Математика (п) &quot

Контрольная работа по дисциплине «Геометрия»
для студентов I курса обучающихся по направлению подготовки
«педагогическое образование» и профилю подготовки «математика»
на 3 семестр 2013-2014 учебного года.
Студент выбирает вариант, номер которого совпадает с последней цифрой
номера зачётной книжки; на контрольной работе следует написать номер зачётной
книжки.
№
Номера заданий
варианта
0
1
16 21 31 46 51 66 71
81
I
2
17 22 36 41 52 61 72
82
II
3
18 23 32 47 53 67 73
83
III
4
19 24 37 42 54 67 74
84
IV
5
20 25 33 48 55 68 75
85
V
6
11 26 38 43 56 63 76
86
VI
7
12 27 34 49 57 69 77
87
VII
8
13 28 39 44 58 64 78
88
VIII
9
14 29 35 50 59 70 79
89
10 15 30 40 45 60 65 80
90
IX
Задания для контрольной работы следуют далее.
Векторы на плоскости.
1. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма АВСD, а точка N на стороне AD, причем
AM : MC  2 :1 и AN=ND. Выразить вектор MN через векторы a  AB и b  AD .
2. Дана равнобокая трапеция АВСD (DC=3AB). Точки М и N – середины оснований AB и DC,
точка P является точкой пересечения диагоналей АС и BD. Найти разложения векторов CB ,
MN и AP по векторам AB и AD .
3. Дана равнобокая трапеция АВСD (DC=3AB). Точки М и N – середины оснований AB и DC,
точка P является точкой пересечения диагоналей АС и BD. Найти разложения векторов CD ,
MN и BP по векторам AB и AD .
4. Точка M – точка пересечения медиан треугольника АВС. Найти разложения векторов AB ,
BC по векторам MB и MC .
5. Точка M – точка пересечения медиан треугольника АВС. Найти разложения векторов CA ,
AM по векторам MB и MC .



6. На плоскости даны два вектора p{2,3} и q{1, 2} . Найти разложение вектора a{9, 4} по базису


p и q.




7. На плоскости даны три вектора a{4,2} , b{3, 5} , c{2,12} . Представить вектор c как
 
линейную комбинацию векторов a и b .



8. На плоскости даны два вектора p{2,3} и q{1, 2} . Найти разложение вектора a{9, 4} по базису


p и q.
9. На плоскости даны три вектора a{3, 1} , b{1, 2} , c{1,6} . Найти разложение вектора с по

векторам a и b .
10. На плоскости даны три вектора a{0,1} , b{3, 2} , c{6,6} . Найти разложение вектора

p  a  b  с по векторам a и b .
Скалярное произведение векторов.
11. Найти длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах 3a  4b , 5a  2b как



на сторонах, если | a | 4, | b | 5, (a , b )  2 3 .
12.Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 3a  4b , 7a  b как на
сторонах, если | a | 4, | b | 1, (a , b )   3 .


13. Векторы a и b образуют угол  
  

 
p  3a  b и d  a  2b.


14.Векторы a и b образуют угол


3

2

, a 5 ,

b  2 . Найти  между векторами

, a  5,

b  2 . Найти  между векторами
p  9a  b и d  a  2b .

15. Известно, что a  3 , b  2 , (a , b )  2  3 . Вычислите скалярное произведение векторов
p  2a  b и q  3a  b , найдите длину вектора p .

16. Известно, что a  6 , b  2 , (a , b )   3 . Найдите длины диагоналей параллелограмма,

построенного на векторах a и b  2a как на сторонах.
17.Известно, что a  3 , b  4 , (a , b )   3 . Найдите длины медиан треугольника, две
 
