Основные параметры, характеризующие синусоидальные токи

Лекция №2
Электрические цепи синусоидального тока
Введение
Современная энергетика основана на передаче энергии на дальние
расстояния при помощи электрического тока. Но обязательным условием
передачи электроэнергии на дальние расстояния и удобного распределения ее
является возможность применения трансформирования, т.е. простого и с малыми
потерями преобразования тока большей силы и низкого напряжения в ток малой
силы и высокого напряжения и обратного преобразования. Однако такое
преобразование возможно только посредством аппарата переменного тока –
трансформатора. Из этих преимуществ современная энергетика построена на
применении переменного тока.
В большинстве случаев стремятся к тому, чтобы токи и напряжения
изменялись по синусоидальному закону, так как отклонение от этого закона ведет
к нежелательным явлениям – появляются дополнительные потери в элементах
цепи, возрастает влияние мощных линий передачи на соединение линии связи и
т.д.
В современной технике используют переменные токи исключительно
широкого диапазона частот – от долей герца до миллиардов герц. В странах СНГ
и Западной Европе наибольшее распространение получили установки
синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную.
В зависимости от частоты источниками синусоидальной ЭДС являются
генераторы того или иного типа. При промышленных частотах на электрических
станциях в настоящее время в качестве генераторов применяют вращающиеся
электрические машины. Для промышленных и повышенных частот
генерирование переменной ЭДС осуществляют также с помощью ионных и
полупроводниковых преобразователей постоянного тока в переменный,
именуемых инверторами. При повышенных и высоких частотах используют
преобразователи с электронными приборами. Для генерирования колебаний с
частотами, приближающимися к частотам оптического диапазона, используются
квантовые генераторы, именуемые мазерами и лазерами.
Переменный ток промышленной частоты на электростанциях создают
электромашинные синхронные генераторы трехфазного тока. В них используется
явление электромагнитной индукции. Посредством генератора механическая
энергия, сообщаемая первичным двигателем (паровой или гидравлической
турбиной), преобразуется в электрическую энергию переменного тока.
Синхронный генератор состоит из неподвижной части - статора и
вращающейся части – ротора. Статор имеет форму полого цилиндра и собирается
из листов электротехнической (магнитомягкой) стали. В пазах статора уложены
изолированные проводники – обмотка статора.
Ротор представляет собой электромагнит, возбуждаемый постоянным током.
В его обмотку ток подается через медные кольца, укрепленные на валу ротора. По
кольцам скользят неподвижные щетки, соединенные проводами с возбудителем.
При вращении ротора его магнитный поток пересекает проводники статора и
индуктирует в ней переменную ЭДС.
e  Blv
где B – магнитная индукция, l – активная длина проводника, v – скорость
движения магнитного потока по отношению к проводнику.
Основные параметры, характеризующие синусоидальные токи,
напряжения, э.д.с
В линейной электрической цепи при действии периодических э.д.с. с
одинаковым периодом Т устанавливаются во всех участках цепи периодические
токи и напряжения с тем же периодом.
Частота f – число периодов (колебаний) в единицу времени:
f 
1
T
(2.1)
Наибольший интерес представляют периодические э.д.с., напряжения и токи,
являющиеся синусоидальными функциями времени:
рис. 2.1
Мгновенное значение силы тока
i(t )  I m sin( t  i )
(2.2)
где – Im амплитуда тока (максимальное значение за период) [A]
  2f 
2
T
- угловая частота [рад/с]
t   i - фаза колебания [рад]
 i - начальная фаза тока (фаза при t = 0). Начальная фаза отсчитывается от точки
перехода через нуль к положительному значению. Если i > 0, то точка перехода
через нуль к положительному значению смещается влево от начала координат, а
если i < 0 – вправо.
Мгновенное значение напряжения
u(t )  U m sin( t  u )
(2.3)
где – Um амплитуда напряжения [В]
 u - начальная фаза напряжения [рад]
Мгновенное значение ЭДС
e(t )  Em sin( t  e )
(2.4)
где – Em амплитуда ЭДС [В]
 e - начальная фаза ЭДС [рад]
О значениях периодических ЭДС, напряжений и токов обычно судят по их
средним квадратичным значениям за период, обозначаем соответственно через E,
U, I:
T
T
T
1
1
1
2
2
2
E

e
(
t
)
dt
I
i
(
t
)
dt
U

u
(
t
)
dt



T0
T0
T0
(2.5)
Эти величины называют действующими значениями ЭДС, напряжения и
тока. Такой выбор определяется нижеследующими соображениями.
Среднее значение за период мощности, характеризующее выделение
теплоты в цепи с сопротивлением R, имеет выражение
T
T
1
1
2
2
2
i
(
t
)
R
dt

