Контрольные задания и методические указания - RGR

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук
РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Контрольные задания и методические указания
к самостоятельной работе
по курсам «Основы теории цепей»,
«Общая электротехника»,
«Теоретические основы электротехники»
Издательство
Пермского государственного технического университета
2010
Введение
Для передачи и распределения электроэнергии в большинстве случаев
используется трехфазная система энергоснабжения, т.е. система, в которой действуют три одинаковые по амплитуде синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, создаваемые одним источником энергии и сдвинутые друг относительно
друга по фазе на 120  (2 3) . Такая система была изобретена в 1891 г. выдающимся русским инженерном М.О. Доливо-Добровольским, разработавшим все
ее практические приложения, включая трехфазный трансформатор и асинхронный двигатель.
В трехфазной системе технико-экономические преимущества синусоидальных токов проявляются в наибольшей степени (снижается расход проводниковых материалов в линии электропередач, возрастает КПД устройств и т.п.).
Поэтому современные энергетические системы выполняют как трехфазные системы генераторов, линий электропередач и трансформаторов, обеспечивающих трехфазным электропитанием промышленные потребители, которые, в основном, являются трехфазными, например: асинхронные и синхронные двигатели, мощные электрические печи, электромагниты и т.п. Однофазные потребители также получают питание от трехфазных сетей.
Для эффективной эксплуатации таких сетей необходимо знать их возможности и ограничения, существующие при подключении к ним потребителей.
Цель самостоятельной работы студентов по данной теме – изучение основных свойств трехфазных цепей и закономерностей распределения линейных
и фазных токов и напряжений, исследование схем подключения трехфазных и
однофазных потребителей к трехфазной системе электропитания в рабочих и
аварийных режимах.
2
ОСНОВНЫЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Трехфазные цепи являются одним из видов цепей синусоидального тока,
и, следовательно, для них в полной мере применимы методы расчета и анализа
цепей в символической форме. Анализ трехфазных цепей удобно осуществлять
с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между токами и напряжениями. Однако существующая
определенная специфика трехфазных цепей вносит характерные особенности в
их расчет.
Основным признаком классификации трехфазных систем ЭДС, напряжений и токов является их симметричность.
Симметричные трехфазные системы
Условиями симметричности является равенство мгновенных (комплексных) значений ЭДС фаз генератора. Мгновенные и комплексные значения ЭДС
трехфазного симметричного генератора имеют вид:
e A  Em sin  t     E A  E Ae j ;


sin  t    240 
eB  Em sin  t    120 


 E B  E Ae  j120  E Ae j 240  a 2 E A ;
eC  Em


 E C  E A e  j 240  E Ae j120  aE A ,

(1)
где a – оператор поворота, причем


1
3
1
3 3
a  e j120    j
, a 2  e j 240    j
, a  1, a 4  a и т.д.
2
2
2
2
Условием симметричности трехфазного приемника является равенство
комплексных сопротивлений соответствующих фаз: т.е. если Z a  Z b  Z c (фазы нагрузки соединены звездой, рис. 1, а) или Z ab  Z bc  Z ca (фазы нагрузки
соединены треугольником, см. рис. 1, б). В противном случае приемник является несимметричным.
Существуют трехфазные системы, в которых нулевые точки генератора О
и нагрузки о1 соединяются проводом с сопротивлением Z N  0 или Z N  0 (см.
рис. 1, в). Такой провод называют нулевым или нейтральным проводом.
3
Ia
a
A
B
Ib
b
Ic
c
C
IA
Za
Zb
Zb
Zb
Zс
a
A
Z ca
IB
o1
B
Ica
IC
C
Z ab
b
c
Z bc
а
Ia
a
Ib
b
A
B
Ic
c
C
О
IN
Za
Zb
Zb
Zb
Zс
Iab
Ibc
б
o1
ZN
в
Рис. 1
Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система напряжений генератора, то в ней будет действовать симметричная система токов. Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе на  120  . Расчет таких цепей проводится для одной
(базовой) фазы, в качестве которой обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают формальным добавлением к
аргументу переменной фазы А фазового сдвига  120  при сохранении неизменным ее модуля.
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки звездой
(см. рис. 1, а) существуют следующие зависимости между действующими значениями линейных и фазных напряжений и токов:
U л  3U ф ; I л  I ф ,
между комплексными значениями токов фаз
4
(2)




