МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА г. СЕМЕЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА г. СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня
УМКД
Учебно-методические
материалы по дисциплине
«Теоретическая механика»
УМКД
Редакция №1
УМК 042 - 18 – 08.1.20/03- 2013
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Теоретическая механика»
для специальности: 5B090100 «Организация перевозок и движения грузов.
эксплуатация транспорта»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей 2013
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 2 из 53
Содержание
1
2
3
4
Глоссарий
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа студента
3
4
28
39
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 3 из 53
1 ГЛОССАРИЙ
В настоящем УММ использованы следующие термины с соответствующими определениями:
1.1 Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривается
задачи на равновесие систем сил.
1.2 Сила – мера механического взаимодействия тел.
1.3 Линией действия силы называется прямая, по которой направлена сила.
1.4 Свободное тело – это тело перемещения которого ничем не ограничены
1.5 Несвободное тело –это тело, перемещение которого ограничено другими телами
1.6 Связи –это тела, ограничивающие перемещения данного тела
1.7 Реакциями связей - называют силы, с которыми связи действуют на
данное тело,
1.8 Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.
1.9 Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих
сил и приложена в точке их пересечения
1.10 Пара сил – это система двух параллельных сил, равных по модулю и
направленных в разные стороны
1.11 Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
1.12 Главный момент относительно центра –векторная сумма моментов
всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.
1.13 Плоская система сил – система сил, расположенных в одной плоскости
1.14 Центральной осью системы сил называется прямая, вдоль которой


направлены FO и M *
1.15 Центр параллельных сил – точка, через которую проходит линия
действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах
этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же
угол.
1.16 Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим
телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести
частиц тела при любом положении тела в пространстве.
1.17 Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси
1.18 Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 4 из 53
1.19 Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка
при своем движении.
1.20 Поступательное движение тела – такое движение твердого тела, при
котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе
1.21 Вращательное движение тела – такое движение твердого тела, при
котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с
телом, остаются неподвижными.
1.22 Плоским (плоскопараллельным) называют такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.
1.23 Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю – Р.
1.24 Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения
материальных тел под действием сил.
1.25 Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в
ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и
направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна
1.26 Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала.
1.27 Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства
направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее
зависит только от расстояния r точки массой m до центра.
1.28 Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны
1.29 Внешние силы Fe – силы, действующие на точки системы со стороны
тел, не входящих в систему
1.30 Внутренние силы Fi – силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему.
1.31 Центробежный момент инерции Jxy для материальной точки называется произведение ее координат x и y на ее массу m
1.32 Главной осью инерции тела называют ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю.
1.33 Главной осью инерции тела называют ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю.
1.34 Числом степеней свободы системы называют число независимых
между собою возможных перемещений системы
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 5 из 53
2 ЛЕКЦИИ
Структура лекционного занятия:
Лекция 1: Плоская система сил
План: 1. Введение в статику.
2. Основные понятия и исходные положения. Виды связей и их реакции.
3. Сложение сил и разложение сил по заданным направлениям. Проекции сил на плоскость и оси координат.
4. Алгебраическое значение момента силы.
5. Равновесие плоской системы сил. Расчет плоской формы. 6.Момент
силы относительно центра. Пара сил
Статика
Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривается задачи
на равновесие систем сил.
Сила – мера механического взаимодействия тел. Сила векторная величина, характеризуется тремя элементами: числовым значением (модулем), направленикг  м
ем и точкой приложения. Ед.измерения – ньютон, 1Н  1 2 , 1кН (килоньюс
3
тон)= 10 Н.
Прямая, по которой направлена сила, назыв. линией действия силы.
Аксиомы (законы) статики: 1) аксиома инерции: Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя
или движется прямолинейно и равномерно. 2) аксиома
F2
равновесия двух сил: Две силы, приложенные к абсоR
лютно твердому телу, будут уравновешены тогда и

F1
только тогда, когда они равны по модулю, действуют по
одной прямой и направлены в противоположные стороны. 3) аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся
RA
сил: Действие системы сил на абс. твердое тело не
RAy
RB
изменится, если к ней прибавить или отнять уравТ
новешенную систему сил. Следствие: Действие
В
A
силы на абс.тв. тело не изменится, если перенести
RAx
90о
точку приложения силы вдоль ее линии действия.
д)
Т.е. сила, приложенная к абс.тв. телу– скользящий
г)
в)
вектор. 4) аксиома параллелограмма сил: Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и
изображается
диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.
  
R  F1  F2 ;
R  F12  F22  2F1F2 cos  . 5) аксиома равенства действия и противодействия
(3-й закон Ньютона): Всякому действию соответствует равное и противопо-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 6 из 53
ложно направленное противодействие. 6)
принцип отвердевания: Равновесие сил, приN
RA
ложенных к нетвердому телу, не нарушается
R
Cx
C
A
RAy
при его затвердевании.
RAx
Тело называется свободным, если его перемеMC
щения ничем не ограничены. Тело, перемещеж)
з)
е)
ние которого ограничено другими телами,
называется. несвободным. Тела, ограничивающие перемещения данного тела,
называют связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называют реакциями связей. Принцип освобождаемости: Всякое несвободное тело
можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу. Основные типы свяN
N

зей: а) опора на идеально гладкую поверхность –
o
реакция поверхности направлена по нормали к
90
n
ней, т.е. перпендикулярно касательной – норn

мальная реакция; б) одна из соприкасающихся
a)
б)
поверхностей является точкой (угол), реакция
направлена по нормали к другой поверхности; в) нить – реакция направлена
вдоль нити к точке подвеса; г) цилиндрический шарнир (шарнирнонеподвижная опора) – реакция может иметь любое направление в плоскости.
При решении задач заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими; д) цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (шарнир на катках) –
реакция направлена перпендикулярно опорной плоскости; е) сферический (шаровой) шарнир – реакция может иметь любое направление в пространстве. При
решении задач заменяется тремя взаимно перпендикулярными составляющими;
ж) невесомый стержень (обязательно невесомый) – реакция направлена вдоль
стержня; з) "глухая" заделка (вмурованная балка) – возникает произвольно
направленная реакция – сила и реактивный момент, также неизвестный по
направлению. Реакция раскладывается на две составляющие.
Система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Равнодействующая сходящихся сил равна
 n 
геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения R   Fi .
RAz
RCy
i 1
Равнодействующая может быть найдена геометрическим способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитическим способом,
проектируя силы на оси координат. Проекции силы на оси координат (для
y
плоской сист.): Fx=Fcos; Fy=Fcos=Fsin; проекция >0, есF
ли направление составляющей силы совпадает с направл. оси.
j
Fy

i
x
Fx
z
cos  
Fz


x
Fx
F

Fy
Модуль
y
силы: F  Fx2  Fy2 ;
направляющие
косинусы:
Fy
Fx
; cos  ; разложение силы на составляющие:
F
F
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 7 из 53
 



F  Fx  i  Fy  j , где i , j – орт (единичный вектор) соответствующей оси.




Для пространственной системы: F  Fx  i  Fy  j  Fz  k ,
Fx=Fcos;
Fy=Fcos;
Fz=Fcos;
F  Fx2  Fy2  Fz2 ;
Fy
Fx
F
; cos  ; cos   z .
F
F
F
Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси
равна алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси:
cos 
Rx=Fix; Ry=Fiy; Rz=Fiz; R  R 2x  R 2y  R 2z .

Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:  Fi  0
аналитические: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0. Теорема о трех непараллельных силах:
Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия
двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.
Теория пар сил. Сложение двух параллельных сил: равнодействующая двух паА С
раллельных сил F1 и F2 одного направления имеет такое же
В
направление, ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил, а
F2
точка приложения делит отрезок между точками приложения
F1
сил на части обратно пропорциональные модулям сил: R=F1 +
R
F2; АС/ВС=F2/F1. Равнодействующая двух противоположно
направленных параллельных сил имеет направление силы большей по модулю
и модуль, равный разности модулей сил.
Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные
стороны, назыв. парой сил. Кратчайшее расстояние между линиями действия
этих сил назыв. плечом пары "h". Действия пары сил характеризуется ее моментом. Момент пары сил M = Fh – произведение модуля одной из сил пары на ее
плечо.

