(с решениями) 2012 год

Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Апрель 2012.
Условия задач для 1-2 курсов
1. Шайба на доске. На гладкой горизонтальной поверхности покоится доска массы M .
На одном конце доски лежит малая шайба массы m . Шайбе щелчком сообщают скорость V , направленную вдоль доски. Какой должна быть длина доски L , чтобы шайба
не соскользнула с неё? Коэффициент трения скольжения между шайбой и доской  .
2. Нагревание гелия. Температура гелия в процессе P 2V  const ( P  давление газа, V 
его объём) увеличилась в   3 раза, а его внутренняя энергия изменилась на 100 Дж.
Найти: 1) начальный объём V1 газа;
2) начальное давление P1 газа.
Максимальный объём, который газ занимал в процессе нагрева, равнялся Vmax  3 л.
3. Три шарика. Три одинаковых одноимённо заряженных шарика, каждый заряда q и
массы m , связаны двумя нерастяжимыми нитями, каждая длины l (одной нитью второй шарик связан с первым, а другой нитью – с третьим). Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити. Шарики неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной
поверхности в точках, определяемых радиус-векторами
 r1  0  i  l  j ;

 r2  0  i  0  j ;

 r3  0  i  l  j .
Какую минимальную скорость v 0  v 0  i необходимо сообщить центральному шарику,
чтобы при дальнейшем движении шарики смогли образовать равносторонний треугольник?
4. Пластинка в конденсаторе. Внутри плоского конденсатора, между обкладками которого поддерживается постоянная разность потенциалов U , расположена плоская металлическая пластинка толщины b и массы m . Пластинка прижата к одной из обкладок конденсатора, но в некоторый момент отпускается. Чему равно ускорение пластинки в момент времени, когда она будет на равном расстоянии от обеих обкладок конденсатора? Расстояние между обкладками конденсатора равно d , площадь обкладок и
площадь пластины равна S .
5. Зеркало и зайчик. На одной вертикальной стене пустой комнаты высоты h у самого
пола в небольшом углублении в этой стене имеется точечный источник света, освещающий всю противоположную стену, параллельную первой. Ко второй (освещённой)
стене комнаты на некоторой высоте приклеено маленькое зеркало, так, что зайчик от
него находится на горизонтальном потолке, на одинаковом расстоянии от этих двух
стен. В некоторый момент времени зеркало отрывается и начинает свободно падать с
ускорением g , оставаясь параллельным стенам. Определить время, которое зайчик от
зеркала движется по первой стене от потолка до пола. Рассмотреть 2 случая:
а) плоскость, в которой находятся линия падения зеркала и точечный источник,
перпендикулярна первой и второй стенам;
б) плоскость, в которой находятся линия падения зеркала и точечный источник,
составляет с каждой из стен двугранный угол  .
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Апрель 2012.
Условия задач для 3-4 курсов
1. Частота колебаний. Потенциал взаимодействия двух атомов в некоторой молекуле
имеет вид
U (r )  U 0 exp( a(r  r0 ))   U 0 exp(a(r  r0 )) ,
где r  расстояние между атомами, U 0 , a , и r0 – некоторые положительные постоянные, постоянная   1 . Найти частоту малых колебаний двухатомной молекулы, если
массы атомов m1 и m2 .
2. Нагревание гелия. Температура гелия в процессе P 2V  const ( P  давление газа, V 
его объём) увеличилась в   3 раза, а его внутренняя энергия изменилась на 100 Дж.
Найти: 1) начальный объём V1 газа;
2) начальное давление P1 газа.
Максимальный объём, который занимал газ в процессе нагрева равнялся Vmax  3 л.
3. Поток напряжённости. Внутри куба со стороной 2a находится равномерно заряженный шар радиуса a , плотность заряда шара  . Шар касается шести граней куба. Найти
поток вектора напряжённости электрического поля, создаваемого шаром, через одну из
граней куба. Электрическая постоянная  0 .
4. Волновая функция. Нормированная одномерная волновая функция частицы массы m
имеет вид Y ( x)  A exp(  | x |) , где A и   постоянные. Определить соответствующую потенциальную энергию U ( x) , если известно, что U ( x) |x  0 . Чему равна энергия частицы E ? Как связаны параметры A и  ? Постоянная Планка .
5. Зеркало и зайчик. На одной вертикальной стене пустой комнаты высоты h у самого
пола в небольшом углублении в этой стене имеется точечный источник света, освещающий всю противоположную стену, параллельную первой. Ко второй (освещённой)
стене комнаты на некоторой высоте приклеено маленькое зеркало, так, что зайчик от
него находится на горизонтальном потолке, на одинаковом расстоянии от этих двух
стен. В некоторый момент времени зеркало отрывается и начинает свободно падать с
ускорением g , оставаясь параллельным стенам. Определить время, которое зайчик от
зеркала движется по первой стене от потолка до пола. Рассмотреть 2 случая:
а) плоскость, в которой находятся линия падения зеркала и точечный источник,
перпендикулярна первой и второй стенам;
б) плоскость, в которой находятся линия падения зеркала и точечный источник,
составляет с каждой из стен двугранный угол  .
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Апрель 2012.
Условия задач для 2 курса.
1. Шайба на доске. На горизонтальной гладкой поверхности стола покоится доска массы
M . На одном конце доски лежит малая шайба массы m . Шайбе щелчком сообщают
скорость V , направленную вдоль доски. Какой должна быть длина доски L , чтобы
шайба не соскользнула с неё? Коэффициент трения скольжения между шайбой и доской  .
2. Нагревание гелия. Температура гелия в процессе P 2V  const ( P  давление газа, V 
его объём) увеличилась в   3 раза, а его внутренняя энергия изменилась на 100 Дж.
Найти:
1) начальный объём V1 газа;
2) начальное давление P1 газа.
Максимальный объём, который занимал газ в процессе нагрева равнялся Vmax  3 л.
3. Три шарика. Три одинаковых одноимённо заряженных шарика, каждый заряда q и
массы m , связаны двумя нерастяжимыми нитями, каждая длины l (одной нитью второй шарик связан с первым, а другой нитью – с третьим). Шарики 1  3 неподвижны и
расположены на горизонтальной гладкой поверхности в точках с радиус-векторами
 r1  0  i  l  j ;

