смешанная стратегия второго игрока определяется так
же, как и в предыдущем случае, с одним отличием: для определения
полезных стратегий второго игрока нужно найти активные ограничения
задачи линейного программирования (т.е. те ограничения, которые на
оптимальном плане обращаются в точные равенства).
3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3
Допустим, что в элементарной СМО m однотипных приборов, k мест в
накопителе, интенсивность поступления заявок  и интенсивность
обслуживания одним прибором , рi - вероятности состояний (полученные
в результате расчета).
Тогда
- среднее количество заявок в системе
N = 1p1+2p2+ ... +(m+k)pm+k .
- среднее время обслуживания
Tоб = 1/
- среднее время пребывания в очереди
Tож = W /(m*)
где W = 1pm+1+2pm+2+ ... +kpm+k - средняя длина очереди (среднее
количество заявок в накопителе)
- среднее время пребывания заявки в системе
T = Tож + Tоб.
Пример. Допустим, что элементарная СМО обладает параметрами
Количество Количество
Интенсивност
мест в
обслуживающи ь поступления Интенсивность
накопителе
х приборов
заявок
обслуживания
2
3
2
1
Составим диаграмму переходов, соответствующую СМО
2
2
0
2
1
1
2
2
2
3
3
2
4
3
5
3
Для каждого i-го состояния найдем его вероятность pi в установившимся
режиме. Для этого воспользуемся формулой:
pi 1 
i
p , i  1,k  m
i 1 i
(1)
Из (1) следует
2

p

p0  2 p0 ;
1

1

 p  2 p  p  2p ;
2
1
1
0

2

2
2
4
 p3  p2  2 p0  p0 ;
3
3
3

2
24
8

 p4  3 p3  3 3 p0  9 p0 ;

 p  2 p  2 8 p  16 p ;
 5 3 4 3 9 0 27 0
(2)
Поскольку p0+p1+p2+p3+p4+p5=1, то
p0  2p0  2p0 
4
8
16
211
p0  p0 
p0 
p0  1,
3
9
27
27
или
p0=27/2110.128.
Подставляя найденное значение в (2), получаем:
p1=54/2110.256,
p2=54/2110.256,
p3=36/2110.171
p4=24/2110.114,
p5=16/2110.076
Теперь можем найти, например,
- вероятность немедленного обслуживания Pно=p0+p1+p2=135/2110.640;
- вероятность ожидания Pож=p3+p4=60/2110.284;
- вероятность отказа Pотк=p5=16/2110.076.
Остальные параметры находятся аналогичным образом.
4 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4
4.1. Поиск результирующего ранжирования на основе метода
Кемени-Снелла.
Пусть имеется m экспертов Э1, Э2, ..., Эm и n проектов P1, P2, ..., Pn,
подлежащих оценке.
1. Все эксперты ранжируют проекты по их важности: самый важный
проект получает оценку 1, менее важный – 2 и т.д. Несколько
проектов могут иметь одну и ту же оценку. В результате получаем
матрицу частных ранжирований:
P1
P2
…
Pn
Э1 С11 С12 … С1n
Э2 С21 С22 … С2n
…
…
…
… …
Эm Сm1 Сm2 … Сmn
2. На основании частных ранжирований определяются матрицы
бинарных предпочтений экспертов (для каждого эксперта отдельная
матрица) с элементами:
1, если проект Pi важнее проекта Pj ,