Момент пары сил M – вектор, направленный перM
F
пендикулярно плоскости сил, так, что, если смотреть
90o
o
90
h
ему навстречу, то видим вращение пары против хода
F
час.стр. M>0, если против час.стр., M<0 – по час.стр
(на рис М>0).
Теоремы о парах. 1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить
одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме момен

тов данных двух пар. M  M1  M 2 . 2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты. 3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил
можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором. 4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар
приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 8 из 53

Условие равновесия пар сил:  M i  0 – геометрическая сумма их моментов
равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся,
если алгебраическая сумма их моментов Мi=0.
Момент силы относительно точки – вектор, численно равный произведению
модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно
z
F
плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, что
M0(F)
90o
бы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся поверh
нуться против хода часовой стрелки. Плечо "h"– кратчайшее
R
y
расстояние от точки до линии действия силы.
0
 
 
M 0 (F)  R  F – момент силы равен векторному произвеx


дению вектораR на вектор F . Модуль векторного произведения: M 0 (F)  RFsin= Fh. Для плоской системы сил
F
обычно находят не вектор момента, а только его модуль:
F

o
90
90o
M 0 (F)  Fh, >0 – против часовой
F
h
стрелки; <0 – по часовой стрелки
h
90o
O
O
O1
Свойства момента силы: 1) момент
Mo(F)=+Fh
FI
h
Mo(F)=–Fh
силы не изменяется при переносе точO2
II
ки приложения силы вдоль ее линии
F
действия; 2) момент силы относит.
Mo2(F)=+Fh
точки =0 только тогда, когда сила =0
или когда линия действия силы проходит через точку (т.е. плечо =0). Если x,y,z
– координаты точки приложения силы, Fx, Fy, Fz – проекции силы на оси координат и точка 0 – начало координат, то
i j k
 
 
M 0 (F)  R  F  x y z =(yFz – zFy) i +(zFx – xFz) j +(xFy – yFx) k , откуда проFx Fy Fz


екции
момента
силы
на
оси
коорд.:
М
(
)=yF
–
zF
;
М
(
)=zFx – xFz;
F
F
0x
z
y
0y

М0z( F )=xFy – yFx.
Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Главный момент относительно центра –векторная сумма моментов всех сил, приложенных
к телу относительно того же центра.
Теорема (лемма) о параллельном переносе силы: сила приложенная в какойлибо точке тверд. тела, эквивалента такой же силе, приложенной в любой др.
точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Вопросы для самоконтроля:
1. Назовите основные аксиомы статики
2. Расскажите теорему о параллельном переносе сил
3. Что такое свободное тело?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 9 из 53
4. Назовите и опишите основные типы связей
5. Дайте определение модулю силы
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 2: Пространственная система сил
План: 1. Момент силы относительно центра и оси. Вычисление главного вектора и главного момента.
2. Равновесие пространственной системы сил
3. Центр тяжести.
4. Центр параллельных сил координаты центра тяжести.
5. Центры тяжести некоторых однородных тел.
Плоская система сил – система сил, расположенных в одной плоскости. Система сил приводится к одной силе – главному вектору и к паре сил, момент которой равен главному моменту. Момент пары сил направлен перпендикулярно к
плоскости, в которой лежат силы. В плоских системах нет необходимости использовать векторное представление момента. Теорема Вариньона – если плоская система сил приводится к равнодействующей, то ее момент относительно
какой-либо точки равен алгебраической (т.е. с учетом знака) сумме моментов
всех сил относит. той же точки.


Условия равновесия пл. сист. сил: векторное:  Fk  0;  M O (Fk )  0 . аналитич:

F

0
;
F

0
;
M
(
F
 kx
 ky
  O k)  0, 

или  M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  M C (Fk )  0
где
 А,В,С –  точки, не лежащие на одной прямой, или
 M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  Fkx  0 , ось "х" не перпендикулярна отрезку
АВ.
Равновесие тел при наличии трения. Закон Кулона (закон Амонта – Кулона):
максимальная сила сцепления пропорциональна нормальному давлению тела на
плоскость
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 10 из 53
Fсцmax  f сц  N , fсц – коэффициент сцепления (зависит от материала, состояния
поверхностей, определяется экспер-но). Направление силы сцепления противоположно направлению того движения, которое возникло бы при отсутствии
сцепления. При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Ее направление противоположно
R
N
скорости тела Fтр  f  N , f –коэффициент трения скольжения
сц
(определяется опытным путем). f<fсц. Реакция шероховатой (реальной) поверхности в отличии от идеально гладкой имеет две составFсц
G
ляющие: нормальную реакцию и силу сцепления (или силу трения
при движении). Угол сц–угол сцепления (тр – угол трения) tgсц=fсц (tgтр=f).
Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол
сцепления (угол трения) с нормалью к поверхностям тела назыв. конусом сцепления (конус трения). Для того чтобы тело начало движение,
N
необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных
S сил находилась вне конуса трения. Трение качения – сопротивfk
ление, возникающее при качении одного тела по поверхности
F
другого. Причина его появления в деформации катка и плоскоG
сти в точке их соприкосновения и смещения нормальной реакции в сторону возможного движения. Мтр= fkN – момент трения качения, fk –
коэффициент трения качения; имеет размерность длины.
Пространственная система сил. Момент силы относительно оси – скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плосz
F
кость, перпендикулярную оси, взятому относительно
точки пересечения оси с плоскостью. Момент >0, если
o Fxy
h
90
смотря навстречу оси, мы видим поворот, который стреO
плXY
мится совершить сила направленный против час.стр.



M Z (F)  M Z (Fxy )  M O (Fxy )  Fxy h ,
На рис. М>0. Момент силы относительно оси равен 0: 1) если сила параллельна
оси (Fxy=0), 2) если линия действия силы пересекает ось (h=0); т.е. если ось и
сила лежат в одной плоскости. Аналитические выражения
моментов

 силы относительно осей координат: Мx( F )=yFz – zFy; Мy( F )=zFx – xFz; Мz( F )=xFy – yFx.
Приведение пространственной системы сил к данному центру решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Любая система сил, действующих на абс.тв.тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре
приведения О, и одной парой с моментом МО, равным главному моменту системы относительно центра О (главный вектор – векторная сумма всех сил,
приложенных к телу; главный момент относительно центра –векторная сумма
моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра). Статические инварианты пространств. сист. сил – такие характеристики этой системы, которые остаются неизменными при перемене
FO
M*
центр. ось
системы сил
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 11 из 53
центра приведения. 1-ый инвариант – главный вектор (квадрат модуля главного
вектора): I1= Fo2= Fx2+Fy2+Fz2 ; 2-ой инвариант – скалярное произведение глав 
ного вектора на главный момент: I2= FO  M O =FxMx+FyMy+FzMz . При перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного
 

M
F
I
вектора М* не изменяется M *  O O  2 . Совокупность силы FO и пары
FO
I1
*
сил, с моментом M , расположенной в плоскости перпендикулярной линии
действия этой силы, назыв. динамой (силовым винтом). Система приводится к
динаме, если второй статический инвариант не равен 0. Прямая, вдоль которой


направлены FO и M * , называется центральной осью системы сил. Центральная
ось системы сил – геометрическое место точек пространства, относительно которых главные моменты заданной системы сил имеют наим-ший модуль
Мmin=M* и направлены вдоль этой оси. Если главный вектор








FO  Fx i  Fy j  Fz k и гл.-ый момент M O  M Ox i  M Oy j  M Oz k , то уравнения
центральной оси:
M Ox  ( yFz  zFy )
Fx

M Oy  (zFx  xFz )
Fy

M Oz  ( xFy  yFx )
Fz
.
Случаи приведенияпространственной
системы сил:

М0
Случай приI2= FO  M O F0
ведения
1 I2 0
Динама
F0 0 M0 0
2 I2 = 0
F0 0 M0 0; М0= 0 Равнодействующая
3 I2 = 0
F0= 0 M0 0
Пара сил
4 I2 = 0
F0= 0 M0= 0
0
Теорема Вариньона ( теорема о моменте равнодействующей силы): момент
равнодействующей относительно любой точки = геометрической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки. Условия равновесия пространств. сист.сил:
Fkx=0; Fky=0; Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0; Mz(Fk)=0. Условия равновесия
для системы параллельных сил (||z): Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0. Центр параллельных сил – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы ||-ых сил при любых поворотах этих сил около их точек
приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты цен Fkx  x k и т.д.
тра ||-ых сил: x C 
 Fkx
Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через
которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела
при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается
однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраня-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 12 из 53
ют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:
 p kx  x k ; y   p ky  y k ; z   p kz  z k , где Р=рk, xk,yk,zk – коордиxC 
C
C
P
P
P
наты точек приложения сил тяжести рk. Центр тяжести – геометрическая точка
и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:
 x k  Fk , F – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если
xC 
k
F
1
площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то x C   xdF . Если
F ( F)
однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой
sin 
оси. Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2: x C  R
;

2 sin 
кругового сектора: x C  R
; треугольник: в точке пересеч. медиан (1/3
3

медианы от основания).
Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси. Sx=yiFi= Fyc; Sy=xiFi= Fxc.
Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:
Т.1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Т.2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести
находится в этой плоскости.
Т.3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг
y
оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее,
C
равен произведению площади фигуры на длину окружности,
xc
описанной ее центром тяжести, V=2xcF.
x
y
Т.4. Площадь поверхности вращения, полученной вращениC
ем плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой
xc
кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины
x
этой кривой на длину окружности, описанной ее центром
тяжести, F=2xcL.
Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда:
Fx F x
x c  1 1 2 2 и т.д. — способ отрицательных площадей (объемов).
F1  F2
Вопросы для самоконтроля:
1. Когда система находится в равновесии?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 13 из 53
2. Расскажите закон Кулона
3. Что понимается под пространственной системой сил?
4. Приведение пространственной системы сил к данному центру решается
с помощью какой теоремы?
5. Расскажите теорему о моменте равнодействующей силы
6. Какие есть вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести?
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 3: Кинематика точки
План: 1. Введение в кинематику.
2. Способы задания движения точки. Траектория движения точки.
3. Скорость и ускорение точки, определение их векторным и координатным способами.
4. Касательное и нормальное ускорения точки.
Кинематика
Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных
тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил.
Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при
своем движении.
Естественный сп. указывается траектория точки, закон ее движения по этой
траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон
движения точки. При прямолинейном движении: х=f(t).
Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения
z
точки: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).
r
k
Если движение в плоскости, то два уравнения движения.
O
Уравнения движения описывают уравнение траектории в паy
j
раметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, поi
x
лучаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для
плоск-ти).
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 14 из 53
 