 r2  0  i  0  j ;

 r3  0  i  l  j .
Какую минимальную скорость v 0  v 0  i необходимо сообщить центральному шарику,
чтобы при дальнейшем движении шарики смогли образовать равносторонний треугольник? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити.
4. Пластинка в конденсаторе. Внутри плоского конденсатора, между обкладками которого с помощью источника напряжения поддерживается постоянная разность потенциалов U , расположена плоская металлическая пластинка толщины b и массы m . Пластинка прижата к одной из обкладок конденсатора, но в некоторый момент отпускается. Чему равно ускорение пластинки в момент времени, когда она будет занимать симметричное положение относительно обкладок конденсатора? Расстояние между обкладками конденсатора равно d , площадь обкладок и площадь пластины равна S .
5. Зеркало и зайчик. На одной вертикальной стене пустой комнаты высоты h у самого
пола в небольшом углублении в этой стене имеется точечный источник света, освещающий всю противоположную стену, параллельную первой. Ко второй (освещённой)
стене комнаты на некоторой высоте приклеено маленькое зеркало, так, что зайчик от
него находится на горизонтальном потолке на одинаковом расстоянии от двух этих
стен. В некоторый момент времени зеркало отрывается и начинает свободно падать с
ускорением g , оставаясь параллельным этим двум стенам. Определить время, которое
зайчик от зеркала движется по первой стене от потолка до пола. Рассмотреть 2 случая:
а) плоскость, в которой находятся линия падения зеркаля и точечный источник,
перпендикулярна первой и второй стенам;
б) плоскость, в которой находятся линия падения зеркаля и точечный источник,
составляет с каждой из стен двугранный угол  .
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Апрель 2011.
Решения задач для 1 курса.
1. Модуль Юнга. При падении тела оно будет растягивать струну, при этом сила натяжения струны будет связана с её удлинением:
l
ES
F  ES
 k l ;
k
.
l
l
Максимальное удлинение струны определяется законом сохранения энергии
mg (l  lm )  12 k (lm ) 2 ,
из которого находим (учитывая, что lm  0 )
mg  (mg )2  2kmgl
.
k
Значит максимальная сила, растягивающая струну, есть
lm 
Fm  k lm  mg  (mg ) 2  2kmgl
Эта сила должна быть меньше, чем Mg , поэтому
mg  (mg ) 2  2kmgl  Mg ;
2kmgl  Mg  Mg  2mg  ;
M

kl  Mg 
 1 .
 2m 
Поскольку ES  kl , то это означает, что для модуля Юнга должно выполняться условие
M

ES  Mg 
 1 .
 2m 
В случае а) имеем
 3m

ES  3mg 
 1 ;
 2m

E
3mg
2S
В случае б) имеем
 1.5m

ES  1.5mg 
 1 ,
 2m

что не выполняется ни при каком модуле Юнга. Если струна разрывается при простом
подвешивании к ней груза массы M  1.5m , то её разорвёт и падающий груз массы m .
2. КПД цикла.
Точки 1 и 2 лежат на одной адиабате, уравнение которой
pV   const;
TV  1  const;
T  p1  const.
Из уравнения состояния идеального газа pV  RT и уравнения адиабаты находим
RT1
V1
V1 1
p1 
; p2  p1  ; T2  T1  1 .
V1
V2
V2
Посчитаем вначале наивно количество тепла, переданное газу в циклическом процессе
и работу, совершённую газом.
Количество тепла, которое передаётся газу в процессе 1  2
Q12  A12  U12  12 ( p1  p2 )(V2  V1 )  CV (T2  T1 ) 
 12 ( p1  p2 )(V2  V1 )  CV (T1  T2 ).
Работа газа в процессе 1  2

RT  V   V
A12  12 ( p1  p2 )(V2  V1 )  1 1  1  2  1
2  V2  V1 
Количество тепла, которое передаётся газу в процессе 2  1 равно нулю, поэтому
Q21  U12  A12  CV (T1  T2 )  A21  0
Поэтому работа газа в процессе 2  1 равна (она отрицательна)
A21  CV (T1  T2 )  CV (T2  T1 )
Значит КПД цикла равен
A  A21 12 ( p1  p2 )(V2  V1 )  CV (T1  T2 )
  12
1
1
Q12
2 ( p1  p2 )(V2  V1 )  CV (T2  T1 )
В этом и есть «подколка» задачи. Если заняться вычислениями всех величин в этом выражении, то можно и не заметить, что   1 .
Разумеется, это – неверный результат.
Что ещё должно настораживать, так это якобы отсутствие холодильника.
Разберёмся в чём тут дело.
Работа, совершаемая газом за цикл была посчитана правильно.
Ошибка была сделана в расчёте количества теплоты, переданной газу.
Дело в том, что на части процесса 1  2 теплота не передаётся газу, а забирается от него (всё-таки есть контакт с холодильником).
Элементарное количество тепла
 Q   A  dU  p dV  CV dT
В процессе 1  2
p(V )  p1 
p2  p1
V  V1  ;
V2  V1