стороны которого совпадают с векторами a и b .
18. Найти угол между векторами a  2e1  e2  2e3 и b  4e1  e2  3e3 , если | e1 | 1 , | e2 | 2 ,
| e3 | 3 , (e1 , e2 )  (e1 , e3 )   3 , а векторы e2 и e3 взаимно перпендикулярны.
19. Найти угол между векторами p  e1  e2  e3 и q  e1  e2  2e3 , если | e1 | 1 , | e2 | 1 ,
| e3 | 4 , (e1, e2 )  (e1, e3 )  600 , а векторы e2 и e3 взаимно перпендикулярны.
20. Найти угол между векторами a  e1  2e2  e3 и b  4e1  3e3 , если | e1 | 1 , | e2 | 3 ,
| e3 | 2 , (e1 , e2 )  (e1 , e3 )   3 , а векторы e2 и e3 взаимно перпендикулярны.
Метод координат на плоскости.
21. Даны две вершины А(3;-4), В(0;1) параллелограмма АВСD и точка пересечения его диагонали
Е(2;-1). Определить две другие вершины этого параллелограмма.
22.Даны две вершины А(4,5; 5), В(2; -6) параллелограмма АВСD и точка пересечения
его
диагонали S(3; 1,5). Определить две другие вершины этого параллелограмма.
23.Даны три вершины А(2;-2), В(-4;2) и С(3;-2) параллелограмма АВСD. Найти его четвертую
вершину, противоположную В.
24.Даны две смежные вершины А(-4;4), В(2;8) параллелограмма АВСD и точка пересечения его
диагонали М(2;2). Найти координаты точек С и D.
25.Даны три вершины А(-1;3), В(2;-5) и С(0;4) параллелограмма АВСD. Найти его четвертую
вершину, противоположную В.
26.Отрезок прямой, ограниченный точками А(5;-8) и В(11;3), разделен точками С, D,Е,F на пять
равных частей. Найти координаты этих точек.
27.Отрезок АВ разделен точками P(2;2) и Q(1;5) на три равные части. Найти координаты точек P и
Q.
28.Даны вершины треугольника АВС: А(2; 4), В(-6; 8). Определить координаты точки С, если
известно, что середины сторон АС и ВС лежат на осях абсцисс и ординат.
29.Даны вершины треугольника АВС: А(3; 6), В(-3; 5). Определить координаты точки С, если
известно, что середины сторон АС и ВС лежат на осях абсцисс и ординат.
30. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0) и
равные части.
D(5;-2) разделен на три
31. Даны вершины треугольника А(2;-5), В(1;2) и С(2;3). Вычислить длину биссектрисы его
внутреннего угла при вершине В и длину медианы, проведенной из вершины С.
32.Даны вершины треугольника А(-1;-1), В(3;-4), С(-5;2). Вычислить длину биссектрисы его
внутреннего угла при вершине В и длину медианы, проведенной из вершины С.
33.Даны вершины треугольника А(5;3), В(-7;-6) и С(1;0). Вычислить длину биссектрисы СК и
медианы СМ.
34.Даны вершины треугольника А(7;1), В(3;-2) и С(-5;4). Вычислить длину биссектрисы его
внутреннего угла при вершине В и длину медианы, проведенной из вершины С.
35.Даны вершины треугольника А(-7;1), В(2;5) и С(-1;9). Вычислить длину биссектрисы СК и
медианы СМ.
36. Даны вершины треугольника А(5;3), В(-7;-6) и С(1;0). Вычислить длины медиан данного
треугольника.
37. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(5;-6) и С(1;3). Вычислить длины медиан данного
треугольника.
38. Даны вершины треугольника А(2;-5), В(1;-2) и С(4;7). Вычислить длины медиан данного
треугольника.
39. Даны вершины треугольника А(-1;-1), В(3;5), С(-4;1). Вычислить длины медиан данного
треугольника.
40. Даны вершины треугольника А(1;2), В(4;0), С(-2;6). Вычислить длины медиан данного
треугольника.
Формулы преобразования координат.
41.Пусть ОАВ – произвольный треугольник. Запишите формулы преобразования координат при
переходе от репера R  {O, e1  OA, e2  OB} к реперу R  { A, e1  AB, e2  AO} .
42. Пусть ОАВ – произвольный треугольник. Запишите формулы преобразования координат при
переходе от репера R  {O, e1  OA, e2  OB} к реперу R  {O, e1  OB, e2  AO} .
43.Пусть ОАВ – произвольный треугольник. Запишите формулы преобразования координат при
переходе от репера R  {O, e1  OA, e2  OB} к реперу R  {C , e1  CA, e2  CB} .
44. Пусть ОАВ – произвольный треугольник, точка O  - точка пересечения медиан. Запишите
формулы преобразования координат при переходе от репера R  {O, e1  OA, e2  OB} к
реперу R  {O, e1  OC , e2  OB} .
45. Запишите формулы преобразования ПДСК, если i 
2
7 2
i
j , O(3, 2) .
10
10
46. Запишите формулы преобразования ПДСК, если (i , i)  300 , O(0, 2) , и системы Oij
имеют различные ориентации.
47.Запишите формулы преобразования ПДСК, если (i , i)  450 , O(4, 7) , и системы Oij
ориентированы одинаково.
48. Пусть АВСD – квадрат, точка O  - точка пересечения его диагоналей. Запишите формулы
преобразования координат при переходе от репера R  {O, e1  AB, e2  AD} к реперу
R  {O, e1  OC , e2  OD} .
49.Пусть АВСD – квадрат, точка O  - точка пересечения его диагоналей. Запишите формулы
преобразования координат при переходе от репера R  {O, e1  AB, e2  AD} к реперу
R  {O, e1  OB, e2  OA} .
50.Пусть АВСD – квадрат, точка O  - точка пересечения его диагоналей. Запишите формулы
преобразования координат при переходе от репера R  {O, e1  AB, e2  AC} к реперу
R  {O, e1  OC , e2  OB} .
Прямая на плоскости.
51. Даны две вершины А(3;-4), В(0;1) параллелограмма АВСD и точка пересечения его диагонали
Е(2;-1). Составьте уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
52.Даны две вершины А(4,5; 5), В(2; -6) параллелограмма АВСD и точка пересечения его
диагонали S(3; 1,5). Составьте уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
53.Даны три вершины А(2;-2), В(-4;2) и С(3;-2) параллелограмма АВСD. Составьте уравнения
сторон и диагоналей параллелограмма.
54.Даны две смежные вершины А(-4;4), В(2;8) параллелограмма АВСD и точка пересечения его
диагонали М(2;2). Составьте уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
55. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5x+2y-7=0, 5x+2y-36=0 и уравнение его
диагонали 3x+7y-10=0. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого
прямоугольника.
56. Даны вершины треугольника А(2;-5), В(1;2) и С(2;3). Составьте уравнение биссектрисы ВК и
уравнения медиан треугольника.
57.Даны вершины треугольника А(-1;-1), В(3;-4), С(-5;2). Составьте уравнение биссектрисы ВК и
уравнения медиан треугольника.
58.Даны вершины треугольника А(5;3), В(-7;-6) и С(1;0). Составьте уравнение биссектрисы СК и
уравнения медиан треугольника.
59.Даны вершины треугольника А(7;1), В(3;-2) и С(-5;4). Составьте уравнение биссектрисы ВК и
уравнения медиан треугольника.
60.Даны вершины треугольника А(-7;1), В(2;5) и С(-1;9). Составьте уравнение биссектрисы СК и
уравнения медиан треугольника.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми.
61.Определите взаимное расположение прямых 3x  y  4  0 и
xy  31t 2t
. В случае их
пересечения найдите общую точку.
62.Определите взаимное расположение прямых 2 x  y  4  0 и 6 x  3 y  15  0 . В случае их
пересечения найдите общую точку.
63.Определите взаимное расположение прямых x  2 y  0 и 3x  5 y  0 . В случае их
пересечения найдите общую точку.
64.Определите взаимное расположение прямых x  y  1  0 и 5x  5 y  5  0 . В случае их
пересечения найдите общую точку.
1
65.Определите взаимное расположение прямых y  3x  10 и y   x . В случае их
3
пересечения найдите общую точку.
66.Найдите угол между прямыми 3x  y  6  0 и y  x  4 .
67.Найдите угол между прямыми 7 x  2 y  5  0 и 2 x  7 y  1  0 .
68.Найдите угол между прямыми y  3x  4 и y  2 x .
69.Найдите угол между прямыми 2 x  3 y  9  0 и y 

