11.Магнитное поле постоянного тока

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по теме «Магнитное поле постоянного тока»
для абитуриентов физического факультета
Покоящиеся заряды взаимодействуют посредством электрического поля. При
движении зарядов это взаимодействие сохраняется, однако помимо него
возникает ещё и магнитное взаимодействие, которое осуществляется
магнитным полем.
Магнитное поле порождается движущимися зарядами и токами. Оно
непрерывно в пространстве и проявляется в действии на другие движущиеся
заряды и токи, а также на магнитную стрелку. Так возникает взаимодействие
токов и движущихся зарядов. Магнитное поле в данной точке пространства

характеризуется векторной величиной B , которую называют индукцией
магнитного поля. Это силовая характеристика поля. Она вводится путём
рассмотрения действия магнитного поля на маленькую пробную рамку с током.
Направление вектора В совпадает с направлением нормали к свободной
пробной рамке с током, установившейся в поле (это направление, в котором
будет перемещаться винт с правой нарезкой, если вращать его по направлению
тока в рамке). Значение индукции пропорционально максимальному моменту

сил, действующих на пробную рамку: B 
M
, где М - максимальный
IS
момент сил, действующих на рамку с током I
индукции называется тесла ( Тл );
1 Тл  1
и площадью S . Единица
Н
Ам

Линия, в любой точке которой вектор B направлен по касательной,
называется линией магнитной индукции. В отличие от электрического поля,
постоянное магнитное поле, создаваемое стационарными токами, является
вихревым: его линии индукции всегда замкнуты. Таким образом, магнитное
поле не имеет источников- магнитных зарядов. Линии индукции строятся так,

что их густота пропорциональна модулю вектора B в данном месте поля.

Если во всех точках некоторой части пространства вектор B имеет
одинаковое значение по модулю и одинаковое направление, то магнитное поле
в этой части пространства называется однородным.
Линии магнитной индукции поля прямого проводника с током
представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных
проводнику; центры окружностей находятся на оси проводника. Направление
магнитного поля такого тока можно определить по правилу буравчика- если
ввинчивать буравчик , двигая его по направлению тока ( т.е. по направлению
движения положительных зарядов), то вращение ручки буравчика покажет
направление линий поля. Аналогично можно найти направление магнитного
поля кругового тока или соленоида ( катушки с током ).
2.
МАГНИТНЫЕ СИЛЫ
На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила
(называемая силой Ампера), которая определяется свойствами поля в том месте,

где расположен проводник. Опыт показывает, что сила Ампера F ,
действующая на небольшой элемент проводника с током длины 

(рассматриваемый как вектор   , направление которого совпадаетс
направлением тока в проводнике) , перпендикулярна к плоскости, в которой


лежат векторы   и B , причём вращение по кратчайшему расстоянию от



  к B связано с направлением F правилом буравчика ( рис.1).

Рис. 1. Вектор F направлен от нас перпендикулярно плоскости рисунка.
Модуль силы Ампера определяется формулой:
F  I  B sin 
(1)
(I – сила тока в проводнике) . Из закона Ампера (1) следует, что в случае
расположения проводника вдоль линии поля (   0 ), магнитная сила
отсутствует.
Для прямолинейного проводника длиной  , по которому течёт ток I , в
однородном магнитном поле сила Ампера F  I  B sin  . Эта сила
максимальна, когда проводник располагается перпендикулярно полю