E
Ia  A  I a e j ; Ib  Ia e  j120  I a e j ( 120 ) ; Ic  Ia e j120  I a e j ( 120 ) .
(3)
Za
При наличии нейтрального провода ток в этом проводе определяется по перво-
му закону Кирхгофа
IN  Ia  Ib  Ic ,
(4)
при отсутствии нейтрального провода
Ia  Ib  Ic  0 .
(5)
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки треугольником (см. рис. 1, б) действующие значения линейных и фазных напряжений и токов связаны соотношениями:
U л  Uф ; I л  3 Iф ,
(6)
комплексные значения токов фаз




U
Iab  ab  I ab e j ; Ibc  Iab e  j120  I ab e j ( 120 ) ; Ica  Iab e j120  I ab e j ( 120 ) ,
Z ab
(7)
комплексные значения линейных токов


IA  3Iab e  j 30  3I ab e j 30 ;


IB  IA e  j120  3I ab e j 150 ;


IC  IA e j120  3I ab e j 90 .
(8)
Комплексная, полная, активная и реактивная мощности в симметричной
трехфазной системе определяются соответственно по указанным ниже формулам
для схем «звезда – звезда»
*
~
S λ  3U ф I ф ; S   3U ф I ф  3U л I ф ;
Рпотр   3U ф I ф cos  3U л I ф cos
Qпотр   3U ф I ф sin   3U л I ф sin 
 3I ф2 Rф
 3I ф2 X ф
для схем «треугольник – треугольник»
5