V p(V ) 1 
p  p1
  p1V  2
V V  V1  
R
R
V2  V1

Поэтому элементарное количество тепла
T
 Q  p dV  CV
dV 
V
 
 C 

p2  p1
p p
V  V1   V  p1  2 1  2V  V1   dV
  p1 
V2  V1
V2  V1
 R 
 
 
Обозначим
p p
  1 2;
  0 
V2  V1
Тогда
C


 Q    p1   V  V1    V  p1    2V  V1    dV
R


Выражение в фигурной скобке – убывающая функция V , которая обращается в ноль
при V , определяемом из условия
CV


 p1    2V  V1     0;
  p1   V  V1   
R


C
2C
 p1  V1  1  V   V 1  V  ;
R 
R 


Значит на участке прямой 1  2 тепло передаётся газу только до тех пор, пока объём не
достигнет значения
C
 p1  V1  1  V 
R 

Vm 
;
 2CV 
 1 

R 

T (V ) 
Давление и температура при этом объёме равны
p  p1
pm  p(Vm )  p1  2
Vm  V1 
V2  V1
Tm  T (Vm ) 

Vm p(Vm ) 1 
p  p1
  p1Vm  2
Vm Vm  V1  
R
R
V2  V1

Только до этого объёма тепло передаётся газу, после этого объёма тепло отбирается от
газа. Значит, количество тепла, переданное газу, равно
Q1m  12 ( p1  pm )(Vm  V1 )  CV (Tm  T1 ) 
 12 ( p1  pm )(Vm  V1 )  CV (T1  Tm ).
КПД цикла

1
Aa  Ab
( p  p2 )(V2  V1 )  CV (T1  T2 )
 12 1
Q1m
2 ( p1  pm )(Vm  V1 )  CV (T1  Tm )
3. Конденсатор в цепи постоянного тока.
От батареи потребляется постоянная мощность P E I .
Электростатическая энергия конденсатора W  12E q меняется со временем, поскольку
меняется заряд конденсатора, при этом скорость изменения энергии конденсатора
dW d 1
1 dq(t ) 1

E q(t )  E
 EI .
dt
dt 2
2 dt
2
Мощность, производимая батареей, в два раза больше скорости изменения энергии
конденсатора. Эта разница объясняется тем, что конденсатор производит работу над
внешними телами, что и вызывает соответствующее изменение ёмкости
1
1
I
C (t )  q(t )   q0  It   C0  t .
E
E
E
4. Пластинка и зеркало.
Обозначим интенсивность света, падающего на пластинку x0 , интенсивность отражённого от пластинки света y0 , интенсивность света прошедшего пластинку (падающего
на зеркало) x1 , интенсивность света, отражённого от зеркала y1 (рис. 2).
x0
x1


y0
y1


Рис. 2
Свет с интенсивностью y0 складывается из отражения света с интенсивностью x0 и
прохождения света с интенсивностью y1 , свет с интенсивностью x1 складывается из
отражения света с интенсивностью y1 и прохождения света с интенсивностью x0 , свет
с интенсивностью y1 есть результат отражения света с интенсивностью x1 , поэтому
 y0  R x0  T y1;

 x1  T x0  R y1;

y1  x1.

Значит,
 y0  R x0  Tx1;

 x1  Tx0  R x1.
Теперь находим
T

x1 
x0

1 R

2
 y  R x  T x R x
0
0
0
0
1 R

Поглощённая в пластинке интенсивность определяется выражением
z  Ax0  Ay1  Ax0  Ax1 
T
T 

 Ax0  A
x0  A1 
x0 A x0
1 R
 1  R 
Итак, коэффициенты отражения и прохождения равны
T2
1 R
T 

A  A1 
 1  R 
R  R
Их сумма
T (1  R  A)
T 

 A1 

1 R
 1  R 
TA
AT
 R T 
 A
 R T  A 1
1 R
1 R
R A  R 
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Апрель 2011.
Решения задач для 2-4 курсов.
1. Шкаф и лестница. К шкафу массы M , имеющему вид однородной прямоугольной
призмы, прислонили под углом  однородную лестницу (рис. 1), масса которой m и
длина 2l . Коэффициент трения между лестницей и полом 1 , а между шкафом и полом
 2 . Поперечный размер шкафа 2a указан на рисунке.
2. КПД цикла.
3. Поляризуемость атома.
При помещении атома в электрическое поле ядро смещается от центра электронного
облака на некоторое расстояние такое, что сила, действующая на ядро со стороны облака уравновешивает силу внешнего поля. Для определения силы облака на ядро найдём,
как зависит напряжённость электрического поля в облаке от расстояния r до его ценра,
учтём, что поскольку внешнее поле слабое, достаточно рассмотреть малые значения r .
С учётом сферической симметрии распределения заряда в облаке, из теоремы Гаусса
1
 EdS   
Sr
Vr
 (r)dV 
0
имеем
e
 2r 
exp  
  A exp    r  .
3


a
a


0
0
Поскольку достаточно рассмотрения малых внешних полей, то вычисление интеграла
достаточно провести только для малых r , поэтому плотность  (r) достаточно рассматривать только для малых r  , для которых имеем  (r)  A exp    r  A , поэтому
при малых r
r
1
4
E (r ) 4 r 2  4  A r2dr 
A r3


3
0
0 0
Значит, при малых r
A
E (r ) 
r.
3 0
A
d уравновешивает внешЯдро смещается на такое расстояние d , что поле E (d ) 
3 0
нее поле E , поэтому
E
E
d  3 0  3 0 a 3
A
e
Возникающий дипольный момент
p  ed  3 0a 3 E   E;   3 0a 3
Значит поляризуемость атома водорода
  3 0 a3
r
E (r ) 4 r  4 
2
1
 (r)r2dr;
 (r) 
Не самый рациональный способ вычисления поля. Величину поля E ( r ) можно вычислить и не делая приближений:
r
r
1
4 A
2
2
2



E (r ) 4 r  4  A exp    r  r dr 
 exp    r r dr .
0
0
0
0
Интеграл можно вычислить с помощью дифференцирования по параметру:
 d 
0 exp    r r dr   d  
r
2
2 r
2
 d  1
r 
0 exp    r dr   d     1  e   
2

1
1
  3 1  e   r   2 2  re   r    r 2e   r   .




