ДЗ Криволинейные и поверхн.Теор.поля 2 к.3 с

ДЗ № 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
ЗАДАЧА 1. В вариантах 1-10: найти момент инерции кривой
относительно начала координат. В вариантах 11-20: найти массу
кривой С. В вариантах 21-30: найти центр масс кривой С. Плотность

кривой С и уравнение кривой С даны в табл.8.
ЗАДАЧА 2. В вариантах 1-15 вычислить криволинейный интеграл
 Pdx  Qdy  Rdz , убедившись в том, что подинтегральная функция
AB
является полным дифференциалом. Координаты точек А и В, а также
функции Р(x,y,z) , Q(x,y,z), R(x,y,z) даны в табл.9. В вариантах 1630: найти функцию V(x,y,z) по ее полному дифференциалу
(dV=Pdx+Qdy+Rdz) c помощью вычисления криволинейного
интеграла. Функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) даны в табл. 9.
ЗАДАЧА 3. Дана поверхность  плотности  . В вариантах 1-10
найти массу поверхности. В вариантах 11-20 найти координаты
центра тяжести. В вариантах 21-30 найти моменты инерции
относительно осей координат и начала координат. Данные в табл.10.
ЗАДАЧА 4. Найти поток векторного поля F через часть плоскости G,
ограниченную координатными плоскостями и расположенную в
соответствующем октанте. Сторона плоскости определяется
нормалью, образующей острый угол с указанной в таблице осью
координат. Данные в табл. 11.
1
№ вар. Плотность 
1
cos

3
9ctg 3
4
z
5
1
x
1
 y  1
8
13
14
15
16
17
18

2


r  sin 3 ;
 
9
6
 x  cos t

 y  sin t ; 0  t  2
 z  2t

81x 2  y 2
10
11
12
r  4sin 2  ; 0   
 x  et

t
 y  e cos t ; 0  t  2

t
 z  e sin t
6
9
C
r  1  cos ; 0    
2
2  4  3sin 2 
cos
7
Табл.8.
Уравнение кривой

2
1
x 1
xy
4  3x 2
 x  cos t
; y0

 y  3sin t
y  1  2 x; 0  x  1
y  2 x; 0  x  1

y2
x 
 1; x  0;
4
xy
x 2  y 2  4;
x2
y  ln x;
2
3
y0
3x2 2
2
3
x
x  y  1; x  0;
y
x 2  y 2  1;
y
x  y  2 x;
r cos
r
r sin 
x
y0
2
2
2
y0
y0
y0
r  cos ; 0   

2
r  cos2 ; 0   

4
r  1  cos ; 0    
x  t

 y  2cos t ; 0  t  2
 z  2sin t

2
19
y
20
x
21
x
22
23
24
25
xy

x  t

2
 y  t ; 1  t  1

2
z  t3
3

 x  a  t  sin t 

; 0  t  2

y

a
1

cos
t




x2
y
; 2 x2
2
x 2  y 2  9; y  0
x2
x 2  y 2  4 y; x  0
x
x 2  y 2  4; x  0
1
r  2  2cos ;
1
5  4cos 
26
27
r 2  cos 2 ; 
81x
29
y
30
2
 16 z
2
r  2  cos ; 
r
28


2

4

 
 
 x  2cos t

; z0
y  2
 z  3sin t

1

2 2
3
2
 

2

4

 x  2  t  sin t 
; 0  t  2

y

2
1

cos
t




3

 x  cos t
; y0

3
y

sin
t


y
Табл.9 вар.1-15.
Вар.
1
2
P
1  ye z
Q
z
cos x
xe
 z sin y
3
z2
x
4
yz
x2 y 2  z 2
R
xye z
A
1;1;0 
cos y
 0;0;1
z2
y
1  2 z ln  xy 
1;1;1
xz
x2 y 2  z 2

xy
x2 y 2  z 2
 0;0;1
B
 2;3;ln 2 


 ; ;1
2

 e; e ; 1
2
1;2;2 
3
5
arcsin  yz 
1  y2z2
 1 
1; ;1
 2 
1

 2;1; 
2

 0;0;1
1;1;0 
 ; 1;0 
xz
xy
1  y2z2
6
7
2xz
z  y  cos x
z2
sin x
x 2  2 yz  1
8
9
10
y  z  e xz
1
xz
arctg  y  z 
e xz  1
1

y
xz
1  y2 z2
x  y  e xz
1
xz
xy
1  y2 z2
11
sin 2 y
x sin 2 y  sin 2 z
y sin 2 z
12
y 2  2 xz
z 2  2 xy
x 2  2 yz
  