U ф2
Rф
U ф2
Xф
;
.
(9)
*
~
S   3U ф I ф ; S   3U ф I ф  3U ф I л ;
Рпотр   3U ф I ф cos  3U ф I л cos  3I ф2 Rф  I л2 Rф ;
(10)
Qпотр   3U ф I ф sin   3U ф I л sin   3I ф2 X ф  I л2 X ф ,
Несимметричные трехфазные системы
Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, трехфазная
цепь работает в несимметричном режиме. Такие режимы при подключении статической нагрузки рассчитываются любым из известных методов расчета линейных электрических цепей с источниками гармонических воздействий. Как
правило, падением напряжения на внутреннем сопротивлении генератора пренебрегают и фазные напряжения генератора заменяются соответствующими
идеальными источниками ЭДС. Поскольку в трехфазных цепях, помимо значений токов, обычно представляют интерес также величины потенциалов узлов, в
большинстве случаев для расчета применяется метод узловых потенциалов.
Если заданны линейные напряжения, удобно рассчитывать трехфазные
цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник. Пусть в схеме (см. рис. 1, б)
нагрузка несимметрична и Z ab  Z bc  Z ca . Тогда при известных комплексах
линейных напряжений в соответствии с законом Ома фазные токи
U
U
U
Iab  ab ; Ibc  bc ; Ica  ca .
Z ab
Z bc
Z ca
(11)
По найденным фазным токам приемника на основании первого закона
Кирхгофа определяются линейные токи:
IA  Iab  Ica ; IB  Ibc  Iab ; IC  Ica  Ibc .
(12)
Если к трехфазному генератору, фазы которого соединены звездой
(рис. 2), подключен приемник электрической энергии, фазы которого также соединены звездой, то в случае несимметричной трехфазной системы между
нейтральными (нулевыми) точками приемника и генератора возникает напряжение смещения нейтрали
6
E Y  E B Y b  E C Y c
U N  A a
,
Ya Yb Yc Y N
(13)
здесь E A , E B , E C – комплексы ЭДС соответствующих фаз генератора;
Y a , Y b , Y c , Y N – комплексные проводимости соответствующих фаз нагрузки и
нейтрального (нулевого) провода.
Za
E A
a
A
О
E B
B
b
Zb
E C
C
c
Zс
о1
ZN
Рис. 2
Напряжение на фазах нагрузки
U a  Ia Z a  E A  U N ; U b  Ib Z b  E B  U N ;
U c  Ic Z c  E C  U N .
(14)
Токи в фазах
Ia  U a Y a ; Ib  U b Y b ; Ic  U c Y c .
(15)
Ток нейтрального провода
IN  U N Y N  Ia  Ib  Ic .
(16)
При расчете трехфазной системы «звезда – звезда с нейтральным проводом с сопротивлением Z N  0 » нет необходимости рассчитывать напряжение
смещения нейтрали, поскольку U N  0 . В этом случае трехфазную систему
можно рассматривать как совокупность трех независимых контуров и рассчитывать каждый контур известными методами расчета цепей синусоидального
тока. Целесообразно использовать векторные диаграммы при расчете таких цепей.
В случае отсутствия нейтрального провода в формуле (13) проводимость
нейтрального провода Y N принимают равной нулю. При этом, если генератор
7
симметричный, а симметрия нагрузки нарушена сопротивлением нагрузки,
подключенном в одной из фаз (например, Z b  Z c  Z  Z a ), удобно для определения напряжения смещения нейтрали воспользоваться формулой:
Y Y
U N  E A a
,
Y a  2Y
(17)
для оставшихся случаев Z a  Z c  Z  Z b и Z a  Z b  Z  Z c соответственно
Y Y 
Y Y
U N  E B b
; U N  E C c
.
Y b  2Y
Y c  2Y
(18)
Если нагрузка соединена звездой без нейтрального провода и известны
линейные напряжения U AB , U BC , U CA , то фазные напряжения U a , U b , U c
нагрузки находятся по формулам:
U Y  U CA Y c
U Y  U AB Y a
U Y  U BC Y b
.
U a  AB b
; U b  BC c
; U c  CA a
Ya Yb Yc
Ya Yb Yc
Ya Yb Yc
(19)
Для любой трехфазной системы сумма комплексных значений линейных
напряжений равна нулю:
U AB  U BC  U CA  0 .
8
(20)
ЗАДАНИЕ
1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету,
выписать значения параметров элементов цепи.
2. Рассчитать фазное и линейное напряжение генератора, ток, фазное и
линейное напряжения нагрузки, мощность, вырабатываемую генератором и
расходуемую в нагрузке в
а) симметричном режиме;
б) несимметричном режиме.