Векторный сп. положение точки определяется ее радиус-вектором r  r (t ) ,
проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом
какого-либо вектора, назыв. годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора. Связь между координатным и векторным способами:




r  x i  y j  zk ,
  
( i , j, k – орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью)
 x
модуль r  x 2  y 2  z 2 , направляющие косинусы: cos(x, r )  и т.д.
r
t
Переход от координатного способа к естественному: s   x 2  y 2  z 2 dt .
0

 d r 
 r – первая производная от радиусСкорость точки. Вектор ск-сти: v 
dt
вектора по времени (точка обозначает производную по времени);
dx
 dx  dy  dz 
dy
v
 i   j   k . Проекции скорости: v x 
 x , v y 
 y ,
dt
dt
dt
dt
dt
dz
vz 
 z . Модуль скорости:
dt
v

v  v 2x  v 2y  v 2z , направляющие косинусы: cos(x, v)  x и т.д. Если модуль
v
скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равноds
 s – модуль скорости, вектор скорости:
мерным. При естественном сп.: v 
dt
 ds  
v    ,  – орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к
dt
траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное
направление v r  r , поперечное направление v p  r   , модуль скорости
 2 ; x=rcos, y=rsin.
v  r 2  r 2 


 dv d 2 r  
a
 2 vr,
Ускорение
точки.
[м/сек2].
Проекции
уск.-я:
dt dt
dv
a x  x  v x  x и т.д. Модуль уск.-я: a  a 2x  a 2y  a 2z , направляющ. косиdt
 a
нусы: cos(x, a )  x , и т.д.
a
y
При задании движения в полярных координатах: проекаx
x
ции ускорения на радиальное направление a r  r  r   2 ,
90o
аn
а

n
а
аy
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 15 из 53
  2r
 , модуль ускорения a  a 2r  a 2p . При
поперечное направление a p  r  
естественным сп. задания движения полное ускорение раскладывают на нор 

мальное и касательное (тангенциальное) ускорения: a  a n  a  . Модуль норv2
мального ускорения: a n 
,  – радиус кривизны траектории, нормальное

ускорение направлено по нормали к траектории ( к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует
изменение скорости по направлению. Модуль касательного ускорения
dv d 2 s
a 

, направлено по касательной к траектории, либо в сторону скороdt dt 2
сти, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движ-ии направление касат. уск. и скорости
 
совпадают, при замедленном – противоположно. a n  a  ,  a  a 2n  a 2 . Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости  его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в
плоскости плоской кривой, бинормаль –  к главной нормали и касательной).
Частные случаи движения точки: 1) Прямолинейное: радиус кривизны = 
(бесконечно большой)  аn=0, a=a. 2) Равномерное криволинейное движ-ие:
v=const  a=0, a=an. Уск. появляется только за счет изменения направления
скорости. Закон движ-ия: s=s0+vt, при s0=0 v=s/t.
3) Равномерное прямолинейное движ-ие: а=a=an=0. Единственное движ-ие, где
а=0.
4)
Равнопеременное
криволинейное
движ-ие:
a=const,
v=v0+at,
a t 2
s  s0  v0 t 
. При равноуск. движении знаки у a и v одинаковы, при рав2
нозамедленном – разные.
Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси. Поступательное движение тела – такое движение твердого тела,
при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь
параллельное самой себе. При поступат. движ. все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю
и направлению скорости и ускорения. Вращательное движение тела – такое
движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой
прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая
называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в
плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Урав-ние (закон) вращательного движ.:
=f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180о/=57,3о).
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Угловая ск-сть:  
Ред. № 1
страница 16 из 53
d
  , [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поdt
ворота.
Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной
оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против час. стрелке. "n"– число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2
n
d d 2 
 
 , [рад/с2]. Вектор
 2 
рад,  
. Угловое ускорение тела:  
30
dt dt
углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном
движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно
при замедленном вращении.
Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение: =const, =t,
=/t,
t 2
2) Равнопеременное вращение: =0+t;   0 t 
, здесь начальный угол
2
0=0.
Скорости
z
   и ускорения точек вращающегося тела.
а
v
v    r – скорость любой точки твердого тела, вращаaц
вр
ющегося вокруг неподвижной оси, равна векторному
С
Мa
R
произведению вектора угловой скорости тела на радиус–
 
вектор этой точки. Модуль векторного произведения:
r

v=rsin()= (CM), (СМ) – расстояние от точки М до
y
оси вращения. Направлен вектор скорости по касательО
x
ной к окружности, по которой перемещается точка М, в
сторону вращения.
Формулы
Эйлера:
  
i j k



  
v    r   x  y  x  i ( y z   z y )  j ( z x   x z )  k ( x y   y x ) ,
x
y z
x,y,z – проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной
(окружной) скорости: vx=yz – zy; vy=zx – xz; vz=xy – yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – y; vy=x. Ускорение:
         

 
a    r    v    r    (  r ) . Вращательное ускорение a вр    r , модуль
вращат. уск. авр=rsin, направлено по касательной к траектории точки, т.е.
параллельно скорости. Центростремительное (осестремительное) ускорение

    
a ц    v    (  r ) , ац=2R, направлено по радиусу к оси (центру) враще-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 17 из 53
ния. Модуль полного уск.: a  (a ц ) 2  (a вр ) 2  R  2  4 . Угол, между векто-
a вр

рами полного и центростремительного ускорений: tg  ц  2 .
a

Вопросы для самоконтроля:
1. Способы задания движения точки
2. Опишите естественный способ задания движения точки
3. Опишите координатный способ задания движения точки
4. Опишите векторный способ задания движения точки
5. Частные случаи движения точки
6. Частные случаи вращения тела
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 4: Кинематика твердого тела
План: 1. Поступательное и вращательное движение твердого тела.
2. Скорость и ускорение точек
3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.
4. Определение скоростей точек плоской фигуры. Мгновенный центр
скоростей. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
5. Сложное движение точки и твердого тела.
6. Относительное, переносное и абсолютное движение. Теорема Кориолиса.
7. Сложное движение твердого тела: сложение вращение вокруг двух
параллельных осей. Винтовое движение.
Плоское движение твердого тела.
Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его
точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения
vB
vB
vBA
плоского движения: xA= f1(t), yA=

vA
90o
f2(t),  = f3(t), точка А назыв. поB

A
B
rAB
vA
A

vA
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 18 из 53
люсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при
котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного
движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят. Скорости точек



 


тела при плоском движении: v B  v A    rAB ; v B  v A  v BA , vBA= BA, т.е.
скорость какой-либо точки В плоской фигуры равна геометрической сумме
скорости полюса А и скорости точки В при вращении плоской фигуры вокруг полюса А. Теорема: при плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой: vAcos =
vBcos. Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю – Р. Если тело движется непоступательно, т.е.
0, то мгн.цент.ск. всегда существует. При поступательном движении м.ц.с.



находится в . v B    PB – скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена  этому отрезку в сторону вращения фиv
v
гуры. A  B , скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до
PA PB
v
м.ц.с.   B , угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь
PB
точки к ее расстоянию до м.ц.с. Определение положения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка
пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в
точке В и точке К); 2) если скорости точек А и В параллельны между собой
и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. vA и vB); 3) если они при этом равны между
собой, то м.ц.с. находится в , а угловая скорость =vA/=0; 4) если известно,
что скорости двух точек А и В равны, параллельны и не перпендикулярны
АВ, то м.ц.с. в , и угловая скорость =vA/=0, если это имеет место только к
некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5)
если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то
м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания. Теорема Шаля: плоскую
фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на
плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного
центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает с м.ц.с. и называется
мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с.,
отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой.
Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры, назыв. подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида –
прямая, подвижная – окружность). При движении плоской фигуры подвижная
центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 19 из 53




dv B dv A d 

 d rAB
Ускорения точек: a B 
,


 rAB   
dt
dt
dt
dt






a B  a A  a BA  a A  a цBA  a вр
BA – ускорение любой точки (В) фигуры геометрически складывается из ускорения полюса (А) и центростремительного и вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно полюса.
a вр

вр
ц
2
вр
BA
а ВА
tg



a



BA
a



BA
,
,
,
BA
BA
B
a цBA  2
аА

a BA  AB  2  4 . Мгновенный центр ускорений – точка
ц
а
(Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный моA BA а ВА
K
ц
мент времени равно нулю. Для его построения из точки
aAQ
aAQвр
aK 


аВ
А откладываем под углом   arctg 2 к ускорению аА

B

A
aA
a

A
отрезок AQ 
, при этом угол откладывается от
аА
aB
2
4




Q
ускорения в сторону, направления углового ускорения .
Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от
этих точек до мгн.ц. ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками,
a B QB


соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол   arctg 2 :
.
a A QA

Мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q являются
различными точками плоской фигуры.
Сферическое движение твердого тела.
Сф.движ – движение твердого тела, одна из точек
z

которого во все время движения остается непо

движной (напр. движение волчка). Точки тела
движутся по сферическим поверхностям. Положение тела определяют при помощи трех углов. Для
y этого задаются две системы координат: непоO
движная Оxyz и подвижная О, связанная с
 
х
твердым телом. Линия ОJ – линия узлов, задаются

J
углы:  – угол прецессии,  – угол нутации,  –
Р мгн.ось.вращ. угол собственного вращения — углы Эйлера. Таким образом уравнения сферического движения: =f1(t); =f2(t);
годограф
=f3(t). Углы отсчитываются от осей против хода час.стр.

