Контрольная работа №1 Задание № 1 Решить системы

К о н т р о л ь н а я
р а б о т а
З а д а н и е
№
№ 1
1
Решить системы линейных уравнений, используя формулы Крамера.
x  y  2z  6

1)  x  y  z  4 ;
2 x  3 y  z  7

2 x  y  z  5

2)  x  y  z  4 ;
 x  2 y  3z  9

x  2 y  z  5

3)  x  y  z  4 ;
2 x  y  3 z  9

x  y  2z  8

5)  x  y  z  5 ;
2 x  3 y  z  8

2 x  y  z  6

6)  x  y  z  5
;
 x  2 y  3z  12

x  2 y  z  6
x  2 y  z  6


7)  x  y  z  5
; 8) 2 x  y  z  6 ;
2 x  y  3z  12
x  y  z  5


x  y  2z  6

9)  x  y  z  5 ; 10)
2 x  3 y  z  12

x  2 y  z  5

4) 2 x  y  z  5 ;
x  y  z  4

2 x  y  z  6

;
x  y  z  5
 x  2 y  3z  10

Образец решения:
x  y  2z  9

x  2 y  z  8
x  y  z  6

11 2
9 1 2
  1 2 1  2  1  2  4  1  1  1 ;
 x  8 2 1  18  6  16  24  9  8  1 ;
11 1
6 1 1
19 2
11 9
 y  1 8 1  8  9  12  16  6  9  2 ;
 z  1 2 8  12  8  9  18  8  6  3 ;
16 1
11 6
x
1
 1;
1
y
2
 2;
1
З а д а н и е
№
z
3
 3.
1
2
Дана система уравнений
 x  2 y  2z  b
1

 2 x  y  z  b2

2
 3x  y  z  b3.
3
Записать ее в
1 2

матрицы A   2 1

2
3 3
матричном виде и решить при условии, что матрица, обратная для
2
 1
b 
2
0 
3
 3
  1

1
1 , равна A    1
5
 3 и вектор B   b2  равен:

 5

 
16
1
3
 b3 
 3  3
 0,1
 
1)  0,2
 
 0,3
 0,2
 
2)  0,3
 
 0,4
 0,2
 
6)  0,1
 
 0,3
 0,3
 
7)  0,2
 
 0,4
 0,3
 
3)  0,4
 
 0,5
 0,4
 
4)  0,5
 
 0,6
 0,4
 
5)  0,5
 
 0,6
 0,4
 0,5
 0,6
 
 
 
8)  0,3
9)  0,4
10)  0,5
 
 
 
 0,5
 0,6
 0,7
Образец решения:
 x  y  z  6

2x  y  2z  10
2x  3 y  3z  17

AX  B  A 1AX  A 1B  X  A 1B .
 1 1 1


A   2 1 2 ,


 2 3 3
 3
 6
 
B  10 ,
 
17
 1

1 0  ,


1
 4 1

A 1   2
0
 3
0  1  6   1

   
X   2  1 0  10   2 ,

   
1  17  3
 4 1
т.е. x  1, y  2 , z  3 .
З а д а н и е
№
3
 x1  x2  x3  2 x4  x5  1

1) 2 x1  x2  x3  3x4  5x5  2
3x  2 x  x  4 x  6 x  3
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  2 x4  3x5  2

2) 2 x1  x2  x3  6 x4  4 x5  3
3x  2 x  x  x  5 x  2
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  x4  2 x5  3

3) 2 x1  x2  x3  6 x4  3x5  3
3x  2 x  x  5x  4 x  2
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  6 x4  x5  1

4) 2 x1  x2  x3  5x4  2 x5  3
3x  2 x  x  4 x  3x  2
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  5x4  6 x5  3

5) 2 x1  x2  x3  4 x4  x5  2
3x  2 x  x  3x  2 x  1
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  4 x4  5x5  2

6) 2 x1  x2  x3  3x4  6 x5  1
3x  2 x  x  2 x  x  3
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  3x4  4 x5  1

7) 2 x1  x2  x3  2 x4  5x5  2
3x  2 x  x  x  6 x  4
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  2 x4  3x5  2

8) 2 x1  x2  x3  x4  4 x5  4
3x  2 x  x  6 x  5x  1
2
3
4
5
 1
2
 x1  x2  x3  2 x4  x5  4

