Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет

Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный
технический университет
РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
по дисциплине «Моделирование физических систем»
для студентов направления 230100.62 «Информатика и вычислительная
техника» и специальности 230105.65 «Программное обеспечение
вычислительной техники автоматизированных систем»
дневной формы обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2011
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
КИНЕМАТИКА
Цель работы: реализовать компьютерные модели физических процессов,
описываемых уравнениями кинематики.
Основные понятия
При
движении
по
прямой
линии
скорость
Vx 
dx
,
dt
ускорение
v0 x  a x t
dv x d 2 x
, при a x  const – равноускоренное
 2 , так что v x   a x dt  
dt
dt
v0 x
a t2
движение, при a x  0 – равномерное движение; x   v x dt  x0  v0 x t  x
при
2
a x  const .
ax 
При двумерном движении аналогичные соотношения служат для
вычисления y, v y , a y . Для получения уравнения траектории следует исключить
время t и найти выражение для y(x).
Задания для самостоятельной работы
Построить компьютерные модели, физических процессов, описанных в
задачах 1-3.
Задача 1. Камень брошен вертикально вверх со скоростью V0 . Через
какое время от начала движения он пройдет высоту h? Как зависит ответ от
значений скорости V0 и высоты H?
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 1.
Выражения для скорости и ускорения:
Vx 
dx
,
dt
ax 
dv x d 2 x
 2 
dt
dt
v0 x  a x t
v x   a x dt  
v0 x
при a x  const – равноускоренное движение,
при a x  0 – равномерное движение;
x   v x dt  x0  v0 x t 
axt 2
при a x  const .
2
Текущая высота y зависит от времени t
таким образом: y  y 0  V0 y t 
= h: h  V0 y t 
gt 2
, y0  0 . При y
2
gt 2
или
2
V0 y t 
gt 2
h  0.
2
Рис. 1
(1)
Время t, через которое тело достигнет высоту h, найдем, решая
квадратное уравнение (1): D  V02y  2 gh ,
2
t
 V0 y  V02y  2 gh
g
Если V02y  2 gh , т.е. D = 0, то t 
(2)
V0 y
g
, т.е. высота достигается 1 раз. Если
V02y  2 gh , (D < 0), корней нет, высота не достижима. Если V02y  2 gh , (D > 0), тело
проходит заданную высоту 2 раза.
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 2.
Рис. 2
3
Задача 2. Начертить траектории тела, брошенного под углом 45 град. к
горизонту с начальной скорость 20 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 3.
Рис. 3
Разобьем время движения на время подъема t ï и время спуска t ñ . В
момент времени t ï V y  0 , y  y max (высота подъема); в t  t ñ  t ï ,
x  x max (дальность полета), V y  0 , Vx  0 .
По горизонтали тело движется равномерно со скоростью Vx  V0 x  V0 cos  ;
x  x0  V0 x t 
gt 2
gt 2
0 
, x0  0 и
2
2
x  V0 x t  V0 cos t

Вдоль оси y движение равноускоренное ( g )
gt 2
y  y0  V0 y t 
2
По вертикали скорость меняется V y  V0 y  gt .
Из (3) t 
(3)
(4)
x
x
gx 2
g

 xtg  x 2
, из (4) y  sin 
.
2
2
2
V0 cos 
cos  2V0 cos 
2V0 cos 2 
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 4.
4
Рис. 4
5
Задача 3. С какой скоростью и под каким углом следует бросить мяч,
чтобы попасть в баскетбольное кольцо? Сопротивление воздуха и диаметр мяча
не учитывать; l = h = 2,5 м.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 5.
Рис. 5
Необходимо получить уравнение траектории y(x), подставив исходные
данные, вывести связь между углом бросания  и V0 (скоростью бросания).
Попасть в кольцо можно разными способами: при разных комбинациях 
и V0 .

 x  x0  V0 cos   t 



 y  y 0  V0 sin   t 
gt 2
x
t 
2
V0 cos 
gt 2
2
sin 
gx 2
y
x
cos 
2V02 cos 2 
(5)
Получим связь между  и V0 , подставив в (5) y = h, x = l.
gl 2
gl 2