kij  1,если проект Pj важнее проекта Pi ,

0  в противном случае,
k – номер эксперта, 1≤k≤m.
Эk P1
P2 … Pn
ρk12 … ρk1n
P1
P2 ρk21
…
…
… ρk2n
…
…
Pn ρkn1 ρkn2 …
3. Составляется матрица потерь с оценками:
m
rij   ijk  1 ,
k 1
Эk P1 P2 … Pn
r12 … r 1n
P1
… r2n
P2 r21
… … …
…
Pn rn1 rn2 …
4. Выполняется обработка матрицы потерь (в несколько циклов). В
каждом цикле для каждого показателя определяется сумма по строке.
Показатель с меньшей суммой ставится на первое место,
относящиеся к нему строка и столбец вычеркиваются. Процедура
продолжается для усеченной матрицы.
Пример 1. Допустим, что четыре проекта P1, P2, P3, P4 оценивают 5
экспертов.
1. Составим матрицу частных ранжирований
P1 P2 P3 P4
Э1 4
2
3
1
Э2 4 2
3
1
Э3 3
1
4
2
Э4 3
2
3 1
Э5 4
1
3 2
2. Найдем для каждого эксперта матрицу бинарных предпочтений:
Э1 P1 P2 P3 P4
Э2 P1 P2 P3 P4
P1
P1
-1 -1 -1
P2 1
1
P3 1 -1
P4 1
1
1
-1 -1 -1
-1
P2 1
-1
P3 1 -1
P4 1
1 -1
1
-1
1
Э3 P1 P2 P3 P4
Э4 P1 P2 P3 P4
P1
P1
-1 1 -1
P2 1
1
P3 -1 -1
-1 0 -1
1
P2 1
-1
P3 0 -1
P4 1 -1 1
P4 1
1 -1
1
-1
1
Э5 P1 P2 P3 P4
P1
-1 -1 -1
P2 1
1
P3 1 -1
1
-1
P4 1 -1 1
3. Формируем матрицу потерь
P1 P2 P3 P4
P1
10
P2
0
P3
3 10
P4
0
7 10
0
4
6
10
0
4. Вычисляем суммы оценок по строчкам:
∑1 = 27; ∑2 = 6; ∑3 = 23; ∑4 = 4.
Находим минимальное число: это 4, следовательно, P4 исключается
из матрицы потерь. Все повторяем:
P1 P2 P3
P1
10
P2
0
P3
3 10
7
0
∑1 = 17; ∑2 = 0; ∑3 = 13.
Из матрицы потерь исключается P2.
P1 P3
P1
P3
7
3
∑1 = 7; ∑3 = 3.
Из матрицы потерь сначала исключается P3, затем P1.
5. Находится искомое результирующее ранжирование:
P4, P2, P3, P1.
4.2. Проверка экспертных оценок на непротиворечивость и
согласованность методом энтропийной оценки.
Пусть имеется m экспертов Э1, Э2, …, Эm, которые проводят оценку n
целей Z1, Z2, ..., Zn, пользуясь какой-либо шкалой порядка, например, kбальной шкалой. По результатам экспертизы необходимо найти:
1. Коллективные экспертные оценки, позволяющие выбрать наиболее
предпочтительный вариант.
2. Оценку согласованности экспертов, подтверждающие достоверность
коллективных экспертных оценок.
Для решения первой задачи подходит любой метод, базирующийся на
шкалах порядка, например метод предпочтения (n-бальная шкала).
Для оценки согласованности экспертов целесообразно использовать
энтропийный коэффициент согласия.
H
H
.
E  1
 1
Hmax
n  log2 (m)
Величина H –энтропия согласия экспертов - вычисляется по формуле:
n
k
H   pij  log2 pij , ( pij  0 ) .
i 1 j 1
Здесь pij — это оценка вероятности, вычисляемая как отношение числа
одинаковых рангов j по Zi цели к числу экспертов m. Согласно формуле
энтропийный коэффициент согласия может принимать 2 крайних значения.
0 — полная
несогласованность
экспертов,
H = Hmax
(энтропия
максимальна), 1 — полная согласованность эксперта, Н = 0 (энтропия
минимальна). Когда считать согласованность приемлемой, а когда нет,
зависит от конкретной ситуации. В дальнейшем будем считать
согласованность экспертов приемлемой, если E>Е0=0,5.
Пример 3. Допустим, что три проекта P1, P2, P3 оценивают
экспертов Э1, Э2, Э3, Э4, Э5, Э6:
Э1 = (P2, P3, P1);
Э2 = (P2, P1, P3);
Э3 = (P2, P3, P1);
Э4 = (P2, P1, P3);
Э5 = (P3, P2, P1);
Э6 = (P3, P1, P2).
6
1. На основании ранжирования проектов экспертами составим матрицу
предпочтений
Эj/Pi P1 P2 P3
Э1
3
1
2
Э2
2
1
3
Э3
3
1
2
Э4
2
1
3
Э5
3
2
1
Э6
3
1
2
2. Составим матрицу оценок вероятностей:
Pj/j
1
P1
0
2
3
1/3 2/3
P2 5/6 1/6
0
P3 1/6 1/2 1/3
3. Прологарифмируем и найдем энтропию Н:
Pj/j
P1
1
2
3
0 -1,585 -0,585
P2 -0,263 -2,585
P3 -2,585
0
-1 -1,585
Н = 3,027.
Вычислим искомый коэффициент:
E = 1 – 3,027/(3⋅log2(3)) = 1 – 3,027/4,755 = 0,363.
Так как E< Е0, то согласованность экспертов является неприемлемой.
Необходимо либо сменить экспертов, либо провести с ними работу по
согласованию их мнений.
5 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 5
5.1 Методика многокритериального выбора рациональных
структур.
Рассмотрим методику, которая реализует все операторы метода
комплексной оценки структур.
Этап 1. Определяется множество конкурирующих структур
{ Si} = { S1, S2, … Sn },
из числа которых выбирается в дальнейшем рациональная структура. Для
поиска структур могут быть использованы различные методы – «мозговой
атаки»,
«дерева
целей»,
«морфологического
ящика»
и
др.
Морфологический
анализ
создаваемой
системы
позволяет
систематизировать потенциально возможные структуры и определить
множество конкурирующих структур.
Этап 2. Отбирается совокупность частных критериев
{ Кj} = { K1, K2, … Km },
которые служат для оценки конкурирующих структур. К набору критериев
предъявляется ряд требований:
1) полнота, т.е. набор критериев должен охватывать все важные
аспекты решаемой задачи;
2) операциональность, т.е. каждый критерий должен характеризовать
вполне определенное свойство системы;
3) измеримость, т.е. каждый критерий должен допускать оценку
интенсивности характеризуемого им свойства;
4) декомпозируемость, т.е. критерии набора должны обеспечить
возможность разложения задачи на части с меньшей размерностью;
5) неизбыточность, т.е. критерии набора не должны учитывать один и
тот же аспект последствий;
6) минимальность, т.е. набор критериев должен содержать как можно
меньшее число критериев.
Противоречивость требований заставляет искать компромисс при
построении набора критериев.
Этап 3. Выполняется оценка конкурирующих структур по частным
критериям для -го варианта условий   ( 1, ) . Для оценки структур
используются все возможные средства, которые имеются в наличии на
данный момент эволюции системы: аналитические, имитационные,
полунатурные модели; натурные испытания; проведение экспертиз.

