t - Energetik.com.ru

Тема 5. Переходные процессы в линейных электрических
цепях.
§ 5.1. Общие сведения
Переходные процессы (режимы) возникают в линейных электрических
цепях если в них происходят отключение или включение как отдельных
элементов, так и целых участков цепи. Эти переключения называются
коммутацией.
Условимся:
1) Будем считать, что все коммутации в цепи происходят мгновенно.
2) Будем изображать все коммутации с помощью контактов:
– замыкающий
– размыкающий
– переключающий.
3) При анализе переходных процессов в первую очередь оценивается
режим цепи после коммутации. Поэтому момент коммутации считаем
начальным моментом (t=0).
4) Момент времени перед коммутацией t = 0–, следовательно, t (0–), и
после коммутации t = 0+ , соответственно, t (0+).
t (0+) = 0 + Δt
t (0–) = 0 – Δt, где Δt → 0.
5) Процесс перехода состояния цепи от устойчивого режима до
коммутации к устойчивому режиму после коммутации называется
переходным процессом.
6) Теоретически, все режимы электрической цепи являются
переходными, так как время переходного процесса стремится к
бесконечности, а практически время переходного процесса можно считать
конечным.
§ 5.2. Законы коммутации
1) В индуктивном элементе ток, непосредственно после коммутации
(t = 0+) и в момент коммутации (t = 0) сохраняет значение, которое он имел
непосредственно перед коммутацией (t = 0-) и начинает изменяться с этого
значения.
энергия,
которая
накапливается
или
отдается
индуктивностью.
2) Напряжением на емкости, непосредственно после коммутации (t =
0+) и в момент коммутации (t = 0) сохраняет значение, которое оно имело
непосредственно перед коммутацией (t = 0-) и начинает изменяться с этого
значения.
- энергия, которая может либо возрастать, либо падать, но
не может изменяться скачкообразно.
Замечания:
1) Во время переходного процесса электрические величины, неопределяемые
законами коммутации, могут изменяться скачком
.
2) Переходные процессы возникают в электрических цепях, содержащих
инерционные элементы (либо L, либо C).
3) Процесс коммутации происходит не мгновенно и сопровождается
электрической дугой, однако, этим кратковременным процессом можно пренебречь в
цепях невысокого напряжения (до 100 кВт).
§ 5.3. Классический метод расчета переходных процессов
§ 5.3.1. Сущность классического метода
1) Режим электрической цепи после коммутации характеризуется
переменными токами и напряжениями и для описания электрической цепи
могут применяться законы Кирхгофа для мгновенных значений.
или
2) Эта система уравнений Кирхгофа и уравнения элементов может быть
преобразована к одному дифференциальному уравнению путем подстановки.
Пример:
Преобразовав эту систему, относительно
:
постоянные коэффициенты, зависящие от состава
элементов цепи и способов их соединения.
- линейная комбинация
времени, определяющая закон изменения источников.
функций
Таким образом, в любом случае первоначальная система уравнений
преобразуется к одному дифференциальному уравнению с линейными
коэффициентами. Порядок этого уравнения зависит от количества
элементов L и C и способа их соединения. В общем, случае это уравнение
неоднородное. Уравнения такого же вида можно было получить, преобразуя
первоначальную систему относительно любой другой величины
.
3) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
складывается как сумма частного неоднородного дифференциального
уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения.
,
где
частное
решение
неоднородного
дифференциального уравнения.
Частное – режим после коммутации (установившийся режим).
Общее – когда правая часть равна нулю (в цепи отсутствует источники)
– свободный режим (реально не существует).
4) Установившиеся составляющие общего режима определяются из
расчета соответствующего режима цепи.
определяется по правилам решений дифференциальных
уравнений и ее вид зависит от корней характеристического уравнения.
, где
,
- оператор дифференциального уравнения.
5) Результаты расчета переходного процесса являются один режим
электрической цепи, который определяется из общего решения с помощью
начальных условий. В качестве начальных условий используются законы
коммутации.
Независимые Н.У.:
токи индуктивности и напряжения на емкости,
определяемые режимом коммутации (
,
и т.д.).