3. Рассчитать потенциалы всех точек и построить совмещенную топографическую диаграмму потенциалов, принимая потенциал нейтральной точки генератора равным нулю, и векторную диаграмму токов для симметричного и
несимметричного режимов.
5. Определить аналитически и по топографической диаграмме напряжение между двумя заданными точками, записать мгновенное значение этого
напряжения.
7. Составить уравнение баланса активных и реактивных мощностей генератора и нагрузки, проверить его выполнимость для симметричного и несимметричного режимов.
Выбор варианта и параметров элементов цепи
1. По заданному номеру варианта изобразить цепь (рис. 3), подлежащую
расчету, выписать значения параметров элементов.
2. В качестве источника задан симметричный трехфазный генератор, обмотки которого соединены звездой с прямой последовательностью чередования
фаз. Величина ЭДС фазы А E A для четных вариантов выбирается равной 127 В,
для нечетных вариантов – 220 В. Численные значения комплексных сопротивлений обмоток генератора в Омах рассчитываются по следующей формуле:
Z 0   A0  jB0   0,1 ,
9
где
A0 − 8
B0 − 2
Например, для варианта № 35 комплексное сопротивление обмоток генератора
Z 0  (3  5)  j (3  5)   0,1  (8  j 2)  0,1  0,8  j 0,2 Ом,
для варианта № 53
Z 0  (3  5)  j (5  3)   0,1  (8  j 2)  0,1  0,8  j 0,2 Ом,
для варианта № 88
Z 0  (8  8)  j (8  8)   0,1  (16  j 0)  0,1  1,6 Ом.
3. Граф схемы, режим нейтрали, несимметричный режим и определяемое
напряжение заданы в таблице 1.
4. Численные значения комплексных сопротивлений линии определяются
по формуле:
Z л1  B0  jB0 ; Z л 2  B0  B1  j  B1  5; Z л3 
1
1
 j ,
B0
B0
где B1 – первая цифра номера варианта (если число – однозначное, то B1 равно
номеру варианта).
5. Численные значения комплексных сопротивлений фазы определяются
по формуле:
Z ф1  Z л1  10; Z ф2  Z л2  10; Z ф3  Z л3  10.
10
Z л2
Z л1
A
a
m
Zф
Z л3
Zф
2
d
Zф
ZN
3
о1
О
B
e
n
f
b
c
C
k
а
Z л1
A
Z л2
a
m
Zф
Zл
3
Zф
e
2
3
d
Zф
B
1
n
f
c
C
3
б
k
Рис. 3
11
в
Табл. 1
вариант
граф
Z N , Ом
1, 34, 67
2, 35, 68
3, 36, 69
4, 37, 70
5, 38, 71
6, 39, 72
7, 40, 73
8, 41, 74
9, 42, 75
а
б
а
б
а
б
а
б
а
0
−
10
−
∞
−
10  j10
−
10  j10
10, 43, 76
б
11, 44, 77
12, 45, 78
13, 46, 79
а
б
а
−
 j10
−
j10
14, 47, 80
б
15, 48, 81
несимметричный режим
обрыв фазы а
обрыв фазы ab
короткое замыкание фазы а
обрыв линии А
обрыв фазы b
обрыв фазы bс
обрыв фазы c
обрыв линии B
обрыв Z N и Z ф1 фазы а
обрыв фазы сa
обрыв Z л1
напряжение
unf
umf
ube
ued
umk
umd
umn
ued
uAb
uAf
обрыв линии С
обрыв Z ф1 фазы b
uOn
ueA
uAe
−
обрыв Z л1 линии Aa
uak
а
0
обрыв Z л2 линии Aa
unk
16, 49, 82
б
−
обрыв Z ф1 фазы bс
umf
17, 50, 83
а
10
обрыв Z ф2 фазы c
ube
18, 51, 84
19, 52, 85
б
а
обрыв Z л2 линии Bb
uae
umb
20, 53, 86
б
−
∞
−
21, 54, 87
а
10  j10
обрыв Z N и Z л3 линии Bb
udc
22, 55, 88
б
обрыв Z л3 в линии Cc
ucd
23, 56, 89
а
−
10  j10
обрыв Z N и Z ф3 фазы b
ume
24, 57, 90
б
обрыв Z ф3 фазы сa
udn
25, 58, 91
а
короткое замыкание Z л1 линии Cc
umd
26, 59, 92
б
короткое замыкание Z л1 линии Aa
uAk
27, 60, 93
а
−
j10
обрыв Z N и Z ф1 фазы b
ueA
28, 61, 94
б
−
короткое замыкание Z ф1 фазы ab
udn
29, 62, 95
а
0
короткое замыкание Z л2 линии Bb
umk
30, 63, 96
31, 64, 97
32, 65, 98
б
а
б
−
∞
−
короткое замыкание Z л2 линии Bb
uBd
umf
ume
−
 j10
короткое замыкание фазы b
обрыв Z ф2 фазы ab
короткое замыкание фазы c
короткое замыкание Z ф2 фазы bc
12
uak
а
33, 66, 99
10
короткое замыкание Z ф2
uOk
ПРИМЕР РАСЧЕТА
Z пр
a
A
IA
Z0
Z
т
E A
E B
О
Z0
l
E C
n
о1
B
IC
Z
Z
Z0
Z пр
c
IB
C
Z пр
Рис. 4
Дано: к симметричному трехфазному генератору (рис. 4) с фазной ЭДС
E = 220 В и внутренним сопротивлением Z 0  0,2  j 0,4 Ом через линию, сопротивление каждого провода которой Z пр  1  j1,6 Ом, подключена симметричная нагрузка Z  7,8  j3,2 Ом, соединенная звездой.
Решение. Запишем фазные ЭДС генератора в комплексном виде:
E A  E A  220 В;



