Программа спецкурса “ для аспирантов
реклама
ФГАОУВПО
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ
М. В. Еремин
Микроскопические модели в
конденсированных средах
Конспект лекций
Казань 2011
УДК 538.9
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Учебно-методического совета Института физики
Протокол № 3 от 28 апреля 2011 г.
заседания кафедры Квантовой электроники и радиоспектроскопии
Протокол № 9 от 13 апреля 2011 г.
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Б.З. Малкин
доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. КФТИ КазНЦ РАН В. Ф. Тарасов
Еремин М. В.
Микроскопические модели в конденсированных средах:
Учебное пособие / М.В. – Казань: Казанский (Приволжский)
федеральный университет, 2011. – 113с.
Учебное пособие является конспектом лекций по курсу
«Микроскопические модели в конденсированных средах»,
который читался автором для студентов-магистров первого года
обучения в 2010-2011 годах. Данный курс входит в группу «Ф»
профессионального
цикла
подготовки
магистров
по
направлению 011200.68 - «Физика» и является необходимым
для изучения в рамках магистерской программы «Современные
проблемы физики».
© Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2011
Еремин М. В., 2011
2
Содержание
1. Метод канонических преобразований
в теории возмущений……………………………..5
2. Суперобменное взаимодействие
2.1. Кинетический антиферромагнитный обмен………..13
2.2. Кинетический ферромагнитный обмен……………..17
2.3. Косвенное суперобменное взаимодействие.
Квантовая интерференция …………………………….…22
2.4. Анизотропное симметричное обменное
взаимодействие…… ……………………………..…….….27
2.5. Антисимметричное обменное взаимодействие…..…30
2.6. Биквадратичное обменное взаимодействие……….. .36
2.7.Двойной обмен (Double exchange) ……………………38
2.8.Обменное взаимодействие ионов смешанной
валентности.………………………………………………...40
2.9. Обменное взаимодействие ионов в кристаллах
типа KMeF3…………………..……………………….……43
2.10. Обменно-дипольные переходы ……………………..46
Взаимодействие электронов проводимости через
поле фононов………………………………….………… .. 49
3.
3.1 Гамильтониан модели Бардина,
Купера, Шриффера …………………………………….. …54
3.2. Уравнение для параметра порядка при переходе в
состояние с волнами зарядовой плотности ………………56
4.
Модели перехода металл- диэлектрик
4.1. Модель Пайерлса…………………………………….. ..57
4.2. Переход Мотта…… ……………………
..…….…63
4.3. Модель Хаббарда…… ……………
………..….....65
4.4. Метод функций Грина… …………
………………69
5. Сверхпроводники.
3
5.1. Суперобменный механизм спаривания
носителей тока………………………………………………74
5.2. Спиновая восприимчивость сверхпроводников……...81
5.3. Оператор сверхпроводящего тока ……………….....…87
5.4. Оператор диамагнитной компоненты тока………….. 90
5.5. Среднее значение парамагнитного тока……………... 91
5.6. Среднее значение диамагнитной компоненты тока… 94
6. Функция диэлектрической проницаемости
6.1. Продольная и поперечная проницаемости.
Оптическая проводимость…….….…………………… … 96
6.2. Плазмоны…………………………….………………...103
6.3. Перенормировка фононных мод. Экранирование
кулоновского взаимодействия…….………….…..………106
Литература ………..……………………………………..…. 112
4
Метод канонических преобразований в теории
возмущений
Наиболее часто встречаются два варианта задач. Первый имеется две подсистемы, например электроны и фононы.
Требуется выяснить, каким образом электрон-фононное
взаимодействие меняет энергетический спектр электронов
проводимости. Впервые эта задача была решена Фрелихом.
Второй тип задач - имеются основное и
возбужденные
конфигурации некоторой
квантовой системы и имеется
возмущение, перепутывающее состояния этих конфигураций.
Требуется выяснить, каким образом меняется энергетический
спектр основной конфигурации под действием возмущения.
Оба типа задач успешно могут быть решены излагаемым ниже
методом. При этом удаётся рассмотреть поправки довольно
высоких порядков теории возмущений. Для наглядности
используем энергетическую схему, характерную для второго
варианта. В теории свободного атома эта схема обычно
фигурирует под названием метода наложения конфигураций
или метода взаимодействия конфигураций. В теории
парамагнетизма
этим методом, как правило, и находят
микроскопические выражения для параметров эффективных
( феноменологических) спиновых гамильтонианов.
5
Рис. 1 Схема уровней энергии.
Блочный вид матрицы гамильтониана
H H (0) H (1) H (2)
выглядит следующим образом:
(0)
Em
V
m,m' m,m'
H (2)
l ,m'
H (2)
m,l '
. (1.1)
E (0) V
l l ,l ' l ,l '
Предполагается, что H m,l Vm,m' El
( 2)
( 0)
Em( 0) .
Вспомним классическое определение: «переход к другой
“системе
координат” путем преобразования подобия для
операторов H UHU 1 и одновременной заменой волновых
функций на U называется каноническим преобразованием»
[1.1] ».
Проведём преобразование
H eff e S He S
(1.2)
6
так, чтобы матричные элементы между состояниями основной и
возбужденной конфигураций стали как можно меньше, т. е.
требуем, чтобы с заданной точностью
(H
)
(eS HeS )
0.
eff m,l '
m,l '
(1.3)
Это уравнение является исходным для нахождения оператора S.
Определив этот оператор, по формуле (1.2) можно построить
матрицу эффективного гамильтониана.
Она будет иметь
блочно-диагональный вид
(H
)
0
eff m,m'
.
0
(H )
eff l ,l '
При этом, как правило,
(1.4)
интересуются лишь видом блока
( H eff ) m , m ' . Условие унитарности оператора преобразования
e S 1 S
1 2 1 3
S S ...
2
3!
(1.5)
сводится к условию S S . т. е. матрица S - антиэрмитова.
Для обеспечения эрмитовости из оператора S иногда явно
выделяют мнимую единицу, т. е. пишут S=iL. Ниже мы
используем обозначения как в книге [1.2], в которой дается
наиболее подробное изложение данного метода. Ниже, в
учебных целях, дадим упрощенное изложение метода. В книге
[1.3] данная тема фигурирует под названием “ Операторная
форма теории возмущений”. Там терминология и обозначения
несколько другие. Эффекты, связанные с возбужденными
конфигурациями, “проектируются” на состояния основной
конфигурации. Суть же метода та же самая.
Итак, подставляя (1.5) в (1.2), находим
H eff e S He S
7
1
1
1
H [ H , S ] [[ HS ]S ] [[[ HS ]S ]S ] ... [[...[ HS ]S ]...]
2
6
n!
(1. 6)
План дальнейших преобразований состоит в следующем.
Матрица H разбивается на блочно-диагональную и
недиагональную части H H (0) H (1) H (2) . Матрица H(2) не
содержит диагональных матричных элементов по состояниям
электронных конфигураций. Матрица H (1) содержит только
блочно - диагональную часть возмущения.
Для начала проведем рассмотрение с точностью до членов
третьего порядка малости. Разлагая экспоненты в ряд, имеем:
e S He S H (0) H (1) H (2)
1
1
[ H (0) S ] [[H (0) S ]S ] [[[H (0) S ]S ]S ]
2
6
1
[ H (1) H (2) , S ] [[H (1) H (2) , S ]S ].
2
Матрицу
(1.7)
искать методом последовательных
приближений в виде S S (1) S (2) S (3) . В (1.7) группируем
члены одного порядка малости:
S
будем
e S He S H (0)
H (1) H (2) [ H (0) S (1) ]
1
[ H (0) S (2) ] [[H (0) S (1) ]S (1) ] [ H (1) S (1) ] [ H (2) S (1) ]
2
1
1
[ H (0) S (3) ] [[H (0) S (1) ]S (2) ] [[H (0) S (2) ]S (1) ]
(1.8)
2
2
1
[[[H (0) S (1) ]S (1) ]S (1) ]
6
1
[ H (1) , S (2) ] [[H (1) S (1) ]S (1) ]
2
1
[ H (2) , S (2) ] [[H (2) S (1) ]S (1) ]
2
Диагональная часть оператора H
должна содержать
eff
коммутаторы H (0) и H (1) с четным числом операторов S и
8
коммутаторы H (2) с нечетным числом операторов S.
Недиагональная же часть правой части (1.8) (та, что должна
обратиться в ноль) должна содержать коммутаторы H (0) и
H (1) с нечетным числом операторов S и коммутаторы H (2) с
четным числом операторов S . Учитывая это обстоятельство,
условие обращения в нуль недиагонального блока записывается
в виде цепочки равенств. Число уравнений соответствует
рассматриваемому порядку теории возмущений.
H (2) [ H (0) S (1) ] 0
(1.9)
[H (0) S (2) ] [H (1) S (1) ] 0
(1.10)
1
[ H (0) S (3) ] [[[H (0) S (1) ]S (1) ]S (1) ]
6
1
[ H (1) , S (2) ] [[H (2) S (1) ]S (1) ] 0
2
(1.11)
Уравнение (1.11) с учетом (1.9) можно переписать в виде
1
[H (0) S (3) ] [H (1) , S (2) ] [[H (2) S (1) ]S (1) ].
3
(1.12)
(0) E (0) )S , находим правило
Учитывая, что [ H (0) S ]
( Em
m,l
m,l
l
вычисления матричных элементов оператора S
S
(1)
m ,l
S
( 2)
m ,l
H m( 2,l)
E m( 0 ) El( 0 )
,
(1.13)
[ H (1) S (1) ]m ,l
E m( 0 ) El( 0 )
Из (1.8) находим выражение для матричных элементов
эффективного гамильтониана
9
)
E (0)
H (1) [ H (2) S (1) ]
m,m'
m,m'
m,m'
eff m,m'
1
[[ H (0) S (1) ]S (1) ]
m,m'
2
1
1
[[ H (0) S (1) ]S (2) ]
[[ H (0) S (2) ]S (1) ]
m,m' 2
m,m'
2
1
[[ H (1) S (1) ]S (1) ]
[ H (2) , S (2) ]
m,m'
m,m'
2
(H
(1.14)
Для упрощения (1.14) используем соотношения (1.9) и (1.10)
1
(H )
E (0)
H (1) [ H (2) S (1) ]
m,m' m,m' 2
m,m'
eff m,m'
1
1
[ H (2) , S (2) ]
E (0)
H (1) [ H (2) S (1) ]
m,m'
m,m' m,m' 2
m,m'
(1.15)
2
[ H (1) S (1) ]
[ H (1) S (1) ]
1
l,m'
m,l (2)
H (2)
H
l ,m'
(
0
)
(
0
)
2 l m,l E (0) E (0)
E Em
m'
l
l
Нередко оказывается так, что энергетические разности
(0) велики по сравнению с расщеплениями состояний
E (0) Em
l
основной и возбужденной конфигураций. Тогда энергетические
знаменатели можно считать не зависящими от индекса m , т.е.
(0) E (0) E (0) . В этом случае поправочные члены
E (0) Em
m'
l
l
l
к эффективному гамильтониану записываются компактнее:
1
H (1) H (2) H (2)
m,m'
m,m' l ml lm'
eff m,m'
l
1 1
H (2) [ H (1) H (2) ]
[ H (1) H (2) ] H (2)
l ,m'
m,l l ,m'
2 l 2 m,l
l
(H
)
E (0)
(1.16)
Когда расщепления состояний возбужденной конфигурации
много меньше энергетического интервала между центрами
тяжестей рассматриваемых конфигураций, энергетические
10
знаменатели l можно вынести за знак сумм, соответствующих
состояниям одной и той же возбужденной конфигурации. В том
случае расчет сумм сильно упрощается. В особенности он
становится простым при использовании техники вторичного
квантования.
Конкретные
примеры
расчетов
будут
проиллюстрированы ниже.
Далее обсудим вопрос, как строить эффективные операторы
других физических величин. Пусть F - некий оператор
взаимодействия системы с внешним полем, например, с
электрическим полем. В данном методе любой эффективный
оператор строится по правилу
F eS Fe S
eff
F [ FS ] 1 [[FS ]S ] 1 [[[FS ]S ]S ] ...
2
6
(1.17)
Отсюда, после использования формулы (1.13), во втором
приближении теории возмущений имеем:
H (2) F
F H (2)
ml lm' ml lm'
(F )
F
m,m'
eff m,m'
(
0
(0) l E (0) E (0)
l E ) Em
m'
l
l
(1.18)
В дальнейшем нам потребуется вид эффективного
гамильтониана с точностью до шестого порядка теории
возмущений. Дополнительные к (1.13) уравнения для
определения матричных элементов оператора S имеют вид:
11
S
( 3)
m ,l
S
( 4)
m ,l
S
(5)
m ,l
[ H (1) S ( 2 ) ]m ,l
E m( 0 ) El( 0 )
[ H (1) S ( 3) ]m ,l
E m( 0 ) El( 0 )
[ H (1) S ( 4 ) ]m ,l
E m( 0 ) El( 0 )
( 2 ) (1)
(1)
1 [[ H S ]S ]m ,l
3
E m( 0 ) El( 0 )
( 2) ( 2)
(1)
( 2) ( 2)
(1)
1 [[ H S ]S ]m ,l 1 [[ H S ]S ]m ,l
3
3
E m( 0 ) El( 0 )
E m( 0 ) El( 0 )
( 2) ( 2)
( 2)
( 2 ) ( 3)
(1)
1 [[ H S ]S ]m ,l 1 [[ H S ]S ]m ,l
3
3
E m( 0 ) El( 0 )
E m( 0 ) El( 0 )
( 2 ) (1)
( 3)
( 2 ) ( 3) ( 4 )
1 [[ H S ]S ]m ,l
1 [ H S ] m ,l
3
45 E m( 0 ) El( 0 )
E m( 0 ) El( 0 )
(1.19)
Общая формула для эффективного гамильтониана такова:
1
H d H H (1) [ H (2) , (S (1) S (2) S (3) S (4) S (5) ]
0
eff
2
1
[[H (2) S (1) ]S (1) ]S (1) ]
24
(1.20)
1
1
(
2
)
(
2
)
(
1
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
[[[H S ]S ]S ] [[[H S ]S ]S ]
24
24
1
1
[[[H (2) S (1) ]S (1) ]S (2) ] [[[[[H (2) S (1) ]S (1) ]S (1) ]S (1) ]S (1) ]
24
144
Задача. Найти поправки к оператору (1.18) в третьем порядке
теории возмущений.