Поэтому
E (r ) 4 r 2 

4 A  2
1
1
1  e  r   2 2  re  r    r 2e  r   .

3 
0  



Дальше надо рассматривать малые r , для которых имеем
2  


(  r ) 2 (  r )3

 ...   
 3 1  1   r 

2!
3!

4 A    
 4 A (  r )3
2
E (r ) 4 r 

 
 0  1  
3 3
0
 1
( r )2

2
2  2  r 1   r  2!  ...       r 1   r  ...  

 


Таким образом, этот расчёт даёт при малых r такую же величину поля:
A
E (r ) 
r
3 0
4. Две пластинки.
Обозначим интенсивность света, падающего на первую пластинку x0 , интенсивность
отражённого от первой пластинки света y0 , интенсивность света прошедшего первую
пластинку (падающего на вторую) x1 , интенсивность света, отражённого от второй
пластинки y1 , интенсивность света, прошедшего вторую пластинку x2 (рис. 3).
x0
x1
x2



y0
y1


Рис. 3
Свет с интенсивностью y0 складывается из отражения света с интенсивностью x0 и
прохождения света с интенсивностью y1 , свет с интенсивностью x1 складывается из
отражения света с интенсивностью y1 и прохождения света с интенсивностью x0 , свет
с интенсивностью y1 есть результат отражения света с интенсивностью x1 , свет с интенсивностью x2 есть результат прохождения света с интенсивностью x1 , поэтому
 y0  R x0  T y1;
 x  Tx  R y ;
 1
0
1

 x2  T x1;
 y1  R x1.
Подставляя y1  R x1 в первые два уравнения, имеем
 y0  R x0  TR x1;

 x1  Tx0  R R x1.
Значит,
T

x1 
x0 ;

1  R2

 y  R x  TR T x R x .
0
0
0
0
1  R2

Далее находим

T2
 x2  T x1  1  R 2 x0 T x0 ;

 y  R x  RT x .
1
1
0
1  R2

Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения для системы, состоящей из
двух пластинок равны
R  R R
T 
Сумма этих коэффициентов равна
T2
1  R2
T2
1  R2
T2
T2
T2


R

.
1  R2 1  R2
1 R
(Заметим, что эта сумма равна единице, когда T  1  R , т.е. когда A  0 .)
Поглощённая в двух пластинках интенсивность определяется выражением
z  Ax0  Ax1  Ay1 
R T  R  R
T
RT 

 Ax0 1 

A x0 .
2
2
 1  R 1  R 
Поэтому коэффициент поглощения равен
T
RT 
T 


A  A1 

 A1 
.
2
2
 1 R 1 R 
 1  R 
Сумма коэффициентов отражения, прохождения и поглощения равна
T2
T 

R T A  R 
 A 1 

1 R
 1  R 
T (1  R  A)
T 

 R
 A 1 

1 R
 1  R 
AT
AT
 R T 
 A
 R  T  A  1.
1 R
1 R
6. Конденсатор в цепи постоянного тока. Замкнутая цепь состоит только из батареи с
ЭДС равной E и конденсатора переменной ёмкости.Начальные ёмкость и заряд конденсатора равны C0 и q0 , соответственно. Ёмкость конденсатора со временем изменяется так, что ток в цепи I остаётся постоянным. Вычислите мощность, потребляемую
от батареи. Вычислите скорость изменения энергии, запасённой в конденсаторе. Если
две вычисленные величины отличаются, объясните – почему.
7. Поляризуемость атома. Когда атом помещается в слабое электрическое поле, он приобретает дипольный момент p   E . Коэффициент  называется поляризуемостью, его
величина зависит от структуры атома. Определите поляризуемость атома водорода в
основном состоянии в следующей модели: атом состоит из точечного ядра заряда e и
e
 2r 
exp    , где a – боровский ра3
a
 a 
диус, а e – заряд электрона. Считайте, что облако «не деформируется».
электронного облака с плотностью заряда  (r ) 
8. Пластинка и зеркало. Коэффициенты прохождения, поглощения и отражения для
плоскопараллельной стеклянной пластинки равны T , A и R , соответственно
( T  A  R  1 ). Найдите коэффициент отражения R и коэффициент поглощения A
для системы, состоящей из пластинки и расположенного за ней зеркала. Покажите, что
сумма R A равна единице. Свет падает перпендикулярно поверхностям пластинки и
зеркала, зеркало отражает весь падающий на него свет.
9. Две пластинки. Коэффициенты прохождения, поглощения и отражения для плоскопараллельной стеклянной пластинки равны T , A и R , соответственно. Найдите коэффициент прохождения T , коэффициент поглощения A и коэффициент отражения R
для системы двух таких пластинок, расположенных параллельно друг за другом. Покажите, что сумма R T A равна единице. Свет падает перпендикулярно поверхностям
пластинок.
10. Модуль Юнга. Тело массы m прикреплено к одному концу струны, имеющей пренебрежимо малую массу, длину l и площадь поперечного сечения S . Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления второго конца струны, внезапно освобождается и падает
вниз. При каких значениях модуля Юнга E струны она при таком падении тела не
разорвётся? Известно, что струна как раз разрывается при простом подвешивании на
ней
а) груза массы M  4m ;
б) груза массы M  1.5m .
11. Циклические процессы. Над идеальным газом совершаются циклические процессы, 12-3-1 и 4-5-6-4, изображённые на диаграмме «плотность – давление». Изобразите эти
процессы на диаграмме «температура – объём».
12. Преобразования Лоренца. Инерциальная система отсчёта K  движется относительно
инерциальной системы отсчёта K  со скоростью V вдоль оси x . Система K движется
относительно системы K  со скоростью v вдоль оси x . Преобразования для координат и времён событий от системы K  к системе K  и от системы K к системе K  осуществляется по формулам (преобразования Лоренца)


1
1
 x   (V )  x  Vt  ;
 x   (v )  x v t  ;
 (v ) 
.