Теорема Эйлера-Даламбера: всякое перемещение тела,

имеющего неподвижную точку, можно заменить одним поО
воротом вокруг некоторой мгновенной оси вращения, про
ходящей через эту точку. Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения в данный момент време
ни равны нулю. Вектор угловой скорости (мгновенной угаос
hМ
О
 
r
авр
h1

УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 20 из 53
ловой скорости) откладывается о неподвижной точки по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение происходящим против час.стр. Вектор угловой скорости со временем изменяется не
только по численной величине, но и по направлению. Конец вектора описывает

 d

годограф скорости вектора  . Угловое ускорение:  
– скорость конца
dt

вектора  , совпадает по направлению с касательной к годографу вектора угловой скорости. В случае сферич. движение в отличии от случая
вращения вокруг


неподвижной оси вектор  не совпадает с направлением  . Скорости точек при

  
сферич. движ.: v    r – векторное произведение, r – радиус-вектор точки,
проведенный из неподвижной точки, модуль v=rsin=h, h– расстояние от
точки
до
мгновенной
оси
вращения.
Формулы
Эйлера:
  
i j k



  
v    r   x  y  x  i ( y z   z y)  j ( z x   x z )  k ( x y   y x ) .
x
z
А
О
x
y z
    

 
Ускорения: a    r    v , вращательное ускорение a вр    r модуль вращат.

уск. авр=rsin=h1, h1– расстояние от точки до вектора  , направлено –но

плоскости, проходящей через точку М и вектор  . Осестремительное ускорение

 
a ос    v , аос=2h, направлено к оси вращения.


Движение свободного тв.тела (общий случай движения). Свободное
тв.тело имеет шесть степеней свободы. При рассмотрении движения
М
св.тв.тела, кроме неподвижной системы координат Oxyz, вводится
r
подвижная система координат Ax1y1z1, которая связана с телом в
точке А. Тогда движ. св.тв.тела представляет собой сложное двиvA
жение, которое можно рассматривать как состоящее из поступаy
тельного движения вместе с полюсом (А) и сферич. движ. вокруг
полюса. Ур-ия движ.св.тв.тела: xA=f1(t); yA=f2(t); zA=f3(t); =f4(t);
=f5(t); =f6(t) (углы Эйлера). Первые три ур-ия определяют поступательную
часть движ. и зависят от выбора полюса, остальные три определяют сферич.
движ. вокруг полюса и от выбора полюса не зависят. Скорость любой точки
св.тв.тела = геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее
 
 
сферическом движении вокруг полюса. v  v A    r
Ускорение точки св.тв.тела = геометрической сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения точки и ее вращательного ускорения, определенных
относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящих через полюс.
 



    
a  a A  a ос  a вр  a A    (  r )    r , два последних члена дают ускорение точки в ее движении вокруг полюса.
Вопросы для самоконтроля:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 21 из 53
1. Напишите уравнения плоского движения
2. Расскажите теорему Шаля
3. Расскажите теорему Эйлера-Даламбера
4. Опишите общий случай движения
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 5: Динамика точки
План: 1. Введение в динамику.
2. Законы динамики.
3. Основные понятия и определения. Виды сил.
4. Законы динамики и задачи динамики.
5. Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении
точки.
6. Криволинейное, несвободное и относительное движения точки.
7. Колебательное движение точки.
Динамика
Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона):
закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел
не изменит это состояние; основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)):
ускорение матер.точки пропорционально
приложенной к ней силе и имеет оди 
наковое с ней направление mw  F ; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В
классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса =
весу тела, деленному на ускорение свободного падения.
m=G/g, g9,81м/с2. g зависит от географической широты места и высоты над
уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кгм/с2. Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 22 из 53
системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точ
ки:
в
проекции
на
декартовы
оси
коорд.:
m  a   Fi ,
m  x   Fix ; m  y   Fiy ; m  z   Fiz , на оси естественного трехгранника:
ma=Fi; man=Fin; mab=Fib (ab=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е.
d 2S
V2
m 2   Fi ; m
  Fin ; 0   Fb ( – радиус кривизны траектории в те
dt
кущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах:
m d 2
m(r  r 2 )  Fr ,
(r  )  F . Две основные задачи динамики: первая задача
r dt
динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу;
вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, опредеd2x
лить закон движения точки. m 2   Fix – дифференциальное ур-ие прямоdt
линейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение
x=f(t,C1,C2).
Постоянные интегрирования C1,C2 ищут из начальных условий: t=0, x=x0,
x =Vx=V0, x=f(t,x0,V0) – частное решение – закон движения точки.
Колебательное движение материальной точки. Восстанавливающая сила (сила
упругости) Fx= – cx, сила стремится вернуть точку в равновесное положение,
"с" – коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице [Н/м]. Свободные колебания m  x  cx ; обозначив c/m=k2, получаем x  k 2 x  0 – линейное однородное
T
x
диффер-ное уравнение второго порядка,
характеристическое уравнение: z2 + k2=
A
x0
0, его корни мнимые,  общее решение
t
дифф-ного уравнения будет x= C1coskt +
C2sinkt, C1,C2 – постоянные интегрирования. Для их определения находим
уравнение скоростей: x = – kC1sinkt + kC2coskt, подставляем начальные условия
в уравнения для х и x , откуда С1= х0, С2= x 0 /k, т.е. x= х0coskt + ( x 0 /k)sinkt.
Можно обозначить С1=Аsin, C2=Acos  x=Asin(kt+) – уравнение гармонических колебаний. А= x 02  ( x 0 / k 2 ) –амплитуда, tg=kx0/ x 0 ,  – начальная фаза свободных колебаний; k  c / m – циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период: Т=2/k=2 m / c , k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и
x
начальная фаза зависят о начальных условий.
x0
t Под действием постоянной силы Р происходит
смещение центра колебаний в сторону действия
T*
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 23 из 53
силы Р на величину статического отклонения ст=Р/с. Если Р – сила тяжести, то
Т=2  ст / g .
Затухающие колебания при действии Rx= – b x сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение). m  x  cx  bx , обозначив b/m=2n, получаем:
x  2nx  k 2 x  0 , характеристическое уравнеx
ние: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:
2
2
x0
t z1,2=  n  n  k . а) При n<k корни мнимые общее решение дифф.ур-ия имеет вид:
x  e nt (C1 cos k 2  n 2 t  C 2 sin k 2  n 2 t ) ,
обозначив С1=Аsin, C2=Acos  x=Ae-ntsin(kt+). Множитель e-nt показывает,
что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными
относительно оси t кривыми
x=Ae-nt. Из начальных условий:
x0 k2  n2
; частота затухающих колебаний:
x  nx 0
k2  n2
2
T
k*= k 2  n 2 ; период: T *  * 
, период затухающих колебаний
2
k
1  (n / k )
A  x 02 
( x 0  nx 0 ) 2
, tg 
больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Т *Т).
*
A
Амплитуды колебаний уменьшаются: i 1  e nT 2 – декремент колебаний; –
Ai
nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.
Б) Апериодическое движение точки при n  k или b  2 mc . При n > k корни
характеристич-ого
ур-я
вещественны,
общее
решение:
x  e nt (C1e
n 2 k 2 t
 C2e
n 2 k 2 t
),
обозначая
С1=(В1+В2)/2,
С2=(В1-В2)/2,
x  e nt (B1ch n 2  k 2 t  B 2 sh n 2  k 2 t ) (ch, sh – гиперболические косинус и
синус), если ввести В1= Аsh, В2= Аch, то x  A  e nt sh( n 2  k 2 t  ) – это
уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. ур-я вещественны, равны и отрицательны: z1=z2= – n, общее решение:
x  e  nt (C1 t  C 2 ) , или x  e  nt [ x 0  ( x 0  nx 0 ) t ] , движение также апериодическое.
Вынужденные колебания кроме восстанавливающей силы действует переменная возмущающая сила, обычно, по гармоническому закону: Q = Hsin(pt+), р –
частота возмущающей силы,  – начальная фаза. m  x  cx  H sin( pt  ) ,
h=Н/m, x  k 2 x  h sin( pt  ) – дифференциальное уравнение вынужденных
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 24 из 53
колебаний (неоднородное линейное дифф-ное ур-ие). Его общее решение =
сумме общего решения однородного уравнения x  k 2 x  0 и частного решения
данного уравнения:
х = х*+х**. х*= C1coskt + C2sinkt, х**= Asin(рt+) – частное решение ищется в
виде подобном правой части уравнения. Подставляя решение в уравнение,
h
h
находим A  2
, х = C1coskt + C2sinkt+ 2
sin(рt+). Величина стати2
k p
k  p2
A
1
ческого отклонения: Аст= Н/с,  
– коэфф-нт динамичности,

