. Решения 1) ( x

0–0.
Решите
Математическая игра «Домино». Решения. Декабрь 2012 года.
уравнение (x2x1)2x3=5. ( 1 5 . Уравнение сводится к
равносильному
(x2x1)222=x3+1, т.е. (x2x+1)(x2x3)=(x2x+1)(x+1). Первый множитель в обеих частях
является положительным, значит, надо решить квадратное уравнение x2x3=x+1, корнями
которого будут числа 1 5 .)
0–1. Решите неравенство | x  1 | x  1 . (x<1)
0–2. Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2012 делится число 2012!
(Напомним, что 2012! = 1∙2∙3∙…∙ 2010∙2011∙2012). (На четвёртую степень. Разложим число 2012
на простые множители: 2012 = 22∙503. В разложении на простые множители числа 2012!
показатель степени у числа 2 будет значительно большим 1006, т.к. множитель 2 входит в
разложение каждого чётного числа, а во многие из них и не по одному разу. Множитель 503
входит только в разложение чисел вида 503n, где n – натуральное число, не превосходящее
2012:503=4. Таким образом, в разложение числа 2012! на простые множители число 503
войдет с показателем 4. Следовательно, число 2012! будет делиться на 20124 , но не будет
делиться на 20125 .)
0–3. Решите уравнение х3+12х=6х2+13.( 3 5  2 . х3-6х2+12х-8=5  (x-2)3=5, откуда и получаем ответ)
0–4. Найдите величину меньшего угла равнобочной трапеции, если диагональ
делит её на два равнобедренных треугольника. (72. Пусть этот угол ,
тогда в одном из полученных равнобедренных треугольников углы
равны ,  и 180-2, а в другом – (180-2), (180-2) и (180-), откуда
180=540-5.)
0–5. В четырёхугольнике ABCD A=30, B=135, C=150, D=45 и
BC=CD. Найдите ВАС. (15. Т.к. суммы противоположных углов
равны 180, то это вписанный четырёхугольник, значит, ВАС=BDC
(как опирающиеся на одну дугу), который равен (180-С):2=15 из
равнобедренного BCD.)
0–6. Найдите наибольшее десятизначное число такое, что для любого
натурального k от 1 до n (n – количество цифр самого числа) число из
первых k цифр делится на k. (9876545640, на каждом шаге определяем
наибольшую цифру, которую можно поставить в данном разряде)
x 2  3x  2
 1 . (x – любое действительное число, не
1–1. Решите уравнение 2
x  3x  2
равное (1) и (2), т.к. при этих числах знаменатель зануляется)
1
1–2. Решите неравенство 2 x  2 . (0<x1)
sin x  cos x  1 . (Область определения функции такова, что
1–3. Решите неравенство

2k  x  2k  , где k – любое целое число, но в крайних точках всех интервалов (при sinx=0
2
или cosx=0) сумма данных корней превратится в 1. В остальных же точках интервалов
sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  1 , значит, 2k  x  2k 
 , где k – любое целое число.)
2
1–4. Найдите сумму всех целых делителей числа 2012, не включая 2012. (−2012, т.к. все целые
делители разбиваются на пары противоположных по значению, а у числа (−2009) парное
число 2009 не включается в эту сумму)
1–5. При каких a уравнение ||x+1|–|x+2||=a имеет решение? (При 0a1. Разница расстояний на
числовой прямой от точки x до точек (–1) и (–2), каковыми являются числа |x+1|=|x–(–
1)|и |x+2|=|x–(–2)|, не превышает 1.)
1–6. Определите вид треугольника АВС, если a+ha=b+hb, где a и b - две стороны, а ha и hb – высоты,
проведённые к ним. (Равнобедренный или прямоугольный треугольник. Воспользуемся
S
S
 b
формулой площади, тогда a 
. После преобразований получим, что (a-b)(S-2ab)=0,
2a
2b
откуда и следует нужный нам вывод.)
2–2. При каких значенияx параметров a, b и c уравнение ax2+bx+c=0 имеет ровно одно решение? (при
a0 дискриминант D=b2-4ac=0 и при a=0, b0)
2–3. Какой несократимой правильной дроби равна периодическая десятичная дробь 0,2(3)=0,23333…?
(7/30. Примем нашу дробь за x, тогда 10x=2,(3)=x+2,1, откуда 9x=2,1 и x=2,1/9=21/90=7/30.)
2
.
2x  x2  x  1 . ( 1 
2
2–4. Решите уравнение:
2 x  4 x  1  0

 x 1  0
2



 x  1 


 x  1 

 x 1
2x  x  x  1 
2
2 x  x 2  ( x  1) 2

x 1  0

2
2
2 .)
2
2–5. На доске написаны два числа 100 и 200. Каждую минуту два числа (a и b), записанные на доске,
ab
2
заменяются на их среднее гармоническое
и среднее арифметическое
. Найдите
1 1
2