V

0
2V02 cos 2 
2(l  tg  h) cos 2 
h
Если tg  , необходимо провести уточнение модели.
l
h  l  tg 
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 6.
6
Рис. 6
7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
МЕХАНИКА
Цель работы: реализовать компьютерные модели физических процессов,
описываемых с помощью II закона Ньютона в дифференциальной форме.
Основные понятия
II закон Ньютона в дифференциальной форме:
m
dV
d 2x
m 2 F
dt
dt
,
(6)
где m  const , F – сила или сумма сил, которые могут быть постоянными
или зависеть от x, V, t и др.
Распространенные задачи:
1.
Равномерное движение
d 2x
 0.
dt 2
2.
Движение с учетом сил сопротивления, например, вязкого
трения, когда имеется зависимость от скорости Fòð  AV  BV 3 . График
подобной зависимости представлен на рис. 7.
Рис. 7
3.
Равноускоренное движение.
В двумерном случае имеют место следующие особенности, отличающие
от одномерного движения:
1. Выбор прямоугольной системы координат должен быть оптимальным.
2. Уравнения движения составляются для каждой оси в отдельности:
d 2x
d2y
m 2  Fx , m 2  Fy .
dt
dt
Задания для самостоятельной работы
Построить компьютерные модели, физических процессов, описанных в
задачах 1-3.
8
Задача 1. Тело массой m = 70 кг падает в воздухе с большой высоты.
Сила сопротивления воздуха Fтр  AV  BV 3 , где коэффициенты A и B
определяются размерами тела. Пусть эти коэффициенты равны следующим
значениям: A = 5 Н*с/м; B = 10-2 Н*с3/м3. Найти скорость в зависимости от
времени, прошедшего после начала падения. Начертить график.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 8.
Рис. 8
Запишем уравнение движения: m
виду: V 
d 2x
 mg  ( AV  BV 3 ) . Приведем его к
2
dt
dx dV
;
 g  ( AV  BV 3 ) / m .
dt
dt
Получаем численную схему решения задачи:
x n 1  x n  Vn t ;
Vn 1  Vn  [ g  ( AV  BV 3 ) / m]t ;
t n 1  t n  t.
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 9.
9
Рис. 9
Задача 2. Парашютист m=70 кг падает в воздухе с большой высоты. Сила
сопротивления воздуха зависит от скорости по следующему закону
Fñîïð  AV  BV 3 , A=5 H*c/м, В=0,01 Н*с3/м3. Пусть прыжок выполняется с
высоты 7 км. Оценить, как долго парашютист может не раскрывать парашют.
Найти путь как функцию времени.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 10.
Рис. 10
10
Запишем уравнение движения: m
виду:
V 
d 2x
 mg  ( AV  BV 3 ) . Приведем его к
dt 2
dx
dt
dV
 g  ( AV  BV 3 ) / m
dt
Получаем численную схему решения задачи:
x n 1  x n  Vn t ;
Vn 1  Vn  [ g  ( AV  BV 3 ) / m]t ;
t n 1  t n  t.
Будем выполнять вычисления до тех пор пока xn  hk , где hk –
критическая высота, равная 1 км, т.е. расстояние, которое должно остаться до
поверхности земли.
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 11.
11
Рис. 11
Задача 3. Скомканная бумажка массой 20 г брошена под углом 45º к
горизонту со скоростью 20 м/с. При полете она встречает сопротивление
воздуха Fтр  AV  BV 3 . Коэффициенты равны: A = 0,1 H*c/м, B = 10-3 Н*с3/м3.
Найти траекторию полета бумажки с учетом и без учета силы трения.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 12.
Рис. 12
12
Рассмотрим действия сил в проекциях на оси координат системы отсчета:
0x: Никакие силы не тело не действуют, 0y: действует сила тяжести.
Используя II закон Ньютона в дифференциальной форме, отдельно для
каждой оси можно записать:
dV x
dx
d 2x
 0,
 Vx
0
2
dt
dt
dt
или
dV y
dy
d2y
 g,
 Vy
m 2  mg
dt
dt
dt
m
Задачу без учета силы трения можно решить без использования
численных методов путем интегрирования:
V x   0dt  V x 0  const  V0 cos 
V y    gdt  V y 0  gt  V0 sin   gt
x   V x dt   V x 0 dt  V x 0 t  V0 t cos 
g
gt 2
 y  xtg  x 2
y   V y dt   (V0 sin   gt )dt V0 t sin  
.
2
2
2V0 cos 2 
Алгоритм решения задачи (с учетом силы трения) на компьютере с
использованием конечно-разностной схемой Эйлера, представленный в виде
блок-схемы, показан на рис. 13.
13
Рис. 13
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Цель работы: реализовать компьютерные модели физических процессов,
описываемых с помощью уравнения вращательного движения тела
относительно некоторой оси.
Основные понятия
Уравнения вращательного движения тела относительно некоторой оси
сходны с уравнениями поступательного движения при условии следующих
замен:
14
dS
d
→ угловая скорость  
, ускорение
dt
dt
dV d 2 S
d d 2
 2 , масса m → момент инерции I, сила F
 2 → угловое ускорение
dt
dt
dt
dt