(   90 ), Fмакс  I  Bsin . В этом случае для определения направления
магнитной силы можно воспользоваться правилом левой руки: если
расположить левую руку так, чтобы направление четырёх вытянутых пальцев
указывало направление тока, а магнитные линии « входили» в ладонь, то
отставленный в сторону под прямым углом большой палец укажет направление
силы. В отличие от кулоновских сил, сила Ампера не является центральной.
Она направлена перпендикулярно к линиям магнитной индукции.
Действие магнитного поля на проводник с током означает , что
магнитная сила действует на движущиеся электрические заряды, а уже от них
передаётся кристаллической решётке вещества, из которого изготовлен
проводник.
Сила тока в металлическом проводнике I  neVS , где n –
концентрация свободных электронов, e – заряд электрона, V – скорость его
упорядоченного движения, S – площадь поперечного сечения проводника.
Подставив это выражение в формулу (1), получим
F  neVS B sin 
Так как произведение nS  даёт число движущихся зарядов N в элементе
 проводника, то, разделив F на число зарядов N , получим магнитную
силу, действующую на отдельный заряд e , движущийся со скоростью V под

углом  к вектору B
Fm  eVB sin 
Эта формула справедлива для любых точечных зарядов q :
Fm  qVB sin 
(2)
Направление этой силы определяется правилом левой руки, причём за
направление тока нужно брать направление вектора скорости положительного

заряда; для отрицательных зарядов направление Fm изменится на
противоположное.
Силы, модули которых определяются формулами (1) и (2), можно
представить в виде векторных произведений:




F  I l B ;
 

 
Fm  q V B
Если точечный заряд находится одновременно в электрическом и магнитном
полях, то действующая на него сила будет равна сумме электрической и
магнитной сил:
 


 
FЛ  qE  q V B
Эта суммарная сила называется силой Лоренца.
Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле со

скоростью V перпендикулярно линиям индукции, на неё действует

постоянная по модулю и направленная перпендикулярно вектору V магнитная

сила Fm . Под действием этой силы частица массы m приобретает
центростремительное ускорение a ц 
Fm qVB
и движется по

m
m
окружности, радиус которой определяется из условия:
qVB V 2

;
m
r
r
mV
qB
Магнитная сила в этом случае не совершает работы. Период обращения
частицы при этом равен
T
2r 2m
; таким образом, период

V
qB
обращения частицы в однородном магнитном поле при постоянной массе не
зависит от скорости V и радиуса r траектории. Это свойство используется в
цитроне – ускорителе заряженных частиц.
Если имеются два параллельных проводника бесконечной длины с
токами I1 и I 2 , то на каждый элемент длиной  проводников действует
сила
F
 0 I1 I 2 
2 d
7
где d – расстояние между проводниками;  0  4  10
постоянная.
Гн
- магнитная
м
Рис. 2.
Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с
противоположно направленными токами- отталкиваются. Такое взаимодействие
проводников с параллельными токами объясняется правилом левой руки
(рис.2).
3. МАГНИТНЫЙ ПОТОК
Потоком магнитной индукции (магнитным потоком)  через участок
поверхности с малой площадью S называется скалярная величина
  B S cos   B n S ,

Где B n  B cos  есть проекция вектора B на нормаль к площадке (  –

угол между нормалью к площадке и вектором B ). Положительный знак
магнитного потока соответсвует острому углу  , отрицательный знак –
тупому.
Магнитный поток Ф сквозь поверхность с площадью S находится
алгебраическим суммированием потоков  сквозь участки поверхности.
Если магнитное поле однородно, то магнитный поток через плоскую
поверхность с площадью S равен
  BS cos 
Единицей магнитного потока является вебер (Вб); 1 Вб  1 Тл  1 м .
2
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
П р и м е р 4.1. На прямоугольную рамку с силой тока I = 2 А,
состоящую из n = 50 витков и помещённую в магнитное поле, действует
максимальный вращательный момент M m ax = 0, 005 Нм. Размеры рамки 30х40
мм. Определить значение магнитной индукции поля.
Решение:
B
M max
0.005 Н  м

 0.04 Тл
ISn 2А30  10-3  40  103 м 2  50
П р и м е р 4. 2. Прямой проводник АВ длиной  = 20 см и весом
Р=0,05Н подвешен горизонтально на двух лёгких нитях в однородном
магнитном поле, вектор магнитной индукции которого имеет горизонтальное
направление и перпендикулярен проводнику. Какой величины ток надо
пропустить через проводник , чтобы одна из нитей разорвалась? Модуль