12
Суперобменное взаимодействие
2.1. Кинетический антиферромагнитный обмен
Для пояснения основной идеи, следуя работе Anderson P.W.
Phys. Rev, 115, 2-13 (1959), рассмотрим два магнитных иона в
точках (a) и (b). На каждом из центров находится по одному
спину. Каждый из спинов имеет два состояния – вверх и вниз.
Так что основное состояние пары ионов четырёхкратно
вырождено. Найдем вид эффективного спинового оператора,
обусловленного перескоками электрона с одного центра на
другой. Схема перескоков электрона показана на Рис. 2.1
Расчет проводится во втором порядке теории возмущений.
Рис. 2.1 . Схема перескоков электрона с центра а на центр b
и обратно.
H
(2)
t
a b t b a .
' ' ' '
Используя (1.13), пишем
13
(2.1)
t
'
(1)
S ( a b)
a b .
'
m,l
(2.2)
Подставляя их в эффективный оператор,
1
H d H H (1) [ H (2) S (1) ] ...
0
eff
2
(2.3)
получаем
1 (2) (1)
H
[H S ]
eff 2
t a b t b a
t b a t a b .
(2.4)
' ' ' '
' ' ' '
a
b
ba
'
'
Составим
матрицу
оператора
в
t ab t b a '
' ' '
представлении
произведения функций
1
1
2
2
. Заметим
предварительно, что перескок электрона происходит без
переворота спина. Это следует из правила отбора матричного
p2
элемента t
V ' по спину. Вычисляем матричные
'
2m
элементы по спиновым переменным
, t a b t b a , t
' ' ' '
,
2
0 b a a b t b a a b 0
' ' '
2
2
t
0b a a b b a a b 0 t
0 b a a b b b 0 0,
'
14
, t
a b t b a , t
, ' ' ' '
,
2
, t
a b t b a , t
, ' ' ' '
,
2
0 b a a b b a a b 0
' '
2
2
t
0b a a b b a a b 0 t
0 b a a b b b 0
,
,
'
2
2
2
t
0b a a b 0 t
0b b 0 t
,
,
,
,
0 b a a b b a a b 0
' '
2
2
t
0b a a b b a a b 0 t
0 b a a b b b 0
,
,
'
2
2
t
0 b b b b 0 t
.
,
,
2
Итак, в единицах t
матрица имеет вид:
, . , ,
,
0
0
0
0
,
0
1
1
0
,
0
1
1
0
,
0
0
0
0
(2.5)
Легко проверить, что все матричные элементы могут быть
воспроизведены следующим спиновым оператором
1
2
(
s
s
)
2 t
2
(2.6)
15
Следовательно,
эффективный
взаимодействия имеет вид:
оператор
обменного
2
t
H
4
eff
,
1
(
s
s
)
4
(2.7)
Словесное пояснение смысла квадратной скобки таково. Из-за
принципа Паули, переброс спина с одного узла на другой
возможен лишь при антипараллельной их ориентации. В этом
случае скалярное произведение спинов отрицательно. Энергия
системы спинов понижается. При параллельной ориентации
спинов перескоки запрещены. Квадратная скобка обращается в
ноль.
Обобщение теории Андерсона на случай нескольких
электронов у взаимодействующих атомов рассматривалось в
ряде работ. Хороший обзор полученных результатов в этом
направлении приведен в книге
[2.2]. Сжатое изложение
многоэлектронной
теории
кинетического
обменного
взаимодействия в кристаллах с учетом, как спиновых, так и
орбитальных моментов взаимодействующих ионов дано в [2.3].
Там же проведено сравнение расчётов с экспериментальными
данными для пар ионов, находящихся
в основных и
возбужденных состоянияx. Четкая корреляция силы обменного
взаимодействия с величиной энергетического знаменателя в
2
убедительно свидетельствует, что механизм
t
/
Андерсона является доминирующим механизмом обменного
взаимодействия в соединениях с незаполненными 3dоболочками.
16
2.2. Кинетический ферромагнитный обмен
Встречаются случаи, когда интегралы перескока между
полузаполенными орбиталями магнитных ионов равны нулю.
Пример пара ионов Ni2+ и V2+ в KMgF .
3
Рис.2.2. Схематическое распределение волновых функций для
спинов, занимающих состояния 3z 2 r 2 и xz . Знаки
соответствуют фазам волновых функций.
Рассмотрим процесс, связанный с перескоком электрона из
заполненной оболочки иона а в незаполненную оболочку иона
b.
a b t b a
(2.8)
, ' ' ' '
Здесь индексы и относится к заполненной орбитали
'
H (2) t
иона а.
1
H (1) a a g ' ' a a
1 2 12 1 2 ' '
2
17
(2.9)
Рис. 2.3. Схема перескоков электрона из заполненного
состояния иона a в полузаполненное состояние иона b. Двойная
пунктирная линия соответствует оператору кулоновского
взаимодействия электронов.
1
1
H d H H (1) [ H (2) S (1) ] [ H (2) S (2) ]
0
eff
2
2
(2.10)
Отметим, что первая поправка 1 [ H (2) S (1) ] в данном случае
2
обращается в ноль. Привлекаем к рассмотрению
[ H (1) S (1) ]
m,l ,
S (2) m,l
Em E
l
(2.11)
t
' a b .
(
1
)
S m,l
'
(2.12)
Вычисляем коммутатор
18
t
1
'
[ a a g ' ' a a ,
a b ]
1 2 12 1 2 ' '
'
m,l 2
t
1
'
a a g ' ' a
b
'
1 2 12 1 2 ' ',
2
t
1
'
a a g ' '
a
b
1 2 12 1 2 ', '
'
2
t
1
'
a a g ' a
b
'
1 2 12 1 2 '
2
t
1
'
(2.13)
a a g ' a
b .
'
1 2 12 1 2 '
2
[H
(1) (1)
S ]
Затем запишем
коммутатор
произведение
операторов,
входящих
1 (2) (2)
1
(2)
[ H S ] S (2) H l ,m h.c.
2
2 m,l
t
1
'
'
a a g a
b t ba
2 ' ' '
1 2 12 1 2 '
4
в
(2.14)
1
a a g ' a
1 2 12 1 2 '
4
t
'
b t b a h.c..
2 ' ' '
Здесь индекс ' относится к заполненной орбитали иона а.
Оператор предназначен для расчетов в основном состоянии.
Если оператор a переставить налево, то соответствующее
'
выражение должно обратиться в ноль, так как орбиталь
' заполнена. Там нет пустых мест. Это соображение позволяет
провести упрощения.
19
1 (2) (2)
[H S ]
2
t
1
1
'
a ' g ' a
b t b a
1 2 12 1 2 '
2 ' ' 4
4
t
1
1
'
a ' g ' a
b t b a
1 2 12 1 2 '
2 ' ' 4
4
' g ' a
1 2 12 1 2 '
' g ' a
1 2 12 1 2 '
t
'
b t b
2 ' '
t
'
b t b h.c..
2 ' '
(2.15)
Так как оператор g12 симметричен относительно перестановки
индексов, можем провести смену номеров электронов
1 (2) (2)
[H S ]
2
t
t
1
1
'
'
a ' g ' a
b t b a ' g ' a
b t b
1
2
12
1
2
'
2
'
'
1
2
12
1
2
'
2
' '
4
4
t
t
1
1
'
'
a ' g ' a
b t b a ' g ' a
b t b h.c.
1 2 12 1 2 '
2 ' ' 4
1 2 12 1 2 '
2 ' '
4
t
t
1
1
'
'
a ' g ' a
b t b a ' g ' a
b t b h.c..
1
2
12
1
2
'
2
'
'
1
2
12
1
2
'
2 ' '
2
2
(2.16)
В первой сумме правила отбора по спиновым квантовым
числам таковы
σ η σ λ σξ ' ,
(2.17)
σ η' σ λ ' σ ξ .
Этот оператор может быть воспроизведен в представлении
спиновых функций оператором
1
2(s s ) 2
g
2
1 2 12 1 2 t
.
2
20
(2.18)
Во
второй
сумме
, .
'
'
'
Поэтому
эта
сумма
t t
.
g
1 2 12 1 2
2
В итоге имеем
правила
сводится
отбора
к
2
1 (2) (2)
3 g
[ H S ] 2(s s ) 1 2 12 1 2 t
.
2
2
2
иные
числу
(2.19)
Здесь дополнительно учтено, что для эквивалентных электронов
g
g . . В (2.19) вошел обменный
1 2 12 1 2
1 2 12 2 1
интеграл от кулоновского взаимодействия электронов. В теории
свободного атома именно такого рода интегралы приводят к
тому, что состояния атомов с максимальным спином имеют
минимальную энергию. Учитывая это обстоятельство, механизм
ферромагнитной связи можно интерпретировать следующим
образом. Перескок электрона из заполненной орбитали
осуществляется так, чтобы: 1) не войти в противоречие с
принципом Паули на центре в , 2) при этом промежуточное
состояние иона а должно соответствовать правилу Хунда, т. е.
процесс перескока будет соответствовать минимальной
энергии, если спины электронов на центре a будут
параллельными.
Задача. Соединение EuO является ферромагнетиком.
Температура Кюри составляет 69.4 K. Основная электронная
конфигурация у иона Eu2+ - 4f7 . Нижайшая из возбужденных
конфигураций -4f65d. Интеграл перескока электрона из 4fоболочки одного иона в незаполненную 5d оболочку другого
много больше, чем в 4f –оболочку. В этой связи естественно
ожидать, что процессы виртуального переноса электрона из 4fоболочки одного иона в незаполненную 5d-оболочку другого
21
являются
доминирующими
в
механизме
обменного
взаимодействия между ионами Eu. Найти вид эффективного
спинового
гамильтониана,
соответствующего
такому
механизму. Получить формулу для параметра обменного
взаимодействия через интегралы перескока и обменной
интеграл кулоновского взаимодействия 4f- и 5d- электронов,
находящихся на одном и том же узле.
2.3. Косвенное суперобменное взаимодействие.
Квантовая интерференция
Максимально упрощенная модель три центра – четыре
электрона изображена на рис. 2.4
Рис. 2. 4. Схема каскадных перескоков электрона с иона a на
ион
b через диамагнитный ион с (механизм Андерсона).
Греческие буквы обозначают состояния электронов на
соответствующих ионах. Цифры и стрелки соответствуют
последовательности и направлению перескоков электрона.
22
Рис. 2.5. Схема возбуждения, соответствующая
каскадным перескокам на рис. 2.4.
Матричные элементы эффективного оператора определяются
следующим образом:
1
1
H (4) [ H (2) , S (3) ]
[[[H (2) S (1) ]S (1) ]S (1) ]
. (2.20)
m,m' 24
m,m'
m,m' 2
Здесь много слагаемых, но для описания суперобменного
взаимодействия нужны только два
(2) H (1) H (1) H (2)
H
1
ml ll' l 'l '' l ''m'
H (4) (суперобмен)
э.с. (2.21)
m,m'
2 ( Em E )(E E )(E E )
l m'
l ' m'
l ''
Здесь роль H (2) выполняет оператор
H
(2)
b c t c b .
' ' ' '
t
Матричные элементы H (1) определяются оператором
ll '
(1)
a
H t ac t c
' '
' '
23
(2.22)
(2.23)
Учитывая все это, для приведенной на рис.2.5 схемы возбуждения,
имеем:
b t a c
c a t b c t c
' ' ' ' ' ' '
1 '
H (4) (b a)
э.с.
2
( Em E )(E E )(E E )
l m'
l ' m'
l ''
(2.24)
В соединениях переходных металлов энергии переноса электрона
велики по сравнению с Em Em' и El El ' , поэтому выносим их за
t
знак суммы по магнитным квантовым числам. В основной
электронной конфигурации оболочки промежуточного иона
полностью заполнены. Это обстоятельство позволяет провести
упрощение вида
m c c c
' c ' m' ' '.
Таким образом,
приобретает вид
(2.25)
эффективный
оператор
взаимодействия
t a t b t b t a
1 ' ' ' '
(
4
)
H (b a)
э.с.
2
t
t t t
(2.26)
1
2( s s ) 2
В магнетизме обычно имеют дело с ионами, находящимися в
состояниях с максимальным спином. В этом случае справедливы
соотношения
S
b ,
2S
b
(2.27)
S
s a .
2S a
Оператор суперобменного взаимодействия приобретает вид:
H (4) (b a) H (4) (a b) J (S a S ) ,
(2.28)
ab
b
s
24
где
t t t t
2
J
ab S a S
b
.
(2.29)
Обратим внимание, что по сравнению с формулой (2.8), здесь
имеется новое качество. Для пояснения его рассмотрим случай,
когда в роли промежуточного иона имеется не один, а два иона с1
и
с2.
Варианты
возможных
перескоков
электронов
иллюстрируются на рис.2.6
(ниже). В тех случаях, когда
произведение интегралов перескока t tt t 0 , каскадные
процессы
перескока
электронов
способствуют
антиферромагнитной связи. Если же t tt t 0 , то данный
процесс способствует ферромагнитной связи.
Рис. 2.6. Схематическое изображение двухмостиковых механизмов
суперобменного взаимодействия между магнитными ионами а и b
через диамагнитные ионы с1 и с2 . Цифрами нумеруются
последовательности перескоков электрона с одного центра на
другой.
