Решение заданий с параметром.

В помощь учителю математики
Решение заданий с параметром.
Задачи с параметром – типичные задания для вступительного экзамена в ВУЗ с
высокими требованиями к математической подготовке выпускников. Эти задачи
относятся к классу одних из самых сложных. Уже на этапе осознания ее постановки
от выпускника требуется умение мыслить логически, поскольку здесь нужно не
решить данное уравнение или неравенство, а выяснить при каких значениях
параметра выполняется некоторое требование, связанное с его решениями. Чтобы
решить такие задачи необходимо в каждый момент времени представлять себе,
что уже сделано и что еще предстоит сделать, что означают уже полученные
результаты.
Положение всего комплекса учебно-методических и педагогических вопросов,
связанных с задачами с параметром, в современном математическом образовании
в нашей стране достаточно уникально. С одной стороны, эти задачи есть и в весьма
заметном количестве, а с другой стороны, их практически нет. Наличие в
экзаменационной работе этих задач является своего рода знаком того, что в
данном учебном заведении к преподаванию математики относятся весьма
серьезно.
В подобных задачах нередко бывают особенно уместны:
 Навыки использования свойств функций (таких как монотонность,
ограниченность, четность, периодичность и т.д.), специально подобранных
функций и их графиков;
 Способность анализировать логическую суть условия и находить наиболее
рациональный путь решения.
Работу по обучению решению заданий с параметром необходимо начинать вести
как можно раньше, от самых простых заданий по исследованию решения
линейных уравнений до подготовки к ЕГЭ заданий группы С5.
Для успешной работы с заданиями этой группы учащимся необходимо овладеть
всеми приемами и методами решения таких задач, чтобы в нужный момент
определить наиболее рациональный путь, приводящий к верному ответу. Таким
образом, на протяжении всего обучения, по мере изучения тем, необходимо
включать задания с параметром различного уровня сложности и знакомить
учащихся с методами их решения.
7класс – Исследование линейных уравнений и систем линейных уравнений.
8класс – Расположение корней квадратного уравнения.
- Квадратные уравнения.
-Теорема Виета.
- Линейные и квадратные неравенства.
9классы – Рациональные уравнения и неравенства.
- Иррациональные уравнения и неравенства.
10класс – Показательные уравнения и неравенства.
- Тригонометрические уравнения и неравенства.
11класс – Обобщение темы «Решение задание с параметром».
При обобщающем повторении в 11 классе в рамках подготовки к ЕГЭ
целесообразно рассмотреть задания с параметром по классификации методов их
решения, что даст возможность учащимся обобщить, привести в соответствующий
порядок все ранее приобретенные знания.
Что же такое параметр и что значит решить задание с параметром?
Определение: Параметром называется независимая переменная величина,
входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения,
«управляющая» решением задачи.
Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром – значит найти для
каждого значения параметра множество всех решений данного уравнения
(неравенства, системы).
Основной принцип решения заданий с параметром.
 Разбить область изменения параметра на участки, не зависимые друг от
друга;
 Найти решения на каждом участке, выраженные через значения параметра;
 Ответ задания состоит из списка участков изменения параметра с указанием
решения для каждого.
I. Задачи, сводимые к исследованию расположения корней квадратного
трехчлена.
Ах2+Вх+С
1) А=0 (если А зависит от параметра)
2) А≠0, вычисляем дискриминант
D=В2-4АС
Если D- полный
квадрат, вычисляем
Х1
Если
– иррациональное число, проводим графический
анализ задачи
A>0
Х2 =
И подчиняем корни
условиям задачи
D<0
D=0
D>0
A<0
(Проводим выбор допустимых расположений параболы по
условию задачи)
Аналитическое описание допустимого расположения параболы:
- знак (значение) коэффициента при х2;
- условие на дискриминант;
- значения (знаки) функции в исследуемых точках;
- расположение вершины параболы: хв=
- объединение системы условий (если это возможно)
Пример 1.
При каких значениях а корни уравнения (2а + 1)х2 + (а2- 6а -13)х +2а +18 =0
различны и х1≤2, а х2>2
( Другими словами, при каких значениях параметра корни уравнения находятся по
разные стороны от 2 и плюс когда один из корней равен 2)
 (2а+1)=0 не удовлетворяет условию, т.к. корней должно быть два,
следовательно, уравнение квадратное.
 Проведем графический анализ условия, рассмотрев случай х1<2 и х2>2 и
дадим аналитическое описание допустимого расположения параболы
|
2
→ Аf(2)<0
|
2
Объединим условия систем, учитывая, что требование на дискриминант (D>0)
избыточно.
(2а+1)((2а+1)4+(а2-6а-13)2+2а+18)<0 →2(2а+1)(а+1)(а-2)<0, решив, неравенство
методом интервалов, получаем а Є (-∞;-1)U(-0,5; 2)