Получаемые оценки k ji  образуют матрицу «критерии-структуры» (табл. 1):
Таблица 1.
{ Kj }
Единица Направление
измерения экстремума
{Si}
…
…
S1
S2
K1
k11
k12
K2
 
k 21
 
k 22

…
 
k 2n
…
…
…
…
k m 1
k m 2
…
 
k mn
 
 

…
…
…

Km

Sn
 
k1n



Этап 4. Составляется матрица бинарных предпочтений ЛПР, которая
содержит результаты попарных сравнений критериев по важности: «1» если критерий строки считается более важным, чем критерий столбца; «0»
- в противном случае («0,5» - если критерии не сравнимы по важности).

Суммирование оценок по строке определяет «цену» критерия c j  (табл. 2):
Таблица 2.
{ Kj }
K1
…
K2
Km
c j


K1
…
c1
K2
…
c2
…
Km
…
…
…
…
Этап 5. Находятся веса
неформальные предпочтения ЛПР:
1 j 
c j
m
j 1
частных

c

 
,
…
cm 

критериев,
отражающие
 j  1,m .
j
Этап 6. Находятся веса частных критериев, исходя из разброса
векторных оценок:
2 j 
r j

m
r
j 1
r j
Здесь

 
 j  1,m  .
,
j

 
1 n  
k ji  k j

n i 1
,
 
kj
n
 
kj 
где
 k  
ji
i 1
.
n
Этап 7. Находятся усредненные веса, характеризующие важность
частных критериев:


 j  1,m ,
 j    0, 5 1 j   2 j  ,
где
m
      1.
j 1
Этап 8. Оценки
безразмерному виду
матрицы
j
«критерии-структуры»
 j  1,m;
 ji   k ji  / k j ,
приводятся
к

i  1,n ,
где k j  значение «кванты» по частному критерию Kj, причем под квантой
понимается мера
характеристики.
разумной
точности
измерения
соответствующей
Этап 9. Формируется матрица мер эффективности
e ji    j


 j  1,m;
 ji  ,

i  1,n .
Этап 10. Вычисляются обобщенные скалярные оценки
m

qi    e ji  max
 
j 1

m
 e  
j 1
ji min 
,
i  1,n  ,
т.е. находится разность суммарных мер эффективности по критериям,
подлежащим соответственно максимизации и минимизации.
Этап 11. При оценке структур в диапазоне условий осуществляется кратное повторение этапов 3-10. В результате получаем матрицу
«структуры-условия» (табл. 3.):
Таблица 3.
{}
{ Sj}
1
2
1
2
…

…
q1
q 2
…
q2
…
…
…
qn
qn
…
S1
q1
q1
S2
q2 
…
Sn
2
1
1
2


…
qn

Этап 12. На основе матрицы «структуры-условия» выбирается
рациональная структура системы. Эта структура должна обладать
приемлемой эффективностью для всех вариантов условия, возникающих с
вероятностями p . Для известных вероятностей p , имеющих частотную
или субъективную трактовку, целесообразно использовать критерий
максимума средней эффективности в диапазоне условий:

E  max  qi  p
Si

 1

Srat
На практике типичной является ситуация, когда вероятности p
неизвестны. В данном случае используются критерии для выбора решений
в условиях неопределенности.
Замечание. Методика может быть использована как в полном объеме,
так и в усеченных вариантах.
5.2 Структурная оптимизация
вычислительной сети (пример).
локальной
информационно-
Применим методику многокритериального выбора рациональных
структур для структурной оптимизации локальной информационновычислительной сети (ИВС). Локальная ИВС содержит вычислительную
систему, которая может включать несколько однотипных процессоров, и N
распределенных по региону терминалов пользователей, имеющих
теледоступ к информационно-вычислительным ресурсам этой системы.
Этап 1. Множество конкурирующих структур:
{ Si} = { S1, S2, S3} ,
где
S1 - структура с одним процессором;
S2 - структура с двумя процессорами;
S3 - структура с тремя процессорами.
Этап 2. Совокупность частных критериев:
{ Кj} = { K1, K2, K3, K4, K5 },
где
К1
К2
К3
К4
К5
- время ответа;
- коэффициент загрузки;
- пропускная способность;
- вероятность правильного ответа;
- стоимость процессорных устройств.
Этап 3. Матрица «критерии-структуры» (табл. 4.)
Таблица 4.
Кj
К1
К2
К3
К4
К5
Напр.
экстр
Ед.
изм.
с
%
зад./с
т.руб.
min
max
max
max
min
S1
2,89
55
0,78
0,85
340
N=10
S2
2,08
30
0,83
0,95
490
S3
2,05
20
0,83
0,99
640
S1
5,7
91
1,27
0,85
340
N=20
S2
2,89
55
1,55
0,95
490
S3
2,71
37
1,57
0,99
640
S1
11,5
99,8
1,4
0,85
340
N=30
S2
4,38
75
2,09
0,95
490
S3
3,96
51
2,15
0,99
640
S1
25,8
100
1,4
0,85
340
N=50
S2
9,64
91
2,55
0,95
490
S3
8,99
63
2,63
0,99
640
Этап 4. Матрица бинарных предпочтений (табл. 5.)
Таблица 5.
{Кj }
К1
К2
К3
К4
К5
К1
0
0,5
1
0,5
К2
К3
К4
К5
Cj
1
0,5
0,5
0
0
0
0,5
0
0
0,5
2
0,5
1
3,5
3
0,5
1
1
1
1
0,5
Этап 5. Веса частных критериев, исходя из системы предпочтений
ЛПР:
 0, 2 
 0,05




1   0,1  .
 0,35




0
,
3


Этап 6. Веса частных критериев, исходя из
оценок для N=20 ( табл. 6.):
разброса
векторных
Таблица 6.
{Кj }
kj
rj
v2j
К1
К2
К3
К4
К5
33,77
61,0
1,46
0,93
490,0
0,34
0,33
0,09
0,06
0,2
0,33
0,32
0,09
0,06
0,2
Этап 7. Усредненные веса частных критериев для N=20:
1 = 0,27; 2 = 0,18; 3 = 0,09; 4 = 0,21; 5 = 0,25.
Этап 8. Матрица безразмерных векторных оценок для N=20 (табл. 7.):
Таблица 7.
{Кj }
kj
К1
К2
К3
К4
К5
0,5
5,0
0,25
0,1
100,0
Ед.
изм.
с
%
зад./с
т.руб.
{Si }
S1
11,4
18,2
5,08
8,5
3,4
S2
5,78
11,0
6,2
9,5
4,9
S3
5,42
7,4
6,28
9,9
6,4
Этап 9. Матрица взвешенных векторных оценок для N=20 (табл. 8).
Таблица 8.
{Кj }
j
К1
К2
К3
К4
К5
0,27
0,18
0,09
0,21
0,25
Напр.
экс.
min
max
max
max
min
S1
3,08
3,28
0,46
1,78
0,85
{Si }
S2
1,57
1,98
0,56
1,99
1,22
S3
1,46
1,33
0,57
2,08
1,6
Этап 10. Обобщенные скалярные оценки для N = 20:
q1 = 1,59; q2 = 1,74; q3 = 0,92.
Этап 11. Матрица «структуры-условия» (табл. 2.9.)
Таблица 9.
{}
{ S j}
N=10
N=20
N=30
N=50
S1
2,75
1,59
-3,27
-12,27
S2
1,63
1,74
0,81
-1,9
Sn
0,8
0,92
0,24
-2,29
Этап 12. Эффективность конкурирующих структур в диапазоне условий
(табл. 10)
Таблица 10.
{ Sj}
{}
Р(10)=0,1 Р(20)=0,5 Р(30)=0,3 Р(50)=0,1
Е
S1
0,27
0,79
-0,98
-1,23
-1,15
S2
0,16
0,87
0,24
-0,19
1,08
S3
0,08
0,46
0,07
-0,23
0,38
Вывод: в заданных условиях рациональной является структура S2.