A ст 1  p 2 / k 2
во скослько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение.
При p=k = – явление резонанса (частота возмущающей силы равна частоте
собственных колебаний, при этом амплитуда неограниченно возрастает). При
p/k1
наступает
явление,
называемое
биениями:
2h
pk
x
Обозначая
x 2
sin(
t ) cos(pt  ) .
2
k  p2
2h
pk
t
A 2
sin(
t ) , получаем x=A(t)cos(pt+)
2
2
k p
– происходит наложение дополнительных колебаний, вызванных возмущающей силой, на собственно вынужденные колебания – колебания частоты р, амплитуда которых является периодической функцией.
Явление резонанса возникает при совпадаении частот вынужденных и свободных кол-ний точки
p=k. Диф-ное ур-ние:
x
2
x  k x  h sin( kt  ) . Частное решение:
t х**= Вtcos(kt+), B=–h/(2k), т.е. общее решение дифного ур-ния: х = C1coskt + C2sinkt – –h/(2k)tcos(kt+).
Ур-ние показывает, что амплитуда вынужденных
колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени. Период
Т=2/k, фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на
/2.
Вынужденные
колебания
при
наличии
вязкого
трения:
2
m  x  cx  bx +Hsin(pt+), x  2nx  k x  h sin( pt  ) , общее решение в зависимости от величины k и n:
h
sin( pt    ) ;
1) при n<k x  Ae nt sin( k 2  n 2 t  ) 
2
2 2
2 2
( k  p )  4n p
h
sin( pt    ) ;
2) при n>k x  Ae nt sh( n 2  k 2 t  ) 
( k 2  p 2 ) 2  4n 2 p 2
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 25 из 53
3) при n=k
Вопросы для самоконтроля:
1. Назовите основные законы механики (законы Галилея -Ньютона)
2. Что называют инерциальной системой отсчета.
3. Опишите первую задачу динамики
4. Опишите вторую задачу динамики
5. Колебательное движение материальной точки
6. Опишите свободные колебания
7. Опишите вынужденные колебания
8. Опишите затухающие колебания
9. Опишите явление резонанса
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 6: Общие теоремы динамики точки.
План: 1. Теоремы об изменении количества движения и момента количества
движения точки
2. Импульс силы
3. Теорема об изменении момента количества движения точки
4. Закон площадей.
5. Работа и мощность. Графический способ вычисления работы. Мощность. Примеры вычисления работы. Объемное представление работы.
6. Закон о работе переменной по модулю силы.
7. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Общие теоремы динамики точки


Теорема об изменении количества движения матер. точки. Q  mv – количество



движения материальной точки, Fdt – элементарный импульс силы. d(mv)  Fdt
– элементарное изменение количества движения материальной точки равно
элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в диффе
d(mv) 
ренц-ной форме) или
 F – производная по времени от количества двиdt
жения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 26 из 53
t 


точке. Проинтегрируем: mv1  mv 0   Fdt – изменение количества движения
0
материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному
импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени.
 t
S   Fdt – импульс силы за промежуток времени [0,t]. В проекциях на оси коор0
t
динат: mx  mx 0   Fx dt и т.д.
0
Теорема
об изменении момента количества движения матер. точки.



K O  r  mv - момент количества движения матер. точки относительно центра


dK O
 M O – производная по времени от момента количества движения маО.
dt
тер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной
к точке, относительно того же центра. Проектируя векторное равенство на оси
dK x
координат. получаем три скалярных уравнения:
 M x и т.д. - производная
dt
от момента кол-ва движения матер. точки относительно какой-либо оси равна
моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси.
При действии



центральной силы, проходящей через О, МО= 0,  K O  r  mv =const.

 1  

K O  2mq =const, где q  ( r  v) – секторная скорость. Под действием цен2
тральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает ("ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при
движении планет и спутников – один из законов Кеплера.
Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = Fds, F – проекция силы на
касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA =
Fdscos.
Если  – острый, то dA>0, тупой – <0, =90o: dA=0. dA= F  dr – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:
A ( M0M1 ) 
( M1 )
 F ds . Если сила постоянна, то
( M0 )
цы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].
A ( M0M1 )  F  s = Fscos.
Едини-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
A ( M0M1 ) 
A ( M0M1 ) 
( M1 )
 (Fx x  Fy y  Fz z)ds ,
Ред. № 1
т.к.
dx= x dt
страница 27 из 53
и
т.д.,
то
( M0 )
( t1 )
 (Fx x  Fy y  Fz z )dt .
(t0 )
Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической
сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А1+А2+…+Аn.
Работа силы тяжести: A ( M0M1 )  P  h , >0, если начальная точка выше конечной.
Работа
силы
упругости:
( M1 )
c
c
A ( M0M1 )   (cx)dx  ( x 02  x12 )  [( нач ) 2  ( кон ) 2 ] –работа силы упру2
2
( M0 )
гости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа силы трения: если сила трения const, то A ( M0M1 )  Fтр s - всегда отрицательна, Fтр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.
m
m
Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): F  k 2 , из mg= k 2 ,
r
r
( M1 )
dr
1 1
находим коэфф. k=gR2. A ( M0M1 )  km  2  mgR 2 (  ) – не зависит от
r1 r0
( M0 ) r
траектории.
Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени,

dA  d r  
N
 F   F  v  Fx x  Fy y  Fz z . Если изменение работы происходит
dt
dt
равномерно, то мощность постоянна: N=A/t. [1 Вт (ватт) =1 Дж/с, 1 кВт (киловатт) =
= 1000 Вт, 1л.с.(лошадиная сила) = 75 кгсм/с = 736 Вт].
Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме:
 mv 2 
   dA k – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки =
d
2


mv 2
элементарной работе всех действующих на точку сил. T 
– кинетическая
2
mv 22 mv12

 A1, 2 – изменение кинетиэнергия матер.точки. В конечном виде:
2
2
ческой энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее)
положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к
точке.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 28 из 53
Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине
   и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна F  F( r , t ) . Нестацио
нарное силовое поле, если F явно зависит от t, стационарное силовое поле, если
сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные
силовые поля, ко  
гда сила зависит только от положения точки: F  F( r ) и Fx=Fx(x,y,z) и т.д.
Свойства стационар. силовых полей:
1) Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М1 и конечного
М2 положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.
2) Имеет место равенство А2,1= – А1,2. Для нестационарных полей эти свойства
на выполняются.
Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.
Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным
положениями назыв. потенциальными (консервативными). A1I, 2  A1II, 2  A1, 2 ,
где I и II – любые пути, А1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:
U
U
U
. Функция U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) назыв. сиXi 
; Yi 
; Zi 
x i
y i
z i
ловой функцией. Элементарная работа сил поля: А=Аi= dU. Если силовое
поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному
дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении
( 2)
A1, 2   dU  U 2  U1 , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значе(1)
ний силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о
формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная
энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П0= 0.
П=П(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn). Работа сил поля на перемещении системы из 1го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А1,2= П1– П2 . Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила
направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная
энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на
постоянную величину U0: А1,0= П =U0 – U. Потенциальная энергия поля силы
тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точ-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
ки массой m до центра: F  k
ционная сила F  f
m1m 2
r2
Ред. № 1
m
r2
, П  k
страница 29 из 53
m
. Центральной является гравитаr
,
m1m 2
, f = 6,6710-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения. Первая космичеr
ская скорость v1= gR  7,9 км/с, R = 6,37106м – радиус Земли; тело выходит на
П  f
круговую орбиту. Вторая космическая скорость: v11= 2gR  11,2 км/с, траектория тела парабола, при v >v11– гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей
силы пружин:
c2
П
,  – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей
2
c21 c22
силы пружины: A1,2 
, 1 и 2 – деформации, соответствующие

2
2
начальной и конечной точкам пути.
Вопросы для самоконтроля:
1. Опишите общие теоремы динамики
2. Теорема об изменении количества движения материальной точки
3. Теорема об изменении момента количества движения материальной
точки
4. Элементарная работа- опишите это понятие
5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 7: Динамика системы.
План: 1. Введение в динамику системы. Масса системы. Центр масс
2. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра
масс
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 30 из 53
3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. Моменты
инерции некоторых тел. Теорема Гюйгенса. Центробежные моменты
инерции
4. Теорема об изменении количества движения системы. Количество
движения системы. Приложение теоремы к движению жидкости. Тело
переменной массы. Формулы Мещерского и Циолковского.
5. Теорема об изменении момента количества движения системы. Главный момент количества движения системы. Теорема моментов
6. Закон сохранения главного момента. Приложение теоремы моментов
к движению жидкости. Турбинное уравнение Эйлера
7. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Кинетическая
энергия системы: 1.Поступательное движение. 2.Вращательное движение. З. Плоскопараллельное движение. Некоторые случаи вычисления
работы. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Динамика материальной системы
Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых
взаимосвязаны. Масса системы = сумме масс всех точек (или тел), образующих
систему: М=mk. Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус
  m k rk