(
V
)

,


2
2
2
2
2
2
   (V ) Vx c  t ;
   (v ) v x c  t ;
t
t
1

v
c
1

V
c




Покажите, что преобразования, выражающие координаты и времена событий ( x, t )
через ( x, t ) даются формулами такого же вида. Найдите скорость движения системы K
относительно системы K  . Найдите преобразования, выражающие координаты и вре-




мена ( x, t ) через ( x, t ) , координаты и времена ( x, t ) через ( x, t ) , а также ( x, t ) через
( x, t ) .
13. Собственная сила тяжести. Цилиндрический резиновый стержень имеет плотность
 , поперечное сечение S и длину l (когда расположен горизонтально). На сколько
удлинится стержень под действием его собственной силы тяжести, если его подвесить
вертикально? Какой станет длина стержня, если к его нижнему сечению подвесить
жесткий груз массы m . Модуль упругости резины E , ускорение свободного падения
g.
14. Циклические процессы. Над идеальным газом совершаются циклические процессы, 12-3-1 и 4-5-6-4, изображённые на диаграмме «плотность – давление». Изобразите эти
процессы на диаграмме «температура – объём».
15. Проводящая среда. Металлический предмет помещён в среду диэлектрической проницаемости  и проводимости  . Предмету сообщают заряд q . Через какое время заряд уменьшится в 10 раз?
16. Скорость течения газа. Плотность газа в бесконечной цилиндрической трубке зависит
от времени и координаты x вдоль трубки по закону
 ( x v t )2 
 (t , x)  exp  

x0  

Найти зависимость скорости течения газа от координат и времени
17. Свет распространяется по окружности. Полупространсво y  0 занято средой, показатель преломления которой зависит от y . Луч света, падающий из вакуума на плоскость y  0 , распространяется по линии, которая является дугой окружности
( y  b)2  ( x  a)2  R 2 ;
b  R2  a2
Определите зависимость показателя преломления n ( y ) . Под каким углом  падает луч
на границу раздела в вакууме? Найдите линии, вдоль которой распространяется луч
света, падающий под углами большими чем  .
18. Модуль Юнга. Тело массы m прикреплено к одному концу струны, имеющей пренебрежимо малую массу, длину l и площадь поперечного сечения S . Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления второго конца струны, внезапно освобождается и падает
вниз. При каких значениях модуля Юнга E струны она при таком падении тела не
разорвётся? Известно, что струна как раз разрывается при простом подвешивании на
ней
а) груза массы M  4m ;
б) груза массы M  1.5m .
19. Планета имеет форму шара радиуса R и равномерную плотность массы  за исключением того, что внутри планеты имеется полость шарообразной формы радиуса r центр
которой находится в точке a ( a  r  R ). Определите гравитационное поле в полости.
Какую работу надо совершить, чтобы перенести внутри полости небольшую массу m
из точки a  r a a в точку a  r a a . Гравитационная постоянная  известна.
20. Два маленьких одинаковых шарика несут на себе электрические заряды q1 и q2  99 q1 .
Расстояние R , разделяющее центры шариков значительно превышает их размеры. Потенциальная энергия взаимодействия шариков равна
1 q1q2
1 q1q1
Ep 
 99 
.
4 0 R
4 0 R
Соединим шарики проводником, и после того как перемещение зарядов закончится,
уберём проводник. Так как шарики одинаковы, то согласно закону сохранения заряда
на каждом из них окажется заряд q  50 q1 . Энергия взаимодействия элементов системы
окажется равной
1 qq
1 50q1  50q1
1 q1q1
Ep 