R
i
(
t
)
dt

RI
T 0
T 0
(2.6)
Следовательно, вводя понятие о действующем токе как среднем
квадратичном значении его за полный период, получаем формулу для средней
мощности, выраженной через этот ток, такую же по виду как и при постоянном
токе.
Используя равенства (2.5) и (2.6) можно доказать, что:
I
Im
2
E
Em
2
U
Um
2
(2.7)
Комплексный (символический) метод анализа цепей синусоидального тока
Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока может быть
основан на законах Кирхгофа. Рассмотрим цепь с последовательно соединенными
участками R, L и С.
рис. 2.2
По второму закону Кирхгофа имеем
t
di 1
e  u R  u L  uC  Ri  L   idt  uC (0)
dt C 0
(2.8)
Таким образом, рассчитать данную цепь, значит, решить уравнение (2.8).
Следовательно, расчет цепей синусоидального тока сводится к решению
дифференциальных уравнений.
Во многих случаях расчет цепей такого рода способами, может оказаться
громоздким. Кроме того, для сложных схем имеющих разветвления, вычисление,
например, по первому закону Кирхгофа некоторого тока по другим уже
найденным токам, сходящимся к данному узлу цепи, или вычисление по второму
закону Кирхгофа падения напряжения на некотором участке по уже найденным
падениям напряжения на других участках контура и ЭДС, входящим в данный
контур цепи, требуют суммирования синусоидальных токов и напряжений и ЭДС.
Однако эта операция связана с громоздкими и трудоемкими вычислениями.
Существенное упрощение достигается изображением синусоидальных
 . Каждое комплексное число
функций времени комплексными числами A
содержит в себе две величины – модуль A и аргумент А при показательной
форме записи
A  e j A
где j 
1 и
(2.9)
e - основание натуральных логарифмов.
Комплексное число
вектором.
A можно представить на комплексной плоскости точкой или
рис.2.3
a1  A cos A  Re( A ) вещественная и
a2  A sin  A  Im( A ) мнимая составляющие
где
комплексного числа
алгебраической и тригонометрической формах записи
A
при
A  a1  ja2  A cos A  jAsin  A
(2.10)
Согласно рис.2.3 модуль и аргумент определяются по следующим равенствам
A  a12  a22
 a2 

 a1 
 A  arctg 
Отсчет аргумента производится от действительной оси (+1)
Если А > 0, то отсчет ведется против часовой стрелки,
Если i < 0 – наоборот.
(2.11)
(2.12)
Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток
рис. 2.4
Мгновенное значение силы тока
i (t )  I m sin( t   i ) 

 Im I m e
j (t  i )



1
I m e j (t  i )  I m e  j (t  i ) 
2j
(2.13)
j (t  i )
j i
jt

 I me e  I me
Комплексное число I m e
как символическое изображение действительного
i(t )  I m sin( t  i ) .
Комплексное число
амплитудой тока. Вводя знак изображения

jt
и будем рассматривать
синусоидального тока
I m e j i
называют
, будем писать
i(t )  I m sin( t   i )  I m e j (t  i )  Im e jt
комплексной
(2.14)
рис.2.5
Таким образом, для перехода от действительной синусоидальной функции
(оригинала) к ее изображению необходимо модуль последней взять равным
амплитуде синусоидальной функции, а аргумент взять равным аргументу
синусоидальной функции. Для обратного перехода от изображения к оригиналу,
необходимо взять коэффициент при j мнимой части комплексного числа.
I m e j (t  i )  I m cos(t   i )  jI m sin( t   i )
i (t )  Im( I m e j (t  i ) )  I m sin( t   i )
При t = 0 изображение на комплексной плоскости примет вид
Кроме того,
комплекс.
рис.2.6
принято рассматривать комплексное действующее значение –
рис.2.7

