Еженедельные олимпиады по математике

Еженедельные олимпиады для 5-х классов.
I олимпиада
1. В одной комнате три выключателя А, В, С, а в другой три лампочки. Каждый выключатель
обслуживает одну лампочку. Как узнать, с какой лампочкой соединён каждый из выключателей, если в комнату с лампочками можно войти только один раз?
2. Есть 7 монет, из которых одна фальшивая (она легче других). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек найти фальшивую монету, если все настоящие весят одинаково?
II олимпиада
1. Если человек, стоящий в очереди перед вами, был выше человека, стоявшего после того человека, который стоял перед вами, то был ли человек, стоявший перед вами, выше вас?
2. В кружках на рисунке расставьте натуральные числа от
1 до 8 так, чтобы сумма чисел в вершинах каждого треугольника, имеющего горизонтальную штриховку, равнялась 12, а сумма чисел, стоящих в вершинах треугольника и квадрата, покрытых вертикальной штриховкой,
равнялась 11.
III олимпиада
1. В стакан положили камень, в результате чего вытекла часть воды. Легче или тяжелее стал
стакан?
2. Найдите числа ребуса: ТОРГ . Г = ГРОТ. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые
цифры, а разным – разные.
IV олимпиада
1. У Саши из 10 ответов 5 оказались правильными, а у Алёши из 5 – три. Чей результат лучше?
2. Одно четырёхзначное число составлено из последовательных чисел, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр в порядке убывания, третье число
тоже составлено из этих же четырёх цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?
V олимпиада
1. На дерево села стая птиц – на каждую ветку по 3 птицы, а одна продолжала летать возле дерева. Потом все птицы пересели на дерево по 4 на каждой ветке, при этом одна ветка осталась свободной. Сколько было птиц и сколько веток?
2. Найдите числа ребуса: А· Р = И – Ф = М : Е = Т – И = К : А .
VI олимпиада
1. Игорь и Андрей придумали игру. Каждый из них записывает на бумажке по одному натуральному числу. Потом эти числа перемножаются. И если получается чётное число , выигрывает Игорь, а если нечётное число – Андрей. Может ли один из мальчиков всегда выигрывать?.
2. Найдите числа ребуса: ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ .
VII олимпиада
1. Кирилл и Паша начали коллекционировать значки. У Паши количество значков меньше утроенного числа значков Кирилла. Но даже в том случае, если Паша отдаст 4 значка Кириллу, у
него останется больше значков, чем станет у Кирилла. Сколько значков у каждого, если вместе у них меньше 20 значков?
2. Число БАОБАБ делится на 101. Какое это число?
VIII олимпиада
1. Найдите два натуральных числа, разность и частное которых – одно и то же целое число.
2. К числу 206 припишите слева и справа по цифре, чтобы полученное пятизначное число делилось на 2003.
IX олимпиада
1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в спортивном, а
10 ребят не посещают кружков вообще. Сколько тех, кто посещает оба кружка?
2. На плакате разными способами (карандашом, фломастером, углем, плакатным пером) написаны четыре слова: АВТОБУС, КРЕСЛО, СВЕТЛЫЙ, ПРОСО. Чем написано слово ПРОСО,
если известно, что:
 у слов, написанных карандашом и фломастером, одинаковые вторые буквы;
 у слов, написанных углем и плакатным пером, совпадают последние буквы;
 у слов, написанных карандашом и плакатным пером, одна и та же третья буква?
X олимпиада
1. Летит над дремучим лесом стая сороконожек и трёхголовых драконов. У них всего 26 голов и
298 ног. У каждой сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трёхголового дракона?
2. Все животные, живущие у старухи Шапокляк, кроме двух, – попугаи; все, кроме двух, –
кошки; и все, кроме двух – собаки, а остальные – тараканы. Сколько тараканов живёт у старухи Шапокляк?
XI олимпиада
1. В стране три города – А, Б и В. Жители города А всегда говорят правду, а города Б всегда
лгут. В городе В лгут и говорят правду в строгой очерёдности. Дежурному на каланче, увидевшему пожар, позвонили. Состоялся такой разговор: «У нас пожар!». «Где горит?!». «В
городе В!». Куда ехать пожарным?
2. Решите ребус: КРОНА + КРОНА + КРОНА = ФРАНК .
XII олимпиада
1. Три землекопа за час выкопают три ямы. Сколько ям выкопают 6 землекопов за 5 часов?
2. До царя Гороха дошла молва, что кто-то из богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал
всем троим явиться и рассказать, как было дело. Вот что они сказали:
Илья Муромец – «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич – «Змея убил Алёша Попович».
Алёша Попович – «Змея убил я».
При этом известно, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил Змея?
XIII олимпиада.
1. Найдите удобным способом сумму чисел от 90 до 120:
90 + 91 + + 92 + … + 118 + 119 + 120
2. Улитка за день проползает 3 метра вверх, а за ночь съезжает на 2 метра вниз. За сколько дней
она доберётся до вершины шеста, длиной 20 метров?
