Моделирование начальных неоднородностей

Вероятностный фактор при численном моделировании динамического разрушения.
Пашков С.В. email: [email protected] http://ps300.narod.ru
НИИ Прикладной Математики и Механики Томского Государственного Университета
При динамическом нагружении и, в частности, при взрыве, в любом конечном
объеме твердого тела развивается большое количество трещин, приводящее к
образованию осколков самых разнообразных размеров и форм, различающихся даже для
геометрически одинаковых объектов, изготовленных из одного и того же материала.
Поэтому, при попытке моделировать естественное дробление твердых тел возникают
проблемы, связанные с тем, что на картину фрагментации существенное влияние
оказывает наличие внутренних неоднородностей и микроповреждений. В процессе
нагружения твердого тела происходит локализация деформаций на дефектах структуры,
тем самым появляется вероятностный фактор, во многих случаях играющий
превалирующую роль и определяющий характер фрагментации. В связи с этим, при
моделировании задач дробления, возникает необходимость учета начальных
неоднородностей, в противном случае, деформации будут распределены равномерно и
картина разрушения будет искажена – особенно критично это для задач, геометрически
осесимметричных, например, при разрушении оболочек вращения.
В реальных материалах процесс разрушения всегда определяется внутренней
структурой среды, наличием неоднородностей, как правило, вызванных различной
ориентацией зерен в поликристаллическом материале или неоднородностями в составе
композиционных материалов, различием в микропрочности внутри зерна и на
межзеренной или межфазной границе. Анизотропность свойств каждого зерна (различие
упругих модулей компонентов в композиционном материале) вызывает концентрацию
напряжений и неоднородность деформации на микроуровне, что, по мере нагружения,
приводит к локализации разрушения. В связи с этим, для повышения степени
соответствия численно моделируемого процесса с экспериментальными данными,
необходимо внести определенные возмущения в физико-механические характеристики
разрушаемой среды, причем представляет определенный интерес случайное
распределение факторов, определяющих прочностные свойства материала. При такой
постановке задачи процесс разрушения приобретает вероятностный характер, что
соответствует теоретическим представлениям и экспериментальным данным.
Введение в методику расчета сведений о поликристаллической структуре материала
требует большого количества экспериментальных данных и повышенных требований к
мощностям вычислительной техники, что ограничивает возможности реализации и
применения подобного подхода. В связи с этим, предлагается упрощенный вариант
моделирования вероятностного механизма разрушения.
Физико-механические характеристики среды, отвечающие за прочность, считаются
распределенными случайным образом по объему материала. Такие характеристики, как
плотность, модуль сдвига, модуль объемного сжатия, для безградиентного однофазного
материала практически не зависят от числа дефектов и при распределении по объему эти
величины можно считать постоянными. В то же время такие параметры, как предел
текучести, предел прочности, максимальные деформации и прочие константы,
определяющие момент наступления разрушения в различных теориях прочности и
критериях разрушения, напрямую зависят от числа и размера дефектов и должны быть
распределены по объему случайным образом, с дисперсией, зависящей от однородности
материала.
Численные эксперименты показывают [1], что на формирование осколочного
спектра дисперсия начального распределения прочностных свойств влияет гораздо
сильнее, чем его форма, что позволяет в аналитических и численных расчетах
использовать нормальный закон, регулируя уровень неоднородности внутренней
структуры изменением дисперсии распределения.
В расчетах, для моделирования начальных неоднородностей применяется
следующий подход. Некоторый параметр или параметры - как правило, коэффициент
разрушения или предел текучести, распределяется по ячейкам или узлам (в зависимости
от выбранного подхода к описанию разрушения) расчетной области по нормальному
закону распределения. Под коэффициентом разрушения здесь понимается отношение
критического значения параметра поврежденности в данной ячейке (узле) к
номинальному значению, например, при использовании деформационных критериев отношение критического значения эквивалентной пластической деформации к
максимальной
деформации.
Распределение
осуществляется
с
помощью
модифицированного генератора случайных чисел, выдающего величину, подчиняющуюся
выбранному закону распределения.
Вопрос корреляции распределяемых величин достаточно важен, однако он,
фактически, предполагает моделирование вполне определенной структуры, что в свою
очередь, требует большого количества экспериментальных данных и создания модели
среды с наличием такой структуры (применительно к численному моделированию на
дискретной сетке). Ввиду сложности данного вопроса, при распределении различных
параметров их можно считать независимыми (если используемая модель накопления и
роста поврежденности не предполагает явной связи между ними). Например,
максимальное значение эквивалентной пластической деформации (при использовании
деформационных критериев) и предел текучести, с точки зрения микроуровня
независимы: дефекты на межзеренной границе могут препятствовать пластическим
деформациям, но в то же время, приводить к более раннему образованию микротрещины.
Поскольку Гауссовское распределение определено на всем пространстве, от минус
бесконечности, до плюс бесконечности, в практических приложениях требуется
ограничить интервал, исключив области, вероятность попадания в которые близка к нулю.
В силу этого на практике, как правило, для распределения случайных величин по
нормальному закону используют отрезок (в зависимости от дисперсии распределения),
например, 10%-го отклонения от номинального значения, что позволяет исключить
нефизические значения случайных величин.
