Школьная олимпиада 7 класс

Артющенко И.В.
Школьная олимпиада
7 класс
1. Среди семи внешне одинаковых монет есть одна фальшивая – более
лёгкая по весу. Как при помощи всего двух взвешиваний на чашечных
весах (без гирь) определить фальшивую монету?
2. Пассажир проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шёл вдоль
линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 секунд пассажир
вышел из трамвая и пошёл догонять своего знакомого. Через сколько
секунд он догонит знакомого, если он идёт в два раза быстрее
знакомого и в 5 раз медленнее трамвая?
3. р, р + 10, р + 14 – простые числа. Найдите р.
4. Разделите участок земли, имеющий форму квадрата, на 4 равные части
одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно
по одному из 4 растущих на участке деревьев.
5. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 – фантастику, 3 –
с удовольствием читают и то, и другое, а 1 вообще ничего не читает.
Сколько учеников в нашем классе?
6. РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЁН
Восстановите запись, если разным буквам соответствуют разные
цифры, одинаковым – одинаковые, при условии, что наибольшая цифра
в записи числа «СИЛЁН» равна 5.
Артющенко И.В.
1.
2.
3.
4.
Школьная олимпиада
6 класс
Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше
вычитаемого. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.
Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное
количество кроликов. Какое наибольшее число клеток понадобится?
В один сосуд входит 3л, а в другой 5л. Как с помощью этих сосудов
налить в кувшин 4л воды из водопроводного крана?
На плакате разными способами написаны четыре числа.(2б.)
77556644
99778866
23339977
55447722
Известно, что:
 число, написанное фломастером, расположено выше числа,
написанного пером;
 написанное карандашом – левее написанного углем;
 написанное углем – ниже написанного пером;
 написанное углем – выше написанного карандашом.
5. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на
2007?
Ответ обоснуйте.
6. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.
Радиус каждой из окружностей равен 2 см.
Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.
Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?
Артющенко И.В.
Школьная олимпиада
8 класс
1. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4
тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти
наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно,
что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки
варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья,
то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего
больше толстеют: от варенья или от сгущенки?
2. В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно
переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее
число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?
3. Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они
пересекались ровно в семи различных точках.
4. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем
отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое
попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз,
после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?
5. Что больше: 5300 или 3500 ?
6. Разложите на множители выражение: х8 + х4 + 1.
Артющенко И.В.
Школьная олимпиада
9 класс
1. Петя купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все
страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и
разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил
все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получится
2006?
2. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин
оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60°. Доказать,
что трапеция равнобокая.
3. Доказать, что уравнение
(х – а) (х – b) + (x – b)  (x – c) + (x – c)  (x – a) =0
имеет действительные корни при любых действительных числах a, b, c.
4. На дискотеке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью
танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и т.д. до Нины,
которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (парней)
было на дискотеке?
5. Клетки квадрата 15  15 раскрашены в красный, синий и зелёный
цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых
клеток хотя бы одного цвета будет поровну.
6. Постройте график функции у = √|3 − х| − 1.
Артющенко И.В.
Школьная олимпиада
10 класс
1.
.
Постройте
эскиз
графика
функции:
.
2. Периметр треугольника равен 24см. Можно ли около этого
треугольника описать окружность радиусом 5см?
3. В каком году ХХ века родился человек, если в 1997 году
произведение цифр лет, прожитых им, уменьшенное в 4 раза, на 3
меньше суммы цифр года его рождения?
4. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:
|х - 5| + |у + 9| ≤ 4
5. Решите систему уравнений
10𝑥 2 + 5у2 − 2ху − 38х − 6у + 41 = 0,
{ 2
3𝑥 − 2у2 + 5ху − 17х − 6у + 20 = 0.
6. Упростите выражение √1 + sin 𝛼 − √1 − sin 𝛼, где 0° < α < 90°,
считая,
что
корень
квадратного корня.
означает
арифметическое
значение