Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия. Графы.

Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.
Занятие 8
Графы.
Графы, о которых пойдет речь, к аристократам былых времен никакого отношения
не имеют. Наши графы имеют корнем греческое слово «графо», что значит «пишу».
Понятие графа проще всего выяснить на примере.
Первенство класса. В первенстве класса по настольному теннису 6 участников:
Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой
схеме – каждый из участников играет с каждым из остальных только один раз. К
настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной
и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной, Дмитрием и Еленой;
Галина – с Андреем и Борисом; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Дмитрий – с
Виктором и Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр к настоящему моменту проведено
и сколько еще осталось?
Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников будем изображать точками:
Андрея – точкой А и т. д. если двое участников уже сыграли между собой, то будем
соединять изображающие их точки отрезками. Получается схема:
Такие схемы называют графами. Точки А, Б, В, Г, Д, Е называют вершинами графа,
соединяющие их отрезки – ребрами графа. Заметим, что точки пересечения ребер графа
не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают
не точками, а кружочками. Ребра часто оказываются удобнее изображать не отрезками, а
дугами.
Число игр, проведенных к настоящему моменту, равно числу ребер, то есть 7.
Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим еще один граф с теми же
вершинами, но ребрами будем соединять тех участников, которые еще не играли друг с
другом.
Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.
Занятие 8
Ребер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр: Андрей должен
сыграть в теннис с Виктором и Дмитрием; Борис – с Виктором, Дмитрием и Еленой и т. д.
Графами мы пользуемся часто. Возьмите схему железных или автомобильных
дорог: здесь станции или города – это вершины графа, участки между ними – это ребра.
Вершины и ребра многогранника (куба, пирамиды и др.) также образуют граф.
Упражнения:
38. В школьном театральном кружке решили ставить пьесу Гоголя «Ревизор». И тут
разгорелся жаркий спор. Все началось с Тяпкина – Ляпкина.
– Ляпкиным – Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.
- Нет, я буду Ляпкиным – Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал
воплотить этот образ на сцене.
- Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, проявил великодушие Гена.
- …А мне – Осипа, - не уступил в великодушии Дима.
- Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.
- Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, добавили они одновременно.
Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?
39. Жители пяти домов поссорились друг с другом и, чтобы не встречаться у колодцев,
решили их поделить так, чтобы хозяин каждого дома ходил к своему колодцу по
своей тропинке. Удастся ли это сделать?
Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.
Занятие 8
40. В пяти корзинах лежат яблоки пяти сортов. Яблоки первого сорта лежат в корзинах
Г и Д; яблоки второго сорта – в корзинах А, Б и Г; в корзинах А, Б и В имеются
яблоки пятого сорта, в корзине В имеются к тому же яблоки четвертого сорта, а в
корзине Д – третьего. Требуется дать каждой корзине номер, но так, чтобы в
корзине № 1 были яблоки первого сорта (хотя бы одно), в корзине № 2 – второго и
т. д.
Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру, и появилась она в
1736 году в публикациях Петербургской Академии наук. Начиналась эта работа с
рассмотрения следующей задачи:
41. Задача о кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг (ныне Калининград)
расположен на берегах и двух островах реки Пригель. Различные части города
были соединены семью мостами (рис.). В воскресные дни горожане совершают
прогулки по городу. Можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и
только один раз по каждому мосту и потом вернуться в начальную точку пути?
Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.
Занятие 8
Обозначим различные части города буквами А, В, С, D, а мосты – буквами a, b, c, d, e, f,
g.
В этой задаче существенны лишь переходы через мосты: переходя через любой мост,
мы всегда из одной части города попадаем в другую, и, наоборот, переходя из одной
части в другую, мы обязательно пройдем по мосту. Поэтому изобразим план города в
виде графа, вершины которого A, B, C, D изображают отдельные части города, а ребра
a, b, c, d, e, f, g - мосты, соединяющие соответствующие части города.
Если бы существовал маршрут, удовлетворяющий условию задачи, то существовал бы
замкнутый и непрерывный обход этого графа, проходящий один раз по каждому
ребру. Другими словами, этот граф можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги
и не проходя одну линию дважды. Но это невозможно – какую бы вершину мы не
выбрали за исходную, нам придется проходить через остальные вершины, и при этом
каждому «входящему» ребру (мосту, по которому мы вошли в эту часть города) будет
соответствовать «выходящее» ребро (мост, которым мы воспользуемся затем, чтобы
покинуть эту часть города): число ребер, входящих в каждую вершину, будет равно
числу ребер, выходящих из нее, то есть общее число ребер, сходящихся в каждой
вершине, должно быть четным. Наш граф этому условию не удовлетворяет, и поэтому
требуемого маршрута не существует.
Математика 5 класс. Индивидуальная стратегия.
Занятие 8
Если в каждой вершине графа сходится четное число ребер, то такой граф называется
«эйлеров». Всякий эйлеров граф допускает непрерывный замкнутый обход,
проходящий по каждому ребру ровно один раз.
42. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по какому ребру дважды,
нарисуйте граф, изображенный на рисунке. Занумеруйте ребра в той
последовательности, в которой вы их проходили.
Примечание:
Начинать обход нужно из той вершины графа, где сходится нечетное число ребер.
43. Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха
последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру.
Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.
44. Не отрывая карандаша от бумаги, начертите граф.