 2500 
4 0 R
4 0
R
4 0 R
Таким образом, потенциальная энергия системы возрастёт более чем в 25 раз, кроме того, в соединительном проводнике выделится некоторое количество тепла, а видимых
источников энергии нет. Объясните парадокс.
21. Определить напряжённость магнитного поля H и магнитную индукцию B , создаваемые постоянным током I , текущим по цилиндрическому проводнику кругового сечения радиуса a . Магнитная проницаемость проводника равна  .
22. Две пластинки и зеркало. Коэффициенты прохождения, поглощения и отражения для
плоскопараллельной стеклянной пластинки равны T , A и R соответственно. Найдите
коэффициенты прохождения, поглощения и пропускания для системы двух таких пластинок, расположенных параллельно друг за другом. Найдите также коэффициент отражения для системы, состоящей из двух пластинок и расположенного за второй пластинкой зеркала. Свет падает перпендикулярно поверхностям пластинок и зеркала, зеркало отражает весь падающий на него свет.
1. Жук на соломинке. На одном конце соломинки длины 1 м сидит маленький жук. В некоторый момент времени жук начинает ползти по соломинке к другому концу со скоростью 1 см/с. Одновременно с этим соломинка начинает равномерно растягиваться
так, что её длина увеличивается на 1 метр в секунду. Доползёт ли жук до другого конца
соломинки? Если да, то за какое время? Если нет, то до точи соломинки с какой максимальной первоначальной координатой он доползёт? Соломинка идеальная (не разрывается), а жук может ползти вечно.
2. Модуль Юнга. Тело массы m прикреплено к одному концу струны, имеющей пренебрежимо малую массу, длину l и площадь поперечного сечения S . Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления второго конца струны, внезапно освобождается и падает
вниз. При каких значениях модуля Юнга E струны она при таком падении тела не
разорвётся? Известно, что струна как раз разрывается при простом подвешивании на
ней
а) груза массы M  4m ;
б) груза массы M  1.5m .
3. Поля и распределения зарядов.
а) Из равномерно заряженного с плотностью заряда  шара радиуса R удалена его
часть также шарообразной формы, так, что в шаре образовалась полость с центром в
точке a . Определить напряжённость электростатического поля внутри полости.
б) Равномерно заряженный с плотностью заряда  шар радиуса R составлен из двух
полушарий. С какой силой полушария отталкивают друг друга?
в) Равномерно заряженная зарядом q сфера радиуса R составлена из двух полусфер. С
какой силой полусферы отталкивают друг друга?
q
г) Каким распределением зарядов создаётся потенциал вида  (r )  exp(  r ) ?
r
4. Температура спутника. Шарообразный спутник радиуса r , окрашенный в чёрный
цвет, вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Расстояние между спутником и
центром Солнца равно D ( r D ). Солнце представляет собой шар радиуса R , излучающий подобно чёрному телу при температуре T0  6000 K . Угол, под которым
Солнце видно со спутника, составляет 2  32 . Какова равновесная температура спутника?
5. Вихри в сверхтекучем гелии. При вращении цилиндрического сосуда со сверхтекучим гелием в объёме образуются линейные вихри. Скорость атомов гелия массы mHe в
вихре v  K / r , где r – расстояние от оси вращения, K  константа, называемая интенсивностью вихря. Найти минимальное численное значение интенсивности вихря.
6. Т-инвариантность. На плоскую границу раздела двух сред нормально падает свет.
Волна с единичной амплитудой в среде 1 отражается от поверхности раздела с амплитудой r , а в среду 2 проходит волна с амплитудой t . Аналогично, волна с единичной
амплитудой в среде 2 отражается от поверхности раздела с амплитудой r  , а в среду 1
проходит волна с амплитудой t . Используя принцип суперпозиции и инвариантность
по отношению к обращению времени, вывести соотношения r 2  tt   1 и r  r  .
Олимпиада ГГУ по физике. Декабрь 2010
Решения задач
1. Жук на соломинке. В исходном состоянии нанесём на соломинку метки как на портновский метр. При движении жук будет их «переползать». Пусть он делает это по закону x0 (t ) (в момент времени t переползает метку x0 ). Пусть в точке x0 на соломинке
сидит муха. Относительно неподвижной подставки (стола), на которой лежит соломинка, первый конец которой (с которого стартует жук) будем считать закреплёным, жук
движется по закону x(t ) . Найдём связь этих законов. Для концов соломинки, мухи и
жука имеем
Координата относительно
меток на соломинке
Координата относительно стола
1-й конец
0
0
2-ой конец
l0
l0  Vt
Муха
x0
Жук
x0 ( t )
l0  Vt
l0
l  Vt
x0 (t ) 0
l0
x0
Таким образом, связь законов x(t ) и x0 (t ) имеет вид
x(t )  x0 (t )
l0  Vt
.
l0
Муха, не ползущая по соломинке, движется относительно стола по закону
x (t )  x0
l0  Vt
,
l0
значит скорость мухи относительно стола
dx (t )
V
 x0 .
dt
l0
С такой же скоростью относительно стола движется та точка соломинки, на которой
сидит муха. Аналогично, точка соломинки, в которой находится жук, движется относительно стола со скоростью
x0 ( t )
V
.
l0
Жук относительно соломинки ползёт со скоростью v , значит относительно стола – со
скоростью, равной сумме
x0 (t )
V
v .
l0
Эту скорость можно найти и как производную функции x(t ) , поэтому имеем
dx(t ) d 
l  Vt  dx0 (t ) l0  Vt
V
  x0 (t ) 0
 x0 (t ) .

dt
dt 
l0 
dt
l0
l0
Приравнивая эти выражения, получаем
dx0 (t ) l0  Vt
V
 x0 (t )
dt
l0
l0
 x0 (t )
V
v ,
l0
откуда находим, что скорость переползания меток убывает со временем по закону
dx0 (t )
v l0
.

dt
l0  Vt
Это – обыкновенное ДУ, переменные в нём разделяются:
dx0 
Интегрируя, находим
v l0 dt v l0 d (l0  Vt )
.

l0  Vt V (l0  Vt )
v l0
vl
vl
(l  Vt )
.
ln(l0  Vt )  C   0 ln(l0  Vt )  ln l0   0 ln 0
V
V
V
l0
Жук доползёт до конца соломинки за время t fin , такое, что
x0 (t ) 
x0 (t fin ) 
v l0 (l0  Vt fin )
ln
 l0 ,
V
l0
откуда
V

l
t fin   exp  1 0  (e100  1) с.
v

V
2. Модуль Юнга. При падении тела оно будет растягивать струну, при этом сила натяжения струны будет связана с её удлинением:
l
ES
F  ES
 k l ;
k
.
l
l
Максимальное удлинение струны определяется законом сохранения энергии
mg (l  lm )  12 k (lm ) 2 ,
из которого находим (учитывая, что lm  0 )
mg  (mg )2  2kmgl
.
k
Значит максимальная сила, растягивающая струну, есть
lm 
Fm  k lm  mg  (mg ) 2  2kmgl
Эта сила должна быть меньше, чем Mg , поэтому
mg  (mg ) 2  2kmgl  Mg ;
2kmgl  Mg  Mg  2mg  ;
M

kl  Mg 
 1 .
 2m 
Поскольку ES  kl , то это означает, что для модуля Юнга должно выполняться условие
M

