Творческая работа Применение производной при решении задач

Творческая работа
Применение производной
при решении задач
с практическим содержанием
выполнила
учитель математики
Артемовской общеобразовательной школы
№18 I-III ступеней
Евтехова Валентина Григорьевна
2012г.
Задача 1
Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и
выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы
вычитается 40 рублей за
каждый час погрузки.
Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по
стаканов
которому они получают премию в 10 v рублей, 𝑣 −
–
час
скорость погрузки. При какой скорости предприятие
получит максимальную прибыль, и какова величина этой
прибыли?
Решение
Заметим, что скоростьѵпогрузки, станков предполагается
постоянной. За час погружается 100/ѵ станков. Поэтому
прибыль Ρ предприятия такова:
𝑃(𝑣 ) = 1000 − 40 ∙
100
400
− 10𝑣 = 1000 − 10 (𝑣 +
);
𝑣
𝑣
𝑃/ (𝑣 ) = −10 (1 −
400
) ; 𝑃/ (𝑣 ) = 0,
𝑣
𝑣 2 −400
отсюда – 10 (
20
стаконов
час
𝑣2
) = 0; 𝑣 2 − 400 = 0; 𝑣 = ±20; 𝑣 > 0; 𝑣 =
.
По смыслу задачи видно, что 𝑣 = 20 – точка наибольшего
значения для функции 𝑃(𝑣 ). При этом 𝑃(𝑣 ) = 𝑃(20) =
1000 − 40 ∙
Ответ: 20
100
20
− 10 ∙ 20 = 600руб.
стаканов
час
; 600руб.
Задача 2
Для конструкторского бюро строится зал в форме
прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая
должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного
материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80м².
Известно, что 1м² стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной
50 руб. Какими должны быть размеры зала, чтобы общая
стоимость всех стен была наименьшей?
Решение
Пусть
стеклянная
стена
представляет
собой
прямоугольный, одно измерение, которого рано 4м, а другое
примем за xм. Тогда площадь стеклянной стены равна 4хм².
Суммарная площадь остальных стен равна4 ∙ (𝑥 + 2 ∙
аих стоимость𝐾2 = 50 ∙ 4 ∙ (𝑥 +
80
𝑥
)м²,
160
𝑥
) руб. Общая стоимость
всех стен K=K₁+K₂. То получим функцию
𝐾(𝑥 ) = 75 ∙ 4𝑥 + 50 ∙ 4 ∙ (𝑥 +
500𝑥 +
32000
𝑥
= 500 (𝑥 +
160
32000
𝑥
𝑥
) = 300𝑥 + 200𝑥 +
=
64
𝑥
). Минимум которой требуется
найти.
/
64
64
/( )
𝐾 𝑥 = (500 (𝑥 + )) = 500 (1 − 2 ) ; 𝐾 / (𝑥 ) = 0;
𝑥
𝑥
𝑥 2 −64
50 (
𝑥2
) = 0; 𝑥 2 − 64 = 0; 𝑥 = 8
и
𝑥 = −8; 𝑥 > 0.
Следовательно,𝑥 = 8м. Поскольку 𝐾 / (𝑥 ) < 0 при 0 < 𝑥 < 8и
𝐾 / (𝑥 ) < 0при𝑥 > 8, то𝑥 = 8, тогда наименьшего значения
функции.
Т.О.
𝐾(𝑥 ) = 𝐾(8) = 500 ∙ (8 +
8000руб.min При этом размеры зала 8x10x4
64
8
) = 500 ∙ 16 =
Задача 3
Прямоугольный участок площадью 900м² необходимо
огородить забором, две смежные стороны которого
каменные, а две другие – деревянные. Один погонный метр
деревянного забора стоит 10руб., а каменного – 25руб. На
строительство забора выделено 2000руб. Хватит ли этой
суммы?
Решение
Пусть xм – ширина участка. Тогда
900
𝑥
м его длина.
Стоимость забора:
𝑃 (𝑥 ) = 10 ∙ (𝑥 +
𝑃/ (𝑥 ) = 35 ∙ (1 −
(
𝑥 2 −900
𝑥2
) = 0;
900
𝑥 + 900
900
) = 25 ∙ (
) = 35 ∙ (𝑥 +
).