 
→ момент силы в векторном виде M  r , F и в скалярном виде M  rF sin  .
Путь S → угол φ, скорость V 
 
Графическое представление процесса вращения некоторой точки относительно
оси показано на рис. 14.
Рис. 14
Уравнение
поступательного
движения


 dN
d
I
уравнение вращательного движения M 
dt
dt

 dp
dV
F
m
dt
dt
переходит
в
Формулы для нахождения момента инерции I
I  mr 2 для материальной точки или колеса, основная масса которого
распределена по ободу.
I
1 2
ml для стержня, если ось вращения проходит через конец стержня и
3
перпендикулярна ему.
I
2
mR 2 для шара, если ось вращения проходит через его центр.
5
При вращении на оси с жидкой смазкой (вязкое трение) момент
тормозящих сил зависит от скорости: M тр  a  b 3
Задания для самостоятельной работы
Построить компьютерные модели, физических процессов, описанных в
задачах 1-3.
Задача 1. Груз на невесомом жестком подвесе длиной l = 0,5 м
колеблется с большой амплитудой. Как зависит период колебаний от величины
максимального угла отклонения?
Речь идет о вращательном движении материальной точки, поэтому
необходимо использовать уравнение вращательного движения: I
момент инерции I  ml 2 .
15

d
 M , где
dt
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 15.
Рис. 15

Момент силы M , возвращающий маятник в положение равновесия,
можно выразить из решения прямоугольного треугольника F  mg  sin 
 M  F  l  mg sin   l и взять его с минусом, поскольку направление действия
противоположно движению.
Уравнение движения: ml 2
g
 d
 dt   l sin 

 d  
 dt
d 2
 mgl sin  .
dt 2
t0  0
0  0
0  0
Численная схема:
t i 1  t i  dt

g sin  i

)dt
 i 1   i  (
l

 i 1   i   i 1 dt
t1  0
1  0
1   0
Данная схема реализуется программно до тех пор, пока значение  i 1 не
станет меньше или равно 0. Полученное время t i , будет соответствовать
четверти периода колебаний T.
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 16.
16
Рис. 16
17
Задача 2. Постройте график зависимости угла от времени для падения
спиленного столба высотой 10 м. Считайте, что вначале он был отклонен от
вертикального положения на 10º.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 17.
Речь идет о вращательном движении стержня,
для которого ось вращения закреплена на конце и
перпендикулярна ему.
Используем уравнение вращательного движения


d
1
 M , где момент инерции I  ml 2 .
dt
3

M,
Момент силы
вращающей столб,
l
M  mg sin  (сила прикладывается к центру тяжести
2
l
столба, а он находится на расстоянии
от оси
2
I
вращения).
Запишем уравнение вращательного движения:
1 2 d 2 l
ml
 mg sin 
3
2
dt 2
Рис. 17
Система дифференциальных уравнений:
 d 3g
 dt  2l sin 