вектор r которой определяется равенством: rc 
, где rk – радиусыM
 mk x k
векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: x c 
M
e
и т.д. Внешние силы F – силы, действующие на точки системы со стороны тел,
не входящих в систему. Внутренние силы Fi – силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему. Свойства внутренних сил: 1) Геометрическая
сумма (главный вектор) всех внутренних сил = 0; 2) Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки = 0. Дифф-ные
ур-ния движения системы матер.точек:

d 2 rk  e  i
mk
 Fk  Fk или в проекциях на оси координат: m k x k  X ek  X ik и т.д.
2
dt
для каждой точки (тела) системы. Геометрия масс.
Момент инерции матер.точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси: mh2. Момент
инерции тела (системы) относительно оси Оz: Jz= mkhk2 . При непрерывном
распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: Jx= (y2+z2)dm; Jy=
(z2+x2)dm; Jz= (x2+y2)dm – относительно координатных осей. Jz= M2,  – радиус инерции тела – расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела.
Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда >0. Полярный момент инерции Jo= ( x2+y2+z2)dm; Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент
инерции Jxy для матер.точки называется произведение ее координат x и y на
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 31 из 53
ее массу m. Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: Jxy=xy dm; Jyz=yz dm; Jzx=zx dm. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. Jxy=Jyx и
т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой
знак и обращаться в нуль. Главной осью инерции тела назыв. ось, для которой
оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если Jxz=Jyz=0, то ось z – главная ось инерции. Главной центральной осью инерции назыв. главная ось инерции, проходящая через центр
масс тела. 1)Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой
ось пересекает плоскость. 2)Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является
главной осью инерции тела (ось динамической симметрии). Размерность всех
моментов инерции [кгм2]
Центробежный момент инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат.
 Jx
 J xy  J xz 


Тензор инерции в данной точке: J    J yx
Jy
 J yz 


Jz 
  J zx  J zy
y1
Моменты инерции некоторых однородных тел:
y
стержень массы m и длины L:
C
x
L
mL2
mL2
; J y1 
.
Jy 
12
3
Однородный сплошной диск с центром в точке С радиуmR 2
са R и массы m: J Cz 
. Полый цилиндр:
2
m(R 12  R 22 )
J Cz 
,
2
цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): J Cz  mR 2 .
Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной
оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей
через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния
между осями:
z
J Oz '  J Cz  md 2 . Наименьший момент инерции будет отz’ d
носительно той оси, которая прохоz
L
дит через центр масс. Момент инер
С
ции относительно произвольной оси
L: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 –

O
y
О
2Jxycoscos
–
2Jyzcoscos
–

2Jzxcoscos,
x
если координатные оси являются главными относи-
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 32 из 53
тельно своего начала, то:
J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2.
Теорема о движении центра масс системы.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометриче

ской сумме всех действующих на систему внешних сил ma C   Fke – дифференциальное уравнение движения центра масс. В проекциях на оси координат:
e
mx C   Fkx
.
Закон сохранения движения центра масс. Если главный вектор (векторная сумма) внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической
системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Аналоe
гично в проекциях на оси, если  Fkx
 0  x C  v Cx  const , если при этом в
начальный момент vCx0= 0, то  x C  0  xC= const.
Количество движения системы Q (иногда обозначают К) – вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:



Q   m k v k  Mv C , М – масса всей системы, vC – скорость центра масс.

dQ  e
 F – производная
Теорема об изменении количества движения системы:
dt
по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях:
dQ x
e
 Fkx
, и т.д. Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральdt
ной форме:
t1 
t1 



e , где
Q1  Q 0    Fk dt
  Fke dt   Sek – импульсы внешних сил.
0
0
В проекциях: Q1x – Q0x = Sekx и т.д. количество движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему
внешних сил за тот же промежуток времени. Закон сохранения количества
движения – если сумма всех внешних сил, действующих на систему, = 0, то
вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направле

e
 0  Qx= const.
нию:  Fke  0  Q = const, аналогично в проекциях:  Fkx
Из закона следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движение системы не могут. Тело переменной массы , масса которого непрерывно
изменяется с течением времени m= f(t) (пр.: ракета, топливо которой убывает).
Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 33 из 53
dV  e  dm
F u
– уравнение Мещерского, u – относительная скорость отдеdt
dt
  dm
dm
ляющихся частиц. Ф  u
– реактивная сила,
 G сек — секундный расdt
dt


ход топлива, Ф  u  G сек . Реактивная сила направлена в противоположную
сторону относительной скорости истечения топлива.
m
Формула Циолковского: v1  v 0  u  ln(1  т ) — определяет скорость ракеmk
ты, когда все топливо будет израсходовано – скорость в конце активного участка, mт– масса топлива, mk– масса корпуса ракеты, v0 – начальная скорость.
m
z  0 – число Циолковского, m0 – стартовая масса ракеты. От режима рабоmk
ты ракетного двигателя, т.е. от того насколько быстро сжигается топливо, скорость ракеты в конце периода горения не зависит. Для достижения 1-ой космической скорости 7,9 км/с, при m0/mk= 4, скорость отброса должна быть 6 км/с,
что трудно осуществить, поэтому применяются составные (многоступенчатые)
ракеты.
Главный
момент количеств движения матер. системы (кинетический момент)

K o – величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения



всех точек системы относительно центра О. K o   ri  mi v i . Теорема об изменении момента количеств движения системы (теорема об изменении кинетического момента):

E

dK o
  M io
 M oE — производная по времени от кинетического момента меdt
ханич. системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически
равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Аналогичные равенства относительно осей координат:
dK x
 ME
x и т.д.
dt


Закон сохранения кинетического момента: если M oE  0 , то K o  const . Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения. Кинетический момент вращающегося тела относительно
оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой
оси на угловую скорость тела: Kz = Jz. Если Mz= 0, то Jz = const, Jz – момент инерции тела.
m
Вопросы для самоконтроля:
1. Материальная система –что это?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 34 из 53
2. Напишите формулы для определения момента инерции однородных
тел
3. Теорема Гюйгенса-Штейнера
4. Закон сохранения движения центра масс
5. Опишите Формулу Циолковского
6. Закон сохранения кинетического момента
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
Лекция 8: Аналитическая механика.
План: 1. Принцип Даламбера. Принцип Даламбера для точки и механической
системы. Главный вектор и главный момент сил инерции. Приведение
сил инерции твердого тела. Решение задач.
2. Принципы возможных перемещений и общее уравнение динамики.
Классификация связей. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Принцип возможных перемещений.
3. Уравнение движения системы в обобщенных координатах. Обобщенные координаты, обобщенная скорость и обобщенные силы. Условия равновесия системы в обобщенных координатах.
4. Уравнение Лагранжа. Обобщение силы инерции. Вывод уравнения
Лагранжа. Потенциальное силовое поле. Кинетический потенциал.
Основы аналитической механики
Возможные (виртуальные) перемещения системы (s, ) – любая совокупность
бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент
наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают
как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами
высших порядков малости. Т.е. криволинейные перемещения точек заменяют
прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к их траекториям.
Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может
перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение
может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух
взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней
свободы.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 35 из 53
Возможная (виртуальная) работа А – элементарная работа, которую, действующая на матер.точку сила могла бы совершить на возможном перемещении
этой точки.
Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих
связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е. Аr=0.
Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с
идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемеще

нии
была
равна
нулю.
или
в
проекциях:
 Fk  rk  0
 (Fkx  x k  Fky  y k  Fkz  z k )  0 .
Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для
любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.
Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в
отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней
свободы.
Общее уравнение динамики  A ak   A иk  0 – при движении системы с
идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном
перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому
телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно
прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
d  T  T


 Q i , (i=1,2…s) – дифференциУравнения Лагранжа 2-го рода:
dt  q i  q i
альные уравнения второго порядка, s – число степеней свободы системы (число
независимых координат); qi – обобщенная координата (перемещение, угол,
площадь и др.); q i – обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),
Т = Т(q1,q2,…,qS, q 1 , q 2 … q s ,t) – кинетическая энергия системы, Qi – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.
Для вычисления обобщенной силы, например Q1, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме q1, равны нулю:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 36 из 53
q10, q2= q3=…= qS= 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу А1 всех активных сил, приложенных к системе. Имея А1= Q1q1, находим
A
Q1  1 .
q1
Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (наприП
мер, силы тяжести, силы упругости), то Q i  
, П = П(q1,q2,…,qS,t) – поq i
тенциальная энергия.
d  L  L


 0 – уравнения
Вводится функция Лагранжа: L = T – П, тогда
dt  q i  q i
Лагранжа второго рода для консервативной системы.
При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в вы1 s s
ражение для кинетической энергии, тогда T    a ij q i q j – квадратичная
2 i 1 j1
форма обобщенных скоростей, aij= aji – коэффициенты инерции. Квадратичная
форма всегда положительна.
Вопросы для самоконтроля:
1. Назовите возможные (виртуальные) перемещения системы
2. Принцип возможных перемещений
3. Напишите общее уравнение динамики
4. Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода
Рекомендуемая литература
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Мкркин Д.Р. Курс теоретической механики.
Т.1, 2 М., 1985.
2 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.– М.: ,
1983.
3 Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М., 1980
4 Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания
5 Яблонский А.А., Никифорова В.М., Курс теоретической механики. Ч 1,
М., 1984 и предыдущие издания
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 37 из 53
3 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие 1: Введение в статику. Основные понятия и исходные положения. Виды связей и их реакции.
Содержание практического занятия
RAy
RA
RB
Т
RAz
в)
A
RA
A
В
RAx
N
90о RCy
д)
г)
RAy
C
RCx
RAx
е)
ж)
MC
з)
Аксиомы (законы) статики: 1) аксиома
инерции: Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя
или движется
F2
прямолинейно и равномерно. 2) аксиома равновесия
R
двух сил: Две силы, приложенные к F 
абсолютно
1
твердому телу, будут уравновешены
тогда и только
тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в
противоположные стороны. 3) аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил: Действие системы сил на абс. твердое тело не изменится,
если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил. Следствие:
Действие силы на абс.тв. тело не изменится, если перенести точку приложения
силы вдоль ее линии действия. Т.е. сила, приложенная к абс.тв. телу– скользящий вектор. 4) аксиома параллелограмма сил: Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения
диагональю
 и
 изображается

параллелограмма, построенного на этих силах. R  F1  F2 ;
Цель занятия:1. Изучить Аксиомы (законы) статики
2. Научиться определять равнодействующую сил
Контрольные вопросы:
1. Назовите основные аксиомы статики
2. Расскажите теорему о параллельном переносе сил
3. Что такое свободное тело?
4. Назовите и опишите основные типы связей
5. Дайте определение модулю силы
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с аксиомами (законами) статики
2. Ознакомится с методами определения равнодействующей силы
Рекомендуемая литература:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 38 из 53
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 2: Сложение сил и разложение сил по заданным
направлениям. Проекции сил на плоскость и оси координат.
Содержание практического занятия
Плоская система сил – система сил, расположенных в одной плоскости. Система сил приводится к одной силе – главному вектору и к паре сил, момент которой равен главному моменту. Момент пары сил направлен перпендикулярно к
плоскости, в которой лежат силы. В плоских системах нет необходимости использовать векторное представление момента. Теорема Вариньона – если плоская система сил приводится к равнодействующей, то ее момент относительно
какой-либо точки равен алгебраической (т.е. с учетом знака) сумме моментов
всех сил относит. той же точки.