Разрушение оболочек является хорошей модельной задачей для демонстрации
данного подхода. На рисунках 1-4 представлены примеры расчета задачи разрушения
толстостенной цилиндрической оболочки под действием продуктов детонации ВВ, в
плоской постановке исследованной в [2]. Как видно из представленных рисунков,
разрушение начинается с внутренней поверхности путем зарождения многочисленных
трещин сдвига (рисунки 1, 3), затем зона дробления распространяется вглубь оболочки и
на заключительном этапе происходит разрушение слоя, прилегающего к внешней
поверхности, путем образования радиальных трещин отрыва (рисунки 2, 4).
Вероятностный характер прослеживается на всех этапах разрушения, результирующий
осколочный спектр качественно подтверждает экспериментальные данные о
бимодальности распределения фрагментов оболочки.
Медная оболочка
Стальная оболочка
Рисунок 1. Время t=22мкс.
Рисунок 3. Время t=4.5 мкс
Рисунок 2. Время t=27мкс
Рисунок 4. Время t=12 мкс.
На рисунках 5-8 представлены результаты моделирования в трехмерной постановке
разрушения оживальной оболочки, заполненной ВВ, при торцевом расположении
детонатора [3]. Вероятностный характер формирования осколков отчетливо
прослеживается на внешней поверхности оболочки, где можно наблюдать локализацию
деформаций и образование магистральных трещин. На заключительных стадиях процесса,
когда разрушение закончено и продолжается свободный разлет осколков, можно
наблюдать осколки различных размеров.
Рисунок 5. Время t=10 мкс
Рисунок 6. Время t=45 мкс
Рисунок 7. Время t=60 мкс
Рисунок 8. Время t=90 мкс
Лепесткование (пробитие тонкой преграды ударником с образованием характерных
рваных краев) также является наглядным примером задачи, которую невозможно решить
без привлечения вероятностного механизма. На рисунках 9-11, для разных скоростей
соударения, представлены результаты моделирования пробития ударником оживальной
формы (диаметром 6,6см) тонкой преграды толщиной 2,3мм. Расчет наглядно показывает,
как с изменением параметров эксперимента меняется число "лепестков".
Медь, скорость 150 м/с => 4 "лепестка"
Медь, скорость 300 м/с => 5 "лепестков"
Сталь, скорость 300 м/с => 6 "лепестков"
Таким образом, даже для геометрически симметричных задач, использование
данного подхода для внесения начальных неоднородностей в физико-механические
свойства материала приводит к вероятностному разрушению и приближению к
естественной форме дробления.
Фактически, описываемый подход, для моделирования внутренней структуры среды
(неоднородностей, дефектов и в итоге вероятностного разрушения) предполагает введение
в модель материала всего одного дополнительного параметра – дисперсии распределения
прочностных свойств, что, как показывают численные эксперименты [1], позволяет в
определенной степени влиять на характер дробления и результирующий осколочный
спектр. Здесь надо понимать, что данный параметр влияет только на вероятностный
фактор разрушения, сам характер разрушения и предельные нагрузки определяются
непосредственно моделью материала, в первую очередь описанием накопления
поврежденности и критерием разрушения.
Стоит отметить, что в реальных ситуациях, помимо дефектов структуры, большое
влияние на характер трещинообразования играют остаточные внутренние напряжения в
материале. Их наличие может быть вызвано, как правило, особенностями кристаллизации
для металлов, отливки и усадки для пластмасс, затвердевания при химических реакциях.
При наличии внутренних напряжений, энергия, необходимая для образования
микротрещины и ее роста, может быть гораздо меньше значений, рассчитанных по
классической механике трещин. Таким образом, даже при отсутствии каких либо явных
внутренних дефектов, незначительное нагружение может привести к образованию
трещины, а иногда и разрушению или фрагментации всего образца. Подход к
вероятностному разрушению, описанный выше, можно применить и для таких ситуаций,
моделируя внутренние напряжения распределением какого либо параметра, однако
потребуется значительное усложнение используемой модели материала и критерия
разрушения.
Работа выполнялась при поддержке Гранта Президента МК-8981.2006.8, при
частичном финансировании по программе Минобразования РФ “Развитие научного
потенциала высшей школы (2006-2008 годы)“ (проект РНП 2.1.2. 2398), грантов РФФИ №
05-08-01196a и №06-08-00903а
Литература
1. А.В. Герасимов, С.В. Пашков. Влияние дисперсии начального разброса прочностных
свойств на осколочный спектр // сб. Фундаментальные и прикладные проблемы
современной механики. Доклады II Всероссийской научной конференции, Томск, 6-8
июня 2000г, стр.77-78
2. А.В. Герасимов, С.В. Пашков. Фрагментация толстостенных упругопластических
оболочек при взрывном нагружении // Химическая физика, 2002, т.21,№9, с.34-36
3. А.В. Герасимов, С.В. Пашков. Моделирование естественного дробления твердых тел
при ударных и взрывных нагружениях // Химическая физика, 2005, т.24,№11, с.48-54