𝑥
𝑥
𝑥
900
);
𝑥2
𝑃/ (𝑥 ) = 0;
𝑥 2 − 900 = 0;
35 ∙ (1 −
𝑥 = 30и
900
𝑥2
) = 0; 35 ∙
𝑥 = −30𝑥 >
0;значит
𝑥 = 30м. Поскольку𝑃/ (𝑥 ) < 0при0 < 𝑥 < 30
и𝑃/ (𝑥 ) > 0при 𝑥 > 30, то 𝑥 = 30точка наименьшего
значения функции𝑃(𝑥 ). Следовательно, min
𝑃(𝑥 ) = 𝑃(30) = 35 ∙ (30 +
900
30
) = 35 ∙ 60 = 2100руб.
Таким образом, для постройки забора не хватит 2000руб.
Ответ: не хватит
Задача 4
Определить размер такого открытого бассейна с
квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его
стен и дна было истрачено наименьшее количество
материала.
Решение
Обозначим длину стороны квадрата xм, а высоту бассейна
yм. Тогда 𝑉 (𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 = 32 м3.
Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна
равна𝑆 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦.Найдем𝑦 =
𝑥2 +
128
𝑥
32 2
м,
𝑥2
тогда𝑆(𝑥 ) = 𝑥 2 +
4∙𝑥∙32
𝑥2
=
.
Найдем производную этой функции:
𝑆(𝑥 ) = (𝑥 2 +
2𝑥 3 −128
𝑥2
= 0;
128
128
𝑥
𝑥
) = 2𝑥 −
;
𝑆(𝑥 ) = 0;
2𝑥 3 = 128; 𝑥 3 = 64;
2𝑥 −
128
𝑥
= 0;
𝑥 = 4.
Поскольку𝑆 / (𝑥 ) < 0 при0 < 𝑥 < 4 , а 𝑆 / (𝑥 ) > 0при 𝑥 > 4, то
𝑥 = 4 – точка минимума (наименьшего знания функции).
Значит наименьше размеры бассейна, заданного объема
V=32м³ такие𝑥 = 4;y=𝑦 =
Ответ: 2м; 2м и 4м
32
4²
= 2м.
Задача 5
Пусть электрическая лампочка перемещается (например на
блоке) вдоль вертикальной прямой OB. На каком расстоянии
от горизонтальной плоскости нужно её расположить,
чтобы в точке A этой плоскости освещенность была
наибольшей (OA=a)?
B
Решение
φ
O
A
a
Из курса физики известно, что освещенность прямо
пропорциональна sinL и обратно пропорциональна квадрату
расстояния AB=r т.е. E=r*sinL/r², где R-коэффициент
пропорциональности, который зависит от силы света
лампочки. За независимую переменную возьмем высоту
OB=x.
E=k*
𝑥
Тогда
sinL= ,
𝑥
=k*
√𝑥²+𝑎²∗(𝑥²+𝑎²)
E'(x)=0;
r=√𝑥² + 𝑎²,
𝑦
𝑥
0<x<+∞.
Итак,
. Найдем Производную От E(x):
3
2
(𝑥²+𝑎²)
𝑘(𝑎²+2𝑥²)
𝑎
(𝑥²+𝑎²)²
√2
=0; 𝑥² + 𝑎²=0; a²=2x²; x= . Поскольку функция
E(x) имеет только одну критическую точку, а в условии
задачи сказано, что существует положение лампочки при
𝑎
котором освещение в точке A наибольшее, то x= является
√2
искомой точкой.
Ответ:
𝑎
√2
Задача 6
Корабль стоит на якоре в 9км от ближайшей точки берега. С
корабля нужно послать матроса в лагерь, расположенный в
15км, считая по берегу, от ближайшей к кораблю точки берега
(лагерь расположен на берегу). Если матрос проходит пешком
по 5км/ч, а на веслах по 4км/ч, то в каком пункте берега он должен
пристать чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
Решение
А
D
В
С
Пусть, корабль находится в точке A. B-ближайшая к
кораблю точка берега, AB=9км. В точке C находится лагерь.
BC=15км. Пусть BD=x км, тогда
Общее время движения: t(x)=
√81+𝑥²
4
AD=√81 + 𝑥², DC=15-x.
+
14
5
;
Найдем производную от t(x):
t'(x)=(
√81+𝑥² 14
4
+ )=
5
t'(x)=0, отсюда
1∗2𝑥
2∗4√81+𝑥²
𝑥
4√81+𝑥²
-
1
5
=
𝑥
4√81+𝑥²
1
5𝑥−4√81+𝑥²
5
20√81+𝑥²
− = 0;
1
− ;
5
= 0;
5x-4√81 + 𝑥²=0;
5x-4√81 + 𝑥²;
25x²=16(81+x²);
25x²=1296+16x²; 9x²=1296; x²=144; x=12 и x=-12. По условию
задачи подходит x=12. Проверив, получаем, что x=12-точка
наименьшего значения функции t(x). Следовательно CD=3км.
