1.2. Электрическое поле 1.2.1. Капля воды R = 510 5 м находится в состоянии безразличного равновесия в масле с плотностью = 800 кг/м3 при напряжённости электрического поля Е = 104 Н/Кл. Вектор напряжённости поля направлен вертикально вверх. Сколько элементарных электрических зарядов находится на капле? Решение 1. Свободно парящая в масле заряженная положительно капля воды находится под действием трёх сил: силы тяжести mg, силы Архи меда FA и кулоновской силы Fk, возникающей в FA вертикальном электрическом поле напряжённоq стью Е. 2. Определим величины действующих на R каплю сил Е 4 (1) mg R 3 2 g , mg 3 4 (2) FA 1g R 3 , 3 (3) Fk QE , 3 где 1 плотность масла, 2 = 1000 кг/м плотность воды, Q заряд капли. 3. Запишем условие равновесия капли воды под действием анализируемой системы сил (4) mg FA Fk , 4 3 4 (5) R 2 g R 31g QE . 3 3 4. Выразим из уравнения (5) величину заряда 4R 3g 2 1 4 1,25 10 13 10 200 (6) Q 110 13 Кл . E 10 4 5. Определим количество положительных элементарных зарядов, сосредоточенных на поверхности капли Q 110 13 (7) N e 6,25 10 5 . e 1,6 10 19 Fk 24 1.2.2. Два равных отрицательных заряда по q = 9 нКл находятся в воздухе на расстоянии r0 = 8 см друг от друга. Определить напряжённость электрического поля в точке, отстоящей на удалении 5 см от каждого заряда. Изменится ли напряженность поля при помещении зарядов в воду? Решение 1. В заданной точке А имеет место суперпозиция электрических полей от двух зарядов. Задача, таким образом, сводится к определению геометрической суммы векторов напряжённости зарядов q1 и q2 E E1 E 2 . (1) r0 o -q1 r -q2 r Е1 Е Е A 2 2. Определим модуль вектора напряжённости результирующего электрического поля E E12 E 22 E1E 2 cos2 , (2) где Е1, Е2 модули напряжённостей полей, создаваемых зарядами q1 и q2, соответственно. 3. Поскольку модули зарядов одинаковы q 9 10 9 В E1 E 2 3 10 4 , (3) 2 м 4 0 r 12 ,56 9 10 12 25 10 4 уравнение (2) можно упростить E E12 E12 E12 cos2 E1 2 cos2 . (4) 4. Определим из прямоугольного треугольника q1AO значение r sin 0 0,8, arcsin0,8 53 0 . (5) 2r 5. Найдём модуль вектора напряжённости результирующего поля (6) E 3 104 2 0,27 4 104 В / м . 6. При перенесении зарядов в воду напряжённость поля изменится, потому что диэлектрическая проницаемость воды ( = 81) отличается от диэлектрической проницаемости воздуха ( 1), Е1 370 В/м. Напря25 жённость результирующего поля, таким образом, определится как E 370 2 0,27 486 В / м . (7) 1.2.3. Для системы зарядов, заданной в предыдущей задаче определить потенциал электрического поля в точке А. Решение 1. Потенциал, создаваемый системой точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов каждого заряда, составляющего систему in i . (2) i 1 2. Определим потенциал поля, создаваемого одним из зарядов в воздухе, потенциал второго заряда будет иметь такое же значение, потому что величины зарядов и удаление от заданной точки одинаковы q1 9 10 9 1 1600 В . (3) 4 0 r 12 ,56 9 10 12 1 5 10 2 3. При помещении зарядов в воду потенциал уменьшится в 81 раз и станет равным 2 20 В 4. Результирующий потенциал в воздухе и воде будет составлять возд 21 3200 В , (4) H 2O а - 21 3200 40 В . H 2O 80 - q1 q2 Е1 Е2 а О Е4 q4 - Е3 q3 (5) 1.2.4. В вершинах квадрата со стороной а = 0,1 м расположены четыре отрицательных заряда: q1= q2 = q3 = q4 = 0,1 нКл. Определить напряжённость Е и потенциал электрического поля в центре квадрата. Как изменятся параметры поля, если один из зарядов заменить положительным зарядом той же величины? - Решение 1. Если в вершинах квадрата находятся отрицательные заряды, то напряжённость электрического поля в центре будет эквивалентна нулю, потому что векторы напряжён- 26 ностей диагональных зарядов будут равны по модулю и противоположны по направлению, Е0 = 0. 