3
  110  j190,52 В;
E B  E A e  j120  220 e  j120  220  0,5  j

2





3
  110  j190,52 В.
E C  E A e j120  220 e j120  220  0,5  j

2


13
b
Расчет симметричного режима
Ввиду полной симметрии системы напряжение между нулевыми точками
генератора и нагрузки равно нулю. Каждую фазу можно рассматривать независимо от других фаз и вести расчет по одной фазе, к примеру, фазе А.
Определим ток в фазе А по закону Ома (полагаем, что E A  220 В):

E
E A
220
IA  A 

 21,17 e  j 30  18,33  j10,59 А.
Z ф Z 0  Z пр  Z 9  j 5,2
Токи в фазах В и С соответственно


E
IB  B  IA e  j120  21,17 e  j150  18,33  j10,59 А;
Zф


E
IC  C  IA e j120  21,17 e j 90  j 21,17 А.
Zф
Проверка:
IA  IB  IC  18,33  j10,59  18,33  j10,59  j 21,17  0,01  0 .
Фазные напряжения на зажимах генератора
U AO  E A  IA Z 0  220  (18,33  j10,59)  (0,2  j 0,4)  212,098  j5,214 

 212,162e  j1, 41 B
и нагрузки

U ao1  IA Z  (18,33  j10,59)  (7,8  j3,2)  176,862  j 23,946  178,476e  j 7,71 B.
Такие напряжения в других фазах сдвинуты соответственно на 120  и
240  :

U BO  212,162 e  j121, 41  110,57  j181,072 B;

U CO  212,162 e j118,59  101,528  j186,292 B;

U bo1  178,476 e  j127 ,71  109,168  j141,195 B;

U co1  178,476 e j112, 29  67,695  j165,14 B.
Линейные напряжения на выводах генератора и нагрузки
14


U AB  U AO  U BO  322,668  j175,858  367,479e j 28,59  3U AO e j 30 В;


U BC  U BO  U CO  9,042  j367,364  367,475e  j 91, 41  3U AO e  j 90 В;


U CA  U CO  U AO  313,626  j191,506  367,472e j148,59  3U AO e j150 В;


U ab  U ao1  U bo1  286,03  j117,249  309,129e j 22,29  3U ao1 e j 30 В;


U bc  U bo1  U co1  41,473  j306,335  309,13e j 97,71  3U ao1 e  j 90 В;


U ca  U co1  U ao1  244,557  j189,086  309,13e j142,29  3U ao1 e j150 В.
Активная мощность, вырабатываемая генератором


*



PГ  3 ReU AO I A   3 Re 220  21,17e j 30  3  220  21,17 cos30   12100 ,28 Вт.