Здесь в механизме суперобмена особенно ярко проявляются
процессы квантовой интерференции. Перебирая возможные
варианты распределения электронной плотности основных
состояний магнитных ионов, можно убедиться, что когда
состояния магнитных ионов ортогональны друг другу, суммарный
эффект изображенных виртуальных перескоков обращается в
ноль. Антиферромагнитный характер суперобмена полностью
25
погашен из-за квантовой интерференции. Кстати сказать, нетрудно
понять, что аналогичное явление имеет место и в наноконтактах,
соединенных двумя проводниками (мостиками).
Задача для самостоятельного рассмотрения. Составить схему
процессов переноса электрона, соответствующую пятому порядку
теории возмущений. Считать, что один из спинов находится в
состоянии xy , а другой в состоянии x 2 y 2 . Углы связи a-с1-b
и a-с2-b равны 90о. Линия связи магнитных ионов совпадает с осью
x. Схема распределения электронной плотности изображена на
рис. 2.7
Рис.2.7. Два варианта распределения электронной плотности на
магнитных ионах. Левый соответствует t tt t 0 .
Антиферромагнитный характер связи усилен процессами
квантовой интерференции. Справа изображен пример, когда
возможен
случай
и,
следовательно,
t tt t 0
антиферромагнитная связь через отдельные ионы с1 и с2 погашена
из за квантовой интерференции.
26
Рис.2.8. Схемы основных механизмов, способствующих
ферромагнитному упорядочению спинов. Слева – перенос
электрона в пустую орбиталь иона а, справа – перенос электрона
из заполненной орбитали иона в. В обоих случаях возбужденное
состояние с двумя электронами на узле имеет минимальную
энергию, когда их спины параллельны (как в правиле Хунда)
2.4. Анизотропное обменное взаимодействие
Рассмотрим вначале упрощенную модель, состоящую из
двух центров и двух электронов [ B. Bleaney and K. D. Bowers,
Proc. R. Soc. A 214, 451 (1952)]
I I>
I >
a
1 3
2
I>
I>
b
Рис. 2.9. Схема виртуальных процессов, соответствующая
возникновению анизотропного обменного взаимодействия.
Пунктирные стрелки соответствуют спин- орбитальному
взаимодействию.
27
Пусть между основным и возбужденным состояниями иона a
имеется матричный элемент от оператора спин-орбитального
взаимодействия
(2.30)
a (laz saz lax sax lay say ) .
Проанализируем операторный вид поправок третьего порядка
теории возмущений
a H
a
H so
(2.31)
ex ' ' H so
Зависящая
от
операторов
'
спинов
часть
H ex имеет вид
J (s s ) . В этой связи рассмотрим произведение операторов
(laz saz lax sax lay say )(saz s z sax s x say s y )(laz saz lax sax lay say ). (2.32)
b
b
b
saz s z 1/ 4 ,
Используем
свойства
матриц
Паули
b
i
sax say say sax saz и т. д. и получаем
2
(laz saz lax sax laz sax )(saz s z sax s x say s y )(laz saz lax sax laz sax )
b
b
b
1
laz laz [1 say s y sax s x ]
b
b
4
(2.33)
1 z x z x z x i y
la la [s sa sa s s ] ...
b
b 2 b
4
1
1
i
laz laz [saz s z (s a s )] laz lax [s z sax saz s x s y ] ...
b
b
b
b 2 b
4
4
Члены,
содержащие
скалярное
произведение
спинов
i
1
laz laz (s as ) и линейные по спину laz lax s y , можно опустить.
b
b
8
4
Первые дают малую поправку к изотропному обменному
взаимодействию J (s s ) , а последние сократятся, так как
линейные члены по спину в гамильтониане в отсутствие
магнитного поля фигурировать не могут. Это следствие
инвариантности уравнения Шредингера относительно операции
обращения знака времени.
Таким образом, спин – гамильтониан, соответствующий
рассматриваемой поправке, может быть записан в виде:
28
a H ' ' H a
H so
ex
so
'
b la la J [ s s s s ]
a b
2
a b
4
a
(2.34)
Рис. 2.10. Схемы симметричного обменного взаимодействия
между спинами в состояниях и через возбужденные
состояния и Штриховые стрелки соответствуют
переходам,
обусловленным
спин-орбитальным
взаимодействием. Процесс номер (v), более детально
проиллюстрирован внизу рисунка, с явным указанием
соответствующих интегралов перескока
и матричных
элементов
орбитального момента, входящего в спинорбитальное взаимодействие.
29
2.5. Антисимметричное обменное взаимодействие.
Часто его называют еще как взаимодействие ДзялошинскогоМория. Эффективный оператор имеет вид
H
Здесь D
(2.35)
(D [S a S ]) .
DM
ab
b
- вектор Дзялошинского. Видно, что энергия
ab
взаимодействия минимальна, когда векторы D
, Sa и Sa
ab
некомпланарные.
Рассмотрим
двухподрешеточный
антиферромагнетик.
Магнитные
моменты
подрешеток
антиферромагнетика, состоящих из ионов сорта а и b, без учета
(2.35), направлены противоположно друг другу. Суммарная
намагниченность вещества равна нулю. При подключении
взаимодействия (2.35) направления спинов подрешеток
оказываются скошенными. Появляется намагниченность слабый ферромагнетизм.
Для вывода микроскопического выражения для вектора
D ab рассмотрим вначале произведение операторов
(laz saz lax sax lay say )(saz s z sax s x say s y )
b
b
b
1
i
i
laz [ s z say s x sax s y ] ...
b 2
b
4 b 2
1
i
laz s z laz [s sa ] z ...
b
4 b 2
(2.36)
Первый член, будучи линейным по спину, не дает вклада в
эффективный гамильтониан. Второй же по векторной структуре
совпадает с оператором антисимметричного обмена. Это
обстоятельство и было отмечено Мория. Согласно Мория,
оператор D
должен быть пропорционален матричным
ab
элементам от оператора спин-орбитального взаимодействия.
Для получения микроскопического выражения для вектора
D ab модель двух центров недостаточна. Если бы Мория
30
внимательнее проанализировал полученное им выражение для
вектора D , он получил бы ноль (это будет ясно ниже).
ab
Рассмотрим модель из трех центров и четырех электронов. На
рис. буквой c обозначен диамагнитный ион, выступающий в
качестве мостика между магнитными ионами a и b.
Рис. 2.11. Правило определения направления вектора
Дзялошинского – Мория при взаимодействии магнитных ионов
a и b через диамагнитный ион с, выведенное в работе [А.С.
Москвин, И. Г. Бострем, ФТТ, Том. 19, стр. 1616 ( 1977) ]
Схема виртуальных процессов переноса электрона от одного
магнитного иона на другой через мостиковый ион приведена на
рис. 2.12. Она, как видно, соответствует пятому порядку теории
возмущений, и поэтому расчет представляется довольно
утомительным.
Однако
есть
упрощающее
задачу
обстоятельство, которое позволяет свести задачу к уже
использованной выше схеме расчета в четвертом порядке
теории возмущений. Дело в том, что энергии кристаллических
расщеплений в соединениях переходных металлов малы по
сравнению с энергиями переноса заряда с одного иона на
другой. В этой связи волновые функции начального
приближения удобно сразу выбрать с учетом спин-орбитальных
поправок в следующем виде:
31
_
Рис.
2.12.
Схемы
возникновения
взаимодействия
Дзялошинского- Мория между спинами в состояниях η и ζ на
ионах a и b соответственно через возбужденные орбитальные
состояния.
ala s
a
ala s
a
,
(2.37)
.
Далее воспользуемся выражением для эффективного оператора
суперобменного взаимодействия
1
H (4) (b a)
2
a t b t b t a
' ' ' '
t
32
h.с.,
(2.38)
заменив в нем интегралы перескока по схеме
t
'
a la s
a '
t
t
'
(2.39)
.
'
Члены, линейные по константе спин-орбитальной связи, имеют
вид:
H
DM
1
2
(b a)
l s t t t t
t t t t
l s '
'
' '
bb b
bb b
a 'b b ' a
t t
1
2
a la s
a ' t t
'
'
t
t l s
' a a a
t t
'
h.с.
b a
'
a 'b
(2.40)
Сопоставляя матричные
элементами матрицы
элементы
этого
Dz
z
D
[s s ] i ab [s s s s ]
ab z
2
,
,
,
,
0
0
0
0
,
0
0
,
0
,
0
iD z
a b
0
0
с
(2.41)
,
iD z
/2
a b
/2
0
оператора
0
0
0
найдем искомое выражение для компоненты вектора D z
.
ab
Видно, что для определения компоненты вектора D z
ab
необходимо вычислить матричный элемент
33
(b a) , iD z / 2
ab
l z s z t t t t
t t t t l z s z '
1
'
'
'
bb b
bb b
,
, a b b a
2
'
'
, H
DM
t t
1
2
t t alaz saz t t
' '
' , a b b a , .
' '
'
alaz saz ' t t
(2.42)
После несложного расчета получаем
iD z
a b
1
2
l z t t t t
bb
t t
1
2
t
alaz saz t t
t t t
t
lz
bb
t alaz
t t
.
(2.43)
Матричные элементы оператора
lz
чисто мнимые
bb
(пример будет приведен ниже). С учетом этого в случае
iD z
iD z
одинаковых магнитных ионов
после
ab
ba
объединения подобных членов в (2.43) находим
D z 2i
t t alaz t t
l z t t t t
b b
.
2i
(2.44)
34
Рассмотрим пример пары ионов меди. Волновые функции
основных состояний в локальных системах координат обычно
имеют вид:
1
x2 y 2
[ 2 2 ].
2
В качестве возбужденного состояния, например на центре а,
выступает
1
xy i
[ 2 2 ].
2
Необходимый нам матричный элемент равен
x 2 y 2 l z xy 2i.
Рис. 2.13. Схема распределения дырочных орбиталей меди.
35
2.6. Биквадратичное обменное взаимодействие
Наиболее яркое спектроскопическое проявление
взаимодействия – нарушение правила интервалов.
(S 1) (S ) JS
этого
(2.45)
в энергетическом спектре обменно-связанных пар.
Главная причина появления биквадратичного обменного
взаимодействия связана с обменной стрикцией.
Для пояснения её рассмотрим оператор энергии отдельной пары
H
K
J ( R )(S a S ) ( R R ) 2 .
0
эфф
ab
b
2 ab
(2.46)
Из-за появления обменного взаимодействия равновесное
расстояние между ионами R0 может изменяться. Равновесное
расстояние должно соответствовать минимуму полной энергии.
Производная по расстоянию между ионами должна быть равна
нулю
J ( R )
ab (S S ) K ( R R ) 0.
(2.47)
a b
0
ab
R
ab
Отсюда находим новое равновесное расстояние между спинами
J ( R )
'
ab (S S ).
R R
a b
0
0 KR
ab
(2.48)
Каждому
собственному
значению
оператора
(S aS ) соответствует свое равновесное расстояние. Подставляя
b
J ( R )
ab (S S ) в
K (R R )
исходный
гамильтониан,
a b
0
ab
R
ab
находим
36
H
K
J ( R ' )(S a S )
0
эфф
b
2
J ( R ' )
0 (S S )
a b
'
KR
0
2
J ( R ) J ( R )
0
0 (S S ) 2 K
J ( R )(S a S )
a b
0
b
R
KR
2
0
0
1
J ( R )(S a S )
0
b 2K
J ( R )
0
R
0
J ( R ' )
0 (S S )
a b
'
KR
0
2
2
(S a S ) 2 .
b
(2.49)
Отсюда видно, что параметр биквадратичного обмена j(S aS ) 2 оценивается по формуле
b
2
J ( R )
1
0 .
j
(2.50)
ab
2K R
0
Видно, что параметр биквадратичного обмена, обусловленный
обменной стрикцией, всегда отрицателен. Это заключение и
оцененная по формуле (2.50) величина j
соответствуют
ab
имеющимся экспериментальным данным.
37
2.7. Двойной обмен (Double exchange )
Понятие о двойном обмене ввел Зинер в 1951 г.[1],
анализируя магнитные свойства LaMn1 x SrxO3 .
Рис. 2.14.
Фазовая диаграмма La1-xSrxMnO3. PM –
парамагнетик, FM- ферромагнетик, CA- неколлинеарный
антиферромагнетик, M- металл, I- изолятор, R, O, O’, O’’ –
фазы, соответствующие различным пространственным группам
симметрии.
Оператор двойного обмена совпадает с оператором
кинетической энергии перескоков от одного магнитного иона к
другому.
H t a b j э.с.
lj l
(2.51)
Отметим, что оператор (2.51) не может быть представлен через
спиновые операторы! Но для характеристики уровней энергии
пары ионов можно использовать полный спин пары.
38
Рис. 2.15. Схема двойного обмена в паре Mn4+-Mn3+. Оба иона
находятся в высокоспиновом состоянии в соответствии с
правилом Хунда. При перескоках электрона между eg
орбиталями направление спина не меняется, поэтому
происходит кинематическое подмагничивание спинов. Спины
остовов ионов подстраиваются параллельно (ферромагнитно).
Матричные элементы оператора двойного обмена не
диагональны.
Они
пропорциональны
коэффициенту
пересвязывания спиновых моментов:
S
0a
s( S a ), S
0b,
; SM s H
S
DE 0a
, sS
S
( S ); SM s t b
0b b
S a
S
0b
S
0a
1 / 2
.
S
(2.52)
Собственные значения - модуль этих недиагональных
элементов. 6-j символ, фигурирующий в правой части, может
быть представлен простой аналитической формулой. В итоге
расчетов (предлагается сделать самостоятельно в виде задачи)
зависимость энергии от суммарного спина пары определяется
формулой [2.8]
(S ) t S 1/ 2 .
2S 1
0
39
(2.53)
Здесь S S 1/ 2 , S - полный спин пары, а S -спин пары без
0
0
учета спина мигрирующего электрона. Видно, что уровни
энергии эквидистантны. Минимальная энергия соответствует
максимальному суммарному спину пары. Т. е. двойной обмен
объясняет
наличие
ферромагнитно-упорядоченных
металлических фаз у манганитов.