Условия равновесия пл. сист. сил: векторное:  Fk  0;  M O (Fk )  0 . аналитич:

F

0
;
F

0
;
M
(
F
 kx
 ky
  O k)  0, 

или  M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  M C (Fk )  0
где
А,В,С  – точки, не лежащие на одной прямой, или

 M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  Fkx  0 , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ
Цель занятия: 1. Научиться складывать силы и раскладывать силы по
заданным направлениям.
2. Научиться определять проекции сил на плоскость и оси
координат
Контрольные вопросы:
1. Когда система находится в равновесии?
2. Расскажите закон Кулона
3. Что понимается под пространственной системой сил?
4. Приведение пространственной системы сил к данному центру решается
с помощью какой теоремы?
5. Расскажите теорему о моменте равнодействующей силы
6. Какие есть вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 39 из 53
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с методами сложения сил и разложения сил по заданным направлениям.
2. Ознакомится с проекцииями сил на плоскость и оси координат
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 3: Момент силы относительно центра и оси.
Вычисление главного вектора и главного момента. Равновесие пространственной системы сил
Содержание практического занятия
Момент силы относительно оси – скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно
точки пересечения оси с плоскостью. Момент >0, если смотря навстречу оси,
мы видим поворот, который стремится совершить сила направленный против



час.стр. M Z (F)  M Z (Fxy )  M O (Fxy )  Fxy h ,
На рис. М>0. Момент силы относительно оси равен 0: 1) если сила параллельна
оси (Fxy=0), 2) если линия действия силы пересекает ось (h=0); т.е. если ось и
сила лежат в одной плоскости. Аналитические выражения
моментов

 силы относительно осей координат: Мx( F )=yFz – zFy; Мy( F )=zFx – xFz; Мz( F )=xFy – yFx.
Цель занятия: 1. Научиться вычислять главный вектор и главный момент
2. Научиться приводить в равновесие пространственную систему сил
Контрольные вопросы:
1. Когда система находится в равновесии?
2. Расскажите закон Кулона
3. Что понимается под пространственной системой сил?
4. Приведение пространственной системы сил к данному центру решается
с помощью какой теоремы?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 40 из 53
5. Расскажите теорему о моменте равнодействующей силы
6. Какие есть вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести?
Методические рекомендации:
1. Ознакомится с Моментами силы относительно центра и оси.
2. Ознакомиться с методами вычисления главного вектора и главного
момента.
3. Ознакомится с равновесием пространственной системы сил
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 4: Центр тяжести. Центр параллельных сил координаты центра тяжести. Центры тяжести некоторых однородных тел.
Содержание практического занятия
Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через
которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела
при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается
однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:
 p kx  x k ; y   p ky  y k ; z   p kz  z k , где Р=рk, xk,yk,zk – коордиxC 
C
C
P
P
P
наты точек приложения сил тяжести рk. Центр тяжести – геометрическая точка
и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:
 x k  Fk , F – элементарная площадка, F – площадь фигуры.
xC 
k
F
Цель занятия:1. Научиться определять центр тяжести
Контрольные вопросы:
1. Когда система находится в равновесии?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 41 из 53
2. Расскажите закон Кулона
3. Что понимается под пространственной системой сил?
4. Приведение пространственной системы сил к данному центру решается
с помощью какой теоремы?
5. Расскажите теорему о моменте равнодействующей силы
6. Какие есть вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести?
Методические рекомендации:
1. Ознакомится с методами определения центра тяжести
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 5: Поступательное и вращательное движение
твердого тела. Скорость и ускорение точек
Содержание практического занятия
Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при

 d r 
 r – первая производсвоем движении. Скорость точки. Вектор ск-сти: v 
dt
ная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени);
dx
 dx  dy  dz 
dy
v
 i   j   k . Проекции скорости: v x 
 x , v y 
 y ,
dt
dt
dt
dt
dt
dz
vz 
 z . Модуль скорости:
dt
v

v  v 2x  v 2y  v 2z , направляющие косинусы: cos(x, v)  x и т.д.
v
Цель занятия:1. Научиться определять скорость точки
2. Научиться определять ускорение точки
Контрольные вопросы:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 42 из 53
1. Способы задания движения точки
2. Опишите естественный способ задания движения точки
3. Опишите координатный способ задания движения точки
4. Опишите векторный способ задания движения точки
5. Частные случаи движения точки
6. Частные случаи вращения тела
Методические рекомендации:
1. Ознакомится с теорией поступательного и вращательного движения
твердого тела.
2. Ознакомится с методами определение скорости и ускорения точек
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 6: Плоскопараллельное движение твердого тела.
Уравнения плоскопараллельного движения. Определение скоростей точек
плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
Содержание практического занятия
лоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения
плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t),  = f3(t), точка А назыв. полюсом. При
движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по
неподвижной центроиде (теорема Пуансо).




dv B dv A d 

 d rAB
Ускорения точек: a B 
,


 rAB   
dt
dt
dt
dt






a B  a A  a BA  a A  a цBA  a вр
BA – ускорение любой точки (В) фигуры геометрически складывается из ускорения полюса (А) и центростремительного и
вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно полюa вр

ц
2
вр
BA
tg



a



BA
a



BA
са. BA
, BA
,
, a BA  AB  2  4 .
ц
2
a BA 
Цель занятия:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 43 из 53
Контрольные вопросы:
1. Напишите уравнения плоского движения
2. Расскажите теорему Шаля
3. Расскажите теорему Эйлера-Даламбера
4. Опишите общий случай движения
Методические рекомендации:
1. Ознакомится с плоскопараллельным движением твердого тела.
2. Ознакомиться с уравнением плоскопараллельного движения.
3. Ознакомиться с методами определения скоростей точек плоской фигуры.
4. Ознакомиться с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 7: Теоремы об изменении количества движения
и момента количества движения точки. Импульс силы. Теорема об изменении момента количества движения точки. Закон площадей.
Содержание практического занятия


Теорема об изменении количества движения матер. точки. Q  mv – коли
F
dt – элементарный импульс силы.
чество движения
материальной
точки,


d(mv)  Fdt – элементарное изменение количества движения материальной
точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теоре
d(mv) 
ма в дифференц-ной форме) или
 F – производная по времени от колиdt
чества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой
Теорема об изменении момента количества движения матер.
 точке.


точки. K O  r  mv - момент количества движения матер. точки относительно


dK O
 M O – производная по времени от момента количества движецентра О.
dt
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 44 из 53
ния матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.
Цель занятия: 1. Изучение теоремы об изменении количества движения
и момента количества движения точки.
2. Изучение теоремы об изменении момента количества
движения точки.
3. Изучение закона площадей
Контрольные вопросы:
1. Опишите общие теоремы динамики
2. Теорема об изменении количества движения материальной точки
3. Теорема об изменении момента количества движения материальной
точки
4. Элементарная работа- опишите это понятие
5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с теоремой об изменении количества движения и момента количества движения точки.
2. Ознакомиться с теоремой об изменении момента количества движения
точки.
3. Ознакомиться с законом площадей
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 8: Работа и мощность. Графический способ вычисления работы. Мощность. Примеры вычисления работы. Объемное
представление работы. Закон о работе переменной по модулю силы. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Содержание практического занятия
Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = Fds, F – проекция силы на
касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA =
Fdscos.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 45 из 53
Если  – острый, то dA>0, тупой – <0, =90o: dA=0. dA= F  dr – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:
A ( M0M1 ) 
( M1 )
 F ds . Если сила постоянна, то
( M0 )
A ( M0M1 )  F  s = Fscos.
Едини-
цы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].
A ( M0M1 ) 
A ( M0M1 ) 
( M1 )
 (Fx x  Fy y  Fz z)ds ,
т.к.
dx= x dt
и
т.д.,
то
( M0 )
( t1 )
 (Fx x  Fy y  Fz z )dt .
(t0 )
Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической
сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А1+А2+…+Аn.
Работа силы тяжести: A ( M0M1 )  P  h , >0, если начальная точка выше конечной.
Работа
силы
упругости:
( M1 )
c
c
A ( M0M1 )   (cx)dx  ( x 02  x12 )  [( нач ) 2  ( кон ) 2 ] –работа силы упру2
2
( M0 )
гости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа силы трения: если сила трения const, то A ( M0M1 )  Fтр s - всегда отрицательна, Fтр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.
Цель занятия: 1. Научиться определять работа и мощность.
2. Освоить графический способ вычисления работы. Мощность.
Контрольные вопросы:
1. Опишите общие теоремы динамики
2. Теорема об изменении количества движения материальной точки
3. Теорема об изменении момента количества движения материальной
точки
4. Элементарная работа- опишите это понятие
5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Методические рекомендации:
1 . Ознакомится с теоретическими сведениями о работе и мощности.
2. Ознакомится с графическим способом вычисления работы.
3. Ознакомиться с законом о работе переменной по модулю силы.
4. Ознакомиться с теоремой об изменении кинетической энергии точки
Рекомендуемая литература:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 46 из 53
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 9: Теорема об изменении количества движения
системы. Количество движения системы. Приложение теоремы к движению жидкости. Тело переменной массы. Формулы Мещерского и Циолковского.
Содержание практического занятия