I  I m  I m e j i
2
2
2 раз меньше длины вектора Im
(2.15)
Длина вектора I (рис.2.7) в
Аналогично изображаются синусоидальные функции ЭДС e(t) и напряжения u(t)
Синусоидальная функция времени
(оригинал)
Мгновенное
значение
Ампли- Действ.
туда
знач.
Комплексные числа
(изображение)
Нач.
фаза
Изображение
Мгновенного
значения
e(t )  Em sin( t   e )
Em
E
e
E m e j (t  e )
u (t )  U m sin( t   u )
Um
U
u
U m e j (t  u )
Комплексная
амплитуда
E m  E m e j e
U m  U m e j u
Комплексное
действующее
значение
E  Ee j e
U  Ue j u
Разность фаз напряжения и тока на зажимах приемника электрической
энергии
Рассмотрим участок цепи, напряжение и ток которого изменяются
гармонически
рис.2.8
i(t )  I m sin( t  i )
u(t )  U m sin( t   u )
В общем случае существует сдвиг по фазе между синусоидами напряжения и тока
на угол
   u  i
(2.16)
рис.2.9
Если напряжение опережает ток то
 0
, если напряжение отстает от тока то
  0 . Диапазон возможных значений угла  :


  
2
2
Покажем комплексные значения напряжения
комплексной плоскости
Угол
 принято
U  Ue j u
и тока
I  Ie j i на
рис.2.10
отсчитывать от вектора тока к вектору напряжения.
отсчет против часовой стрелки,
  0 отсчет по часовой стрелке.
  0-
Комплексное сопротивление
Комплексное сопротивление того или иного участка цепи это отношение
комплексов напряжения и тока этого участка
U Ue j u U j ( u  i )
Z   j i  e
 Ze j
I
Ie
I
(2.17)
Здесь Z – модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление),
аргумент комплексного сопротивления (разность фаз напряжения и тока).
Возможны следующие формы записи комплексного сопротивления:
Z  Ze j
2. Тригонометрическая Z  Z cos  jZ sin 
3. Алгебраическая Z  R  jX
Где R  Z cos  - активное сопротивление
X  Z sin  - реактивное сопротивление






cos   0
R  0 , так как для 2
2
X  0 , если   0 и следовательно sin   0 , X  0 ,
соответственно sin   0 , X  0 , если   0 .
-
1. Показательная
если
  0и
Построим на комплексной плоскости треугольник сопротивлений
рис.2.11
Полное сопротивление (модуль комплексного сопротивления)
Z  R2  X 2
(2.18)
Аргумент комплексного сопротивления (разность фаз напряжения и тока)
X

R
 
  arctg 
(2.19)
Комплексное сопротивление также можно найти как отношение комплексных
амплитуд напряжения и тока
U m
Z
Im
(2.20)
Комплексная проводимость
Комплексная проводимость того или иного участка цепи это отношение
комплекса тока к комплексу напряжения этого участка
I
Ie j i
I  j ( u  i )
 j
Y  

e

Ye
j

U
Ue u U
(2.21)
Здесь Y – модуль комплексной проводимости (полная проводимость),
аргумент разность фаз напряжения и тока.
Возможны следующие формы записи комплексного сопротивления:
Y  Ye  j
Тригонометрическая Y  Y cos  jY sin 
Алгебраическая Y  g  jb
4. Показательная
5.
6.
-
g  Y cos  - активная проводимость
b  Y sin  - реактивная проводимость
Где
Построим на комплексной плоскости треугольник проводимостей
рис.2.12
Полная проводимость
Y  g 2  b2
(2.22)
Аргумент комплексной проводимости
b
g
  arctg  
(2.23)
Комплексную проводимость также можно найти как величину обратную
комплексному сопротивлению
Y
1
Z
(2.24)
Установим соотношения между активными и реактивными проводимостями и
сопротивлениями
1
1
R  jX
R  jX
R
X