Задача. Проверить справедливость формулы (2.53) на примере
модели два центра - три электрона. Для расчета матричных
элементов оператора
H t a b j h.с. использовать
lj l
волновые функции в представлении вторичного квантования.
2.8.Обменное взаимодействие ионов смешанной
валентности
Рассмотрим простую модель с мигрирующим электроном с
одного центра на другой
H
p 2 M 2 2 Vq
q (a a b b) t (a b b a).
эфф 2M
2
2
(2.54)
Здесь q – колебательная координата, описывающая смещение
локального окружения при локализации “лишнего” электрона
около центра a или b. Или для простоты - это смещение
промежуточного (мостикового) иона. V – параметр электронно–
колебательной связи. Блочный вид матрицы потенциальной
энергии имеет вид:
M 2 2 Vq
q
2
2
S 1/ 2
2S 1
0
0.
2
Vq
M 2
q
2
2
t
S 1/ 2
2S 1
0
Отсюда находим собственные значения
t
40
(2.55)
2
(S , q) M q 2
2
Vq
2
2
S 1 / 2
t
2S 1
0
2
.
(2.56)
Энергия электрона как функция колебательной координаты
называется адиабатическим потенциалом. Рассмотрим вначале
предел Vq t . Видно, что имеются две ямы с глубиной (энергия
связи полярона)
2
M 2 V
V V
V2
Ep
.
2
2 2M 2
2 2M 2
8M
Расстояния между минимумами
V
2q
R
.
0 M 2
эфф
(2.57)
(2.58)
Каждая из ям соответствует локализации электрона либо на
центре b, либо на центре a.
Предположим, что ямы достаточно глубокие. Уравнение
Шредингера имеет вид:
p2
(2.59)
(S , q) (S , q) E (S , q)
2M
В первом приближении волновые функции соответствуют
состояниям гармонических осцилляторов
1/ 4 M ( x xa )2
M
(
a
)
(S , x xa )
e 2
,
n0
(2.60)
1/ 4 M ( x x )2
b .
(b) (S , x x ) M e 2
n0
b
Появление таких “осцилляторных состояний “ подавляет интеграл
перескока t. Фактор перескока (его называют
поляронным
фактором редукции) можно оценить, вычислив интеграл
перекрывания колебательных состояний
41
(a) (S , x xa ) (b) (S , x x )dx
00
n0
n0
b
1/ 2 M ( x xa )2 M ( x x )2
M
b dx
e 2
e 2
I
(2.61)
Полагая xa 0 , x R и, вводя новую переменную x R / 2 ,
b
имеем
( x xa )2 ( x x )2 ( R / 2)2 ( R / 2 R)2 2 R2 / 2
b
(2.62)
и, следовательно,
2
M
V
2
MR
Ep
4
2
M
4
.
I e
e
exp
00
Полный интеграл перескока - это матричный элемент на
произведении электронных и колебательных волновых функций,
поэтому
Ep
.
t
t exp
(2.63)
eff
Множитель
E
p
exp
называется
фактором
поляронного
подавления. Он меньше единицы, поэтому миграция электрона
затруднена. При сильной связи с деформациями мигрирующему
«лишнему» электрону выгоднее локализоваться у одного из
центров и тогда вместо ферромагнитных пар Mn3.5 Mn3.5
будут образовываться антиферромагнитно связанные пары
Mn3 Mn4 и Mn4 Mn3 в равных пропорциях. Вещество из
металлического
ферромагнетика
перейдет
в
состояние
антиферромагнитного изолятора. Это явление наблюдается в
манганитах. См. на рис. 2.14 область малых концентраций x.
42
2.9. Обменное взаимодействие
кристаллах типа KMeF3.
ионов
в
В качестве простого примера применения теории
суперобменного взаимодействия рассмотрим соединение
KMgF3, легированное ионами переходной группы железа.
Фрагмент структуры представлен на Рис. 2.16. Прежде чем
анализировать суперобменное взаимодействие надо определить
основное состояние ионов в данном соединении. Используем
теорию
кристаллического
поля.
В
октаэдрическом
кристаллическом поле состояния 3d – электрона расщепляются
на триплет ( t 2 g ) и дублет ( e2 g ). Нижним по энергии является
триплет.
Основным
спиновый
триплет
состоянием
t 3 , 4A
.
2g
2g
иона
ванадия
Обменное
является
взаимодействие
J
описывается оператором вида HV F V tt (S aS ) . Согласно
b
9
(2.29 ) параметр J tt определяется суммой антиферромагнитных
вкладов по - связям через промежуточный ион фтора
J tt 8
t4
ab ca cb
t 6 e g2 ,3A
.
2g
2g
У ионов никеля основное состояние -
.
t
2g
-
оболочка
полностью
заполнена.
Суперобменное взаимодействие реализуется только между
электронами e2 g -подоболочки. H NiF Ni 1 J ee (S aS ) . У
b
4
ионов марганца в основном состоянии полузаполнены оби
подоболочки.
Кроме
антиферромагнитных
вкладов
в
суперобменное взаимодействие есть ферромагнитный вклад
e и t
между ортогональными состояниями
подоболочек
2g
2g
различных ионов.
H
MnF Mn
Оператор взаимодействия имеет
вид
1
[ J J ee 2 J te ](S a S ) . Аналогично получаем
b
25 tt
43
выражения для параметров суперобменного взаимодействия
ионов Co2+ и Fe2+
4
1 4
[ J tt J ee J te ](S a S ) ,
b
16 9
3
H
Fe F Fe
H
x
1 x
1 2 x
[
J tt J ee
J ee ](S a S ) .
Co F Co 8 3
b
4
3
(2. 64)
(2. 65)
В последнем выражении x sin 2 . Здесь учтено, что основное
состояние иона Co2+
является смесью состояний
.
cos t 5 e g2 , 4T
sin t 4 e3g , 4T
2g
1g
2g
1g
Рис. 2. 16. Фрагмент структуры кристаллов KMeF3 и KZnF3: Me,
где Me=V, Mn, Co, Ni. Ионы Me2+ замещают позиции Zn2+ и
находятся в центре октаэдров, ионы фтора - в вершинах.
Позиции ионов K+ не показаны.
44
Приближенно можно считать, что параметры J tt , J ee и
J ee примерно равны для всех пар ионов в KMeF3 и оценить их
по экспериментальным данным, т. е. либо то температуре Неля,
либо по спектроскопическим данным. Затем эти параметры
можно использовать для предсказания силы суперобменного
взаимодействия для других ионов. Пример такого расчета
приведен в Таблице 2.1. Там же для сравнения приведены
экспериментальные данные. Видно, что качественное согласие
теории суперобменного взаимодействия и эксперимента
имеется.
Таблица
2.1.
Значения
параметров
взаимодействия для некоторых пар ионов.
Основное состояние
Вещ-во
Jэксп.
( в см-1)
суперобменного
Jрасчет,
( J ee 248
J tt 40.5 ,
J te 88 )
t 6 e3g , 2E v
2g
2g
КСuF3
t 6 e g2 ,3A
2g
2g
KMg F3:Ni2+ 64 10
cos t 5 e g2 , 4T
2g
1g
КCoF3
3 1.5
19.3
t 4 e g2 ,5T
2g
2g
КFeF3
8 .3
9.3
t 3 e g2 ,5T
2g
2g
KMg
F3:Mn2+
KMg F3:V2+
3 1.5
4.5
4.5 1
4.5
260
200
62
sin t 4 e3g , 4T
2g
1g
t 3 , 4A
2g
2g
45
2.10. Обменно-дипольные переходы
При исследовании оптических спектров поглощения
кристаллов типа Al2O3, легированных ионами Cr3+ было
замечено, что по мере увеличения концентрации ионов хрома
наряду с линиями поглощения от одиночных ионов хрома, в
спектре поглощения
появляются дополнительные линии,
интенсивность
которых
пропорциональна
квадрату
3+
концентрации ионов Cr . Пропорциональность интенсивностей
квадрату концентраций можно было объяснить исходя из
предположения, что
дополнительные линии обусловлены
переходами между уровнями энергии обменно-связанных пар
ионов Cr3+- Cr3+.
Число таких пар, образующихся при
легировании кристалла Al2O3 ионами Cr3+, должно быть как раз
пропорционально квадрату концентрации. Однако, это при этом
возникает вопрос, а почему интенсивность оптических
переходов в обменно-связанных парах сравнима
с
3+
интенсивность переходов у одиночных ионов Cr . В самом
деле, при концентрации ионов хрома c 10% вероятность
образования обменно-связанных пар пропорциональна c 2 0.01
и, следовательно, интенсивности линий, принадлежащих
обменно-связанным парам ионов Cr3+- Cr3+, должны быть
ничтожно малыми.
Объяснение этого, казавшегося загадочным противоречия, было
найдено японскими физиками /Y. Tanabe, T. Moriya, S. Sugano,
Phys. Rev. Lett., Vol. 15, p. 1023 (1965)/. К этому времени
появились новые экспериментальные данные по исследованию
оптических спектров кристаллов KZnF3, активированных
ионами Mn2+ и Ni2+ . Электрические дипольные переходы
между состояниями dn- конфигурации в этих кристаллах
запрещены. У одиночных ионов Mn2+ и Ni2+ реализуются лишь
слабые магнитно дипольные переходы. У обменно-связанных
пар запрет по четности снимается из-за обменной связи. В этом
случае имеет место новый механизм электро-дипольных
переходов. Его называют обменно-дипольным.
46
Для пояснения основной идеи рассмотрим упрощенную модель
двух центров и двух электронов.
Рис. 2. 17. Схема обменно-дипольного перехода
Для построения эффективного оператора взаимодействия с
электрическим полем используем метод канонических
преобразований
1
F F F , S F , S S ... ,
eff
2
где в качестве оператора
F
(2.66)
выступает оператор
F (dE) ' ab ' (dE) ' b a ' .
(2.67)
Здесь d - оператор дипольного момента. Электроны могут
перескакивать с центра в на центр а и наоборот . В этом случае,
как и в задаче о кинетическом обменном взаимодействии
S (1)
t '
'
b a '
t '
'
a b ' .
(2.68)
Первое слагаемое в (2.66) не играет роли. Анализируем
возможность оптического возбуждения на ионе а. С центра b
электрон через амплитуду перескока от дипольного момента
переходит в возбужденное состояние иона a, а его место
занимает электрон из основного состояния иона a . Согласно
(2.66) эффективный оператор перехода, соответствующий всем
таким процессам может быть представлен в виде
Feff ( ' ) ( π 'E)(s a s b ) ,
47
(2.69)
Матричные элементы эффективного
определяются по правилу
π
t
'
дипольного
d' d
момента
t
'
'
.
(2.70)
В действительности, конечно, перескоки электронов между
магнитными ионами реализуются не напрямую, а через
промежуточные диамагнитные ионы (кислорода или фтора и т.
п.). Строго говоря, расчет следует проводить в четвертом
порядке теории возмущений. При этом, аналогично тому как это
было в случае суперобменного взаимодействия, операторная
структура оператора сохраняется. Меняется лишь выражение
для эффективного обменно-дипольного момента.
Рис. 2.18. Пример обменно-дипольных переходов в паре ионов
Mn2+-Ni2+ в кристалле KZnF3. /J. Ferguson, H. Guggenheim, Y.
Tanabe, Phys. Rev. Lett., 14. 737 (1965)/. Символ Mn* обозначает
возбужденное состояние иона Mn2+. Параметр J' - параметр
суперобменного взаимодействия иона Ni2+ с возбужденным
состоянием иона Mn2+ через ион фтора.
48
Взаимодействие электронов проводимости через
поле фононов.
Это
взаимодействие
является
ответственным
за
образование куперовских пар в обычных сверхпроводниках.
Оно также приводит к фазовому переходу в состояние с
волнами зарядовых плотностей. Для вывода оператора
взаимодействия
применим
метод
канонических
преобразований.
Рис. 3. 1. Диаграммы процесса взаимодействия квазичастиц
через поле фононов. Волнистая линия соответствует фонону с
волновым вектором q.
Исходный гамильтониан задачи имеет вид:
H a a
qbqbq V (k , q)a
a
(bq bq ).
k k , k ,
k q, k ,
(3.1)
Последнее слагаемое описывает взаимодействие электронов
) – операторы уничтожения
проводимости с фононами, bq , ( bq
(рождения) фононов.
Запишем эрмитово сопряженное выражение
взаимодействия
49
оператора
V *(k , q)ak, ak q, (bq bq )
k ,q
.
*
V
(
k
'
q
'
,
q
'
)
a
a
(
b
b
)
k 'q', k ', q' q'
k 'k q',qq'
Сравнивая (3.1) и (3.2) , находим,
самосопряженности соблюдается, если
что
V *(k q,q) V (k , q) .
(3.2)
условие
(3.3)
Составим уравнение
H (2) [ H , S (1) ] 0 ,
0
где
H (2) V (k , q)a
a
(bq bq ) .
k q, k ,
Оператор S (1) будем искать в виде
(3.4)
(3.5)
S (1) Aa
a bq Ba
a bq .
k q, k ,
k q, k ,
(3.6)
Вычислим коммутатор
[ H , S (1) ] a a , S (1) qbqbq , S (1) .
0
k k , k ,
Используя антикоммутационные соотношения
носителей тока
,
a a
a
a
k ', k q,
k q, k ',
k ',k q
находим
k 'ak ', ak ', , ak q, ak ,
a
a
a
a
k
'
k
'
,
k
'
,
k
q
k
,
k
'
k
q
,
k
'
,
k ',k
k'
k'
(
)a
a .
k q k k q, k ,
50
(3.7)
операторов
(3.8)
(3.9)
Используя коммутационные соотношения
операторов
,
bqb b bq
q' q'
q,q'
вычисляем
q'bq'bq' , bq q bq ,
q'bq'bq' , bq q bq'.