2. Определим далее потенциал поля, создаваемого одним из зарядов q , (1) 1 4 0 r где r a 2 расстояние от центра квадрата до каждого из зарядов, q 2 10 10 1,41 12 ,5 B . (2) 4 0 a 12 ,56 9 10 12 0,1 3. Результирующий потенциал будет определяться в виде алгебраической суммы 1 i4 O i 41 50 B . (3) i 1 4. Рассмотрим далее систему, когда заряд q1 будет положительным. Ситуация по сравнению с предыдущей изменится. Векторы напряжённости поля создаваемого зарядами q2 и q4 будут одинаковы по модулю и противоположны по направлению E2 E4 0 . (4) Таким образом напряжённости в точке О определится в виде суммы векторов напряжённостей полей зарядов q1 и q3 E E 3 E1 . (5) E O 2E 1 4q - q1 1 10 а - q2 Е2 О а Е3 Е4 q4 - Е1 10 354 q3 - В . м (6) 4 0 a 3,14 9 10 0,01 5. Потенциал при этом будет определяться уравнением (3), с учётом того, что 1 + 3 =0, поэтому (7) O 21 25 В . 2 12 1.2.5. Две проводящие пластины несут заряды с плотностью 1 = +510 8 Кл/м2 и 2 = 910 8 Кл/м2. Пространство между пластинами заполнено стеклом ( = 7). Определить напряжённость электрического поля между пластинами и вне их. Решение 1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с 27 + - плотностью заряда определяется как . (1) E 2 0 2. Напряжённость электричеЕ2 ского поля в зазоре между пластиЕ2 Е2 нами E E1 E 2 . (2) 3. Подставим в уравнение (2) значение напряжённости в соответствии с уравнением (1) 8 2 14 10 (3) E 1 2 1 1111 В / м . 12 201 201 201 2 9 10 7 4. В пространстве вне области, заполненной диэлектриком, векторы напряжённостей имеют противоположное направление, поэтому 8 1 4 10 (4) E E 2 E1 2 2222 В / м . 12 2 0 2 2 9 10 1 Е1 Е1 Е1 1.2.6. частица проходит через геометрический центр молекулы водорода, состоящего из двух протонов, расположенных на расстоянии а друг от друга. На каком расстоянии от протонов их электрическое поле будет действовать на частицу с максимальной силой? + р Е3=0 а Е 3 Е 2 Е2 Е Е Е 1 Е Е1 + р Решение 1. Предположим, что частица движется перпендикулярно линии, соединяющей центры протонов через середину отрезка а. 2. Напряжённость электрического поля по ходу движения частицы определяется в виде геометрической суммы напряжённостей полей, создаваемых каждым из протонов. Поскольку в каждой точке траектории расстояние от частицы до протонов одинаковы, то напряжённости по модулю одинаковы E i E E E cos2 , (1) Ei E 2 cos2 . (2) 2 2 28 2 E qp . (3) 4 0 r 3. Анализ уравнений (2) и (3) показывает, что силовое воздействие электрического поля на отрицательно заряженную частицу определяется двумя параметрами: расстоянием r и величиной угла 2. Максимум напряжённости поля от каждого протона будет иметь место в точке траектории 3, но векторы напряжённостей имеют противоположные направления, т.е. суммарная напряжённость будет равна нулю. 4. Функция Е = f (cos2) будет иметь максимум при = 450, в этом случае cos2 = 1. Таким образом, максимальное силовое воздействие на частицу будет иметь место при расстоянии r 2 2 a a a r . 2 2 2 (4) 1.2.7. На расстоянии а = 8 см друг от друга в воде ( = 81) расположены два положительных заряда по q = 10 нКл каждый. Определить напряжённость и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от зарядов. Решение 1. Напряжённость электрического поля и потенциал точечного заряда в точке С определяются уравнениями q q . (1) E , 2 4 0 r 4 0 r А + q1 В + q2 D r r С 2. Напряжённость поля в заданной точке С от двух зарядов равна геометриЕ Е ческой сумме напряжённостей EC E E , (2) ЕС модуль которой находится по теореме косинусов, т.к. результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах E C E E 2E cos E 2 1 cos , 2 2 2 (3) . (4) 2 3. Величину cos 2 определим из прямоугольного треугольника E C 2E cos САD: CD 25 16 3 см 29 CD 3 0,6 . 2 r 5 4. Объединим уравнения (1), (3) и (5) (5) cos 8 2 10 0,6 В . (6) м 12,56 9 10 81 25 10 5. Потенциал электрического поля в точке С определится в виде алгебраической суммы EC 12 4 524 8 C 1 2 21 2q 2 10 43 B . 4 0 r 12,56 9 10 12 81 5 10 2 (7) 1.2.8. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 0,2 м помещены положительные одинаковые заряды по q = 1 нКл каждый. Заряды размещены в воздухе. В середине одной из сторон находится третий заряд, на который действует сила F = 0,6 мкН. Определить величину этого заряда, напряжённость поля и потенциал в этой точке. В + q2 а Решение 1. Определим расстояние r от заряда q2 до точки расположения неизвестного заряда qx, воспользовавшись теоремой Пифагора а r 2 a a 3 0,173 м . (1) D qx 4 2 2. Заряды q1 и q3 в точке D будут Е2 создавать равные по модулю и противоположные по направлению напряжённости E1 E 3 0 . (2) 3. Напряжённость результирующего поля, таким образом, будет равна напряжённости поля, создаваемого зарядом q2 q Е1 3 + С q1 Е 3 +A r a 2 9 В 295 . 2 12 м 4 0 r 12,56 9 10 1 0,03 4. Определим долее величину заряда, находящегося в точке D E2 q 10 (3) 7 F 6 10 2 нКл . E2 295 5. Определим потенциал электрического поля в заданной точке D 1 2 3 , F qxE2 , qx 30 (4) (5) причём 4q 1 3 2 10 9 90 В . 2 12 4 0 a 12,56 9 10 1 0,2 6. Определим потенциал, создаваемый зарядом q2 (6) 9 q 10 51 В . 4 0 r 12,56 9 10 12 1 0,173 7. Совместим уравнения (7), (6) и (5) D 2 90 51 231 В . 3 (7) (8) 1.2.9. Два одинаковых положительных заряда расположены в воздухе на расстоянии а = 0,1 м. Напряжённость электрического поля в точке, удалённой на расстояния r1 = 6 cм и r2 = 8 см от зарядов равна Е = 10 кВ/м. Найти потенциал поля в заданной точке и величину зарядов. Решение 1. Напряжённость электрического поля в точке С определится в виде геометрической суммы E E1 E 2 . 2 2 Е Е2 С (1) 2. Соотношение заданных расстояний показывает, что ABC прямоугольный r2 q1 +A а Е1 r1 q 2 + В (2) a r1 r2 , 0 т.е. = 90 , следовательно, cos = 0. 3. Определим напряжённость результирующего поля по уравнению (1) с учётом особенности геометрии зарядов 2 2 2 q E 2 q 2 4 r 4 r 0 2 2 1 0 2 2 2 q 1 1 , 4 0 r14 r24 (3) 4. Выразим из уравнения (3) заряд q 4 0 r1 r2 E 2 2 q r1 r2 4 4 12,56 9 10 12 4 4 1 36 10 64 10 10 1,3 10 5 4 10 5 4 3,6 нКл . (4) 5. Определим далее потенциал в точке С q 1 1 9 10 9 3,6 10 9 29,5 956 В . 1 2 4 0 r1 r2 31 (5) 1.2.10. Электрон со скоростью v0 = 2106 м/с влетает в направлении силовых линий однородного электрического поля напряжённостью Е = 2,4 В/м. В течение какого времени будет двигаться электрон до полной остановки? Какое расстояние пройдёт частица? Решение me - v0 е Е Fk 1,6 10 1. Запишем параметры элементарной частицы: масса электрона me = 110 30 кг, заряд е = 1,610 19 Кл и определим ускорение F eE , (1) a k me me 19 2,4 м . (2) с 1 10 2. Определим далее время полёта электрона из кинематических соображений a 30 4 10 11 v0 v v0 v 2 10 , 0 5 мкс . 11 a 4 10 3. Путь, пройденный электроном до полной остановки 6 a a 4 10 25 10 6 6 2 10 5 10 2 2 2 s v0 11 (3) 12 5м . (4) 1.2.11. Из экспериментальной установки выбрасываются протоны, летящие прямолинейно со скоростью v0 = 0,5Мм/с. Каковы должны быть параметры однородного электрического поля, чтобы частицы останавливались на расстоянии, не превышающем х = 0,5 м? х Е v0 р р р Fk р р Решение 1. Чтобы затормозить движущиеся протоны (mp 1,710 27 кг, qp = 1,610 19 Кл) необходимо приложить к ним тормозящую силу, обусловленную действием электрического поля. 2. Совмещая уравнения (1) и (3), получим зависимость для времени движения протонов до полной остановки mp v0 . (1) qpE 2. Запишем кинематическое уравнение равнозамедленного движения 32 протона в направлении противоположном электрическому полю v v a (2) v0 0 0 . 