9) 2 x1  x2  x3  3x4  x5  1
3x  2 x  x  x  2 x  2
2
3
4
5
 1
 x1  x2  x3  3x4  2 x5  1

10) 2 x1  x2  x3  x4  x5  4
3x  2 x  x  2 x  x  2
2
3
4
5
 1
Образец решения:
 x1  x2  x3  2 x4  3x5  1

2 x1  x2  x3  x4  2 x5  4
3x  2 x  x  2 x  3x  1
2
3
4
5
 1
1. Умножаем 1-е уравнение на 2 и вычитаем из 2-го:
 x1  x2  x3  2 x4  3x5  1

 0  x2  x3  3x4  4 x5  2
3x  2 x  x  2 x  3x  1
2
3
4
5
 1
2. Умножаем 1-е уравнение на 3 и вычитаем из 3-го
 x1  x2  x3  2 x4  3x5  1

 0  x2  x3  3x4  4 x5  2
 0  x  2 x  4 x  6 x  2
2
3
4
5

3. Вычитаем 2-е уравнение из 3-го





x1  x2  x3  2 x4  3x5  1
0  x 2  x 3  3 x 4  4 x5  2
0  0  x 3  x 4  2 x 5  4
Получили трапецеидальную форму, т.е. ниже главной диагонали (обведена рамкой)
стоят только нули.
Базисные неизвестные x1 , x 2 , x 3 .
Свободные неизвестные x 4 , x5 .
Выражаем x 3 из последнего уравнения
x3  4  x 4  2 x5 ,
подставляя во 2-е уравнение, получаем
x2  2  x3  3x4  4 x5  2  4  x4  2 x5  3x4  4 x5  6  2 x4  2 x5
и, подставляя в 1-е уравнение, получаем
x1  1  x2  x3  2 x4  3x5  1  6  2 x4  2 x5  4  x4  2 x5  2 x4  3x5  3  x4  x5 .
Таким образом, имеем

x1  3  x4  x5

x2  6  2 x4  2 x5  - общее решение,
x3  4  x4  2 x5 

придавая свободным неизвестным любые значения получаем частные решения, например,
x4  1 ; x5  2 ; x1  6 ; x2  12 ; x3  1.
З а д а н и е
N
4
Заданы точки A  0, 0 , B  0, 9 , C 10, 0 , D  m, n . Найти координаты векторов AD , BD
, DC и сумму их длин.
3
1) m  3, n  5
5) m  4, n  5
9) m  5, n  6
2) m  3, n  6
6) m  4, n  6
10) m  5, n  7
3) m  3, n  7
7) m  4, n  7
З а д а н и е
№
4) m  3, n  8
8) m  4, n  8
5
Найти:
а) скалярное произведение a  b ;
б) векторное произведение a  b ;
  
в) cos a b ;


г) проекцию Пр b a .
a  1,2,3
1)
a   2,1,3
3)
a   4,1,2
5)
7)
a  2,1,4
9)
a  1,3,4
b   2,1,2 ;
2)
b  2,1,2 ;
4)
b  2,2,1 ;
6)
b  2,2,1 ;
8)
b  1,2,2 ;
a  3,0,4
a   3,2,1
b  2,1,2 ;
a  4,2,1
b  1,2,2 ;
a  1,2,4
a   3,1,4
10)
b   2,1,2 ;
b  2,2,1 ;
b  1,2,2 ;
Образец решения
a  4, 3, 8 ; b   6, 2, 3
a  b  4    6  3  2  8  3  6 ;
i
j k
a  b  4 3 8  9i  48 j  8k  16i  12 j  18k  7i  60 j  26k ;
6 2 3
   a b
6
6
6
;
cos  a b 