для
фононных
(3.10)
(3.11)
С учетом (3.9) и (3.11) уравнение (3.4) переписывается в виде
[V (k , q) A( k q k q )]akq, ak , bq
(3.12)
[V (k , q) B(
q )]a
a bq 0
k q k
k q, k ,
Выражения в квадратных скобках, очевидно, должны быть
равными нулю. Отсюда находим
V (k , q )
A
,
q
k
k q
(3.13)
V (k , q)
B
.
q
k
k q
Итак, оператор S (1) имеет вид
V (k , q )
S (1)
a
a b
k q, k , q
q
k
k q
V (k , q )
a
a b .
k q, k , q
q
k
k q
(3.14)
Теперь можем найти вид эффективного гамильтониана по
формуле
1
H
H H (2) , S (1) .
(3.15)
0 2
eff
Сейчас нас интересует вид эффективного гамильтониана
взаимодействия электронов проводимости. Этот оператор,
очевидно, должен содержать четыре оператора по электронным
переменным. Он должен быть четным по отношению к числу
фононных операторов. Кроме того, надо учесть, что слагаемые с
двумя операторами рождения или уничтожения фононов не
51
являются блочно диагональными и поэтому при усреднении по
фонноым переменным обратятся в нуль. С учетом этого имеем
H eff H 0
1
V (k ' , q' )
V (k , q)
ak q , ak , bq , ak' q ', ' ak ', 'bq '
2
k ' q ' k ' q '
V (k , q)
V (k ' , q' )
akq , ak , bq , ak' q ', ' ak ', 'bq ' .
k ' q ' k ' q '
(3.16)
Данный оператор предназначен для описания основного
состояния системы. Т. е., какой фонон рождается (уничтожается
), такой и должен уничтожаться (рождаться). С учетом этого
имеем
H eff H 0
1
V ( k ' , q )
V
(
k
,
q
)
akq , ak , bq , ak' q , ' ak ', 'bq
2
k ' q k ' q
1
V ( k ' , q )
V
(
k
,
q
)
akq , ak , bq , ak' q , ' ak ', 'bq H 0
2
k ' q k ' q
bq , bq
bq , bq
1
V (k , q)V (k ' ,q)
ak q , ak , ak ' q , ' ak ', '
2
k ' q k ' q k ' q k ' q
(3.17)
Здесь многоточие соответствует дополнительным членам,
которые появляются при вычислении коммутаторов. Так
слагаемые, являющиеся
квадратичными по операторам
электронов
проводимости,
могли
бы
приводить
к
перенормировке энергии электронов. Можно убедиться однако
, что этого не происходит.
Так как в кристаллах с центром инверсии q q , в (3.17)
возможны дополнительные упрощения. Учитывая это, получаем
более компактное выражение, которое обычно и приводится в
учебниках
52
H
eff
H'
0
1
1
1
V (k , q)V (k ' ,q)
a a
a
a
k
q
,
k , k 'q, ' k ', '
2
k'
q
q
k 'q
k'
k 'q
q
H ' V (k , q)V (k ' ,q)
a
a a
a
0
k
q
,
k
,
k
'
q
,
'
k ', '
2
2
(
) (q )
k ' k 'q
(3.18)
Отметим, что операторная структура в (3.18) точно такая же как
и у суперобменного взаимодействия.
Задача 1. Получить общее выражение для перенормировки
частоты фононов, обусловленное их связью с электронами
проводимости.
Вычислить коммутатор
ak q, ak , , ak 'q, 'ak ', ' bq bq
a
a
a
a
b b .
k 'q, ' k , k q, ,k ', ' q q
k q, k , ,k 'q, ' k ', '
Затем учесть, что средние значения выражаются через функции
Ферми
1
a a
n
.
k , k ,
k
1 exp( k
)
k T
B
Вид поправки в эффективном операторе энергии
n n
2
k
k q
b b
2 V (k , q)
q q
q
k
k
k q
означает, что частота фононов изменяется по правилу:
2
'q q 2 V (k , q) (q , q),
k
k
где
n
k q
k
.
(, q)
k
q
k
k q
n
53
Отметим, что
n
n
k q k
(, q)
0
k k k q
это поляризуемость (или зарядовая восприимчивость)
электронов проводимости. Если зона полностью заполнена (или
пуста), то разность функций Ферми равна нулю. Отметим
также, что если параметры электрон-фононной связи не зависят
от
квазиимпульсов
электронов
проводимости,
то
перенормировка частоты фононов пропорциональна полной
зарядовой восприимчивости электронов в зоне проводимости на
этой частоте. Из проведенного рассмотрения ясно, что для
исследований вида зарядовой восприимчивости носителей тока
(а затем и диэлектрической проницаемости) можно
использовать измерения частот фононных мод, например,
методами неупругого рассеяния нейтронов. Это важная идея
лежит в основе современных исследований диэлектрической
восприимчивости в физике конденсированного состояния.
3.1 Гамильтониан модели Бардина, Купера, Шриффера .
Для описания сверхпроводимости выделяются аномальные
a a
, т.е. из оператора полного
средние
k , k ,
взаимодействия выделяются лишь члены с k ' k и ' .
Такой оператор лежит в основе теории Бардина, Купера,
Шриффера (БКШ)
H
a a
BSC k
, k k , k ,
a a a a
k , k , k , k , k , k , k , k ,
* a
a
* a
a
k , k , k , k , k , k , k , k ,
54
a a
(
)a a
k , k , k ,
k , k k , k , k , k ,
(* *
)a
a
k
,
k
,
k
,
k ,
k ,
Величины
k ,
и
k ,
(3.19)
получаются из сравнения (3.19) и (3.18)
2
k k '
V (k , k k ' )
a a
,
2
2
k ,
k
'
,
k
'
,
k'
( ) (
)
k
k'
k k '
(3.20)
2
k k '
V ( k , k k ' )
a
a
.
2
2
k ,
k
'
,
k
'
,
k'
( ) (
)
k
k'
k k '
(3.21)
Путем замены индексов суммирования можно убедиться, что
. При решении уравнения (2.20) важно помнить,
k ,
k ,
что значение частоты фононов ограничено некоторым
предельным значением . Это обстоятельство учитывается
D
путем введения ступенчатой функции ( ) . С
D
k
k'
учетом этого формула для параметра порядка приобретает вид:
k
V (k , k k ' )V (k , k 'k )
k'
(
)2
D
k
k'
k k ' a
a
.
2
k ', k ',
( ) (
)2
k
k'
k k '
(3.21)
55
3.2 Уравнение для параметра порядка при переходе в
состояние с волнами зарядовой плотности.
Предположим, что имеется модуляция в плотности
распределения электронов проводимости с волновым вектором
В представлении вторичного квантования оператор
Q.
плотности заряда имеет вид:
k , eiQR k ', a a
k , k ',
0
(3.22)
Отсюда видно, средние значения плотности будут отличны от
нуля, если a
a
0 . Эти средние зависят от
k Q, k ,
температуры и рассчитываются самосогласованно на основе
оператора взаимодействия через поле фононов
Q
a
a a
a
V (k , Q)V (k ',Q)
(
) 2 ( ) 2 k Q, k , k 'Q, ' k ', '
Q
k ' k 'Q
q
V (k , Q)V (k ',Q)
a
a
a
a
k
Q
,
k
,
k 'Q, ' k ', '
2
2
k ,k '
(
) ( )
Q
k ' k 'Q
Q
V (k , Q)V (k ',Q)
a
a
a
a
k
Q
,
k
,
k 'Q, ' k ', '
2
2
k ,k '
(
) ( )
Q
k ' k 'Q
D B a
a .
k
k
k
Q
,
'
k ,
k
(3.23)
Для компонент D и B получаем следующие формулы:
k
k
(
)
D k ' k 'Q
Q
D V (k , Q) V (k ' ,Q)
( ) a
a
,
D
k
k
'
k
'
Q
,
'
k
'
,
'
2
2
k'
(
) ( )
Q
k ' k 'Q
(3.24)
56
(
)
D k k Q
Q
1
B V (k , Q)
( ) V (k ' ,Q) a
a
.
D
k 2
k
k
'
Q
,
'
k
'
,
'
2
2
k'
(
) ( )
Q
k k Q
(3.25)
Частота фононов в кристалле ограничена некой предельной
частотой (частота Дебая). Это обстоятельство учтено путем
D
) . Кроме того
k
k Q
учтено, что во взаимодействии могут участвовать лишь
состояния вблизи . Последнее обстоятельство и привело к
F
введения тета-функции
(
еще одной тета – функции (
D
D
).
k
Модели перехода металл- диэлектрик.
4.1. Модель Пайерлса.
Гамильтониан имеет вид:
H aa
a a
D aa
D* a a .
k k k
k Q k Q k Q
k k k Q
k k Q k
(4.1)
Энергия отсчитывается от уровня Ферми. Спиновое квантовое
число для краткости записи опущено (подразумевается).
Составляем уравнения движения
a a D a
,
k k
k k Q
t k
i a
a
D* a .
k
Q
k
Q
k
Q
k k
t
i
57
(4.2)
Здесь предполагается, что a
a
k 2Q
k
D
D* .
k Q
k
Решение уравнений (4.2) ищем в виде.
(4.3)
a (t ) C e iEt ,
k
1k
a
(t ) C e iEt .
k Q
2k
(4.4)
Для краткости записи полагаем 1. После подстановки (4.4) в
(4.2) имеем
EC C D C ,
1k
k 1k
k 2k
EC
C D* C .
2k
k Q 2k
k 1k
(4.5)
Система линейных уравнений (5.5) имеет нетривиальное
решение, если её определитель равен нулю
E
D
k
k
0
*
D
E
k
k Q
Корни уравнения равны
E
1k ,2k
k
2
k Q
(4.6)
1
2
k
k Q
2
4D
k
2
(4.7)
Для пояснения физического смысла на Рис.4.1 приведены
графики закона дисперсии для одномерного случая, когда
положен равным 0.1t .
t cos k x a . Параметр D
k
k
Предполагается, что концентрация носителей соответствует
одному электрону на элементарную ячейку, т. е.
первоначальная зона была заполнена наполовину. Это было
металлическое состояние вещества.
58
Рис.4.1. Два возможных варианта выбора зоны. а) – первая зона
Бриллюэна. Область изменения волнового вектора уменьшена в
два раза по сравнению с областью в исходной зоне. б) - первая и
вторая зоны Бриллюэна объединены. Удобство такого выбора
заключается в том, что случаи D 0 и D 0 можно
k
k
обсчитывать в рамках одной программы, не меняя области
изменения волновых векторов.
Из-за появления волн зарядовой плотности (ВЗП)
произошло удвоение периода решетки. Он стал равен 2а.
Вместо одной зоны стало две. Нижняя зона полностью
заполнена, верхняя пустая при низких температурах.
Вещество перешло в диэлектрическое состояние. Этот сценарий
перехода металл-диэлектрик был предложен Р. Пайерлсом.
Для определения вида новых квазичастичных операторов
необходимо найти явный вид коэффициентов (операторов) C
1k
и C , а также C и C .
2k
4k
3k
Общее решение системы уравнений - это сумма частных
решений
iE t
iE t
1
k
a (t ) C e
C e 2k
k
1k
3k
iE t
iE t
a
(t ) C e 1k C e 2k
k Q
2k
4k
Они определяются из начальных условий. Положив
(4.8), имеем
59
(4.8)
t0 в
C C a (0),
1k
3k
k
(4.9)
C C a
(0).
2k
4k
k Q
Еще одна пара уравнений получается из уравнений для
производных по времени при t 0
E C E C a D a
,
1k 1k
2k 3k
k k
k k Q
E C E C
a
D* a .
1k 2k
2k 4k
k Q k Q
k k
(4.10)
Фигурирующие в правой части операторы (4.10) соответствуют
времени t 0 . Из (4.10) с учетом (4.9) находим
E
D
2k a
k
C k
a
,
1k E E
k E E
k Q
1k
2k
1k
2k
E
D*
1k
k Q
k
C
a
ak .
4k
k
Q
E E
E E
1k
2k
1k
2k
(4.11)
Уравнения (4.10) относятся к классу однородных уравнений.
Они решаются с точностью до постоянного (нормировочного
множителя). По виду временной зависимости операторов в (4.8)
видно, что
C соответствует оператору уничтожения
1k
квазичастицы с энергией E , а оператор C
- частицы с
1k
4k
энергией E . Для дальнейшего удобно ввести операторы
2k
новых квазичастиц, так чтобы их коммутационные
соотношения соответствовали обычным квазичастицам. Итак,
введем новые операторы
x a
k
D
k
,
a
k
k Q
E
k
2k
D*
k
y a
a .
k Q
k Q E
k
k
2
k
60
(4.12)
Найдем нормировочные коэффициенты x и y так, чтобы
1,
k k
k k
(4.13)
1.
k Q k Q
k Q k Q
Вычисления дают
2
D
E E
k
2k ,
1 1k
E
( E ) 2
k
2k
k
2k
(4.14)
2
D
E E
k
2k .
1 1k
2
E
(
E )
1k
k Q
k Q
1k
Итак, имеем
E
D
k
2
k
k
,
a
a
k
k Q
E E k E
1k
2k
k
2k
(4.15)
*
E
D
1k
k Q
k
a
a .
k Q
k Q E
k
E E
1k
2k
1k
k Q
Здесь удобно ввести обозначения
E
k
2k ,
u
k
E E
1k
2k
(4.16)
D
E
k
k
2k .
v
k E
E E
k
2k
1k
2k
Заметив, что
ε ε
2
2
k kQ 1
ε E
ε
ε
4
D
(4.17)
k
2k
k
2
2 k kQ
формулы (4.15) удобно переписать в более компактном виде
u a v a
k
k k
k k Q
,
v* a u a
.
k Q
k k
k k Q
61
(4.18)
Формула (4.18) аналогична той, что используется в теории
сверхпроводимости (преобразования Боголюбова).
Формулы для обратного преобразования имеют вид:
a u v
,
k
k k k k Q
(4.19)
a
v* u
.
k Q k k
k k Q
Для дальнейшего полезно отметить следующие соотношения:
1
k
k Q
2
u 1
,
k 2 E E
1k
2k
(4.20)
1
k
k Q
v 2 1
.
k 2 E E
1k
2k
Для контроля и лучшего понимания результата полезно
осуществить проверку справедливости формул (4.18) в
произвольный
момент
времени.