2 2 2 3. Подставим в уравнение (2) значение из уравнения (1) v0mp v0 . (3) x 2q p E 4. Разрешим уравнение (3) относительно напряжённости электрического поля Е 2 m p v 0 1,7 10 27 25 10 10 В E 2656 . (4) 19 2q p x м 3,2 10 0,5 2 2 x v0 1.2.12. Два длинных цилиндрических проводника расположенных на расстоянии = 0,2 м в воздухе несут отрицательный равномерно распределённый электрический заряд с линейной плотностью = 0,6 мкКл/м. С каким ускорением и, в каком направлении будет двигаться электрон, помещённый в точку, равноудалённую от проводников на расстояние r = 0,2 м. Решение 1. Напряжённость поля, создаваемого протяжённой заряженной проводящей нитью определяется как - А В Е 7 - 6 10 В E1 E 2 k 2 9 10 135 . (1) Е2 Е1 0,04 м r 2. Напряжённость результирующего С поля определится в виде геометрической суммы напряжённостей от двух идентичных нитей, с учётом того, что угол между векторами напряжённостей = 600 9 E 2E1 E1 cos 60 E1 2,5 213 В м . 2 2 0 30 (2) 19 3. Электрон (me = 110 кг, е = 1,610 Кл), помещённый в точку С будет двигаться в направлении противоположном направлению вектора напряжённости Е, потому что заряд электрона отрицательный. 4. Определим ускорение электрона, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.2.10 19 a Fk eE 1,6 10 213 м 34 2 . 30 me me 110 с 33 (3) 1.2.13. Между параллельными металлическими пластинами находится трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью = 2,2. Пластины несут положительный электрический заряд с плотностью 1 = 3 мкКл/м2 и 2 = 2 мкКл/м. Определить напряжённость и индукцию электрического поля в пространстве между пластинами и вне его. Решение 1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с плотностью заряда определяется уравнением Е** Е** . (1) E 2 Е2 Е2 Е2 0 2. Напряжённость поля в диэлектрике между пластинами Е* Е* будет равна разности напряжённостей полей, создаваемых каждой из пластин Е1 Е1 Е1 6 1 1 2 11012 25 кВ / м . 2 0 2 9 10 2,2 3. Напряжённость поля вне пластин определится в виде суммы E* E1 E 2 (2) 6 1 (3) 1 2 5 1012 278 кВ . 2 0 м 18 10 1 4. Электрическое смещение D связано с напряжённостью поля следующим соотношением (4) D 0 E , величина D, таким образом, в пространстве между пластинами и вне его индукция будет равна E** E1 E 2 D* 0 E* 9 10 12 D** 0 E** 9 10 2,2 25 10 22,5 мкКл / м , 12 3 2 1 2,8 10 2,52 мкКл / м . 5 2 (5) (6) 1.2.14. Заряд Q = 1 мкКл распределён равномерно по тонкому проводящему кольцу радиуса R = 0,1 м. Определить напряжённость поля, создаваемого заряженным кольцом в воздухе на его оси в точке, удалённой от центра кольца на расстояние х = 1 м . Решение 1. Выделим на кольце бесконечно малый элемент длиной dl, 34 dl несущий на себе заряд dQ, и определим напряженность, соr здаваемого им электрического Q поля в точке удалённой на расdEx O стояние х. Определим величину элементарного заряда, считая, R х dEy что весь заряд равномерно расdE пределён по длине кольца Q (1) dQ dl . 2R 2. Подставим значение элементарного заряда в уравнение напряжённости точечного заряда Q dl , (2) dE k 2 2R r 3. Направление вектора dE совпадает с отрезком, соединяющим dl и заданную точку . Этот вектор в данном случае целесообразно разложить на очевидные составляющие по стандартным осям координат, т.