Рассмотрим случай х1=2,т.е. f(2)=0→2(а+1)(а-2)=0→а=-1 или а=2.
Используя теорему Виета, найдем второй корень: х1*х2=
а=-1, то х2=-8,
-8>2 неверно
а=2, то х2=2,2;
2,2>2верно
, где х1=2
Ответ: аЄ(-∞;-1)U(-0,5; 2]
Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение (а+2) х2+2ах + а – 1=0 не имеет
корней, удовлетворяющих условию х<-1?
1) Рассмотрим условие, а+2=0 →а=-2, решив для данного «а» имеем
х=- ,
-
<- 1 неверно, следовательно, а= - 2 удовлетворяет условию задачи.
2) Рассмотрим а≠- 2. Условие задачи выполнено, если уравнение не имеет
корней или они все больше или равны - 1

Рассмотрим случай, когда уравнение не имеет корней,
т.е. D<0.
=а2-(а+2)(а-1)=-а+2,

-а+2<0,
а>2
Случай, когда D≥0.
Проведем графический выбор допустимых расположений параболы
по условию задачи:
а+2>0
-1
х
-1
D>0
D>0
-1
а+2<0
х
-1
х
D=0
-1
D=0
-1
х
х
х
-1
-1
х
х
Аналитическое описание:
или
объединим условия
↔
Объединив все случаи, получим а≥-2
Ответ: при а≥-2
↔
↔
II. Метод
перебора (анализа) всевозможных случаев.
Пример1.
Для всех значений параметра а решить неравенство:
При решении неравенства используем обобщенный метод интервалов.
Введем функцию: у =
 Область определения D(у)=[0;1) (1;+ )
 Нули функции
=-а. Возможны следующие случаи:
1) –а<0, т.е. а>0 – корней нет (нулей функции нет), следовательно
0
f(2)=
1
х
>0
f(0,5)
Проверим х=0,
+
<0
, следовательно, а>0 верно.
хЄ[0;1)
2)
а=0, следовательно, х=0 (ноль функции)
0
f(2)=
f(0,5)
+
1
x
>0
<0
хЄ[0;1)
3) –a>0, следовательно а<0, х=а2 (для расположения а2 возможны следующие
варианты
+
0
а2
+
+
х
1
0
+
+
0
х
1=а2
а=-1
Проверяем х=0,
≤0,
1
+
а2
х
↔а<-1,
Проверяем х=0,
а>0 ложно
хЄ[а2; 1)
-
≤0,
хЄ(1; а2]
а>0 ложно
Решения нет
Для формирования ответа удобно воспользоваться числовой прямой
0
-1
[0;1)
а
[0;1)
[а2;1)
(0;а2]
Ответ:
Ø
если а<-1, хЄ(1;а2],
если а=-1, решения нет,
если -1<а<0, xЄ[а2; 1)
если а≥0,x Є[0;1)
III. Графический метод.
Данный метод основан на использовании свойств графиков достаточно
известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая,
окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол.
Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра,
то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат.
Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения
зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть исследования
заключается в определении числа точек пересечения графиков
построенных уравнений, а значит в определении количества возможных
решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.
Часто при использовании графического метода решения становятся
абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми.
Пример 1.
Найти все значения параметра «а» при которых уравнение |х+3|-1=|2х-а| имеет
единственное решение.
В одной системе координат построим графики левой и правой частей данного
уравнения:
У1=|х+3|-1 (не зависит от параметра, неподвижен относительно системы
координат)
Получен из графика у=|х| путем параллельного переноса на (-3;-1)
У2=|2х-а| (зависит от параметра, «плавающая» ломаная)
Получен из графика у=|2х| путем параллельного переноса на ( ;0)
Ветви графиков У1=|х+3|-1 и У2=|2х-а| не параллельны, т.к. у =|2х| получен из
графика у =|х| растяжением с коэффициентом к=2. Следовательно, одно решение
(одну точку пересечения) уравнение имеет если, = -2 или = -4, то а=-4 или а=-8
у
Ответ: а=-4, а=-8
1
1
х
IV. Решение относительно параметра.
Суть данного метода состоит в том, что заданное уравнение или неравенство
решается не относительно неизвестного, а относительно параметра. Как правило,
этот метод применяется, когда заданное уравнение или неравенство является
линейным или квадратным относительно параметра. Если уравнение является
линейным относительно параметра, а также известен график уравнения,
задающего зависимость параметра от переменного х, то выразив параметр через
неизвестное, лучше исследовать задачу графически. Если уравнение или
неравенство является квадратным относительно параметра, а дискриминант
представляет собой полный квадрат относительно неизвестного х, то, после
нахождения параметра через неизвестное, исходное уравнение или неравенство
распадается на два более простых выражения.
Пример 1.
Найдите все значения а, при каждом из которых график функции
2
f(х)=х -|х2+2х-3|-а пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
Так график пересекает ось абсцисс более, чем в двух различных точках,
следовательно уравнение х2-|х2+2х-3|-а =0, должно иметь более двух решений.
Выразим параметр а через переменную х:
а= х2-|х2+2х-3|. Построим график данного уравнения в системе хоа
а= х2-|х2+2х-3|
у
а
уравнение им
ре
Из графика следует,
уравнение имеет более двух
решений при -3,5<а<1
9
Ответ: -3,5<а<1
11
-3
Место для формулы.
00
1
-3
x
Пример 2.
Для всех значений параметра решить уравнение |х2 -4х |-6а=0
Выразим параметр а через переменную х :
Построим график уравнения а=
а=
в системе хоа и отобразим его относительно
оси ох
хв=2, ав =(4-8):6= а
х
4
0
х
о
Из графика видно, что при
а<0, решения нет
а=0,
х=0; х=4
0< а <
а
- 4 решения, выразим х, раскрыв модуль
При 0 < x <
-х2+4х-6а=0,
х2-4х+6а=0
х1,2=2±
При х < 0 или х > 4, имеем
х2-4х-6а=0,
х1,2=2±
а= ,
3 решения
х=2 и х= 2±
а>
2 решения
х= 2 ±
Ответ: а<0, решения нет
а=0,
х=0 ; х=4
0< а < , х1,2=2±
х3,4=2±
а= ,
3 решения
а>
2 решения
х=2 и х= 2±
х= 2 ±
V. Использование свойств функций
При решении заданий данным методом нередко бывают особенно уместны:

Навыки использования свойств (таких как - непрерывность,
монотонность, ограниченность, четность, периодичность и пр.) специально
подобранных функций или их графиков;

Способность анализировать логическую суть условия и находить
наиболее рациональный путь решения.
Пример 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
5х-|3х-|х+а||=10|х-2| имеет хотя бы один корень.
Преобразуем уравнение к виду 5х-|3х-|х+а||-10|х-2|=0,
где f(х)= 5х-|3х-|х+а||-10|х-2|
Раскроем |х-2|и рассмотрим два интервала:
х <2
f(х)= 5х-|3х-|x+a||+10х-20 ↔
х≥2
f(х)= 5х-|3х-|x+a||-10х+20
↔ f(х)= 5х±3х±x±a+10х-20 ↔
↔ f(х)= 5х±3х±x±a-10х+20 ↔
f(х)=1 5х±3х±x±a-20,
f(х)=- 5х±3х±x±a+20,
следовательно, f(х)=k1х ± а -20, где k1>0
следовательно, f(х)=k2х ± а +20, где k2<0
Функция f совпадает с линейной на каждом интервале, на которые
разбивает числовую прямую точка 2,при этом при х<2 функция возрастает, а при
х≥2 убывает. Таким образом, наибольшее свое значение f(х) принимает в точке
х=2. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение необходимо и
достаточно, чтобы f(2)≥0.
у
f(2)=10-|6х-|2+а||
10-|6х-|2+а||≥0↔|6х-|2+а||≤10↔
2
х
↔-10≤6х-|2+а|≤10↔-4≤|2+а|≤16↔|2+а|≤16↔
↔-16≤2+а≤16↔-18≤а≤14
Ответ: -18≤а≤14
Пример2.
При каких значениях параметра а уравнение х2-2аsin(cosx)+2=0 имеет
единственное решение?
Так как функции у= cosx и у=х2 четные, то если х решение уравнения, то и (-х)
является решением данного уравнения. Следовательно, необходимым условием
единственности решения является условие х=0- корень уравнения.
0-2аsin(cos0)+2=0 ↔-2аsin1+2=0↔а=
Покажем, что других решений при а=
Х2-
sin(cosx)+2=0 ↔ Х2+2=
нет.
sin(cosx). Докажем, что данное уравнение имеет
единственное решение х=0 методом оценки.
Правая часть данного уравнения Х2+2≥2. Оценим левую, т.к. -1≤ cosx ≤1,
синус от-1 до 1 возрастает, а следовательно верно неравенство
sin(-1)≤sin(cosx)≤sin1,
sin1>0 →
-2≤2
≤
≤
↔ -1 ≤
≤ 1, таким образом
≤2, следовательно, равенство возможно только при х=0 и
других корней при этом значении параметра а нет.
Ответ: а=
Используемая литература:
-В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров «уравнения и неравенства с параметрами» Изд.
Чувашского университета
-Материалы курсов ПК при АПКиПРО «Углубленное изучение математики в
средней школе»
-Задания для подготовки к ЕГЭ по математике
Авторы: учителя математики МАОУ Лицей 17
- Н.И. Косовцева
- Е.М. Поташникова