Мощность, расходуемая в нагрузке
PН  3I A2 R  3  21,17 2  7,8  10487 ,152 Вт.
Составим баланс активной и реактивной мощностей генератора и нагрузки и проверим его выполнимость.
Комплексная мощность генератора
*


~
S Г  3E A I A  3  220  21,17e j 30  13972 ,2e j 30  12100 ,28  j 6986,1 ВА.
Активная мощность генератора PГ  12100 ,28 Вт, реактивная мощность −
QГ  6986,1 вар.
Потребляемая активная мощность складывается из мощностей расхода на
внутреннем сопротивлении генератора, сопротивлении линии и нагрузки:
P  3  ( P0  Pпр  PН )  3  I A2 ( R0  Rпр  RН )  3  21,17 2  9  12100 ,56 Вт,
реактивная мощность в элементах внутреннего сопротивления генератора, линии и приемника
Q  3  (Q0  Qпр  QН )  3  21,17 2  5,2  6991,435 вар.
Допускается расхождение баланса активных мощностей
15
P 
PГ  P
PГ
 100% 
12100 ,28  12100 ,56
 100%  2,3  10 3%  0,5%
12100 ,28
и реактивных мощностей
Q 
QГ  Q
QГ
 100% 
6986,1  6991,435
 100%  0,07%  0,5% .
6986,1
Поскольку баланс активных и реактивных мощностей выполняется, то
расчет произведен верно. Построение топографической диаграммы
Рассчитаем потенциалы всех точек схемы (см. рис. 4), приняв потенциал
нейтральной точки генератора O равным нулю:
 O  0 ;
 m  E A  220 В;
A 
 m  IA Z 0  220  (18,33  j10,59)  (0,2  j 0,4)  212,098  j5,214 В;

 a   A  IA Z пр  212,098  j 5,214  (18,33  j10,59)  (1  j1,6) 
 176,824  j 23,952 В;
 o1   a  IA Z  176,824  j 23,952  (18,33  j10,59)  (7,8  j3,2) 
 0,038  j 6  10 3  0 В;
 n  E B  110  j190,52 В;
 B   n  IB Z 0  110  j190,52  (18,33  j10,59)  (0,2  j 0,4) 
 110,57  j181,07 В;
 b   B  IB Z пр  110,57  j181,07  (18,33  j10,59)  (1  j1,6) 
 109,184  j141,152 В;
 o1   b  IB Z  109,184  j141,152  (18,33  j10,59)  (7,8  j 3,2) 
 0,098  j 0,106  0 В;
 l  E C  110  j190,52 В;
 C   l  IC Z 0  110  j190,52  j 21,17  (0,2  j 0,4) 
 101,532  j186,29 В;
16
 c   C  IC Z пр  101,532  j186,29  j 21,17  (1  j1,6) 
 67,66  j165,12 В;
 o1   c  IC Z  67,66  j165,12  j 21,17  (7,8  j3,2) 
 0,084  j 6  10 3  0 В.
Совмещенная векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма
напряжений представлена на рис. 5.
Im( I), A
Im( ), В
l
C
c
E C
U co1
U BC
U bc
IC
U CA
10
U ca
25
–10
–50
50
U ao1
–25
IB
U bo1
IA
–10
E B
U AB
U ab

m Re( I ), A
20
O (o1)
b
B
n
Рис. 5
17
E A
A
a
Re( ), В
Определим напряжение между точками n и b:
U nb   n   b  (110  j190,52)  (109,184  j141,152)  0,816  j 49,368 

 49,375e  j 90,95 В,
мгновенное значение напряжения
u nb (t )  49,375 2 sin( t  90,95 ) В.
Расчет несимметричного режима
Пусть несимметрия режима возникает вследствие короткого замыкания
резистора в фазе А. В этом случае между нулевыми точками генератора и
нагрузки возникает напряжение смещения нейтрали (12)
E Y  E B Y b  E C Y c
.
U N  A a
Ya Yb Yc Y N
Для определения величины U N вычислим комплексные проводимости фаз,
помня о том, что комплексное сопротивление нагрузки фазы А равно
Z Н a  j3,2 Ом, сопротивления нагрузки фаз B и C Z Нb  Z Нc  Z  7,8  j3,2 Ом:
Ya 
1
Z 0  Z пр  Z Н a
Yb Yc 