ES  Mg 
 1 .
 2m 
В случае а) имеем
 3m

ES  3mg 
 1 ;
 2m

E
3mg
2S
В случае б) имеем
 1.5m

ES  1.5mg 
 1 ,
 2m

что не выполняется ни при каком модуле Юнга. Если струна разрывается при простом
подвешивании к ней груза массы M  1.5m , то её разорвёт и падающий груз массы m .
3. Поля и распределения зарядов.
а) Сферически симметричное электрическое поле внутри равномерно заряженного шара, имеющее только радиальную составляющую ( E(r)  nr Er (r ) ), определим из уравнения Максвелла (закона Кулона):
1  2
r Er (r )  4 ,

Er (r )  43   r .
2
r r
Это означает, что поле внутри равномерно заряженного шара есть
E(r)  43   r .
При наличии в шаре полости поле внутри неё может быть представлено как суперпозиция этого поля и поля равномерно заряженного с плотностью (  ) шара с центром в
точке a , то есть поля
E(r)  43  (  )  (r  a) .
В итоге имеем
Ein (r)  43   r + 43  (  )  (r  a)  43   a .
Значит поле внутри полости является однородным.
divE(r ) 
б) Поле внутри равномерно заряженного шара есть E(r)  43   r . Найдём силу, действующую на «северное» полушарие 0    2 . На заряд в бесконечно малом объёме
dV действует сила
dF   dV E(r)   dV 43   r .
Ввиду симметрии интеграл от этого выражения по полушарию будет иметь только
z  составляющую:
R

2
2
Fz      43  r cos  r 2dr sin  d d 
0 0 0
  
4
3

R
2
2
 r dr  cos sin  d  d 
3
0
0
0
   R 2    R .
Если выразить эту силу через полный заряд шара, то получим
4
3
4 1
2
1
4
1
3
2
2
4
2
 q  4 3 q2
Fz    R    4
R 
.
3 
16 R 2
 3R 
1
3
2
2
4
1
3
2
Другой способ. Тензор напряжений Максвелла в электростатике задаётся выражением
1 
1 2 
Tij 
 Ei E j  E  ij  .
4 
2

Компоненты силы, действующей на площадку замкнутой поверхности dS , внутри которой имеются заряды, равны
1 
1 2 
dFi  Tij dS j 
 Ei E j  E  ij  dS j .
4 
2

Для вычисления полной силы, действующей на верхнее («северное») полушарие, необходимо вычислить интеграл от этого выражения по какой-нибудь поверхности, внутри
которой находится этот полушар. Например можно вычислить интеграл по поверхности, состоящей из плоского основания (круга) и полусферического «купола». Радиусы
круга и полусферы можно взять равными или большими R . Если взять их равными R ,
то интеграл по основанию будет интегралом по экваториальному сечению шара, а интеграл по «куполу» будет интегралом по граничной для полушара полусфере:
Fi   Tij dS j   Tij dS j   Tij dS j .
S
S0
S1
Рассмотрим вначале интеграл по основанию. Пусть dS – бесконечно малая внешняя
для «северного» полушария площадка в этом сечении. Учитывая, что на ней
EdS  E j dS j  0 , получаем
1 1 2
E (r )dSi ,
4 2
Для z  составляющей имеем ( dS z  dS ):
dFi  Tij dS j  
1 1 2
E (r ) dS z ,
4 2
Вектор площади dS можно выразить в полярных координатах, так что
dS  (0,0, dS z )  (0,0, dS )  (0,0,  rdrd ) .
Поэтому для силы, действующей на основание «северного» полушария, имеем
1 1 2
dFz 
E (r ) rdrd .
4 2
Подставляя выражение для E (r )  43  r , получаем
1 1 4
dFz 
( 3  r ) 2 rdrd
4 2
Интегрируя, находим
F  e z F0 z ;
dFz  
R
2
1 1 4
1 1 4
R4
F0 z 
( 3  ) 2  r 3dr  d 
( 3  )2
2  19  2  2 R 4 .
4 2
4 2
4
0
0
Теперь рассмотрим интеграл по поверхности полусферы, на которой
E( Rn)  E ( Rn)n =  43  R  n = ERn;
1 2
1 
ER  ni n j   ij  dS j 
4
2 

1 2
1
 1 21


ER  ni dS  dSi  
ER  dSi  .
4
2

 4
2

При интегрировании ненулевой результат будет только для Fz . Для dFz имеем
1 2 1
dFz 
ER  dS z
4
2
2
Интегрируя, с учётом того, что  dS z   R , получаем
dFi  Tij dS j 
1 21
ER  R 2 .
4
2
Конечно же, интеграл можно вычислить и в сферических координатах.
В сферических координатах dS z  R 2d   cos  R 2 sin  d d  cos , поэтому
1 21
1 21 2
dFz 
ER dS z 
ER R sin  d d  cos  .
4
2
4
2
Интегрируя, получаем
 /2
2
1 21 2
1 21 2 1
1 21 2
F1z 
ER R  sin  cos d  d 
ER R   2 
ER  R .
4
2
4
2
2
4
2
0
0
F1z 
Подставляя значение ER , получаем
1 4
2 1
F1z 
 3  R   R 2  92  2  2 R 4 .
4
2
Следовательно,
Fz  F0 z  F1z  19  2  2 R 4  92  2  2 R 4  93  2  2 R 4 ,
что совпадает с полученным ранее.
Если выразить эту силу через полный заряд шара, то получим
2
 q  4 3 q2
Fz    R    4
R 
.
3 
16 R 2
 3R 
1
3
2
2
4
1
3
2
в) Напряжённость поля равномерно заряженной сферы равна:
q
1) снаружи сферы вблизи неё: E ( R  0)  2 ;
R
2) внутри сферы E ( R  0)  0 ;
1 q
3) на самой поверхности сферы E ( R ) 
.
2 R2
Поэтому на площадку dS сферы, имеющую заряд  dS , где  
q
, действует (со
4 R 2
стороны остальной части сферы) сила
1 q
dS .
2 R2
Эта сила эквивалентана силе, создаваемой давлением внутри сферы, равным
1 q
p
.
2 R2
Поэтому на «северную» полусферу действует сила
1 q