XIV олимпиада.
1. Пассажир, едущий в железнодорожном вагоне, заметил, что встречный состав прошёл мимо
окна за 9 секунд. Определите длину встречного состава, если оба поезда двигались со скоростью 50 км/ч.
2. Имеется кран из которого можно набирать достаточное количество воды, и раковина, чтобы
сливать воду. Можно ли набрать 2 литра воды с помощью 11-литровой и 7-литровой бутылей.
XV олимпиада.
1. Вася посчитал, что если каждая девочка принесёт по 3 рубля, а каждый мальчик – по 5 рублей, то все 30 учащихся соберут 122 рубля. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
2. На плакате разными способами написаны четыре числа:
99778866,
77556644,
23339977,
55447722.
Известно, что:
 число, написанное фломастером, расположено выше написанного пером;
 число, написанное карандашом – левее написанного углем;
 число, написанное углем – ниже написанного пером;
 число, написанное углем – выше написанного карандашом.
Чем написано число 55447722?
XVI олимпиада.
1. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей 6
человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?
2. Саше, Варе, Антону, Гале и Лёше нравились разные профессии. Двое ребят хотели стать
юристами, двое финансистами и один строителем. Какая профессия нравилась Лёше, если известно, что:
 Варя и Саша стремились к одной профессии;
 Саше и Антону нравились разные профессии;
 Антон и Галя хотели учиться разным профессиям;
 Галя мечтала стать финансистом.
XVII олимпиада.
1. На четырёх полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвёртую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну.
Сколько книг было первоначально на каждой полке?
2. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г.
Сколько весит гусёнок?
XVIII олимпиада.
1. Из 24 кг молока получается 3 кг сливок. Из 20 кг сливок получается 4 кг сливочного масла. А
из 12 кг сливочного масла получается 9 кг топлёного масла. Сколько килограммов топлёного
масла можно получить из 2400 кг молока?
2. Мама дала своим детям конфеты. Дочери – половину всех конфет и ещё одну конфету. Сыну
– половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет дала мама детям?
XIX олимпиада.
1. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первыё человек купил у неё половину яиц и ещё поляйца. Второй – половину остатка и ещё пол-яйца. А третий купил последние 10 яиц. Сколько
было яиц первоначально?
2. Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты от своего многочисленного стада?» Пастух отвечает: « Я привожу две трети от стада». Сколько животных в
стаде?
XX олимпиада.
1
1
часть. Из того, что осталось, другой взял
часть. Оста13
17
лось 192 золотые монеты. Сколько было монет первоначально?
2. Масса короны, равная 60 мин (мина – мера массы в древности), сделана из сплава золота, ме2
3
ди, олова и железа. Золото и медь составляют , золото и олово составляют , золото и же3
4
3
лезо составляют , от общей массы короны. Определите, сколько пошло каждого металла на
5
изготовление короны?
1. Некто взял из сокровищницы
XXI олимпиада.
1. Все рёбра куба увеличили на 28%. На сколько увеличился объём куба?
2. Ежегодная процентная ставка сбербанка составляет 3%. На сколько процентов увеличится
вклад за два года?
XXII олимпиада.
1. Сколько граммов воды нужно добавить к 200 г 70-процентного раствора уксусной кислоты,
чтобы он стал 40-процентным?
2. Куб с объёмом в 8 дм состоит из маленьких кубиков со стороной в 1 см. Какова будет длина
цепочки, составленной из всех имеющихся маленьких кубиков?
XXIII олимпиада.
1. Числа 1, 11, 111 можно записать так:
1 = 9 ∙ 0 + 1, 11 = 9 ∙ 1 + 2, 111 = 12 ∙ 9 + 3.
Запишите числа 1111, 11111, 111111 в виде 9 ∙ n + k, где n и k – натуральные числа.
2. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
XXIV олимпиада.
1. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 расставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.
2. В один сосуд входит 3 л, а в другой – 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин
4 л воды из водопроводного крана?
Ответы и решения.
I.1. Да, потому что человек, стоящий в очереди после того человека, который стоит передо мной, - это я
сам.
I.2
Цифру 8 необходимо поместить в левый нижний
угол. Тогда числа будут расставлены так, как
показано на рисунке.
II.1. Включить А, немного подождать, а затем выключить. Тут же включить Б, быстро войти в комнату
с лампочками и дотронуться до тех, которые не горят. Одна из них на ощупь окажется тёплоё, значит,
она связана с выключателем А. Другая будет холодной, т. е. соединена с выключателем С. Таким образом, ясно, что горящая лампочка соединена с Б.
II.2. Отложим любую монету и первым взвешиванием сравним массы двух групп, состоящих из трёх
монет. Если весы в равновесии, значит отложенная монета фальшивая. Если нет, то фальшивая монета в
той группе, которая легче. Положим на разные чаши весов по одной монете из «лёгкой группы». . Если
весы в равновесии, значит отложенная монета фальшивая, если нет, то фальшивая монета на той чаше,
что поднялась выше.
