Межрегиональная олимпиада школьников «БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ» 2010 г.

Межрегиональная олимпиада школьников
«БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ  БУДУЩЕЕ НАУКИ»
2010 г.
Физика, 11 класс
Решения
1. (30 баллов) На горизонтальном столе находится дощечка массы m,
на которую положен брусок той же массы. Коэффициенты трения
m F1 = 3mg
F2 = ?
m
между бруском и дощечкой и между дощечкой и столом одинаковы и
равны . К бруску приложили горизонтальную силу F1 = 3mg (см.
рисунок). Какую силу F2, сонаправленную с F1, следует приложить к
дощечке, чтобы между дощечкой и бруском не было проскальзывания?
Решение:
Интервал значений силы F2 может быть найден из условия, что сила трения покоя между бруском
и дощечкой на концах интервала принимает максимальное значение mg. Минимальное значение
силы F2 соответствует направленной влево силе трения на брусок. При этом ускорение бруска (и
дощечки) равно 2g, а F2min = 3mg. Максимальное значение силы F2 соответствует направленной
вправо силе трения на брусок. При этом ускорение бруска (и дощечки) равно 4g, а F2max = 7mg.
2. (20 баллов) Один моль идеального одноатомного газа совершает цикл, состоящий из изобары,
изохоры и изотермы (см. рисунок). КПД цикла равен 1/4, а разность максимальной и минимальной температур в цикле равна T. Найти работу газа на изотермическом
p
участке.
Решение:
Из данного в условии значения КПД следует, что работа газа за цикл составляет 1/4 от подведенного на изобарном участке тепла. Работа газа на изобарном участке равна RT, а подведенное на этом участке тепло равно 5RT/2.
V
Таким образом, работа газа за цикл составляет 5RT/8. Поскольку на изохорном участке работа не совершается, то искомая работа на изотермическом участке равна разнице
между работой газа за цикл и работой газа на изобарном участке, т.е. -3RT/8.
3. (20 баллов) Груз, висящий на пружине и растягивающий ее на величину , привели в колебательное движение, сообщив ему некоторую скорость вверх вдоль пружины. Через 0,9 с потенциальная энергия пружины достигла максимума, вдвое превышающего начальное значение этой
энергии. Чему равны период (5 баллов) и амплитуда (5 баллов) колебаний груза? Во сколько раз
отличаются максимальная и минимальная энергии пружины (10 баллов)?
Решение:
Потенциальная энергия пружины достигает максимума в нижней точке, т.е. через 3/4 периода после начала движения. Отсюда следует, что период колебаний равен 1,2 с. Амплитуда колебаний А
равна расстоянию между начальным и нижним положениями груза. Следовательно, деформация
пружины при достижении грузом нижнего положения равна А + . Из условия задачи следует, что
(А + )2 = 22. Отсюда находим, что А = ( 2  1). Энергия пружины минимальна при достижении грузом верхнего положения, когда деформация пружины равна   А, т.е. (2  2 ). Следовательно, отношение максимальной и минимальной энергий равно (А + )2/(  А)2 = 2/(2  2 )2.
4. (30 баллов) Между двумя параллельными пластинками, расположенными горизонтально на расстоянии d друг от друга, поддерживается постоянное электрическое поле 10 кВ/м. Верхняя пластинка заряжена положительно. Электрон с начальной энергией 100 эВ инжектируется в поле с
нижней пластинки под углом 30о к горизонтали и ударяется о верхнюю пластину на расстоянии
20 мм от точки инжекции, отсчитываемой по горизонтали.
1. Вычислите:
а) время пролёта электрона
б) расстояние между пластинами
в) конечную скорость электрона
г) энергию (в электронвольтах), передаваемую электроном при ударе о верхнюю пластину
2. Полярность пластин меняется. Определите:
а) максимальную высоту, на которую поднимется электрон
б) расстояние по горизонтали, на котором электрон ударится о нижнюю пластину
в) время пролёта электрона, если расстояние между пластинами d равно расстоянию, определённому из пункта 1б.
г) составьте уравнение движения электрона.
Решение:
1. Начальную скорость u находим из выражения
1
2
m  u 2  eV ,
u 2  2 me V 
21, 61019100
9 ,111031
 3,52 1013 мс2 ;
2
u  5,93 106
м
с
Вычислим компоненты начальной скорости Ux и Uy :
U x  u  cos 30  5,93 10 6  cos 30  5,14 10 6
U y  u  sin 30  2,97 106
м
с
м
с
а. Ux не меняется под действием поля и поэтому время пролета
t  520,1410106  3,89 109 с  3,89нс
3



F , которая сообщает электрону ускорение F  eE , отсюда найдем ускорение :
 1,76 1011 10 103  1,76 1015 см ;
Сила
a
eE
m
2
расстояние между пластинами равно высоте, на которую поднимается электрон и определяется по
формуле:
y  U y  t  12 a  t 2  (2,97 106  3,89 10 9 )  ( 12 1,76 1015  3,89 2 10 18 ) 
 11,6 10 3  13,3 10 3  24,9 10 3
т.о. d=y=24,9мм
в. Вертикальная составляющая скорости:
v y  U y  at  2,97 106  1,76 1015  3,89 109  9,82 106
м
с
результирующая конечная скорость:
v 2  v y2  U x2  (9,82 2 1012  5,14 2 1012 ) мс 2 ; v  11,110 6
2
м
с
г. Энергия, передаваемая электроном верхней пластине равна
k 
mv 2

2
9 ,11103111,12 1012
2
 5,6110 17 Дж  348эВ
2. а. На максимальной высоте, которую достигает электрон, вертикальная компонента скорости
равна нулю.
Пусть на высоте h потенциал равен –Vh . Тогда
m  u 2 cos 2 60  eVh ; но поле является однородным, поэтому можно записать
ehV
V Vh
1
m  u 2 cos 2 60 

;
2
d
h
d
1
2
Максимальная высота, на которую поднимается электрон
d  m  u 2 cos2 60 12  24,8 103  9,111031  35,2 1012  0,25
h

 2,5 мм
eV
218 1,6 1019
1
2
б. В момент времени t координаты x и y записываются в виде:
x  u  t  sin 60
y  u  t  cos 60  12
e
E t2
m
2m  u  cos 60
eE
2m  u  cos 60 2m  u 2  cos 60  sin 60 m  u 2  sin 120



отсюда x  u  sin 60
eE
eE
eE
9,1110 31  35,2 1012  0,866

 17,3 мм
10 103 1,6 10 19
При y=0 мы имеем t=0 или t 
в. Время пролета электрона
t
2m  u  cos 60
 3,37 нс
eE