Непосредственной
подстановкой (4.19) в (4.1) убедимся, что в представлении
новых операторов гамильтониан (4.1) приобретает вид:
H E E
.
1k k k
2k k Q k Q
(4.21)
Перепишем оператор (4.1) в виде
H (u v* )(u v
)
k k k
k k Q k k k k Q
(v u )(v* u
)
k Q k k
k k Q k k
k k Q
D (u v* )(v* u
)
k k k
k k Q k k
k k Q
D* (v u )(u v
)
k k k
k k Q k k k k Q
(4.22)
Здесь предполагается, что волновой вектор пробегает значения
внутри зоны, изображенной на Рис.1а). Поясним запись
оператора. Имеются две зоны и
Члены, содержащие
kQ
k
параметр D , описывают перемешивание (гибридизацию)
k
состояний этих двух зон. Преобразование операторов по
62
правилу (4.19) соответствует каноническому преобразованию,
приводящему к диагонализации гамильтониана. В самом деле,
можно убедиться, что коэффициент перед операторами
k k
совпадает с энергией новых квазичастиц
[ u u
k k
k k k
v v D u v* D*u v ]
k Q k k
k k k
k k k
k Q
k Q
k
k Q
k 1 k
1
2
E E
2
E E
1k
2k
1k
2k
2
k k
D
E
E
k
k
2k
k
2k
2
E E
E
E E
1k
2k k
2k
1k
2k
k
k k
k Q
2
(4.23)
1
( E E ) E .
2k
1k k k
2 1k
Задача. Прямым вычислением убедиться, что коэффициент
перед операторами kQ k Q равен E2k , а коэффициенты
перед
перекрестными
членами
k Q k
и
k k Q
обращаются в нуль.
4.2. Переход Мотта
В веществе электроны могут покидать свои ядра. Обозначим
через n концентрацию подвижных электронов. Эти
обобществленные электроны экранируют кулоновское поле
ядер на электронах
e 2 R
(4.24)
e
,
R
где параметр экранирования примерно пропорционален
концентрации носителей
63
2 Cn .
(4.25)
Если он будет достаточно мал, то кулоновское поле иона
способно обратно захватить электрон и локализовать его на
первой боровской орбите с радиусом
2
.
(4.26)
a
H me 2
Однако, если эффективный радиус экранирования 1/ меньше
радиуса первой боровской орбиты, то связанное состояние
положительно заряженного иона с электроном не может
образоваться. Таким образом, состояние вещества будет
металлическим, если
1
(4.27)
a .
H
Это условие удобно переписать в виде
2
1
.
Cn
(4.28)
a
H
Заметим, что при увеличении температуры число свободных
электронов увеличивается. Отсюда заключаем, что при низких
температурах наиболее логично ожидать диэлектрическое
состояние, а при высоких – металлическое. Этот сценарий
перехода
диэлектрик - металл был предложен Моттом.
Создание количественной теории перехода диэлектрик - металл
составляет одно их актуальных направлений современной
физики конденсированного состояния.
4.3. Модель Хаббарда.
Рассмотрим упрощенную модель вещества с гамильтонианом
вида:
H a a t a a U n n
i i i i i, j ij i j
i i i
64
(4.29)
tij -
интеграл
перескока,
U-
параметр
кулоновского
отталкивания электронов на одном узле, i - энергия электрона
в кристаллическом поле. Её можно положить равной нулю, но
сейчас, для учебных целей, лучше не делать этого. Набор
базисных состояний на одном узле состоит из четырех функций
0,
a 0 ,
(4.30)
a 0 ,
2 a a 0 .
Для частичной диагонализации гамильтониана (6) удобно
ввести операторы проектирования (операторы Хаббарда)
X p,q p q .
(4.31)
Удобство их использования связано с тем, что квадратичные
члены, соответствующие одному узлу, сводятся к линейным:
X p,q X q', p' p q q' p'
q,q'
p p'
q,q'
X p, p'. (4.32)
Любой оператор может быть выражен через операторы
Хаббарда по формуле
(4.33)
F X p,q p f q .
p,q
Справедливость этой формулы легко доказывается путем взятия
матричных элементов слева и справа. Далее находим
65
a X p,q p a q X ,0 a 0 X 2, 2 a X ,0 X 2, ,
p,q
a X ,0 X 2, .
(4.34)
Можно, конечно, и наоборот, выразить операторы Хаббарда
через обычные фермионные операторы. Так, например,
X 2, 2 a a a a n ,
(4.35)
2
,
X
2 a a a a n .
Здесь видно, что это операторы рождения электрона на узле с
условием, что этот узел уже занят электроном с
противоположным спином. Аналогично устанавливаем
X ,0 a X 2, a a n a (1 n ),
(4.36)
,
0
2
,
X
a X
a a n a (1 n ).
Эти операторы тоже имеют смысл операторов рождения
электронов на узле, но с условием, что данный узел не занят.
Если он занят, то скобки (1 n ) обращаются в нуль.
Найдем также
n a a ( X ,0 X 2, )( X 0, X ,2 ) X , X 2,2 ,
n n X , X , 2 X 2,2 ,
n n ( X , X 2,2 )( X , X 2,2 ) X 2,2 .
Учитывая все это, находим вид гамильтониана в представлении
p,q
X
операторов:
H ( X , X , 2 X 2,2 ) U X 2,2
i
i
i i i
i i
,0 (1)1/ 2 X 2, X 0, (1)1/ 2 X ,2 .
t X
j
ij
i
i
j
i, j
66
(4.37)
Составим теперь уравнение движения для операторов
рождения. Для пояснения основной идеи Хаббарда считаем, что
tij U . Тогда
X i,0 ,0
i
X i , H i X i,0 ,
t
(4.38)
2
,
X
i i X i2, , H i X i2, UX i2, .
t
Сравнивая эти уравнения с уравнениями для свободных частиц,
приходим к выводу, что энергетический спектр состоит из двух
подзон (см. Рис 4. 2).
Рис. 4.2. Схема расщепления хаббардовских подзон.
Верхняя подзона отщеплена от нижней на величину энергии
кулоновского отталкивания электронов на одном узле. Число
возможных мест в нижней подзоне равно числу узлов. Если на
каком - то узле появляется два электрона, то сразу
подключается U, и квазичастичное возбуждение оказывается в
верхней подзоне Хаббарда. Качественно ясно, что подключение
перескокового члена в гамильтониане приведет к размытию
уровней каждой подзоны.
Переход диэлектрик – металл произойдет, когда “размытие”
подзон из-за перескоков электрона (параметр tij) окажется
сравнимым с величиной U, т.е. когда графики плотности
67
состояний верхних и нижних подзон перекроются. Или иными
словами диэлектрическая щель закроется. Подчеркнем , что в
отличие от сценария Пайерлса переход происходит без
изменения периода решетки. Сценарии Мотта и Хаббарда
взаимно дополняют друг друга. В этой связи соединения с
описанным механизмом перехода металл- диэлектрик выделяют
в отдельный класс мотт-хаббардовских диэлектриков.
Картина перестройки плотности состояний в зоне по мере
увеличения параметра U иллюстрируется на рис. 4.3
Рис.4.3 Эволюция плотности состояний в модели Хаббарда при
изменении параметра перескока ( 2W - ширина зоны при U 0 ),
рассчитанная в работе: Yu. Irkhin, A. V. Zarubin, Eur. Phys. J., B,
38, 563 (2004). Имеется в открытом доступе по адресу: arXive:
cond-mat/0103054v3.
Нижний
рисунок
соответствует
металлическому состоянию с одним электроном в элементарной
ячейке, верхний – диэлектрическому.
68
Для дальнейшего знакомства с теорией перехода металлдиэлектрик нужны знания по методу функций Грина.
4.4 Метод функций Грина.
Функции Грина введены в работах С.В. Тябликова и Н. Н.
Боголюбова.
Запаздывающие функции Грина определяются следующим
образом
(4.39)
A(t ) B(0) (t ) A(t ), B .
Здесь (t ) - тета-функция. При t>0 она равна 1, а при t<0 равна
нулю,
(4.40)
A, B AB BA.
Значение 1 или -1 выбирается в зависимости от решаемой
задачи. Обычно 1 для бозонных операторов и 1 для
фермионных.
Составляя уравнения движения по обычному правилу
i
A
A, H ,
t
(4.41)
можно получить уравнения для функций Грина. Решения
уравнений ищут в виде
A(t ) B(0) A B e it d.
(4.42)
Фурье-образы функций Грина оказываются связанными
цепочкой уравнений:
A B i A, B A, H B . (4.43)
2
Если найдена функция Грина, то можно найти корреляционную
функцию по формуле (спектральная теорема)
69
deit
BA(t )
lim B A i B A i .
e
(4.44)
В правой части (20) берется предел 0 . Полезно посмотреть,
как этот формализм работает для электронов без учета их
взаимодействия, т. е. на задаче, ответ которой мы уже знаем.
Итак, пусть
H t tij ai a j .
i, j
Переходим к новым переменным
ikR j
1
.
a j
ak e
N k
(4.45)
(4.46)
Оператор кинетической энергии принимает вид:
Ht a a ,
k k k k
(4.47)
здесь
ikR
lj .
t e
k j lj
(4.48)
имеет смысл энергии квазичастиц.
Составим уравнение для фурье-образа
a a . Используя (4.43), имеем
k k
функции
Грина
i
a
a a a a a , H t a
k k
k k
k
k
2 k k
i
a a a a a a .
k k
k
k k
2 k k
(4.49)
Отсюда находим
a a a a
i
k k .
k k
(4.50)
a a
k k
2
k
a
70
Теперь по формуле (4.40) находим корреляционную функцию,
которая совпадает с функцией распределения Ферми.
a a a a
1 .
a a k k k k
(4.51)
k k
e k 1
e k 1
Вернемся теперь к модели Хаббарда. Оператор перескоков в
нижней подзоне имеет вид:
H t tij X i ,0 X 0j , .
i, j
Вычислим коммутатор, используя правило
(4.52)
A, BC AB BAC BAC CA,
0,
, H t tij { X 0, X i ,0
X
l
l
i, j,
X i ,0 X 0,}X 0j ,
l
tij X i ,0{ X 0, X 0j , X 0j , X 0,}
l
l
i, j,
tij { X i,0 X 0, X 0, X i,0} X 0j , tij X , X 0j ,
li
l
l
l
i, j
i, j
P t X 0j ,
j lj
(4.53)
Здесь в качестве антикоммутаторов берутся их средние
значения (это, так называемое, приближение - Хаббард I ,
использованное им в его первой статье на эту тему)
(4.54)
X i,0 X 0, X 0, X i,0 P ,
li
l
l
а среднее значение X , 0 .
l
Энергия квазичастичных возбуждений определяется из
k
уравнения
X 0, 0,
i k X
, H t X 0, ,
(4.55)
k k
k
t
71
где
ikR j
1
0
,
0
,
X
e
.
(4.56)
X
k
N j j
Вместо (4.48) имеем
ikR
(4.57)
Pt e lj .
k j lj
Видно, что ширина зоны уменьшена (редуцирована) на
множитель P . Другой новый эффект в модели Хаббарда –
необычное поведение спектрального веса или иначе сказать
“емкости зоны”. Более точно, спектральный вес - это отношение
числа носителей к максимально возможному их числу в зоне. В
нижней хаббардовской подзоне число электронов в расчете на
один узел не может быть больше единицы.
Поясним, как получается график на Рис. 4. 4. Величину
параметра P можно выразить через концентрацию электронов
в расчете на одну элементарную ячейку δ .
Условие полноты имеет вид
(4.58)
X i0,0 X i, X i, X i2, 2 1.
Оператор концентрации носителей тока определяется
выражением
(4.59)
i 1 ai ai X i, X i, 2 X i2,2 .
Здесь 0 соответствует заполнению верхней подзоны, а δ 0
появлению дырок в нижней. В парамагнитной фазе
X i, X i, . С учетом этого из (4.33) и (4.34) находим
1
X i,0 X i0, X i0, X i,0 P
(4.60)
2
Теперь формула, аналогичная (4.51), запишется в виде:
X ,0 X 0,
k
k
P
,
( )
k
1 e
а положение химического потенциала
определяться уравнением
72
(4.61)
в
зоне
будет
f ( )
2
1
1
.
1 N k
( )
k
1 e
(4.62)
В случае полностью заполненной зоны все ферми-функции,
фигурирующие справа в (4.62), равны единице. При
половинном заполнении левая часть (4.62) равна 1/2, что
соответствует индексу заполнения (дырочному)
1/ 3 .
1/ 2
Рис. 4.4. Графики спектральных весов. Левая сторона (
1 0 ) соответствует нижней подзоне Хаббарда. Правая
( 0 1 ) – верхней. Половинное заполнение зон достигается
при концентрации носителей 1/ 3 .
73
Сверхпроводники
5.1. Суперобменный механизм спаривания носителей
тока
Суперобменное взаимодействие связано с
электронов. Эффективный оператор имеет вид:
перескоками
H ex 1 tij ai a j t jia a ( j i). ( 5.1)
j ' i '
U i j
Здесь t ij интеграл перескока электрона (или дырки) между
узлами кристаллической решетки. Переходим к новым
операторам
1
ak e ikRi ,
N k
1
ikR j
a
e
k .
N k
ai
( 5.2)
a j
( 5.3)
Подставляем их в (5.1) и анализируем суммы по номерам узлов
решетки. В решетке с трансляционной симметрией сумма
tijt ji iqR
ji J
4
e
q
j U
(5.4)
не зависит от номера узла i. Это обстоятельство позволяет
вычислить сумму
74
1 ei(k k'k''k''')Ri (k k'k''k''' ).