1; ; 
 2 
1;1;1
13
14
e yz
ye z cos  xy 
xze yz  e z
xe z cos  xy 
xye yz  ye z
 0;1;0 
e z sin  xy 
15
cos x ln  y  z 
sin x
yz
sin x
yz
 1 
  ; ;0 
 2 
 0;1;1
 1 
 ;1; 
2 
1;0;1
x
 0;1;5
 0;1;e 
1;2;1
2
 0;1;1

3
1;2;

2




 0;1; 
2

1

 2;0; 
2

1;2;1
1; ;1

2
 ; e; e 
2

Табл.9 вар.16-30.
Вар.
16
17
P
arctg  y  z 
x
arcsin y
Q
R
ln x
1  y  z
x  2z
ln x
1  y  z
2
2
2arcsin y
1  y2
18
19
20
21
22
23
 y  1 z 2
 x  1 z 2
2  x  1 y  1 z
2 xex  y  cos3z
cos 2  y  2 z 
2cos y
2 x  3z
 sin x y  2 z
e x  y cos3z
 x sin  2 y  4 z 
3e x  y sin3z
2 x sin  2 y  4 z 
 sin y ln  2 x  3z 
3cos y
2 x  3z
cos x
y  2z
2
sin z
2
cos x  y 2


2
cos x
2 y  2z
2 y sin z

cos x  y
2
2

2

cos z  tg x  y 2

4
24
 x  z  y  1
 x  z   y  1
2
2
x
y
z x2  y 2
z x2  y 2
26
cos x cos2 y ln z
 sin x sin 2 y ln z
27
1
y x  2z

28
arcsin y
z
25
29

30
x z2  3
z 1  y2
z yz
sin 2 x

2 x  2z
y2
x
1
z
z ctgx
2
y


 y z2  3

 x  z  y  1
2
x2  y 2

z2
sin x cos 2 y
z
2
y x  2z

x arcsin y
z2
3
yzctgx
2

z x2  y 2

Табл.10.
Вар.
Поверхность 
Плотность 
1
z  xy,
2
3
x2  y 2  z 2  1  0, y  2
z
x2  y 2
y
4
z
5
6
x2  y 2  4 x, y 2  z 2  x 2 , z  0
7
8
y 2  z 2  1,
9
10
11
12
13
14
x 2  y 2  4, x  0, y  0
x 2   y  1  1
2
z  x2  y 2 ,


1 2
x  y 2 , z  0, x 2  y 2  x
2
z  x2  y 2 , z  1
y 2  x2  z 2 ,
xy
x2  y 2
y z
xy
z
y
y  x
z  1  x2  y 2 ,
y
zy 2
x2  y 2  9
2z2  1
y2 z2
y 1
x2  y 2  z 2  1  0,
x 3
z 2  x 2  y 2 , z  0, x 2  y 2  4
x
x  y  z  4, x  y  2 x
1
z
x 2  y 2  z 2  0, 0  x  2
y2
2
2
2
z  9  x2  y 2
2
2
y
9  z2
5
15
x2  z 2
y
,
2
1
y2
1  4 y  x2  z 2
16
17
x2  y 2  z 2  2, x 2  y 2  z 2 , z  0
18
y  1  x2  z 2 ,
x  0, z  0
1
19
20
x 2  y 2  z 2  0,
y2  z2  2 y
1
z  4 x  y
2
zx y ,
2
2
1
xy
4  z2
2
x  1,
z0
y
z  2 y2 
21
22
x2  y 2  z 2  1
23
24
x 2  y 2  1,
z
z  x2  y 2 , z  1
1
1  4z
z 1
z  1  x2  y 2 ,
1
4
1
z
z 2
x2  y 2  z 2
25
26
27
x  y  z 1
1
x  y  z  1, x  y  z , z  0
2
2
2
2
2
2
z3
z  x2  y 2 , x2  y 2  1
1
1  4z  8 y2
28
29
z 2  x2  y 2 , x2  y 2  1
30
x 2  y 2  2 x, 0  z  2
x2  y 2  z 2
y 2  x 2  z 2  0, x  0, z  0, 0  y  1
e
y
Табл.11.
Плоскость
Вар.
Векторное поле
1
2
3
yi  2 x j  zk
x yz2
 y  z i  y j
x  y  z  1
xi  3 z j  yk
x y
  z 1
2 3
x  y  z 1
y
x   2z  1
2
y z
x    1
3 2
x  2 y  2z  2
4
5
2 x j  3 zk
6
yi  3 x j  zk
7
zi  y j  xk
xi  z j  yk
F

