УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ СИГНАЛЬНОГО ВХОДА
Гавар Мамедов, Газанфар Рустамов, Вахид Фархадов
Азербайджанский Технический Университет, Баку, Азербайджан,
[email protected]
Динамика управляемых систем, в том числе, их свободное движение, исследуется
при ненулевых начальных условиях. Если не имеется доступ к внутренней структуре
объекта, с целью установления необходимых начальных условий или «сброса», то это можно
выполнить с помощью сигнального входа.
Основой данного подхода является равноценность начального состояния динамической системы входной (t) – функции Дирака.
Не нарушая общности, рассмотрим линейный стационарный объект, задаваемый
моделью состояния:
dx dt  Ax  Bu, x(0)  x0  0
(1)
где, x  x1 , x 2 ,..., x n T - вектор состояния; u  u1 , u 2 ,...,u m T - вектор управления
(сигнальный вход); А, В – постоянные nxn и nxm матрицы.
x0  0 . Пусть m=n.
Требуется установить начальное условие системы (1) на x(0)  ~
Тогда можно записать
u  u1  B 1~
x0 (t ) ,
(2)
где (t) – скалярный единичный импульс.
При этом уравнение объекта:
dx dt  Ax  B u1  B 1~
x0 (t ) , x0  0 .
(3)
Учитывая свойство L[(t)]=1, при нулевых начальных условиях изображение вектора
состояния имеет вид:
X ( s )  sI  A1 Bu1 ( s )  ~
x0 .
Соответствующий оригинал:
t
t


(4)
x(t )  e At  ~
x0   Bu1 ()d  e At ~
x0   e A(t ) Bu1 ()d .
0
0






Здесь e At  L1 sI  A1
- переходная матрица. Выражение (4) является известным
решением линейной системы (1) при начальном условии ~x 0 .
При m<n, на все начальные состояния xi0 , i  1, n повлиять не возможно. В этом
случае задача не имеет полного решения. Так, при скалярном входе m=1 возможно изменить
начальное условие лишь одной переменной xj(t), j=1,2,…,n.
На рис.1 показана схема моделирования уравнения (3).
ОБЪЕКТ
U
U1(t)
~
x0
+
B
B-1
(t)
+
I 1s
A
Рис.1.
X(t)
Реализацию единичного импульса можно осуществить согласно выражению:
(t )  h1(t )  1(t  ), h  1  ,   10 ( 25) .
Здесь 1(t), 1(t-) – смещенные на величину  ступенчатые функции (Step).
Случай m=1 часто встречается при приведении модели «вход-выход»

y ( n)  f y, y ' ,..., y ( n1) , u
к модели состояния. В линейном случае:
dx dt  Ax  bu,

y  x1.
Здесь
 0
 0
A
 ...

 a n
... 
0
 

... 
0
, b  .
...
... ... 
...
 



 a n1 ...  a1 
b
1
0
0
1
При этом можно повлиять лишь на начальное условие переменной x n (t )  y ( n1) (t ) .
Выражение (2) принимает вид:
u  u1  b 1 ~
x n0 (t ).
Пример 1. Скалярный случай m = 1. Уравнение объекта задано в форме «входвыход»:
y  0,6 y  2 y  3u .
Вводя новые переменные х1 = y, x2  y можно записать:
1  x1   0 
 x1   0
   
    u .
 x 2    2  0,4  x2   3 
x n0 (t ). Пусть сигнал управления u1=1(t), а требуемое
Выражение (2): u  u1  1 3~
начальное условие х20 = 2. На рис.2 показана схема моделирования на пакете SIMULINK.
OBYEKT
3
b*
2
b
u
u1=1(t)
1
xo s
Gain2
0 Integrator
1/3
Gain1
Xo
x2=y'
DELTA
-0.4
1000
1(t)
-2
1(t-1)
а)
1
s
x1=y
y'
Integrator1
Scope
y
y
y
y
t
t
б)
в)
Рис.2.
Как видно из рис.2,б траектория х2 (t )  y (t ) начинается из требуемого начального
состояния y' (0)  2 . На рис. 2,в значение х2(0)=2 реализовано путем изменения начального
условия первого интегратора при (t) = 0. Как видно в обоих случаях получены одинаковые
переходные процессы х1(t) = y(t) и x 2 (t )  y (t ) .
На рис.3 показана схема моделирования в случае когда объект задан передаточной
функцией. В этом случае начальные условия нулевые y(0)  y (0)  0 и изменить их путем
вмешательства во внутреннюю структуру объекта невозможно.
OBYEKT
u1=1(t)
1
Gain2
Transfer Fcn
3
b*
2
b
u
1/3
y
y'
s2 +0.4s+2
du/dt
Scope
Derivative1
Xo
DELTA
1000
1(t)
1(t-1)
а)
y
y
t
б)
Рис.3.
Как видно из рис.3,б – процесс по y (t ) начинается с требуемого начального
состояния y (0)  2 .
Пример 2. Теперь рассмотрим векторный случай m = n = 2. Уравнение объекта задано в форме модели состояния:
x1  x 2  2u1 ,
x 2  2 x1  0,4 x 2  u 2 .
Здесь
1 
0
2 0
0,5 0
A
, B
, B 1  



 2  0,4
0 1 
 0 1
x  5,2 T .
Пусть u1 = 1 + 0,2sin(4t), u1 = 1(t). Требуемое начальное состояние ~
0
На рис.4,а представлена схема векторной реализации модели объекта.
t
u1
0.2*sin(4*(u))
Clock
Xo
B
u
OBYEKT
u2=1(t)
Fcn
[2 0;0 1]* uvec
B*
1
xo s
Add1
x1, x2
[0 0]
[5 2]
[0.5 0;0 1]* uvec
Matrix
Multiply
DELTA
Scope
[0 1;-2 -0.4]* uvec
Product1
1000
1(t)
1(t-0.001)
а)
х1
х2
t
б)
Рис.4.
Как видно из рис.4,б процессы х1(t) и х2(t) начинаются из требуемого начального
состояния х1(0)=5 и х2(0)=2. Аналогичные результаты получены при (t)=0 и начальном
условии интегратора х0=[5 2].
Рассмотренный способ может быть использован для предварительного возбуждения
внутреннего состояния элементов и устройств вычислительной техники и систем
управления. А так же, осуществить «сброс» текущего состояния.
Решение модельных задач на MATLAB/SIMULINK показали высокую достоверность
теоретических положений и позволили сделать ряд положительных выводов, имеющих
важное прикладное значение.