III.1. Стакан стал тяжелее.
III.2. 1089 . 9 = 9801 .
3 5
IV.1. > . У Алёши.
5 10
IV.2. Рассмотрим сначала число, имеющее наибольшую цифру в разряде десяти тысяч, подберём ему
соответствующее (т. е. такое, цифры которого стоят справа налево по возрастающей) и оценим, подходит ли условию задачи полученная пара:
9876 + 6789 > 12300 – не годится;
8765 +5678 > 12300 – не годится;
XIII.1. 3225.
1 + 2 +… + 120 = (1 + 120) + … + (60 + 61) = 121 ∙ 60 = 7260.
1 + 2 +… + 90 = (1 + 90) ∙ 45 = 4095; 7260 – 44095 = 3165; 3165 + 90 = 3225.
XIII.2. За 18 дней.
За 17 суток вверх на 17 м, за 18-й день ещё 3 м и окажется наверху.
XIV.1. 250 м.
Скорость сближения поездов равна 100 км/ч или 250 : 9 (м/с). Представим себе, что наблюдатель стоит
на месте, а встречный поезд двигается со скоростью 250 : 9 (м/с). Значит за 9 с пройдено
250 : 9 (м/с) ∙ 9 с = 250 м. Это и есть длина встречного поезда.
XIV.2. 2 л.
1 (II) олимпиада
1. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а
разным буквам – разные цифры:
АБВ
АБВ
ВВ
ВВ
ААБ
АБВ
АБВ
АГАВ
2. Докажите, что из трёх целых чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на два.
Ответ: 1. А = 3; Б = 2; В = 1, Г = 5.
2 (II) олимпиада
1. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить 5 рублей.
Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?
2. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.
Ответ: 1. 58
2. Из трёх чисел как минимум два являются одинаковой чётности, значит, их
делится на два.
сумма
5 (II) олимпиада.
1. Вася посчитал, что если каждая девочка принесёт по 3 рубля, а каждый мальчик – по 5 рублей, то все 30 учащихся соберут 122 рубля. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
2. На плакате разными способами написаны четыре числа:
99778866,
77556644,
23339977,
55447722.
Известно, что:
 число, написанное фломастером, расположено выше написанного пером;
 число, написанное карандашом – левее написанного углем;
 число, написанное углем – ниже написанного пером;
 число, написанное углем – выше написанного карандашом.
Чем написано число 55447722?
6 (II) олимпиада.
1. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей 6
человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?
2. Саше, Варе, Антону, Гале и Лёше нравились разные профессии. Двое ребят хотели стать
юристами, двое финансистами и один строителем. Какая профессия нравилась Лёше, если известно, что:
 Варя и Саша стремились к одной профессии;
 Саше и Антону нравились разные профессии;
 Антон и Галя хотели учиться разным профессиям;
 Галя мечтала стать финансистом.
7 (II) олимпиада.
1. На четырёх полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвёртую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну.
Сколько книг было первоначально на каждой полке?
2. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г.
Сколько весит гусёнок?
Вариант 6.
1. Выполните действия: 15,81: (24 – 23,66) – 18 : 37,5.
2. Решите уравнение: |х-3| = 7.
3. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая – с пятой, третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
4. Расшифруйте запись: У Д А Р
УДАР
ДРАМА
5. В школьной математической олимпиаде принимали участие 9 учеников шестого класса. За
каждую решённую задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешённую задачу с него
списывали 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады из шестого класса было, по крайней мере два ученика, набравшие одинаковое число
очков. (Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачётных, набрал
нуль очков).
Еженедельные олимпиады для 5-х классов.
1. В одной комнате три выключателя А, В, С, а в другой три лампочки. Каждый выключатель
обслуживает одну лампочку. Как узнать, с какой лампочкой соединён каждый из выключателей, если в комнату с лампочками можно войти только один раз?
2. Есть 7 монет, из которых одна фальшивая (она легче других). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек найти фальшивую монету, если все настоящие весят одинаково?
Еженедельные олимпиады для 7-х классов.
1. В одной комнате три выключателя А, В, С, а в другой три лампочки. Каждый выключатель
обслуживает одну лампочку. Как узнать, с какой лампочкой соединён каждый из выключателей, если в комнату с лампочками можно войти только один раз?
2. Есть 7 монет, из которых одна фальшивая (она легче других). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек найти фальшивую монету, если все настоящие весят одинаково?
V олимпиада
1. На дерево села стая птиц – на каждую ветку по 3 птицы, а одна продолжала летать возле дерева. Потом все птицы пересели на дерево по 4 на каждой ветке, при этом одна ветка осталась свободной. Сколько было птиц и сколько веток?
2. Найдите числа ребуса: А· Р = И – Ф = М : Е = Т – И = К : А .