 2


j
Z R  jX R  jX R  jX  R  X 2 R 2  X 2
R2  X 2
Так как Y  g  jb , то
R
R
X
X
g 2

b 2
 2
2
2
(2.25)
2
R X
Z
R X
Z
Y
Аналогично из соотношения
R
Z
g
g

g 2  b2 Y 2
1
Y
, можно установить, что
X 
,
b
b

g 2  b2 Y 2
(2.25)
Законы Ома и Кирхгофа в символической форме записи
Закон Ома

I  U  YU
Z
Первый закон Кирхгофа
(2.26)
 I  0
(2.27)
При записи этого уравнения, комплексы токов, направленных к узлу берутся со
знаком «плюс», а комплексы токов, направленных от узла – со знаком «минус».
Второй закон Кирхгофа
 E   Z I
(2.28)
При записи этого уравнения, предварительно задаются направлением обхода в
замкнутом контуре. Комплексы ЭДС, совпадающих с направлением обхода
берутся со знаком «плюс», а комплексы ЭДС, не совпадающих с направлением
обхода – со знаком «минус». Комплексы падений напряжений совпадающих с
направлением обхода берутся со знаком «плюс», а комплексы падений
напряжений, не совпадающих с направлением обхода – со знаком «минус».
Мощность цепи синусоидального тока
Рассмотрим участок цепи, напряжение и ток которого изменяются гармонически
рис.2.13
Ради простоты положим  u
 0 , тогда    i
рис.2.14
Мгновенная мощность (Скорость совершения работы)
U I
dA
 ui  U m sin tI m sin( t   )  m m cos   cos( 2t   )  
dt
2
 UI cos   UI cos( 2t   )
p
рис.2.15
Когда р > 0, то энергия поступает от источника к приемнику
р < 0, то энергия поступает от приемника к источнику.
Энергия поступающая в приемник за время равное Т определяется площадью,
ограниченной р и осью абсцисс на данном интервале.
T
T
0
0
A   pdt   uidt  UI cos T
(2.29)
Так как двухполюсник пассивный,то энергия не может быть отрицательной
( A  0 так как на промежутке 

2
 

2
cos  0 )
Активная мощность (среднее значение за период мгновенной мощности)
T
1
P   pdt  UI cos 
T0
[Вт]
(2.30)
Активная мощность численно равна энергии поступающей к приемнику за
единицу времени.
cos  называют коэффициентом мощности
Активную мощность можно определить через активное сопротивление
P  UI cos   IIZ cos   I 2 R
(2.31)
Используются также следующие понятия:
Полная мощность:
S  UI  IIZ  I 2 Z
[В А]
(2.32)
Реактивная мощность:
Q  UI sin   IIX  I 2 X
[Вар]
(2.33)
Комплексная мощность:
S  Z I 2  ( R  jX ) I 2  RI 2  jXI 2  P  jQ
(2.40)
Комплексную мощность можно определить как произведение комплекса
напряжения на сопряженный комплекс тока:

U 2
j u
 j i
j

S  Z I  I  Se  Ue Ie
U I
I
2
(2.41)
Построим на комплексной плоскости треугольник мощностей
рис.2.16
S  P2  Q2
cos  
P
S
,
tg 
Q
P
-
коэффициент
- коэффициент активной мощности.
реактивной
мощности,
Идеальный резистивный R элемент в цепи синусоидального тока
рис. 2.17
В резистивном элементе РЭ происходит преобразование электрической
энергии в тепловую.
Мгновенное значение силы тока РЭ пропорционально мгновенному
значению напряжения (закон Ома)
uR
(2.42)
R
Если i( t )  I m sin( t   i ) , то u R ( t )  RI m sin( t   i )
следовательно U Rm  RI m , U R  RI и  u   i    u   i  0 (напряжение
i
и ток совпадают по фазе)
рис. 2.18
Комплексные действующие значения тока и напряжения:
j
j
j
I  I  e j i , U R  U R  e u  RI  e u  RI  e i  RI
(2.43)
Комплексное сопротивление РЭ содержит лишь активную составляющую
(чисто активное сопротивление)
U
Z R
I
(2.44)
Мгновенная мощность
p  u R i  R  i 2  RI m2 sin 2 ( t   i )  RI m2
1
( 1  cos 2( t   i )) 
2
 R  I 2  R  I 2 cos 2( t   i )
(2.45)
рис. 2.19
Активная мощность:
1T
P   pdt  I 2 R
T0
(2.46)
Используются также следующие понятия:
Полная мощность:
S  UI  IIZ  I 2 Z  I 2 R  P
Реактивная мощность:
Q  UI sin  0
(2.47)
(2.48)
Идеальный ёмкостной С элемент в цепи синусоидального тока
рис. 2.20
du
dq
1
 C C  u C   idt
dt
dt
C
Если i( t )  I m sin( t   i ) , то
i
uC ( t ) 
U Cm 
U C  U C  e j u
Im
1