1
 0,042  j 0,183 Сим;
0,2  j 0,4  1  j1,6  j 3,2
1
1
1


 0,083  j 0,048 Сим,
Z ф Z 0  Z пр  Z 9  j 5,2
проводимость нейтрального провода Y N  0 .
Фазные ЭДС генератора в комплексном виде:
E A  E A  220 В;



3
  110  j190,52 В;
E B  E A e  j120  220 e  j120  220  0,5  j

2





3
  110  j190,52 В.
E C  E A e j120  220 e j120  220  0,5  j
2


Тогда
18
220 (0,042  j 0,183)  (( 110  j190,52)  (110  j190,52))(0,083  j 0,048)
U N 

0,042  j 0,183  2(0,083  j 0,048)

 9,02  j 29,7

 52,93  j 71,79  89,193e  j 53,6 В.
0,208  j 0,279
Токи всех фаз в соответствии с (14)

IA  E A  U N Y a  20,155  j 27,559  34,143e  j 53,82 А;

IB  E B  U N Y b  19,222  j 2,034  19,33e  j173,96 А;

IC  E C  U N Y c  0,932  j 29,592  29,607 e j 91,8 А;
Проверка показывает, что IA  IB  IC  1  10 3  j1  10 3  0 .
Напряжения на фазах нагрузки:

U ao1  IA Z Н a  (20,155  j 27,559)  j3,2  88,199  j 64,496  109,265e j 36,18 B;

U bo1  IB Z  (19,222  j 2,034)  (7,8  j3,2)  143,423  j 77,376  162,964e  j151,65 B;

U co1  IC Z  (0,932  j 29,592)  (7,8  j3,2)  101,964  j 227,835  249,611e j114,11 B.
Напряжение на каждой фазе генератора
U AO  E A  IA Z 0  220  (20,155  j 27,559)  (0,2  j 0,4)  204,945  j 2,55 

 204,961e  j 0,71 B;

U BO  E B  IB Z 0  106,962  j182,424  211,47e  j120,39 B;

U CO  E C  IC Z 0  97,977  j184,974  209,32e j117,91 B.
Линейные напряжения на выводах генератора и нагрузки

U AB  U AO  U BO  311,907  j179,874  360,057 e j 29,97 В;

U BC  U BO  U CO  8,985  j367,398  367,508e  j 91, 4 В;

U  U  U  302,922  j187,524  356,268e j148, 24 В;
CA
CO
AO

U ab  U ao1  U bo1  231,622  j141,872  271,618e j 31, 49 В;

U bc  U bo1  U co1  41,459  j305,211  379,74e  j 97,74 В;

U ca  U co1  U ao1  190,163  j163,339  250,682e j139,34 В.
19
Активная мощность, вырабатываемая генератором, складывается из активных мощностей каждой фазы генератора
PГ  PA  PB  PC .
Определим активную мощность каждой фазы генератора
 * 
PA  Re E A I A   Re220  (20,155  j 27,559)  4434,1 Вт;


*


PB  Re E B I B   Re(110  j190,52)  (19,222  j 2,034)  2501,938 Вт;


 * 
PC  Re E C I C   Re(110  j190,52)  (0,932  j 29,592)  5740,388 Вт.


Тогда PГ  12676 ,426 Вт.
Мощность, расходуемая в нагрузке, равна сумме активных мощностей фаз В и
С, т.к. в нагрузке фазы А отсутствует резистивное сопротивление:
PН  I B2 R  I C2 R  19,332  7,8  29,607 2  7,8  9751,742 Вт.
Составим баланс активной и реактивной мощностей генератора и нагрузки и
проверим его выполнимость.
Комплексная мощность генератора
*
*
*
~



S Г  E A I A  E B I B  EC I C  220  (20,155  j 27,559 ) 
 (110  j190,52)  (19,222  j 2,034 )  (110  j190,52)  (0,932  j 29,592 ) 