dQ  e
 F – производная
Теорема об изменении количества движения системы:
dt
по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях:
dQ x
e
 Fkx
, и т.д. Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральdt
ной форме:
t1 
t1 



e , где
Q1  Q 0    Fk dt
  Fke dt   Sek – импульсы внешних сил.
0
0
В проекциях: Q1x – Q0x = Sekx и т.д. количество движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему
внешних сил за тот же промежуток времени. Закон сохранения количества
движения – если сумма всех внешних сил, действующих на систему, = 0, то
вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направле

e
нию:  Fke  0  Q = const, аналогично в проекциях:  Fkx
 0  Qx= const.
Из закона следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движение системы не могут
Цель занятия: 1. Изучение теоремы об изменении количества движения
системы.
2. Изучение и применение формул Мещерского и Циолковского для расчета
Контрольные вопросы:
1. Материальная система –что это?
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 47 из 53
2. Напишите формулы для определения момента инерции однородных
тел
3. Теорема Гюйгенса-Штейнера
4. Закон сохранения движения центра масс
5. Опишите Формулу Циолковского
6. Закон сохранения кинетического момента
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с теоремой об изменении количества движения системы.
2. Ознакомиться с формулами Мещерского и Циолковского.
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 11: Теорема об изменении кинетической энергии
системы. Кинетическая энергия системы: 1.Поступательное движение.
2.Вращательное движение. З.Плоскопараллельное движение. Некоторые
случаи вычисления работы. Теорема об изменении кинетической энергии
системы.
Содержание практического занятия


Закон сохранения кинетического момента: если M oE  0 , то K o  const .
Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения. Кинетический момент вращающегося тела относительно
оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой
оси на угловую скорость тела: Kz = Jz. Если Mz= 0, то Jz = const, Jz – момент инерции тела.
Цель занятия: 1. Изучить теорему об изменении кинетической энергии
системы.
2.
Изучить
кинетические
энергии
системы:
1.Поступательное движение. 2.Вращательное движение. З.Плоскопараллельное
движение.
3. Изучить теорему об изменении кинетической энергии системы.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 48 из 53
Контрольные вопросы:
1. Материальная система –что это?
2. Напишите формулы для определения момента инерции однородных
тел
3. Теорема Гюйгенса-Штейнера
4. Закон сохранения движения центра масс
5. Опишите Формулу Циолковского
6. Закон сохранения кинетического момента
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с теоремой об изменении кинетической энергии системы.
2. Ознакомиться с кинетической энергией системы: 1.Поступательное
движение. 2.Вращательное движение. З.Плоскопараллельное движение. Некоторые случаи вычисления работы.
3. Ознакомиться с теоремой об изменении кинетической энергии системы.
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 12: Принцип Даламбера. Принцип Даламбера
для точки и механической системы. Главный вектор и главный момент
сил инерции. Приведение сил инерции твердого тела. Решение задач.
Содержание практического занятия
. Возможные (виртуальные) перемещения системы (s, ) – любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный
момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Т.е. криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к их траекториям.
Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может
перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение
может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 49 из 53
взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней
свободы.
Цель занятия: 1. Изучить принцип Даламбера.
2. Изучить принцип Даламбера для точки и механической
системы.
Контрольные вопросы:
1. Назовите возможные (виртуальные) перемещения системы
2. Принцип возможных перемещений
3. Напишите общее уравнение динамики
4. Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с принципом Даламбера.
2. Ознакомиться с принципом Даламбера для точки и механической системы.
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 13: Принципы возможных перемещений и общее уравнение динамики. Классификация связей. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Принцип возможных перемещений.
Содержание практического занятия
Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с
идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных
сил при любом возможном перемеще

нии
была
равна
нулю.
или
в
проекциях:
 Fk  rk  0
 (Fkx  x k  Fky  y k  Fkz  z k )  0 .
Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики
Цель занятия: 1. Изучить принципы возможных перемещений и общее
уравнение динамики.
2. Изучить возможные перемещения системы.
3. Изучить принцип возможных перемещений.
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 50 из 53
Контрольные вопросы:
1. Назовите возможные (виртуальные) перемещения системы
2. Принцип возможных перемещений
3. Напишите общее уравнение динамики
4. Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с принципом возможных перемещений и общим уравнением динамики.
2. Ознакомиться с возможными перемещениями системы, числом степеней свободы.
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 14: Уравнение движения системы в обобщенных
координатах. Обобщенные координаты, обобщенная скорость и обобщенные силы. Условия равновесия системы в обобщенных координатах.
Цель занятия: 1. Изучение уравнения движения системы в обобщенных
координатах.
2. Изучение условия равновесия системы в обобщенных координатах.
Контрольные вопросы:
1. Назовите возможные (виртуальные) перемещения системы
2. Принцип возможных перемещений
3. Напишите общее уравнение динамики
4. Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с уравнением движения системы в обобщенных координатах.
2. Ознакомиться с обобщенными координатами, обобщенными скоростями и обобщенными силами.
3. Ознакомиться с условиями равновесия системы в обобщенных координатах.
Рекомендуемая литература:
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 51 из 53
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
Практическое занятие 15: Уравнение Лагранжа. Обобщение силы
инерции. Вывод уравнения Лагранжа. Потенциальное силовое поле. Кинетический потенциал.
Содержание практического занятия
d  T  T


 Q i , (i=1,2…s) – дифференциУравнения Лагранжа 2-го рода:
dt  q i  q i
альные уравнения второго порядка, s – число степеней свободы системы (число
независимых координат); qi – обобщенная координата (перемещение, угол,
площадь и др.); q i – обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),
Т = Т(q1,q2,…,qS, q 1 , q 2 … q s ,t) – кинетическая энергия системы, Qi – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.
Цель занятия: 1. Изучить уравнение Лагранжа.
2. Освоить вывод уравнения Лагранжа.
Контрольные вопросы:
1. Назовите возможные (виртуальные) перемещения системы
2. Принцип возможных перемещений
3. Напишите общее уравнение динамики
4. Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода
Методические рекомендации:
1. Ознакомиться с уравнением Лагранжа.
2. Ознакомиться с силами инерции.
3. Ознакомиться с потенциальным силовым полем
4. Ознакомиться с кинетическим потенциалом.
Рекомендуемая литература:
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и
предыдущие издания
2. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. К.С. Колесникова
М., 1983
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 52 из 53
3. Бать М.И. Джанелидже Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах Ч.1, 2. М., 1984 и предыдущие издания
4. Сборник задач по теоретической механике./Под ред. Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан,, Б.Л. Минцберг и др. М., 1987
5. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической
механике на базе ЭВМ. М., 1986
4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
4.1. Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студента
Приступая к изучению курса необходимо обратить особое внимание на
проработку основных положений темы (раздела), используя для этой цели
предлагаемый учебно-методический комплекс, основное назначение которого –
облегчить студенту работу с книгой. Краткий конспект лекций к каждой теме
(разделу) заканчивается вопросами для самоконтроля.
Существенное значение имеет правильный выбор учебника. Не следует
одновременно пользоваться несколькими учебниками. Из предложенного списка рекомендуемой литературы – один должен быть выбран в качестве основного. Другие учебники или учебные пособия используют в том случае, если прорабатываемый материал отсутствует или недостаточно подробно изложен в основном учебнике.
Курс целесообразно изучать последовательно по темам, руководствуясь
программой дисциплины. Работа над учебником обязательно должна сопровождаться самостоятельным решением и анализом примеров и задач, приведенных в учебнике и данном комплексе. После этого необходимо ответить на
вопросы для самоконтроля.
Учебный материал можно считать усвоенным только при условии, если
вы умеете правильно применить теорию для решения практических задач.
Студенты должны выполнить, защитить и оформить по ГОСТу следующие расчетно-графические задания: С1,С2,С6,С8, К1,К2,К3,К7, Д1,Д2, Д5,Д6.
Для лучшей работы с литературой в УМК и Силлабусах даны изучаемые
разделы по темам с указанием страниц.
4.2. Перечень тем рефератов или контрольные задания для текущего и
входного контроля знаний студентов
Темы рефератов:
1.Трение тел
2 Сложное движение твердого тела
3 Элементарная теория удара
УМК 042 - 18 –08.1.20/03-2013
Ред. № 1
страница 53 из 53