a 1

9 класс, геометрия, Ряшко С.В.
14-17 октября
Изучение темы «Теорема косинусов».
Цели уроков:


Образовательные:
o усвоение всеми учащимися стандартного минимума по теме;
o формирование и совершенствование умений, оперировать
уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами,
рассуждать по аналогии;
o развитие психических свойств: память, вербальная и образная,
произвольное внимание, воображение.
Развивающие:
o определение зоны ближайшего развития учащихся в ходе
решения задач с использованием теоремы косинусов;
o определение результативности и эффективности
подготовительного этапа урока к доказательству теоремы
косинусов через анализ и обобщение домашней работы;
o определение возможности конструирования познавательного
процесса.
Этап подготовки к осознанному восприятию нового материала
1. Ребята! Вспомните все, что вы знаете о косинусе угла:





определение;
значения косинусов некоторых углов от 0 до 180;
свойство косинусов равных углов;
свойство косинусов смежных углов;
свойство косинусов углов, значения которых увеличиваются о
0о до 90о.
2. Задание: Используя треугольник АВС, найдите синус угла А
и косинус угла А. Сделайте вывод.
Замечание.
Острые углы А и В прямоугольного треугольника АВС дополняют
друг друга, их сумма равна 90о . Эти углы являются
дополнительными.
Вывод: Косинус острого угла равен синусу дополнительного угла.
Изучение нового материала.
Теорема косинусов:
В каждом треугольнике квадрат любой стороны равен сумме
квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих
сторон на косинус угла между ними.
Дано: АВС АВ = с, АС = b, ВС = а.
Доказать: c2 = a2 + b2 – 2 abcosC
Доказательство.
А) если о, тогда cosC = 0 и c2 = a2 + b2 (Теорема Пифагора);
Б) если – острый, то для доказательства применим алгоритм
Пусть АД – высота, АД = h. Из
АДС а1 = bcosC h2 = b2 – a12.
Из АДВ с2 = h2 + (a – a1)2,
с2 = h2 + a2 – 2aa1+ a12,
с2 = b2 – a12 + a2 – 2abcosC + a12 ,
т.е. c2 = a2 + b2 – 2abcosC.
В) если – тупой.
Доказательство проведите самостоятельно.
Замечание:
Обратитесь за помощью к учебнику!
Работа с учебником
1. Прочитайте доказательство теоремы в учебнике стр. 13.
2. Составьте алгоритм доказательства теоремы.
3. Расскажите основную идею доказательства.
4. Почему в доказательстве по учебнику не рассматриваются три
случая?
Основные задачи – следствия из теоремы косинусов
Нахождение третьей стороны треугольника.
СЛЕДСТВИЕ 1. Нахождение углов треугольника. Найдите
наибольший угол треугольника, если известны все его стороны.
Запишите соответствующие формулы –следствия из теоремы
косинусов

СЛЕДСТВИЕ 2.Определение вида треугольника, зная его
стороны.
Задание: определите вид треугольника с заданными сторонами,
вычислив предварительно косинус наибольшего угла:

23; 25; 34
Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса
наибольшего угла?
ВЫВОД.
Пусть с – наибольшая сторона
– если с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный;
– если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный;
– если с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.
Проверьте вывод на выполненных задачах.
4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника.
Дано: а, b, c
Найти: ma
– Решение проведите самостоятельно.
Ответ. 4 ma2 = 2b2 + 2c2 – a2
Домашнее задание:
1.Разобраться в теории параграф 2,
2. Выучить теорему косинусов и следствия.
3. Решить в тетради: №28а, 29а, 30, 31.