a
b
произведение чисел на доске через час. (20000. В данном процессе инвариантом является
произведение чисел, записанных на доске, равное ab
 квадрату их среднего
геометрического, которое изначально равно 100200=20000.)
2–6. Найдите большую сторону параллелограмма, если его высоты, проведённые к смежным
сторонам, равны 2 и 3, а его периметр равен 9. (Такого параллелограмма не существует. Каждая
сторона не меньше высоты, проведённой к другой стороне, значит, периметр должен быть не
меньше удвоенной суммы высот, т.е. 10, а у нас он равен 9.)
3–3. Найти максимальное значение функции: y=asinx + bcosx. (Ответ:
. В силу
неравенства
Коши-Буняковского-Шварца
Тогда максимум достигается в случае b0 при условии
имеем:
и в случае b=0 при
sinx=sign(a)=1 в зависимости от знака a0.)
3–4. Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В
центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего
общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причем так, чтобы расстояние
до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика,
27!
противоположного исходному? (Ответ: Р(9,9,9) 
. Кузнечик должен совершить всего 27
(9!) 3
прыжков – по 9 в каждом направлении. Обозначим направления буквами A, B и C. Каждый
путь
однозначно
определяется
последовательностью
длины
27,
в
которой
буквы A, B и C встречаются по 9 раз, а количество таких последовательностей равно числу
27!
27!
перестановок с повторениями Р(9,9,9) 
.)

9!9!9! (9!) 3
3–5. Какое минимально возможное значение можно получить, расставляя скобки в выражении
1:2:3:4:5:6:7:8:9? (1/362880=1/9!, т.к. для получения минимального результата скобки в
выражении расставлять не надо, поскольку в этом случае возникнет
дробь 1/9!=1/(23456789))
3–6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность. А=В=120,
3 1
D=90, |BC|=1. Найдите длину стороны AD. (
. Из свойств
2
данного четырёхугольника следует, что (см.рис.) AD=KH=BH–
3 1
BK=BC/2–AB/2=ВС/2–ВМ=ВС/2– (ВС–МС)=НС–ВС/2=ВС(cos30–1/2)=
.)
2
4–4. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, у которого любая группа подряд
идущих цифр даёт число, делящееся на количество цифр в этой группе. (76840. Предположим, что
есть большее число. Если в нём не менее 6 цифр, то две последние цифры должны делиться
на 5, т.е. среди них есть 5, но тогда нет соответствующей делимости на 2 у двузначного числа,
оканчивающегося на 5. Т.о., большее число должно быть пятизначным ( abcde ),
оканчиваться на 4 чётные цифры и последняя цифра e=0. Кроме того, из делимости на 3
следует, что 0a+b+c≡b+c+d(mod 3), т.е. a≡d(mod 3), и также 0b+c+d≡c+d+e(mod 3), т.е.
b≡e≡0(mod 3), значит, b=6. Из делимости на 4 следует, что cd 4, т.е. (10c+d)4, но с – чётное,
значит, d4. Тогда первая цифра не может быть 9 (иначе d=6) и 8 (иначе d=2), значит, a=7,
d=4, и для максимальности числа c=8.)
4–5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов А и В
пересекаются в середине стороны CD, а угол C равен 60. Найдите
угол D. (60 или 120. Из свойств биссектрис следует, что
середина стороны CD (точка М) будет равноудалена от прямых
АВ, ВС и DA, а значит, возможны два случая расположения
равных прямоугольных треугольников МСК и МDN (К и N –
проекции точки М на прямые ВС и DA соответственно), откуда
и получим нужные значения угла D.)
4–6. В куб со стороной a вписан шар. Найдите радиус меньшего шара,
касающегося трёх граней куба и первого шара. ( a(2  3 ) .
2
Диагональ куба равна a 3 и пусть одна из таких диагоналей
АВ пересекает первый шар в точках Р и Q (P ближе к A, чем к
B),
при
этом
AP 
a 3 a

2
2
и
PB 
a 3 a
 .
2
2
Тогда
шары
гомотетичны относительно своей точки касания точки P с
коэффициентом
k 
AP
3 1
( 3  1) 2


 (2  3 ) и отношение радиуса маленького
PB
2
3 1
a
большого шара равно |k|.)
2
1
5–5. Найдите значение выражения u 16  16 , при u  1 2 . (Ответ: 1331714. Число 1+√2 является
u
корнем
кв.
трёхчлена
,
поэтому
u
,
,
шара к радиусу
,
,
.)
5–6. Сколько существует десятизначных чисел, у которых каждая последующая цифра не больше
предыдущей? Ответ дать числом в десятичной записи. ( С1010  1  С1910  1  92377 . Решаем либо
методом «шаров и перегородок», либо сразу рассматриваем сочетания с повторениями из 10
по 10, т.к. каждый выбор 10 цифр однозначно даёт число с учётом невозрастания цифр, при
этом надо удалить вариант выбора 10 нулей.)
6–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных ненулевых цифр, в котором для любого
натурального n, не превышающего количества цифр, сумма первых n цифр будет делиться на n.
(978426. Пусть Sn – сумма первых n цифр, тогда S77 и в силу оценки
28=1+2+3+4+5+6+7S73+4+5+6+7+8+9=42 может принимать одно из трёх значений (28, 35, 42).
Если S7=28=1+2+3+4+5+6+7, то S6=24, S5=20, т.е. шестая и седьмая цифры равны 4, что
противоречит условию. Если S7=35, то S6=30, S5=25, т.е. шестая и седьмая цифры равны 5, что
противоречит условию. Если S7=42=3+4+5+6+7+8+9, то S6=36, S5=30, т.е. шестая и седьмая
цифры равны 6, что противоречит условию. Т.о. в числе не более 6 цифр. Наибольшее
шестизначное число строится естественным образом подбором на каждом шаге наибольшей
цифры, удовлетворяющей условию.)