1
1
x .
2
2
70.Найдите угол между прямыми 2 x  y  5  0 и x  t
.
y  3t  4
Расстояние о точки до прямой.
71. Даны вершины треугольника А(2;5), В(1;3) и С(7;0). Вычислите длины его высот.
72.Даны вершины треугольника А(-2;-2), В(7;7) и С(7;-9). Вычислите длины его высот.
73.Даны вершины треугольника А(-6;-3), В(-4;3) и С(9;2). Вычислите длины его высот.
74.Даны вершины треугольника А(-9;0), В(-3;6) и С(3;1). Вычислите длины его высот.
75.Даны вершины треугольника А(1;-1), В(5;4) и С(6;-1). Вычислите длины его высот.
76. Напишите уравнение множества точек, равноудаленных от прямых 3x  2 y  5  0 и
6x  4 y  3  0 .
77. Напишите уравнение множества точек, равноудаленных от прямых 7 x  2 y  5  0 и
2x  7 y  1  0 .
78. Напишите уравнение множества точек, равноудаленных от прямых 3x  4 y  1  0 и
4x  3 y  5  0 .
79. Напишите уравнение множества точек, равноудаленных от прямых 3x  4 y  8  0 и
6x  8 y  1  0.
80.Напишите уравнение множества точек, равноудаленных от прямых 8x  6 y  5  0 и
4x  3 y  1  0 .
Эллипс. Гипербола. Парабола.
81. Составьте каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет равен 3/5 и расстояние
между директрисами равно 100/3.
82. Составьте каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет равен 3/5 и эллипс проходит
через точку А(1,1).
83. Составьте каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет равен 1/5 и малая полуось
равна 2.
84. Составьте каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 2 и
расстояние между директрисами равно 10.
85. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если уравнения директрис x  3 и
эксцентриситет равен
10 .
86. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет равен 13/5 и гипербола
проходит через точку M ( 5 2,12) .
87. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y  
3x
и
4
расстояние между директрисами равно 12,8.
88. Напишите каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса, лежащего на оси
Ох, до вершины равно 5.
89. Напишите каноническое уравнение параболы, если фокус находится в точке пересечения
прямой 4 x  3 y  4  0 с осью Ох.
90.Напишите каноническое уравнение параболы, если уравнение директрисы y  5 .