 d  
 dt
t0  0
0  0
 0  10
Численная схема:
t i 1  t i  dt

3g sin  i

)dt
 i 1   i  (
2l

 i 1   i   i 1 dt
t1  0
1  0

1  0
180
Данная схема реализуется до тех пор, пока значение  i 1 не достигнет

.
2
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 18.
18
Рис. 18
Задача 3. Колесо массой 1 кг, распределенной по ободу радиусом 0,35 м,
вращается с угловой скоростью 10,5 рад/с на оси с жидкой смазкой и
тормозится только трением в оси (коэффициенты a = 2,8*10 ^ -2 Н*м*с; b =
9,1*10 ^ -4 Н*м*с3). Колесо останавливается, когда угловая скорость
становится равной 0,1 рад/с. Найти зависимость угловой скорости колеса от
времени.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 19.
19
Рис. 19


d
 M . Поскольку в
Речь идет о вращательном движении колеса I
dt
условии задачи сказано, что колесо тормозится только трением в оси, то
2
3
момент силы M  a  b , I  mR – момент инерции колеса.
2
2 d 
mR
 a  b 3 .
Уравнение движения:
2
dt
Система дифференциальных уравнений:
 d
a  b 3



dt
mR 2

 d  
 dt
t0  0
 0  10.5
0  0
Численная схема:
t i 1  t i  dt

(a  b 3 )dt

 i 1   i 
mR 2

 i 1   i   i 1 dt
t1  0
1  10.5
1  0
Схема реализуется, пока  i 1  0.1 .
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 20.
20
Рис. 20
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА. АТОМ И ЯДРО
Цель работы: реализовать компьютерные модели физических процессов,
описываемых с помощью уравнений теории относительности и квантовой
механики.
Основные понятия
Согласно теории относительности зависимость массы от скорости равна:
m
m0
1
V2
c2 .
Согласно квантовой механике вероятность пройти через барьер
энергетической высотой U и толщиной l для частицы массой m и с энергией E
равна: D  exp[ 
2l
2m(U  E ) ]
h
Задания для самостоятельной работы
Построить компьютерные модели, физических процессов, описанных в
задачах 1-3.
21
Задача 1. Начертите график зависимости массы электрона от скорости.
Масса покоя электрона равна 9  10 31 кг.
Согласно теории относительности зависимость массы от скорости равна:
m
m0
V2
1 2
c .
Разделим весь возможный диапазон скоростей (от 0 до С) на N
частей и вычислим для каждого значений скорости из диапазона значение
массы электрона.
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 21.
Рис. 21
Задача 2. Начертите график зависимости прозрачности прямоугольного
27
барьера для α-частицы массой 4  1,66  10 кг от толщины барьера l (от 0 до
1,5  10 15 м) для высоты барьера U - E  2 MэВ.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 22.
22
Рис. 22
Согласно квантовой механике вероятность пройти через барьер
энергетической высотой U и толщиной l для частицы массой m и с энергией E
равна D  exp[ 
2l
2m(U  E ) ] .

Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 23.
Рис. 23
23
Задача 3. α-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой
фольгой. Начертите траекторию частицы, приближающейся к ядру Au с
прицельным расстоянием p  2  10 15 м.
Графическое представление данного физического процесса показано на
рис. 24.
Рис. 24
Сила
Кулона
равна:
F
q1q2
.
40 r 2
1
В
данном
случае
это
сила
отталкивания.
Fx
,
r
Fy
Fy 
,
r
Fx 
r  x2  y2
Уравнения движения по осям:
dV
d 2x
 m x  Fx ,
2
dt
dt
2
dV y
d y
m 2 m
 Fy ,
dt
dt
m
dx
dt
dy
Vy 
dt
Vx 
t0
x  a
y p
V y0  0
Численная схема:
Fx

V x ,n 1  V x ,n  m t

Fy
V

V

t
y ,n
 y ,n 1
m
 x n 1  x n  V x t

 y n 1  y n  V y t

t n 1  t n  t
Алгоритм решения задачи на компьютере, представленный в виде блоксхемы, показан на рис. 25.
24
Рис. 25
25