Зависимые Н.У.:
и
, которые находятся из законов
Кирхгофа, описывающих цепь после коммутации с учетом независимых
начальных условий.
Сущность классического метода заключается в интегрировании
дифференциального уравнения цепи и в определении постоянных
интегрирования с использованием законов коммутации.
Замечания:
1) Дифференциальное уравнение для данной электрической цепи может
содержать в качестве переменной любой другой параметр. В любом случае
характеристическое уравнение будет одинаковым.
2) Рассмотренный классический метод с представлением установившейся и
свободной составляющих применим только к линейным электрическим цепям.
3) Физически в электрической цепи существует только переходный режим, а
разложение на установившуюся и свободную составляющие является математической
абстракцией и облегчает процесс решения.
4) Для получения характеристического уравнения и определения вида свободной
составляющей можно использовать следующий прием:
1) Изобразить заданную электрическую цепь в режиме после коммутации.
2) В этой электрической цепи заменить:
3) Из цепи исключить все источники. При этом источники напряжения
закоротить, а источники тока выбросить со всеми последовательно соединенными
элементами.
4) Полученную электрическую цепь разорвать в любом месте (можно
относительно зажимов источника) и выразить эквивалентное сопротивление относительно
точек разрыва, используя правило преобразования резистивных цепей.
5) Приравнять
.
характеристическое уравнение
Пример:
Включение RL-цепи на постоянное напряжение.
Определить:
.
Получим
1)
2) Вид
Характеристическое уравнение:
3)
- общее решение.
4)
- по первому закону коммутации.
5)
1)
2)
- постоянная времени переходного процесса.
При
3)
За
переходной процесс можно считать завершенным.
3)
Определяем по графику.
4, 2, 3 верны для всех остальных случаев.
§ 5.3.2. Короткое замыкание RC-цепи
Дано:
Найдем
1)
При установившемся режиме
2)
3)
4) A=?
5)
1)
§ 5.3.3. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение
1)
, где
, где
2)
источника.
Вид свободной составляющей не зависит от закона изменения
, где
3)
4) A=?
5)
§ 5.3.4. Переходные процессы в колебательном контуре (RLC-цепи)
Дано:
1)
2)
1 случай:
и
- вещественные и различные (апериодический)
и
- комплексно-сопряженные (колебательный)
2 случай:
3 случай:
(критический)
- критическое сопротивление.
§ 5.4. Операторный метод расчета переходных процессов
§ 5.4.1. Закон Ома в операторной форме
После коммутации запишем уравнение по второму закону Кирхгофа
для начальных значений с учетом элементов.
Применим к этим выражениям преобразования Лапласа.
Тогда с учетом свойств преобразований получим:
- эквивалентное операторное сопротивление.
- эквивалентная операторная проводимость.
внешние ЭДС.
Внешние ЭДС отражают тот факт, что и моменту коммутации в
элементах L и C запасена энергия. Располагаются эти ЭДС последовательно с
соответствующими элементами, причем
направлена согласно току в
индуктивности, а
направлена навстречу току в емкости.
Тогда исходную схему с учетом уравнения по закону Кирхгофа для режима
после
коммутации
можно
перерисовать
в
виде:
Операторная схема замещения.
Для нее как для цепи постоянного тока можно записать второе
уравнение по второму закону Кирхгофа:
.
Замечания:
1) Изображение E(p) определяется заданной функцией времени e(t).
Если
,
Если
.
2) В классической постановке
заданы: e(t), R, L, C.
Значения внесенных ЭДС:
и
задачи расчета
переходных
процессов
определяются по закону коммутации.
§ 5.4.2. Законы Кирхгофа в операторной форме
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных
значений токов, сходящихся в любом узле схемы
равна нулю.
(1)
Применим преобразование Лапласа к уравнению (1) и воспользуемся
тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем:
В общем случае:
(2)
Уравнение (2) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной
форме.
Второй закон:
Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно
составить уравнение по второму закону Кирхгофа для линейных значений
предварительно необходимо выбрать положительное направление для токов
в ветвях и направление обхода контура. Запишем уравнение по второму
закону Кирхгофа для контура, который ниже. Контур обходим по часовой
стрелке. Учтем, что индуктивности и
связаны магнитно. При
выбранных
положительных
направлениях
для
токов и между и
имеет место согласное включение.