N i
(5.5)
В итоге оператор суперобмена приобретает вид
H ex
1
( J q ak, ak ', ak'q, 'ak q, ' J q ak, ak ', ak'q, 'ak q, ' ),
4N
(5.6)
Jq
где
фурье
-
образ
параметра
суперобменного
взаимодействия. В решетках с центром инверсии J q J q . В
случае квадратной решетки при учете лишь ближайших соседей
из (5.4) находим
J q 2J (cos qxa cos q y a) .
1
Далее в (5.6) проводим частичное усреднение следующим
образом
H ex
1
a a
a a
a a
) h.c.
J q (a a
2N
k , k 'q, k ', k q,
k , k 'q, k ', k q,
(5.7)
Из всех возможных средних оставляем лишь такие, которые
соответствуют куперовским парам с нулевым суммарным
импульсом
1
(k )
,
J k k ' a a
2N
k ', k ',
1
(k )
(k ).
J k k ' a a
2N
k ', k ',
(5.8)
Полученный таким образом эффективный оператор имеет вид
H
a a a a * a
a
БКШ
k k , k ,
k k , k ,
k k , k , ,
(5.9)
где k (k ) (k ).
Первое слагаемое учитывает кинетическую энергию электронов
проводимости. Диагонализация модельного гамильтониана (5.9)
75
Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) может быть проведена
различными методами. Для учебных целей полезно
использовать самый простой.
Составим уравнения движения для операторов рождения и
уничтожения электронов (дырок)
a
k ,
a , H
a
a ,
k k ,
k k ,
t
k , БКШ
a
k ,
i
a
,H
a
* a .
k k ,
k k ,
t
k , БКШ
i
(5.10)
Решение ищем в виде
i E t
a (t ) C e ,
1
k ,
i E t
a
(t ) C e .
2
k ,
(5.11)
Подставляем (5.10) в (5.9)
( E )C C 0
k 1 k 2
* C ( E )C
k 1
k 2
(5.12)
Система имеет решение, если её определитель равен нулю.
Отсюда находим
2
2
E .
1,2
k
k
(5.13)
Общее решение системы (5.9) это сумма частных решений
ak , (t ) C1e
a
k ,
i
(t ) C2 e
Ek
t
i
C3 e
Ek
t
76
i
Ek
t
C4 e
i
,
Ek
t
.
(5.14)
2
2
Здесь E
. Для нахождения полной системы для
k
k
k
операторов C подставляем (5.14) в (5.9) и для простоты
расчетов берем t 0
C C a (0),
1 3 k ,
C C a (0),
2
4 k ,
C E C E a (0) a (0), (5.15)
1 k
3 k
k k ,
kq k ,
C E C E a (0) * a (0).
2 k
4 k
k k ,
k k ,
Из первого и третьего уравнений находим
C1
C3
k Ek
a k , ( 0)
2 Ek
k
a (0),
2 Ek k ,
Ek k
ak , (0) k ak , (0).
2 Ek
2 Ek
(5.16)
Из второго и четвертого уравнений получаем
Ek k
*k
C2
a (0)
a (0),
2 Ek k ,
2 Ek k ,
C4
k Ek
2 Ek
a
k ,
*k
(0)
a (0).
2 Ek k ,
(5.17)
Из временной зависимости в (5.13) следует, что операторы C1 и
C4 имеют смысл операторов уничтожения и рождения новых
(боголюбовских) квазичастиц. Подчиним эти операторы
обычным антикоммутационным соотношениям. Т. е. введем
операторы новых (боголюбовских) квазичастиц
k , xC1
k, x* (C1 )
(5.18)
77
Множитель x подчиним условию
[k , k, k, k , ] 1.
(5.19)
Составляем антикоммутатор
2
( E ) 2
k
k
C C C C k
1 1
1 1
4E 2
k
Следовательно,
выражением
оператор
2E 2 2 E
E
k k k
k.
k
2
2
E
4E
k
k
(5.20)
уничтожения определяется
E
k
k a (0)
k
a (0).
2
E
k ,
k ,
2E ( E ) k ,
k
k k
k
Оператор рождения найдем через C4.
Вычисляем коммутатор
C C C C
4 4
4 4
E
k
k
2
E
k
2
(5.21)
2
E
k
k . (5.22)
k
2
2
E
(2 E )
k
k
Отсюда находим
E
*
k
k a (0)
k
(5.23)
a (0).
2E
k
,
k
,
2
E
(
E
)
k
k k
k
Отметим, что оператор (5.9) при использовании новых
квазичастичных операторов записывается в виде:
k ,
H E .
k , k k , k ,
(5.24)
Это следует из вида уравнений движения, которым
подчиняются операторы и
.
k ,
k ,
Далее уточним уравнение (5.8) для самосогласованного
расчета параметра энергетической щели. Исходя из (5.23) и
(5.21) можно записать
78
u
v ,
k
k ,
k , k k ,
a
v*
u .
k k , k k ,
k ,
a
(5.25)
Здесь удобно ввести обозначения
u
k
E
k
k
k ,v
k
2E
2E ( E )
k
k k
k
.
Полезно отметить, что
(5.26)
2 1
1
2
k
, v
1 k .
u 1
k 2 E k
2 E
k
k
(5.27)
Используя (5.25), находим
a
u v v u
k k
k k
k , k ,
k , k ,
k , k ,
a
E
2
k
k
1
th k
2k T
E /k T
2E
2E
B
k
k e
k B
1
(5.28)
Подставляя (5.28) в (5.8), получаем уравнение
E
1
k
'
J
th k ' .
2k T
k N
k k ' 2E
k' B
(5.29)
Проанализируем его возможные решения. В случае
короткодействующих потенциалов типа суперобменного ядро
уравнения (5.29) допускает разделение переменных. В случае
квадратной решетки
79
cos k x a cos k a cos k y a cos k a
x'
y'
J
2 J
1 sin k x a sin k a sin k y sin k a
k k '
x'
y'
Видно, что зависимость параметра сверхпроводящей щели от
волнового вектора имеет вид:
k x cos k x a y cos k y a ' x sin k x a ' x sin k y a
(5.30)
Уравнение (5.29) распадается на систему четырех уравнений
x
2 J1
k ' Ek '
'
,
cos
k
a
th
x
N
2 Ek ' 2k BT
E
2J
y 1 cos k y' a k ' th k ' ,
N
2 Ek ' 2k BT
' x
(5.31)
2 J1
k ' Ek '
'
sin
k
a
x 2 E th 2k T ,
N
B
k'
E
2J
y 1 sin k x' a k ' th k ' .
N
2 Ek ' 2k BT
'
(5.32)
Из (5.29) следует, что
следует,
что
. В таком случае из (5.32)
k
k
'x 'y 0 . Решение (5.30) должно
соответствовать
какому-то
одному
неприводимому
представлению точечной группы симметрии зоны Бриллюэна.
Из (5.30) видно, что возможны два варианта решений
s (k ) cos k x a cos k y a / 2,
0
(k ) cos k x a cos k y a / 2.
0
d
80
(5.33)
Первый из них инвариантен относительно всех операций
симметрии в зоне Бриллюэна. Говорят, что параметр щели
s (k ) имеет симметрию s- типа. Параметр (k ) меняет знак
d
при повороте на 90 градусов. Он ведет себя как электронное
состояние типа x 2 y 2 . В этой связи говорят, что (k )
d
имеет симметрию d- типа. Численные решения системы
уравнений (5.31) показывают, что для медь-кислородных слоев
в соединениях типа YBa2Cu3O7 (Tc=92 K) реализуется решение
d- типа со значением 2Δ 0 / k BTc 4.2 . Соответствие расчета
экспериментальным данным как по зависимости от волнового
вектора, так и по отношению 2 / k Tc свидетельствует в
0 B
пользу доминирующей роли суперобменного механизма
спаривания носителей тока в сверхпроводящих купратах.
Исследования в этом направлении продолжаются, так как пока
не ясно, какую роль при этом играют взаимодействие через
оптические
фононы
и
экранированное
кулоновское
взаимодействие между носителями тока.
Задача. При рассмотрении куперовских пар с ненулевым
суммарным импульсом в операторе (5.7) следует сохранить
аномальные средние вида a a
с q 0 . Показать,
k , k q,
что энергия новых (боголюбовских) квазичастиц определяется
выражением
E
1,2
k
2
k q 1
2
(
2 ) 4
k k q
kq .
2
2
5.2. Спиновая восприимчивость сверхпроводников.
81
Напомним вначале схему диагонализации гамильтониана
модели Бардина, Купера, Шриффера (БКШ) методом
канонического преобразования, предложенного Боголюбовым.
Эффективный гамильтониан модели БКШ может быть записан
в виде [1, 2]
H
( )a a a a
* a a
БКШ k
k k
k k k k k k
Здесь
a
k
(5.34)
и
a k
операторы рождения и уничтожения
квазичастиц, соответственно,
щели. Перейдем
Боголюбова):
к
новым
k-
параметр сверхпроводящей
операторам
(преобразование
a u v ,
k k k k k
a u v ,
k k k k k
(5.35)
где u и v - коэффициенты, удовлетворяющие условию
k
k
u 2 v2 1
k k
(5.36)
Подставляем (5.2) в (5.1) и требуем,
принял вид
H
чтобы гамильтониан
const E .
BCS
k k k
(5.37)
Некоторые подробности преобразований можно найти в книге
А. А. Абрикосова. Приравнивая коэффициенты перед
произведением операторов k k ' ' нулю, с учетом (5.36)
находим
1
1
2
2
k
],
u [1
], v [1 k
k 2
k 2
E
E
k
k
82
u v k .
k k 2E
k
(5.38)
При этом энергия новых
определяется выражением
E ( )2
k
k
k
(боголюбовских)
квазичастиц
2
.
(5.39)
Отметим, что const в (5.37) можно опустить.
Итак,
для
вывода
спиновой
восприимчивости
сверхпроводника можем использовать гамильтониан вида:
H
BCS
E .
k k k
(5.40)
Наиболее компактно расчет проводится с помощью техники
функций Грина. Поперечная компонента динамической
спиновой восприимчивости
, (, q)
связана с функцией
Грина S q S q соотношением
, (, q) 2i Sq Sq
В (5.41)
Sq
- и
Sq
(5.41)
- фурье-компоненты спина. В
представлении операторов вторичного квантования они имеют
вид:
S q ak, ak q , , S q ak, ak q , .
(5.42)
Фурье – образы функций Грина подчиняются уравнению
( i) A B
i
[ A, B] [ A, H
] B ,
БКШ
2
(5.43)
где А и В - произвольные операторы, квадратные скобки
означают коммутаторы.
83
Используя формулы (5.35), предварительно запишем фурьекомпоненты спинов через операторы боголюбовских
квазичастиц.
Так,
произведение
операторов
a
a переписывается в виде:
k q, k ,
a a
u
u
v u
k , k q, k q k k , k q, k k q k , k q,
.
u v
v
v
k k q k , k q, k q k k , k q,
Далее составляем уравнения для функций Грина с оператороми
Боголюбова. В частности, имеем
i
( i)
(f f
)
k q k ',k q
2 k
k , k q, k ', k 'q,
(E
k q
E )
k
k , k q, k ', k ' q,
f
[1 exp( E / k T )]1 - функции
k
k , k ,
k B
распределения Ферми. Видно, что это уравнение решается
сразу. Это происходит благодаря тому, что оператор энергии
является диагональным. Аналогично замыкаются уравнения и
для всех других функций Грина. Отличные от нуля функции
таковы:
Здесь
f f
k k q
i
,
k ',k q
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k k q
f
f
(5.44)
k q k
i
,
k ',k q
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k k q
f f
1
k k q
i
[
k ',k q
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k k q
1 f f
k k q
],
k ',k
i E E
k k q
84
(5.45)
1 f
f
k q k
i
[
k ',k q
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k
k q
f 1
k q k
],
k ',k
i E E
k
k q
f
f
f
k q k
i
,
k ',k
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k
k q
f f
k k q
i
.
k ',k
2 i E E
k , k q, k ', k 'q,
k
k q
(5.46)
Найденные функции Грина позволяют получить выражение для
спиновой восприимчивости. Для этого в формуле (5.41) надо
предварительно выразить операторы спина через операторы
боголюбовских квазичастиц. Затем использовать формулы
(5.44-5.46). В итоге, формула для восприимчивости имеет вид
f
f
1
k q k
,
( , q) ( x x
z z
)
N k k k q k k q i E E
k
k q
f f
1
k k q
(y y
z z
)
N k k k q k k q i E E
k
k q
f f
1
1
k k q
(y x
z z
)
k
k
q
k
k
q
Nk
i E E
k
k q
1 f f
1
k k q
(x y
z z
)
.
k
k
q
k
k
q
Nk
i E E
k
k q
(5.47)
85
В (5.47) для краткости записи введены обозначения
x u2 ,
k
k
y v2 , z u v . Отметим, что в кристаллах с центром
k k k k k
, f f k . Величины, фигурирующие в
k k
(5.47)
в
круглых
скобках,
называются
факторами
когерентности.
Обсудим поведение мнимой части восприимчивости как
функции частоты и температуры. При низких температурах
( E / k T ) 1 и, следовательно, f [1 exp( E / k T )]1 0 .
k B
k
k B
Первыми двумя членами в (5.47) можно пренебречь. В третьем
инверсии E E
k
члене мнимая часть множителя Im
1
может
i E E
k
k q
. При 0 это
( E E
)2 2
k
k q
выражение, c точностью до множителя, есть дельта функция:
быть переписана в виде
lim
( E
E
) . (5.48)
k
k
q
2
2
( E
E
)
k
k q
Минимальное значение суммы E
это
означает,
(
что
k
поглощение
E
равно ( k k q ) . А
k q
энергии возможно при
)
k q . Что касается четвертого члена в (5.48), то
его мнимая часть пропорциональна ( E E
) , и,
k
k q
k
следовательно, пренебрежимо мала. Таким образом, в спектре
возбуждений при низких температурах четко проявляется щель,
т. е. экспоненциальное поведение температурных зависимостей
. Например, в температурном ходе спиновой намагниченности,
в ядерной релаксации, в рассеянии нейтронов и в др. явлениях.