89  49 7  89

 ab
42  32  82    6 2  22  32
Пр b a 
a b
b

6
  6 2  2 2  3 2

6
49

6
.
7
З а д а н и е
На плоскости заданы три точки А, B, C:
а) построить треугольник ABC;
б) найти уравнения его сторон;
в) найти длины его сторон;
г) найти координаты середин его сторон;
д) найти уравнение высоты h A ;
е) найти уравнение медианы AE;
ж) найти тангенсы его углов.
1)
3)
5)
7)
9)
А(1,1)
А(1,1)
А(1,1)
А(1,1)
А(1,1)
В(6,2)
В(6,2)
В(7,2)
В(7,2)
В(8,2)
С(2,4)
С(2,6)
С(2,7)
С(2,5)
С(2,5)
№
6
А(1,1) В(6,2)
А(1,1) В(6,2)
А(1,1) В(7,2)
А(1,1) В(7,2)
А(1,1) В(8,2)
2)
4)
6)
8)
10)
Образец решения
4
С(2,5)
С(3,6)
С(2,6)
С(2,4)
С(2,6)
А (1,1) В (6,3) С (2,4)
Сторона АВ:
x1 y1
2x 3
2

 ; k AB  .
; 2x  2  5y  5 ; y 
61 31
5 5
5
Сторона AC:
x 1 y 1

; 3x  3  y  1 ; y  3x  2 ; k AC  3 .
2 1 4 1
Сторона BC:
x6 y3
x 9
1

; x  6  4 y  12 ; y    ; k BC   .
26 43
4 2
4
Длина AB   6  1 2   3  1 2  29 .
Длина AC   2  1 2   4  1 2  10 .
Длина BC   2  6 2   4  3 2  17 .
1 6 7
1 3
 ; yF 
 2.
Середина АВ: x F 
2
2
2
62
3 4 7
 4 ; yE 
 .
Середина ВС: x E 
2
2
2
1 4 5
1 2 3
 ; yD 
 .
Середина АС: x D 
2
2
2
4
Медиана AЕ:
5
1
x1 y1
; 5x  5  6y  6 ; y  x  .

6
6
41 7
1
2
1
1
Высота h A : k h высоты вычисляется по формуле k h 

 4 ; уравнение
k BC  1 4
высоты: y  1  4 x  1 .
2  1
2
  
3
13
5  4
13
5

;
tgA 
 ; tgB 
y
2 11
2  1  18
1  3
C
1   
5
5  4
E
hA
B
 1
3  
D
 4
tgC 
 13 .
F
 1
1
1  3   
 4
A
x
1
З а д а н и е № 7
Привести уравнение параболы, заданное в общем
виде, к каноническому виду и построить график.
1) x  y 2  4 y  3
2) x  y 2  6 y  7
3) x  y 2  8 y  13
4) x  y 2  10 y  22
5) x  y 2  4 y  2
6) x  y 2  6 y  8
7) x  y 2  8 y  14
8) x  y 2  10 y  23
9) x  y 2  4 y  1
10) x  y 2  6 y  6
5
y
x
Образец выполнения задания
0
x  y 2  10y  19 .
Выделяем в правой части полный квадрат
5 6
x  y 2  10y  25  25  19  y 2  10y  25  6   y  5  6 .
2
O1
Переписываем уравнение в виде
5 6
x  6   y  5 ,
2
откуда   6 ,   5 .
При x  0 , y  5   6  y  5  6 - точки пересечения с осью OY.
З а д а н и е
№
8
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M 2 , параллельно
вектору a  1, 2, 1 :
1) M11, 1, 2 M2  2, 2, 3
2) M11, 2, 3 M2  2, 3, 4
3) M11, 2, 4 M2  2, 3, 5
4) M11, 2, 2 M2  2, 3, 3
5) M1 2, 1, 1 M2  3, 2, 2
6) M1 3, 1, 2 M2  4, 2, 3
7) M1 4, 1, 2 M2  5, 2, 3
8) M1 2, 1, 2 M2  3, 2, 3
9) M11, 2, 1 M2  2, 3, 2
10) M1 2, 3, 1 M2  3, 4, 2
Пример
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M11, 1, 1 и M2  0, 2, 1
параллельно вектору a  2, 0, 1 .
Решение
Задача имеет единственное решение, т.к. векторы M1 M2   1, 1, 0
неколлинеарны. В качестве нормального вектора n можно взять
i
и a  2, 0, 1
j k
n  M1 M 2  a   1 1 0  i  j  2k .
2
0 1
 x  1   y  1  2 z  1  0 .
Уравнение плоскости имеет вид
Его можно преобразовать к виду x  y  2z  0 .
З а д а н и е № 9
Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими
уравнениями
1) x  2 y  3z  1  0 ; x  3 y  4z  2  0
2) x  3 y  2 z  2  0 ; 2 x  4 y  2 z  1  0
3) x  y  2 z  3  0 ; x  2 y  3z  2  0
4) x  y  3z  2  0 ; 2 x  2 y  3z  1  0
5) 2 x  y  3z  1  0 ; 2 x  2 y  4 z  2  0
6) 2 x  3 y  z  2  0 ; 3x  4 y  z  1  0
7) 3x  y  z  2  0 ; 3x  2 y  3z  1  0
8) 3x  2 y  z  1  0 ; 3x  3 y  2z  2  0
9) 3x  y  3z  2  0 ; 4 x  2 y  3z  1  0
10) 2 x  2 y  z  1  0 ; 2 x  3 y  2 z  1  0
6
Пример
Прямая задана общими уравнениями
 x yz0