I
sin(

t


)
dt

sin(

t



)
m
i
i
C
C
2
Im
C ,
UC  I
C
и  u  i 





2
2 ,

j(  i  )
I
2   j  x I

e
C
C
где
xC 
U
Z    j  xC => X   xC  0
I
2
2
P  0 , Q  X  I   xC  I  QC  S
1
С
Идеальный индуктивный L элемент в цепи синусоидального тока
рис. 2.20
d
di
di
  L  u L  u L  L
dt
dt
dt
Если i( t )  I m sin( t   i ) , то
d

u L ( t )  L I m sin( t   i )  LI m sin( t   i  )
dt
2
eL  


U Lm  L  I m , U L  L  I и  u   i  ,  
2
2
U L  U L  e j u  L  I  e
j(  i 

2
)
 j  xL I ,
где
U
Z   j  x L => X  x L  0
I
2
2
P  0 , Q  X  I  xL  I  QL  S
xL  L
Последовательное соединение идеальных R, L, C элементов в цепи
синусоидального тока
U  U R  U L  U C
Z  I  R  I  jx L  I  jx C  I


 Z  R  j( x L  x C )
Модуль и аргумент комплексного сопротивления
Z R X
2
X

R
 
  arctg 
2
Следовательно, закон Ома для данной цепи:
I
U
R 2  ( x L  xC ) 2
2
2
2
P  RI 2 , Q  X  I  xL  I  xC  I  QL  QC
S  P 2  Q 2  ZI 2
1) Активно – индуктивный режим:
x L  xC
 X  0,
  0,
Q  0,
U L  UC
где
X  x L  xC
2) Активно – ёмкостной режим:
x L  xC
 X  0,
  0,
Q  0,
U L  UC
3) Резонанс напряжений (чисто активный режим):
x L  xC
x L  xC
 X  0,
 L 
1
C
  0,
Q  0,
 0 
1
LC
последовательного колебательного контура
Добротность:
Q
U L (  0 ) U C (  0 ) x L xC



U ( 0 )
U ( 0 )
R
R
Частотные характеристики контура:
U L  UC
-
резонансная
частота
Параллельное соединение идеальных R, L, C элементов
в цепи синусоидального тока
I  U  Y  U  ( Y K  Y C )
xL
xL
R
R

b


 bL
Y K  g  jb где g 
Z K 2 R 2  xL 2 ,
Z K 2 R 2  xL 2
1
1
YC 
 jbC где bC 
 jx C
xC
Таким образом
I  U  ( g  j( bL  bC ))
I  IK  IC или I  IR  IC  IL
закон Ома для данной цепи:
I  U g 2  ( bL  bC )2
разность фаз напряжения и тока:
b
g
 bL  bC
 g
  arctg   arctg



Мощности
P  gU 2 , Q  b  U 2  bL  U 2  bC  U 2  QL  QC
S  P 2  Q 2  YU 2
1) Активно – индуктивный режим:
bL  bC
 b  0,   0,
Q  0,
I L  IC
2) Активно – ёмкостной режим:
bL  bC
 b  0,   0,
Q  0,
I L  IC
3) Резонанс токов (чисто активный режим):
bL  bC
bL  bC
 b  0,   0,

Q  0,
0 L
 0 C
2
2
R  ( 0 L )
-
I L  IC
условие
для
нахождения
резонансной частоты для параллельного колебательного контура
Добротность:
Q
I L ( 0 ) I C ( 0 ) bL bC



I ( 0 )
I ( 0 )
g
g
Для контуров с высокой добротностью резонансная частота: 0 
Частотные характеристики контура:
1
LC