 13972 ,2e j 30  12676 ,426  j12578 ,971 ВА.
Активная мощность генератора PГ  12676 ,426 Вт, реактивная мощ-
ность − QГ  12578,971 вар.
Потребляемая активная мощность складывается из мощностей расхода на
внутреннем сопротивлении фаз генератора, сопротивлений линии и нагрузки:
P  Pa  Pb  Pc  12650 ,903 Вт,
реактивная мощность в элементах внутреннего сопротивления генератора, линии и приемника каждой фазы
Q  Qa  Qb  Qc  12563,033 вар.
20
Допускается расхождение баланса активных мощностей
P 
PГ  P
PГ
 100% 
12676 ,426  12650 ,903
 100%  0,2%  0,5%
12676 ,426
и реактивных мощностей
Q 
QГ  Q
QГ
 100% 
12578,971  12563,033
 100%  0,13%  0,5% .
12578,971
Поскольку баланс активных и реактивных мощностей сходится, то расчет
произведен верно.
Построение топографической диаграммы
Рассчитаем потенциалы всех точек схемы (см. рис. 4), приняв потенциал
нейтральной точки генератора O равным нулю:
 O  0 ;
 m  E A  220 В;
A 
 m  IA Z 0  220  (20,155  j 27,559)  (0,2  j 0,4)  204,945  j 2,55 В;

 a   A  IA Z пр  204,945  j 2,55  (20,155  j 27,559 )  (1  j1,6) 
 140,696  j 7,239 В;
 o1   a  IA Z Н a  140,696  j 7,239  (20,155  j 27,559 )  j 3,2 
 52,507  j 71,735 В;
 n  E B  110  j190,52 В;
 B   n  IB Z 0  110  j190,52  (19,222  j 2,034)  (0,2  j 0,4) 
 106,969  j182,424 В;
 b   B  IB Z пр  106,969  j182,424  (19,222  j 2,034 )  (1  j1,6) 
 91,001  j149,635 В;
 o 1   b  I B Z  91,001  j149,635  (19,222  j 2,034 )  (7,8  j 3,2) 
 52,423  j 72,259 В;
 l  E C  110  j190,52 В;
 C   l  IC Z 0  110  j190,52  (0,932  j 29,592)  (0,2  j 0,4) 
 97,977  j184,974 В;
 c   C  IC Z пр  97,977  j184,974  (0,932  j 29,592 )  (1  j1,6) 
 49,698  j156,873 В;
21
 o1   c  IC Z  49,698  j156,873  (0,932  j 29,592 )  (7,8  j 3,2) 
 52,266  j 70,962 В.
Совмещенная векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма
напряжений представлена на рис. 6.
Im( I), A
l
Im( ), В
C
c
IC
E C
U co1
U CA
U bc
U BC
10
U ca
25
–10
–50
IB
50
IA
–25
E B
a
U ao1
–10
U ab
U bo1
o1
U AB
b
B
n
Рис. 6
22

m Re( I ), A
E A
20
O
A
Re( ), В
Определим напряжение между точками n и b:
U nb   n   b  (110  j190,52)  (91,001  j149,635)  18,999  j 40,885 

 45,084e  j114,9 В,
мгновенное значение напряжения
u nb (t )  45,084 2 sin( t  114,9 ) В.
23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи: учебник / Л.А. Бессонов. – М.: Гардарики, 2000. – 504 с.
2. Зевеке Г.В. Основы теории цепей: учебник / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин,
А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
3. Касаткин А.С. Электротехника. Кн. 1 / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. –
М.: Энергоатомиздат, 1995. – 240 с.
4. Кузнецова Т.А. Основы теории цепей: учебное пособие. Ч. 1 / Т.А.
Кузнецова, Е.А. Кулютникова, А.А. Рябуха. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.
ун-та, 2008. – 227 с.
24