Падение
напряжения
на
равно
;
на
равно
.
При составлении уравнения
учтем, что начальное напряжение
равно
согласно
. Пусть оно действует
с
током
значение
тока
.
тока
Начальное
и
.
Имеем
(3)
Каждое из слагаемых (3) заменим операторным выражением:
Подставив (4) в (3), объединим слагаемые с
перенесем в правую часть
получим:
,
и другие внутренние ЭДС и
(5)
Здесь
В более общем случае выражение (5) можно записать так:
(6)
Уравнение (6) представляет собой математическую запись второго
закона Кирхгофа в операторной форме. В состав
в общем случае
входят и внутренние ЭДС.
§ 5.4.3. Эквивалентные операторные схемы
При расчете переходных процессов операторным методом желательно
сразу записывать уравнение Кирхгофа в операторной форме (для схемы
).
Можно использовать все методы расчета сложных цепей, которые были
введены для цепей постоянного тока. Каждую систему уравнений можно
записать, составив для заданной схемы эквивалентную операторную схему.
При ее составлении сохраняется топология исходной цепи для режима после
коммутации. В каждой ветви с элементами L и C при ненулевых начальных
условиях
учитываются
внесенные
ЭДС.
Соответствующие
элементы L и C заменяются операторными сопротивлениями. Переход от
исходной схемы к операторной предполагает следующую замену элемента:
Исходная схема:
Операторная схема:
Значения
коммутации:
и
определяются из режима
,
.
В полученной операторной схеме применяются законы Кирхгофа или
любой из методов, так же как и для цепи постоянного тока. В результате
получается система уравнений изображения электрической величины.
Независимыми в этой схеме является изображение, то есть функции от p. Из
этой системы можно выразить изображение любой величины (
). Это изображение всегда является дробнорациональной функцией неизвестного p.
Заключительным этапом расчета является переход от этого
изображения к оригиналу. Такой переход можно осуществить, используя
обратное преобразование Лапласа или соответствующие таблицы.
В задачах электротехники для этих целей используются:
§ 5.4.4. Теорема разложения
Теорема разложения позволяет найти оригинал изображения по
Лапласу, заданного в виде дробно-рационального выражения:
,
где
и
не
имеет кратных корней, тогда:
, где
- корни уравнения
.
при
Особенности применения теории:
1) Если среди корней уравнения
есть нулевой корень, то
соответствующее слагаемое в правой части уравнения будет иметь вид:
Это слагаемое дает постоянную составляющую.
2) Если уравнение
имеет комплексно-сопряженные корни, то
соответствующие выражения в теореме также будут комплексносопряженными и, в сему дадут вещественное число, равное удвоенной
вещественной части комплексного выражения.
3) Если в выражении
, то сначала следует выделить целую
часть, разделив
на
, а затем к
рациональному выражению, у которого
разложения.
полученному дробно, применить теорему
§ 5.4.5. расчет переходных процессов операторным методом
1. Составляется операторная схема замещения для режима после
коммутации
2. Рассчитываются начальные условия, входящие в выражения
внесенных
ЭДС.
Для
этого
используются
законы
коммутации
3. Записывается уравнения по любому из методов расчетов сложных
электрических цепей (как для цепи постоянного тока)
4. Из записанных уравнений выражается изображение искомой
функции:
5. По полученному изображению определяется оригинал функции (с
использованием теоремы разложения):
2) Короткое замыкание RC-цепи.
1.
2.
3.
4.
5.
§ 5.4.6 Четырехполюсник и их передаточные функции
Четырехполюсник – часть электрической цепи с двумя парами
выделенных зажимов. С помощью этих зажимов четырехполюсник может
быть присоединен к остальной части цепи. Одна пара – первичная, вторая –
вторичная.
Будем
считать,
что
источники,
приемники,
двухполюсники
и
другие
участники второй цепи с парными
зажимами могут присоединяться
только
к
выводам
четырехполюсника – проходные.
Для них характерно, что токи на одноименных зажимах одинаковые и
противоположно направлены. Такие четырехполюсники называются
проходными.
Если в состав четырехполюсника не входят источники, тол он
называется пассивным проходным четырехполюсником.