1 2 2 2
x  y z
2

Ось
OX
OY
OZ
OX
OY
OZ
OX
6
xi  2 z j  2 yk
x  4 y  2z  2
xi  y j  zk
x  2 y  3z  6
zi  y j  2 xk
x  y  z  1
6 zi  y j  2 xk
4x  2 y  z  2
zi  2 y j  xk
x  3 y  2z  1
y z
x    1
2 3
x  y  z  2
8
9
10
11
12
13
 y  1 j  3zk
14
15
 x  2 j  2zk
xi  1  2 y  j
16
 x  1 i   z  1 j
17
18
19
20
21
22
 yi  x j  3zk
x y
  z 1
4 2
y z
x   1
2 3
3x  2 y  6 z  6
6 zi  6 y j  2 xk
3x  6 y  2 z  6
yi  2 x j  zk
2 x  3 y  3z  1
 zi  6 y j  xk
2x  y  4z  2
2 xi  2 z j  yk
zi  y j
x yz2
y
x   z  1
2
x  2 y  2z  2
yi  x j   z  2 k
x yz2
 zi  y j   x  1 k
x  y  z 1
2 yi  x j  3zk
2x  y  z  1
yi  x j  3zk
x  3y  z  1
xi  2 z j  yk
x  y  2z  1
xi  y j  3zk
 x  2 y  3z  2
2zi  y j  xk
3x  y  2 z  2
23
24
25
26
27
28
29
30
xi  3 yk
OY
OZ
OY
OZ
OZ
OY
OZ
OZ
OX
OZ
OY
OZ
OX
OX
OY
OZ
OX
OZ
OZ
OX
OX
OZ
OY
7
Задача 5. Дано векторное поле a  P  x, y  i  Q  x, y  j.
1. Проверить, что это поле является потенциальным.
2. Найти потенциал поля u  u  x, y .
3. Найти уравнение линий равного потенциала и изобразить линии
равного потенциала на чертеже.
4. Составить уравнение векторных линий поля a и изобразить
векторные линии на том же чертеже, указав стрелками
направление векторных линий.
B
5. Вычислить линейный интеграл  a  dl .
A
Вар. Векторное поле
 x  1 i  2 yj
1
 y  3 i  xj
2
2  x  1 i  yj
3
e x y  i  j 
4
yi   x  2  j
5
xi  2  y  1 j
6
xi   y  3 j
7
2 xi   y  1 j
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
xi   y  2  j
2
1
 x  3 i  yj
2
 x  2 i  3 yj
3xi   y  2  j
 x  5 i  2 j
1
 x  2 i  j
2
2i   y  1 j
i  2  y  2 j
2 x i  j
1
i2 y j
2
ex  i  j
i  ey  j
e x y   i  j 
2 x  y  i  j 
Точка A
 3; 1
 2;1
 3; 3
1;3
 3;2
 4;0
 0; 5
 5;1
 4;0
Точка B
 3;2
 3;5
 5;1
 2;0
1;4 
 2;5
 2;1
1; 3
 2;2 
 0; 2
 3;8
 0;0 
 2; 1
 3;0
 3;0 
 6;2 
1;4 
1;4 
 5; 1
 2;0
1; 5
1;5
 6;1
 4;1
 3;1
 4; 1
 4;9 
 3;5
 3;0
1;5
1;3
 0; 2
 5;1
 2; 2 
 4;5
8
23
24
25
26
27
28
29
30
3i  3 y 2  j
 x  4 i  yj
ye x  i  e x  j
ex  i  j
3x 2  i  j
2 x  y  i  j 
x  2y i  2 x  2y  j
e yi  xe y j
 3;1
 5;5
1;6 
1;5
 3;2
 4;3
 3; 1
 1; 3
 4;3
 1; 1
 0;3
 0; 3
 2; 2 
 2; 3
8;4 
 2;2 
Задача 6. Дано векторное поле b  P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k .
1. Найти дивергенцию векторного поля b , исследовать расположение
источников и стоков векторных линий поля.
2. Найти поток векторного поля b через замкнутую поверхность  .
3. Найти ротор векторного поля b .
4. Вычислить циркуляцию поля b вдоль замкнутой линии L двумя
способами: а) преобразовав линейный интеграл в определенный с
использованием уравнений линии L ; б) преобразовав линейный
интеграл в поверхностный с помощью теоремы Стокса.
5. Выяснить, как изменится циркуляция поля b вдоль контура L ,
если изменить расположение контура в данном поле. Найти
наибольшее значение циркуляции для данного контура.
Вар. Поле b :  - поверхность, ограничивающая тело Т
L - замкнутая линия
1
b   2 z  6 x  i   2 y3  z  j   2x  3 y  k
T : 1  x2  y 2  z 2  4
L -контур прямоугольника с вершинами
A1;0;0   B  0;1;0   C  0;1;1  D 1;0;1  A
2