вектора B равен 0,05Тл. Каждая нить разрывается при нагрузке,
превышающей p= 0, 04 Н.
Р е ш е н и е:
На проводник действуют 2 силы натяжения нитки Т , сила тяжести Р и
сила Ампера F=IB  ( т.к. sin   1 ), направленная вниз ( её напрвление
определяется по правилу левой руки).
Если проводник находится в равновесии, то 2Т-F- Р = 0. Отсюда T 
Для разрыва одной из нитей необходимо выполнение условия
T  P или
I
2p  P 2  0.04 Н - 0.05 Н

 3А
B
0.05 Тл  0.2м
PF
.
2
П р и м е р 4.3. Определить силу взаимодействия, приходящуюся на единицу
длины проводов воздушной линии электропередачи, если ток в линии I = 500А,
а расстояние между проводами d = 50 см.
Решение:
f
F 0 I


l 2 d
2
Гн
2
 500 А 
Н
м
 0.1
2  0.5 м
м
4  107
П р и м е р 4.4. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл
перемещается на расстояние L = 50 см проводник, по которому течёт ток I=2A.

Проводник расположен под углом   60 к направлению поля; длина
проводника  = 40 см. Перемещение происходит по направлению ,
перпендикулярному к направлениям поля и тока. Найти работу источника тока.
Решение:
Сила, действующая на проводник, направлена перпендикулярно к
направлениям поля и тока, т.е. по направлению перемещения:
F  IB sin 

Работа A  FL  BIL sin   2 Тл  2А  0.4м  0.5м  sin60  0.7 Дж.
П р и м е р 4.5. Электрон, прошедший ускоряющую разность
потенциалов U = 10 кВ, влетает в вакууме в однородное магнитное поле с

индукцией В = 0, 1 Тл под углом   30 к направлению линий магнитного
поля. Найти радиус и шаг спирали, по которой электрон будет двигаться в
магнитном поле.Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Электрон будет двигаться по винтовой линии В этом можно

убедиться, разложив вектор скорости V по двум направлениям: вдоль


линии поля ( V|| ) и нормально к ним ( V ). Модули составляющих:
V||  V cos 
V  V sin 
Сила Лоренца действует на электрон перпендикулярно плоскости чертежа и

непрерывно изменяет направление составляющей V , сообщая частице в
плоскости , перпендикулярной полю, центростремительное ускорение aц . В
результате электрон описывает в этой плоскости окружность некоторого
радиуса R , поскольку B=const и V =const .
Fл  eV B  eVB sin  ; в то же время по второму закону Ньютона
mV2 mV 2 sin2 
Fл  ma ц 

.
R
R
Отсюда Be 
mV sin 
R
(1)
Учтём , что кинетическая энергия электрона равна работе сил электрического
поля перед тем, как электрон влетает в магнитное поле:
mV 2
 eU
2
(2)
sin  2mU
 1.7  103 м
B
e
31
19
(масса электрона m  9.1  10 кг; его заряд e  1.6  10 Кл).
Из равенств (1) и (2) получим R 
Вдоль линии индукции поля на электрон никакие силы не действуют, а
следовательно, в этом направлении он движется прямолинейно с неизменной
скоростью V cos  . В результате наложения прямолинейного движения на
круговое электрон описывает в пространстве винтовую линию. Шаг этой линиирасстояние , на которое смещается частица вдоль поля за один оборот, равен
h  V||T  V cos T , где Т –период обращения элетрона по кругу радиусом R.
Этот период равен T 
2 R
2 R
2
, отсюда h  2R ctg  1.8  10 м.