Ответ: матрос должен пристать к берегу в 3км от лагеря
Задача 7
Длина вертикальной стоящей лестницы равна 5м.
Нижней конец лестницы начинает скользить с
постоянной скоростью 2М/С. С какой скоростью и с каким
ускорением отпускается в момент времени t верхний
конец лестницы?
Решение
А
O
B
Пусть в момент времени t нижний конец лестницы в
положении B,а её верхний конец в положении A. Тогда
OB=2,OA=h(t)=√25 − 4𝑡². Производная от функции h(t)скорость V(t),а производная от скорости V(t) движения
конца А лестницы.
V(t) = h'(t) = (√25 − 4𝑡²)' =
𝑎(𝑡) = 𝑉 / (𝑡) = (
−4
4𝑡
−
25−4𝑡²
)=
4𝑡
√25−4𝑡²
−4(25−4𝑡 2 )−16𝑡²
(√25−4𝑡²)³
4𝑡
=−
); 𝑎(𝑡) = −
√25−4𝑡²
−(−4𝑡)∗
8𝑡
2√25−4𝑡²
25−4𝑡²
√25−4𝑡²
=
Ответ: 𝑉 (𝑡) = (
;
√25−4𝑡²
−4∗
4𝑡
16𝑡
√25−4𝑡² √25−4𝑡²
4𝑡
100
√25−4𝑡²
100
√25−4𝑡²
=
Задача 8
Ёмкость с вертикальной стенкой и высотой h стоит на
горизонтальной плоскости. На какой глубине нужно
расположить отверстие чтобы дальность вылета воды из
отверстия была наибольшей (скорость жидкости, которая
вытекает по закону Торричелли, равна √2𝑔𝑥, где x-глубина
размещения отверстия, g-ускорение свободного падения)?
Решение
x
h
H
O
L
A
Обозначим через h расстояние, отверстия в емкости от
горизонтальной плоскости а через L – расстояние от точки А
до точки емкости. Тогда L = V t, где t – время вылета воды из
отверстия на плоскость (в точку А). Из курса физики известно,
2𝐻
что 𝑡 = √
или 𝑡 = √
𝑔
2(ℎ−𝑥)
𝑔
. Тогда 𝐿(𝑥 ) = √2𝑔𝑥 ∙ √2(ℎ − 𝑥) =
2√𝑥(ℎ − 𝑥), 0<x<h. Найдем производную 𝐿/ (𝑥 ) =
уравнение
ℎ−2𝑥
√𝑥(ℎ−𝑥)
ℎ−2𝑥
√𝑥(ℎ−𝑥)
; Решая
ℎ
= 0 находим, что 𝑥 = 2. Поскольку это
единственная критическая точка, то она и будет искомой.
Ответ:
ℎ
2
Задача
Из квадратного листа жести со стороной А надо изготовить
открытую сверх коробку. Какой должна быть сторона
основания коробки, чтобы, её оббьем был максимальным?
2
Ответ: 𝑎
3
Задача
Дано бревно радиусом К. Найти размеры сечения балки,
которая имеет наибольшую прочность.
Ответ: ширина а =
𝟐К√𝟑
,
𝟑
высота k=
𝟐К√𝟔 𝒉
, = √𝟐
𝟑 𝒂
Задача
Человек приближается со скоростью b м/с и подножию
башни h м. Какова скорость его приближения к вершине
башни, когда он находится на расстояние от основания,
Ответ: V=
𝒃𝒍
.
√𝒉²+𝒍²
Задача
В степи, в 9км к северу от шоссе, идущего с запада на
восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от
ближайшей к поисковой партии точки, точки лежащей на
шоссе находится райцентр. Поисковая партия отправляет
курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть
маршрут следования курьера, чтобы он, если известно, что
по степи он едет со скоростью 8км/ч, а по шоссе 10км/ч.
Ответ: 12км
Задача
Открытый бак с квадратным основанием должен вмещать в
Vлитров жидкости. При каких размерах на него
изготовление пойдет наименьшее количество материала?
𝒗
Ответ: a=√𝟐𝒗; h=√ ; a:h=2
𝟒
Задача
Через прямоугольное окно выкосят прямоугольные
предметы. Длина диагонали окна 16см и угол 60°. Каким
должен быть размеры прямоугольного предмета, чтобы
площадь его была наибольшая?