е. на dE x и dE y . Существенно отметить, что представление dE в виде двух составляющих позволит существенно упростить рассмотрение. Дело в том, что при любом способе разбиения кольца на элементарные длины, всегда будут встречаться два диаметрально противоположных элемента, у которых векторы напряжённостей будут равны по модулю и противоположны по направлению, их геометрическая сумма, в рассматриваемой точке будет равна нулю. Для всего кольца . in (3) dE y i 0 . i 1 4. Напряжённость поля кольца на его оси, таким образом, определится следующим уравнением E dE cos . (4) 5. Поскольку вопрос о направленности искомого вектора решён, то уместно векторную символику опустить. Подставим в уравнение (4) значение dE из уравнения (2) kQ dl E cos . (5) 2R r 2 6. Подынтегральное выражение (5) содержит две переменных величины, однако, взять этот интеграл не представляется возможным. Но можно избавиться от одной переменной, используя следующие замены x 2 2 (6) cos ; r x R , r 35 E kQ 2R 2 R 0 dl x x R 2 2 2 x kQx 2 R 2 3 . (7) 7. Если x R, как в данном случае, то уравнение (7) упрощается E kQx kQ 9 10 110 1 9 6 (8) 9 кВ / м 3 6 x x 8. Полученное уравнение (8) совпадает с уравнением напряжённости точечного заряда . Дело в том, что предположение x R, превращает кольцо в точку. 1.2.15. Электрический заряд Q=50 нКл равномерно распределён по тонкому стержню длиной а = 0,15 м. На продолжении оси стержня на расстоянии r = 0,1 м от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 100 нКл. С какой силой электрическое поле стержня действует на заряд? Решение 1. Прежде чем приступить к решению, r R+a x следует заметить, что в o r a рассматриваемом случае не представляется возможным напрямую использовать закон Кулона, потому, что заряженное тело не является точечным и вопрос о расстоянии в рамках этого закона не решается корректно. Требуются некоторые, специальные подходы. Определим координаты концов стержня, совместив начало системы отсчёта с положением заряда q, т.е. r; r a . 2. Рассмотрим элементарный участок стержня протяжённостью dx, заряд, которого можно представить как Q (1) dQ dx , a где, величина Q/а = линейная плотность заряда. 3. Для выделенного точечного заряда, уже можно применять закон Кулона dQ q q Q dx . (2) dF k 2 k 2 x ax 4. Применим далее принцип суперпозиции, т.е. определим множество значений элементарной силы и сложим их, т.е. проинтегрируем уравнение для элементарной силы q dx Q 36 r a qQ dx qQ 1 1 qQ . k k 2 a r x a r r a rr a Подстановка численных значений дает: F dF k 9 (3) 9 50 10 100 10 3 1,8 10 H . (4) 0,10,1 0,15 5. Из (4) можно получить путём его деления на q уравнение для напряжённости электрического поля на оси заряженного стержня Q Ek ```` . ````````````` (5) r r a F 9 10 9 Очевидно, что при r >> a уравнение (5) превращается в обычное уравнение закона Кулона. Используя изложенный выше метод, можно определять напряжённости поля не только на оси цилиндра, но и в любой точке окружающего пространства. 1.2.16. Внутри замкнутой сферической полости находятся три точечных электрических заряда q1 = +2 нКл, q2 = 3 нКл, q3 = + 5 нКл. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую сферическую поверхность для двух случаев: когда полость заполнена воздухом ( = 1) и водой ( = 81). Решение 1. Поток напряжённости в общем случае определяется уравнением E E n ds , (1) s ФЕ q q 1 2 где E n E cosE; n проекция вектора q3 напряжённости на внешнюю нормаль. В данном случае E; n 0 , cosE; n = 1, поэтому Е = Еn. 2. Каждый заряд на поверхности сферы создаёт поле постоянной напряжённости q . (2) E 2 4 0 r 3. Перепишем уравнение (1) для точечного заряда с учётом сферической симметрии задачи и постоянства Е 37