 

b   y  3z  i  2 y 3  x j  x  6 z 2 k
T : 1  z  2  x2  y 2


z2
L состоит из дуги окружности BC  x 2   1, y   x, x  0, z  0  и
2


двух отрезков прямых CA и AB , A 0;0;0  B  0;0; 2   C 1; 1;0   A
3


b   2 y  3z  i   4  3 y  3z  j  y  z 3 k
T : x 2  y 2  z 2  1, y  0, z  0
L -контур треугольника с вершинами A 0;0;0   B  0;1;1  C 1;0;1  A
4

 

b  x 3  z  1 i  y 3  3x j   3 y  3z  4  k
T : x 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0
L -контур треугольника с вершинами A 0;0;0   B 1;0;1  C 1;1;0   A
9
5

 

b   x3  3z i  3 y 2  2 z j   x  2 y  k
T : x 2  y 2  1, 0  z  x 2  y 2
L -контур параллелограмма с вершинами
A 0;0;0   B 1;1;1  C  2;1;1  D 1;0;0   A
6


b   y  5z  i   5x  2 y  j  y  z 2  5 k
T : x 2  y 2  z 2  16, z   x 2  y 2
L -контур параллелограмма с вершинами
A 0;0;0   B 1;1;1  C 1;2;1  D  0;1;0   A
7

 
 

b  2 y  2 z  x 2 i  y 3  3x j  3x  z 3 k
T : 0  z  1  x2 , 0  y  1
L -контур треугольника с вершинами A 0;1;0   B 1;1;1  C 1;1;0   A
8

 

b  x 3  4 y i  5  x  y 3 j   4 x  3 k
T : x 2  y 2  z 2  25,
0  z  x2  y 2
L -контур параллелограмма с вершинами
A1;0;0   B  0;0;1  C 1;0;1  D  2;0;0   A
9
1 

b   2 x  3 y  i  2 x  y 2  3 j   5 y  z 3  k
T : x 2  y 2  2 x, 0  z  3
3 

L -контур треугольника с вершинами A1;0;0   B  0;1;0   C 1;0;1  A
10
b  x 2  y i   x  3z  j  y  2 x  z 2 k






T : x 2  y 2  z 2  1,
z  x2  y 2
L -контур треугольника с вершинами A1;0;1  B  0;1;1  C  2;0;0   A
11

 
 

b  4 y  x3 i  2 x  y 3  y j  2 y  5 x  z 3 k
T:
x2  y 2  z  1  x2  y 2
L -контур треугольника с вершинами A 0;0;0   B 1;1;0   C  0;1;1  A
12
1 

b  z  2 y  x3 i  x  2  y 3 j   4  z 2  k
T : x 2  y 2  z 2  1, z  0
2 

L -контур треугольника с вершинами A 0;0;2   B 1;0;1  C  0;1;2   A
13
b  x3  2 y i   3z  x  y  j  4 y  z 3 k

 




L состоит из дуги эллипса ABC

x
2
T : 0  z  1  x, x  y 2

 y 2  1, z  x, x  0 и его
диаметра CA : A 0;1;0   B 1;0;1  C  0; 1;0   A
14

 
 1, z   y ,

b   z  3 y  6 x  i  5z  y3 j  x  z 3 k

L -эллипс x 2  y 2
T : 0  z  1  x, 0  y  1  x, x  0
обходимый в направлении
A1;0;0   B  0;1; 1  C  1;0;0   D  0; 1;1  A
15