V
V sin 
П р и м е р 4.6. В магнитном поле с индукцией B =0.2 Тл
расположен стержень длиной  =1м, который вращается перпендикулярно к
направлению линий магнитной индукции. Ось вращения проходит через один
из концов стержня. Определить поток магнитной индукции через поверхность,
которую образует стержень при каждом обороте.
Решение
Площадку S пронизывает магнитный поток   BS cos  , где  - угол

между вектором B и нормалью к площадке, образуемой вращающимся
стержнем.
Т.к.  =0,   B  0.2 Тл  3.14 1 м  0.63Вб
2
2
2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Прямой проводник длиной 20 см, по которому течёт ток 10 А, помещён
в магнитное поле индукцией 5 Тл под углом 30 к направлению поля.
Найти силу, действующую на проводник.
2. На прямой проводник длиной  = 0.5 м, расположенный
перпендикулярно к магнитному полю с индукцией B  2  10 -2 Тл,
действует сила F = 0.15 Н. Найти величину тока, протекающего в
проводнике.
3. Между полюсами магнита на двух тонких нитях подвешен
горизонтально линейный проводник весом 0.1 Н и длиной 0.2 м.
Индукция однородного магнитного поля 0.25 Тл и направлена
вертикально. На какой угол от вертикали отклонятся нити,
поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток 2 А? Весом
нитей пренебречь.
4. Определить силу взаимодействия, приходящуюся на единицу длины
проводов воздушной линии электропередачи, если сила тока в линии
500 А, а расстояние между проводами 50 см.
5. Сила взаимодействия между двумя параллельными проводниками
длины 50 м каждый, расположенными на расстоянии 20 см один от
другого, равна 1 Н. Найти силу тока в проводах, если в одном из них
сила тока вдвое больше, чем в другом.
6. При перемещении проводника, по которому течёт ток 10 А, в
магнитном поле с индукцией 1.5 Тл на расстоянии 0.25 м по
направлению, перпендикулярному направлениям поля и тока, силами
Ампера совершена работа 0.38 Дж. Проводник расположен под углом
30 к направлению магнитного поля. Найти длину проводника.
7. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 2 10 5 Тл
перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько
оборотов будет делать в магнитном поле протон за 1 с?
8. Частица, имеющая заряд электрона, влетает в однородное магнитное

поле под углом в 45 к линиям индукции и движется по винтовой
линии с шагом в 2 см. Определить импульс частицы, если индукция
2
поля равна 10 Тл.
9.
Электрон, прошедший разность потенциалов 71 кВ, влетает в

однородное магнитное поле под углом 37 к линиям магнитного поля
и описывает спираль радиуса 54 мм. Найти индукцию магнитного поля
и шаг спирали, по которой движется электрон.
2
10. Найти магнитный поток через площадку 25 см , расположенную под

углом 30 к линиям магнитного поля, индукция которого равна 0,5 Тл.
11. Электрон влетает в однородное магнитное поле. В точке А он имеет

скорость V , которая составляет с направлением поля угол  .
При какой индукции магнитного поля электрон окажется в точке С ?
Расстояние АС = L , заряд электрона равен e , его масса равна m.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1) 5 Н
2) 15 А
3) 45
4) 0, 1 Н
5) 100 А ;
6) 20 см
7) 300 об/ с
24
8) 7.2  10
10) 0,625 мВб
кг  м
с
9) 0,01 Тл; 452 мм
11) B  k  2
mV
cos 
eL
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яворский Б.М., Селезнёв Ю.А. Справочное руководство по физике
для поступающих в вузы и для самообразования.-М.: Наука, 1989г.
–576с.
2. Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для
поступающих в вузы. –М.: Наука, 1991. –640с.
3. Элементарный учебник физики / под ред. Г.С.Ландсберга т.1. 2. 3.
– М :, 1986г.
4. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике – М.: Высш.
Школа, 1982г. –351с.
5. Сборник задач по элементарной физике. / Б.Б.Буховцев,
В.Д.Кривченков, Г.Я.Мякишев, И.М.Сараева – М.: Наука, - 1987г. –
416с.
.