Первичные зажимы будем называть входными, а вторичные –
выходные. В этом случае четырехполюсник можно считать элементом
электрической цепи. Часто оценивают значение выходного напряжения при
известном законе изменения передаточной функции четырехполюсника:
, где
и
- изображения по Лапласу
входного и выходного напряжения.
Передаточная функция однозначно определяет четырехполюсник, так
как:
. То есть зная передаточную функцию
можно для любого закона изменения
определить закон изменения
выходного напряжения, например, если
известно, тогда:
1) Если
, то
Далее по теореме разложения:
.
2) Если
§ 5.4.7. Получение передаточных функций
Способ получения передаточных функций основан на операторных
схемах при нулевых начальных условиях (все внесенные ЭДС=0)
Пример:
, где
§ 5.5. Переходная проводимость
Ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде
произведения напряжения U на входе схемы на собственную или взаимную
проводимость g:
.
При переходных процессах это соотношение также имеет силу. Если на
вход какой-либо цепи в момент t = 0 включается постоянное
напряжение U (или ЭДС E), то ток i(t) в любой ветви этой схемы будет равен
произведению постоянного напряжения U на проводимость g(t):
(1).
При переходном процессе проводимость является функцией времени,
поэтому в скобках указывается время t; g(t) называют переходной
проводимостью. Она измеряется в тех же единицах (сим), что и обычная
проводимость.
Если в формуле (1) принять U равным 1В, то при этом
, то
есть переходная проводимость какой-либо ветви схемы численно равна
току i(t) в этой ветви при подключении цепи к постоянному напряжению в
1В. Индексы у g(t) указывают, о какой именно переходной проводимости
идет речь. Если индексы одинаковы, то имеется в виду собственная
переходная проводимость ветви, номер которой соответствует цифре,
указанной в индексе; если индексы разные, то - проводимость между теми
ветвями, номера которых указаны в индексе.
Например, если источник постоянного напряжения U при нулевых
начальных условиях включается в первую ветвь, то ток первой
ветви
, а ток третьей ветви
.
Переходную проводимость можно определить либо расчетным, либо
опытным путем. При расчетном определении
классическим или
операторным методами находят ток k-ветви при включении источника
постоянного напряжения в k-ветвь. При определении
находят ток kветви при включении постоянного напряжения U в m-ветвь. Далее, в
полученных формулах полагают U равным 1В. При опытном определении
переходной проводимости ток i(t) соответствующей ветви находят путем
осциллографирования.
§ 5.6. Понятие о переходной функции по напряжению
При подключении линейной электрической цепи с нулевыми
начальными условиями к постоянному напряжению U между какими-то
двумя точками a и bсхемы возникает напряжение
, являющееся
функцией времени и пропорциональное воздействующее ему напряжению U:
.
называют переходной функцией по напряжению. Это безразмерная
величина, численно равная напряжению между точками a и b схемы, если на
вход схемы подать постоянное напряжение в 1В; k(t) так же, как и g(t), можно
определить либо расчетным, либо опытным путем.
Пример 1:
Определить
схемы.
переходную
проводимость
Решение:
При замыкании ключа
.
По определению, переходная проводимость равна току в цепи
при E=1B, следовательно,
.
Пример 2:
Найти собственную переходную проводимость первой ветви
,
взаимную переходную проводимость между третьей и первой ветвями
и переходную функцию напряжения на конденсаторе
схемы:
Ом;
Ом;
мкФ.
Решение:
По определению,
С помощью классического метода получаем:
Полагая в этих формулах E=1В, находим:
. Параметры
Подстановка числовых значений дает:
Пример 3:
Определить
взаимную
проводимость между первой и третьей
ветвями схемы при включении ЭДС в
первую ветвь и следующих значениях
параметров:
Ом;
Гн;
мкФ.
Решение:
Изображение тока третьей ветви
.
Корни уравнения
:
Полагаем E=1В и в соответствии с формулой разложения находим:
После подстановки значений параметров, значений коней
использования формулы
и
и
получим
сим.
Таким образом, взаимная переходная проводимость между третьей и
первой ветвями схемы при данных значениях параметров представляет собой
затухающую синусоиду.