 

b  x3i  1  3x  y 3 j  4 y  1  z 3 k
T : x 2  y 2  z 2  25,
y0
L -контур треугольника с вершинами A1;1;0   B  0;1;1  C 1;0;1  A
16

 
 

b  3z  x3 i  4  z  y 3 j  x  3 y  z 3 k
T:
x2  y 2  z  1
L -контур прямоугольника с вершинами
A 0;0;2   B 1;0;2   C 1;1;1  D  0;1;1  A
10
17


b  x3  3x 2  2 y i   5 z  x  j   3 y  2 x  k
T : 1  z   x 2  y 2
L -контур треугольника с вершинами A1;0;0   B  0;1;1  C  0;0;1  A
18
1 

b   5 y  x2  i  2z  x  y3 j  4x  z3 k
T : 0  z  1, x 2  y  1
2 

L состоит из дуги окружности AmB x 2  y 2  1, x  1, y   x и ее

 



 2

2 
2 2 
,
,1  m  B  
,
,1  A
2
2
2
2




диаметра BA : A 
19

 
 

b  3 y  x3  9 x i  2  3z  y 3 j  4 y  z 3 k
T:
0  z  1  x2  y 2
L -контур параллелограмма с вершинами
A 0;1;0   B  0;1;1  C  0;0;2   D  0;0;1  A
20




b  x 2  y  z i  zj  2 x  z 3 k
T : 0  z  4  x2  y 2 , x2  y 2  1
L -контур треугольника с вершинами A1;0;0   B  0;1;0   C  0;0;1  A
21

 
 

b  x3  y  2 z i  5  y 3 j  4 x  6  z 2 k
T : x 2  y 2  z 2  1,
z0
L -контур ромба с вершинами A 2;0;0   B 1;1;0   C  0;1;1  D 1;0;1  A
22

 

b  x 2  3 y  2 i  2 y 3  4 j   5 y  3x  k
T : 0  z  1  x2  y 2 , y  0
L -контур прямоугольника с вершинами
A 0;0;0   B  0;1;0   C 1;1;1  D 1;0;1  A
23




b  x3  2 z i  5 zj  5 x  4 y  2 z 3 k
0  z  1  x, x 2  y  1, x  0
T:


L состоит из дуги эллипса BCA : y 2  z 2  1, y   x, z  0 и его
A1; 1;0   B  1;1;0   C  0;0;1  A
диаметра AB ,
24


b  2 x2  4 z i   x  3 y  z  j  3 y  2 k
T:
x 2  y 2  2 y,
0 z 3
L -контур треугольника с вершинами A 0;1;0   B  0;0;1  C 1;0;1  A
25

 

b  2 zi  4 x  y 3 j  x  3 y  z 3 k T :
0  z  1  y, 1  x  y  1, x  1

L состоит из дуги окружности AmB y 2  z 2  1, x  0, z   y

диаметра BA : A  0;
26

b  5 yi  z  2  3 y 3

 и ее

2
2
2 2
;
;
  m  B  0; 
 A
2
2 
2
2


j  5  2 x  z 3 k T : 0  z  y, y  1  x 2 , x  0
 

L - контур ромба с вершинами A1;1;0   B  0;1;1  C  0;0;2   D 1;0;1  A
27

 

b  2 x3  4 z i  3x  y 3  2 z j   3 y  2  k
T : x 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0, z  0
L -контур треугольника с вершинами A 0;0;0   B 1;1;0   C  0;0;1  A
11
28




b  2 x3  5 z i   x  4 z  j  4  3 y  3z 2 k
T : x  0, 0  z  1  x, 0  y  1  z


L - состоит из дуги окружности AB x 2  y 2  1, z  1, x  0, y  0 и
двух отрезков прямых BC и CA : A1;0;1  B  0;1;1  C  0;0;1  A
29
1


b  x3  y  5 i  y 3  3 y  2 z j   x  z 2  6  k
2


L -контур параллелограмма с вершинами
A 0;0;0   B  0;1;0   C  0;2;1  D  0;1;1  A
30
b   2 z  4  i  y 4  4 y 3  3 j   x  2 y  1 k

 



T : 0  z  1  x2  y 2
T : x 2  y 2  z  1, y  0
L -контур прямоугольника с вершинами
A1;0;0   B 1;1;0   C  0;1;1  D  0;0;1  A
12