 q
1 q2
2
2
.
F  e z Fz ; Fz  p   R 
R  q 
q
2 R2
2
2 4 R 2
8 R2
dF 
Другой способ. Для вычисления полной силы, действующей на полусферу, можно вычислить интеграл от
1 
1 2 
dFi  Tij dS j 
 Ei E j  E  ij  dS j
4 
2

по любой замкнутой поверхности, внутри которой находится полусфера. Удобно в качестве такой поверхности выбрать поверхность, состоящую из «основания» (круга радиуса R  0 ) и «купола» (полусферы радиуса R  0 ). В основании (внутри заряженной
сферы) напряжённость поля E  0 , поэтому остаётся только интеграл по «куполу», на
q
котором (вне заряженной сферы) E ( R  0)  2 , а значит
R
q
E  ( R  0)n   2 n;
R
q
Ei  ( R  0)n   2 ni .
R
Поэтому на «куполе»
1 2
1 
1 2
1
 1 21
dFi 
E  ni n j   ij  dS j 
E  ni dS  dSi  
E dSi .
4
2 
4
2
2


 4
При интегрировании только z  компонента силы окажется ненулевой:
2
1 21
1 21
1  q  1
1 q2
2
Fz  
E dS z 
E  R2 

R

.
 
4
2
4
2
4  R 2  2
8 R2
S R 0
г) Из уравнения Пуассона    4 имеем
 1
q
1  1
   exp( r )  q  exp( r )     
r
r  r
 r
exp( r )  1
1
1  2 exp( r )  1
 q  q
r
 q 4 (r ) 
r
r
r r 2
r
 2 exp( r )
q
 q 4 (r ).
r
Значит, имеется точечный заряд величины q , помещённый в начале координат, и сферически симметрично непрерывно распределённый заряд с плотностью
1  2 exp( r )
 
q
;   dV   q .
4
r
 q
4. Температура спутника. В одну секунду Солнце излучает энергию  T04 4 R 2 . Спутник
 r2
поглощает долю энергии, равную
, то есть, энергию
4 D 2
 r2
.
 T04 4 R 2
4 D 2
Излучает за то же время спутник энергию  T 4 4 r 2 . Из условия равновесия получаем
2
 r2
2 4
4
2
4
4 R
 T04 4 R 2


T
4

r
;
T

T

T0 .
0
4 D 2
4D2
4
R 16 
Здесь   
радиан. В итоге имеем
D
60 180
T

2
T0 
16  1
4 
6000 K 
6000 K  289 K .
60 180 2
60 6
5. Вихри в сверхтекучем гелии. Атом гелия участвует во вращательном движении. Момент импульса этого движения квантуется:
mHevr  n ; n  1,2,3,... .
По условию, если v  скорость движения атома гелия в вихре, то vr  K  интенсивность вихря. Откуда имеем
mHe K  n ; n  1, 2,3,...
K min 
mHe
 1.6 104 см/с.
6. Т-инвариантность. По условию возможны следующие процессы:
Процесс 1
Среда II
Среда I
Процесс 2
Среда II
Среда I
t
Проходит
1
Падает
Падает
Проходит
1
t 
r
Отражается
r 
Отражается
Инвариантность относительно обращения времени тогда означает, что также возможны
и такие процессы:
Процесс 3
Среда II
Среда I
Процесс 4
Среда II
Среда I
t
Падает
Собирается
1
Собирается
1
r
r 
Тоже падает
Тоже падает
t 
Падает
Наряду с процессом 1 согласно принципу суперпозиции может происходить и (умноженный на t )
Процесс 5
Среда II
Среда I
tt 
Проходит
t r 
t 
Падает
Отражается
Наряду с процессом 2 согласно принципу суперпозиции может происходить и (умноженный на r )
Процесс 6
Среда II
Среда I
Падает
r
rr  
Отражается
r
Падает
rt 
Проходит
Процесс 5 есть суперпозиция процесса 6 и процесса
Процесс 7
Среда II
Среда I
Собирается
t t  rr 
t 
Падает
Сравния Процессы 7 и 4, находим формулы, связывающие коэффициенты прохождения
и отражения:
t t  rr ;
r  r
Можно получить эти же формулы ещё одним способом. Наряду с процессом 1 согласно
принципу суперпозиции может происходить и (умноженный на r  )
Процесс 8
Среда II
Среда I
rt 
Проходит
Падает
r 
r r 
Отражается
Наряду с процессом 2 согласно принципу суперпозиции может происходить и (умноженный на t )
Процесс 9
Среда II
Падает
Среда I
Проходит
t
tr  
Отражается
r 
Тоже падает
tt 
Процесс 8 есть суперпозиция процесса 9 и процесса
Процесс 10
Среда II
Среда I
Падает
t
Собирается rr  tt  
Сравнивая процессы 3 и 10, снова получаем требуемые соотношения.