2 x  y  2  0.
Написать ее канонические и параметрические уравнения.
Решение
В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор a  n1  n2 , где
n1  1, 1,  1 , n2   2,  1, 0 - направляющие векторы плоскостей
i
j
k
a 1
1
 1  i  2 j  3k ,
2 1
0
чтобы найти координаты точки M0  x0 , y0 , z0  придаем значение z0  0 и подставляем в
уравнения для плоскостей
 x y0

2 x  y  2  0.
2
Решаем систему: x0   ;
3
y0 
2
.
3
 2 2 
Таким образом, M 0   , , 0 .
 3 3 
2
2
y
3
3  z  t.
Канонические уравнения имеют вид:
1
2
3
Выражая x, y, z через t, получаем параметрические уравнения прямой:
x
2

 x  t  3

2

 y  2t 
3

 z  3t.

Задание N 10
Найти действительную и мнимую части комплексных чисел.

i
1) z  2e 6  3e i

i
2

i
 3e 3
4) z  e


i
i
7) z  e 2  2e 6


i
i
10) z  e 4  e 6

i

i
e3
2) z  e


i
i
5) z  2e 2  e 4
3

i
i
8) z  e 4  e 6


i
i
П р и м е р . Найти Rez и Imz, если z  e 3  2e 2 .
7

i
3) z  e 3  3e i

i
2

i
 3e 6
6) z  e


i
i
9) z  e 4  3e 6

i

 1
e 3  cos  i sin   i
3
z
3
3
;
2
2

1
3
1  3
i
 2i   i 
 2 ;
2
2
2  2


i


e 2  cos  i sin  i ;
2
Re z 
1
;
2
2
Im z 
3
2.
2
З а д а н и е № 1 1
Заданы два комплексных числа z1 и z 2 :
а) изобразить эти числа на комплексной плоскости;
б) найти 2 z1  3z 2 и 2z1  3z2 ;
в) найти z1  z 2 и z1  z 2 ;
г) найти z1 z 2 и z1 z 2 .
1) z1  1  i z 2   2  3i 
4) z1  1  i  z2  3  2i 
7) z1  1  i  z2  3  2i 
10) z1  1  2i  z2  2  3i 
2) z1  1  i  z2  2  3i 
5) z1  1  i  z 2   2  3i 
8) z1  1  i  z2  3  2i 
3) z1  1  i  z2  3  2i 
6) z1  1  i  z2  2  3i 
9) z1  1  2i  z 2   2  3i 
Комплексное число это число вида z  x  iy , где i   1 - мнимая единица. Таким
образом, i 2  1 . Действительное число x называется действительной частью числа z, а
действительное число y называется мнимой частью числа z. Действительная часть числа z
обозначается Re z, мнимая часть z обозначается Im z.
Комплексные числа можно складывать, умножать и делить по следующим правилам.
Пусть z1  x1  iy1 и z 2  x 2  iy 2 - комплексные числа, тогда
1) z1  z 2   x1  x 2   i y1  y 2  ;
2) z1  z2   x1 x2  y1 y2   i x1 y2  x2 y1  ;
3)
z1 x1x 2  y1 y 2
y1x 2  x1 y 2
.

i
z2
x 22  y 22
x 22  y 22
Комплексные числа z  x  iy и z  x  iy называются сопряженными.
Число z  x 2  y 2 называется модулем комплексного числа z  x  iy .
8