86
5.3.Оператор сверхпроводящего тока
В
сверхпроводниках
плотность тока пропорциональна
векторному потенциалу j c A . Это уравнение братьев
4 2
Лондон, - глубина проникновения магнитного поля в
сверхпроводник. Часто её называют лондоновской глубиной
проникновения. В англоязычной литературе 1 - это superfluid
2
1
density. Обсудим, как можно рассчитать
на основе
2
микроскопической модели зоны проводимости в приближении
сильной связи.
Амплитуда перехода из узла решетки с
номером i на узел решетки с номером j при наличии векторного
потенциала A приобретает множитель [5.3]
Rj
e
e
exp[ i
A
d
s
]
exp{
i
Ax R x }
jl
c R
c
l
(5.49)
Считая
векторный потенциал
малым (линейное
приближение), интеграл перескока в направлении
записываем в виде:
i e Ax R x
e
jl
t x t e c
t 1 i Ax R x ...
jl
jl
jl
jl
c
nx
(5.50)
Кинетическую энергию системы представляем как сумму
энергий отдельных пар. Пусть это будет однократная сумма по
центрам между узлами решетки. Сравнивая поправку к энергии
в (5.50) с энергией токов в электромагнитном поле,
1 j x ( R0 )Ax ( R0 ) i e t R x Ax ( R0 )an, a ,
nl
nl
nl
l ,
c 0
c 0 nl nl
R
R
nl
nl
87
(5.51)
где R 0 (R Rn ) / 2 .
nl
l
Для кубической (или квадратной) решетки с учетом перескоков
только между ближайшими соседями находим выражение для
плотности тока в точке R 0 (R Rn ) / 2
nl
l
e
jx ( Rnl0 ) i tnl Rnlx (an, al , al, an , ).
(5.52)
Появление разности в правой части вполне понятно, так как
результирующий ток должен быть пропорционален разности
вероятностей перескоков. Формула (5.52) удобна в качестве
начальной в расчетах силы циркулирующих локальных токов.
В ряде других задач полезно начинать расчет, определив
предварительно
фурье-образ
компоненты
тока.
Непосредственное использование формулы (5.52) для этой цели
затруднено, так как центры тяжести R 0 , в общем случае не
nl
образуют пространственно периодической структуры. Поэтому
возвращаемся к формуле (5.50) и подставим в нее векторный
потенциал в виде разложения по гармоникам
Ax ( Rnl0 )
1 x iqRn
Aq (e
e iqRl ) h.c.
4
(5.53)
Затем запишем поправку к кинетической энергии и равним ее с
энергией тока в поле векторного потенциала
i
e
1 x
x x
tnl Aq Rnl an, al , э.c. Aq j x (q) h.c.
c n,l
2c
(5.54)
Отсюда выводим выражение для оператора плотности тока
iqR x
iqR n x
e
e
lR a a
t
e
R
a
a
i
t
e
nl
n
,
nl
l , 2 n,l nl
nl n, l ,
2 n,l
t
t
k q
e
k a a
h.c.
2 k (k x q x ) k x k , k q,
j x (q) i
(5.55)
88
iR
Здесь t t e nl - фурье-образы интегралов перескока. В
k l nl
приближении сильной связи они имеют смысл энергии
квазичастиц, поэтому естественно ввести переобозначение
k t k . Итак, оператор фурье-компоненты тока в приближении
сильной связи может быть записан в виде:
k q
e
k
. (5.56)
j (q)
a
a
2 k , k
(k q ) k , k q,
Здесь индекс пробегает значения x,y, z.
В приближении слабой связи закон дисперсии квазичастиц
(k ) 2
записывается через эффективную массу носителей k
.
2m
Производные в (5.56) вычисляются, и выражение для оператора
фурье - компоненты тока приобретает вид [5.1], стр. 240,
формула (8.32)
j (q) e 2k q a a
k , k q, .
2m k ,
(5.57)
В выражение для энергии ток входит в виде произведения с
векторным потенциалом. Довольно часто векторный потенциал
подчиняют
условию
поперечности,
т.
е.
считают,
что
A q 0 . В этом случае компонента вектора q
q
в (5.57)
может быть опущена. Это не изменяет энергии взаимодействия
с внешним полем. В первом приближении, когда среднее
значение операторов ak , ak q, nk , k ,k q заменяется
числами заполнения, плотность тока (5.57) обращается в нуль.
Это вполне понятно с физической точки зрения, так как это
означало бы наличие спонтанного тока через вещество.
89
5.4. Оператор диамагнитной компоненты тока.
Рассмотрим теперь оператор кинетической энергии с учетом
квадратичных членов по векторному потенциалу. Вместо (5.50)
пишем
Rj
e
e
1 e
exp[ i
Ads] 1 i Ax R x ( Ax R x )2 ... (5.58)
jl 2 c
jl
c R
c
l
Поправка к кинетической энергии имеет вид:
a
1 t [ e Ax ( R 0 ) R x ]2 an
, l , .
nl nl
2 n,l , nl c
(5.59)
Взяв производную по векторному потенциалу и сравнив её с
классическим выражением для энергии тока во внешнем
1
электромагнитном поле ( jA) , видим, что имеется еще одна
c
поправка к току, пропорциональная векторному потенциалу.
Она записывается в духе уравнения Лондонов, как для тока в
c
сверхпроводнике, т. е. j
A . Эта поправка к полному
2
4
току носит название диамагнитной поправки, в то время как
рассмотренная
ранее
компонента
тока
называется
парамагнитной.
Итак, оператор плотности диамагнитной компоненты тока
имеет вид:
e2
j (R ) 2
c
dia
x
0
nl
t
nl
Ax ( Rnl0 )[ Rnlx ]2 an, al ,
n ,l ,
Далее переходим к фурье – образам
90
(5.60)
iqRn ikRn ik 'R
e2
x
x
2
la a
j xdia ( R 0 )
t
A
(
R
)
e
nl 4 Nc 2 k ,k ',n,l , nl q nl
k , k ',
iqR ikRn ik 'R
e2
l
la a
t Aqx ( R x ) 2 e
h.c.
nl
nl
k
,
k
'
,
2
4 Nc k ,k ',n,l ,
2
2
2
2
k
q
e
e
k a a
Aqx
a a
Aqx
h.c.
k
,
k
q
,
k
,
k
q
,
2
2
2
2
4c k , (k x q x )
4c k , (k x )
(5.61)
Здесь видно, что среднее значение диамагнитного тока отлично
a
от нуля уже в первом приближении. Значения a
k , k ,
заменяются
числами
заполнения.
Парамагнитная
же
компонента тока должна усредняться с точностью до второго
приближения.
5.5. Среднее значение парамагнитного тока
В первом приближении среднее значение оператора (5.56) по
основному состоянию равно нулю. При выводе формулы для
необходимо усреднить (5.56) с точностью до членов второго
порядка теории возмущений. Один из вариантов расчета
состоит в том, чтобы волновые функции основного состояния
системы оставить неизменными и воспользоваться теорией
линейного отклика с привлечением техники функций Грина.
Другой вариант – предварительно учесть изменение основного
состояния сверхпроводника из-за включения внешнего поля и
затем провести усреднение, ограничиваясь членами линейными
по векторному потенциалу. Второй вариант проще и не требует
применения техники функций Грина.
91
Гамильтониан сверхпроводника с учетом членов линейных
по векторному потенциалу имеет вид:
iqR n x
e
H E
i
t Aqx e
R an, a
nl
l,
k , k k , k , 4c n,l nl
iqR x
e
x
l R a a h.c. E
i
t nl Aq e
nl n, l,
4c n,l
k , k k , k ,
t
t
eAqx
k q
k a a
4c k , (k x q x ) k x k , k q,
(5.62)
e( Aqx )*
t *k q
t *k
a
a .
4c k , (k x q x ) k x k q, k ,
Здесь (
) – операторы рождения (уничтожения)
k , k ,
боголюбовских квазичастиц, a
- обычные операторы. Так
k ,
как фигурирующие в квадратных скобках выражения являются
нечетными функциями, удобно рассматривать разности типа
a a
a
a
(u u v v )(
)
k p
k p k , p,
k , p,
p, k ,
p, k ,
(u u v v )(
).
k p
k p k , p,
p, k ,
(5.63)
Для вывода формулы лондоновской глубины проникновения,
необходимы их значения при q=0. Учитывая, что аномальные
средние от боголюбовских операторов обращаются в ноль, для
оператора энергии получаем
H ' (q 0) E
kin
k , k k , k ,
(5.64)
eA x
q0 t k
).
(
c k k x k , k ,
k , k ,
Отсюда находим, что в поле однородного векторного
потенциала, энергии боголюбовских квазичастц определяются
следующим образом:
92
eA x t
q0 k
E E
,
k
k
c k x
eA x t
q0 k
E E
.
k
k
c k x
(5.65)
Полученные формулы являются естественным обобщением
известных формул в приближении слабой связи (напрмер,3.108
в [5.2]). Далее находим среднее значение тока
e t k
p
j x (q 0)
)
(
k k x
k , k ,
k , k ,
e t k
f ( E ) f ( E ).
k
k
k k x
(5.66)
Фермиевские функции распределения раскладываем в ряд по
векторному потенциалу, ограничиваясь линейными членами
f
f (E )
k
E
2
k
E
2
( )
1 exp( k )
k
k
k T
1 exp(
)
B
k T
B
1
1
eA x t
q0 k
.
c k x
(5.67)
Подставляя их затем в (5.66), получаем
2
f ( E )
2
2e
k .
k
j xp (q 0) A x
q0 2c k k x E
k
(5.68)
В приближении слабой связи формула (5.68) совпадает с
приведенной в [5.2]. Полная формула для 1/ 2 в приближении
параболических зон имеет вид (формула (3.111) из [5.2]):
f ( E )
E
2
2
L (T ) L (T ) 1 2
dE .
E
2
2
1
/
2
(E )
93
(5.69)
Выражение (5.68) следует сравнивать со вторым слагаемым в
(5.69). Оно соответствует парамагнитной компоненте тока и
может быть получено из (5.68)
лишь, если значения
2
производных k
одинаковы во всех точках ферми k x
поверхности. В проводниках с сильной связью и, в частности, в
высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП) на основе
слоистых купратов, это условие не выполняется.
5.6 Среднее значение диамагнитной компоненты тока
Схема вывода формулы такова. Записываем поправку к
кинетической
энергии,
квадратичную по
векторному
потенциалу
2
H (2) 1 e t ( Ax R x ) 2 an, a .
(5.70)
nl
l,
kin
2 c n,l nl
Затем переходим к квазичастичным операторам и усредняем её
по основному состоянию сверхпроводника в отсутствии поля.
Взяв производную по векторному потенциалу, для
диамагнитной компоненты тока имеем:
2t
e2 x
d
k a a
jx (q 0)
A
c 2 q 0 k , (k x )2 k , k ,
2t
e2 x
k [u v
A
][u
v ] ...
q
0
k
k
k
2
2
k ,
k ,
k , k k ,
c
k , (k x )
2
u 2 v2
e2 x
k [
k k v 2 ].
2
A
c 2 q 0 k (k x )2 e Ek / k BT 1 k
(5.71)
94
В приближении слабой связи вторая производная
2
k , как
(k x ) 2
легко видеть, не будет зависеть от волнового вектора. В этом
случае сумма a a
равна числу носителей тока. Если
k , k ,
k ,
концентрация носителей не зависит от температуры, то это
будет соответствовать единице в правой части формулы (5.69).
2
k не сводится к
В соединениях ВТСП вторая производная
(k x ) 2
постоянному числу, и поэтому диамагнитный ток теперь
зависит от температуры.
Найдем далее суммарную плотность сверхпроводящей
компоненты тока. При численных расчетах формулу (5.71)
удобно преобразовать следующим образом. Суммирование
заменим интегрированием путем введения плотности
состояний, после чего интеграл берем по частям. Учитывая, что
плотность состояний на дне и потолке зоны равна нулю,
находим
u 2 v 2
2
e
k k v 2 . (5.72)
j xd (q 0) 2
Ax k
c 2 q0 k k x k x e Ek / kBT 1 k
1 k
1 k
2
2
Подставляя u 1
и v 1
k 2
k 2
E
E
k
k
в (5.72), с учетом (5.68) получаем окончательную формулу
2
1
e
k
2
c k k x
4
2
k
2
Ek
k
k x
( ) k
k
k x
2E 2
k
2
1
E
k
E
∂
tanh k
∂
E
2k T
k
B
(5.73)
2
E ( ) 2
и
–
параметр
k
k
k
k
сверхпроводящей щели, который в общем случае может быть
комплексным. Заметим, что формула (5.63) содержит модуль
Здесь
95
.
параметра сверхпроводящей щели и, следовательно, суммарная
плотность сверхпроводящего тока не зависит от фазы параметра
порядка. Это означает, что результат инвариантен относительно
градиентного преобразования потенциалов электромагнитного
поля. Видно также, что при T>Tc величина 1 (плотность
2
сверхпроводящей компоненты – superfluid density) обращается в
ноль, как это и должно быть в корректной микроскопической
теории.
Задача. Используя формулу (5.56) выяснить наличие сверхпроводящего тока
( есть ли ? ) в состоянии с волнами зарядовой плотности.
Функция диэлектрической проницаемости.
Продольная и поперечная
Оптическая проводимость.
6.1.
проницаемости.
Уравнения Максвелла имеют вид:
divD 4 ,
divH 0,
1 H
,
c t
4
1 D
rot H
j
c
c t
j E
rot E
divj
(6.1)
0
t
Пусть проводимость измеряется на различных частотах. Будем
искать решение уравнений (6.1) в виде H H 0 e i (t qr ) . Или,
иными словами, запишем уравнения для фурье-образов.
Скомбинировав векторные уравнения
96
E
4
rot (rotH) H
(rotj) rot 0
c
c t
2H
2 H 4
2
4
4
H
rotE 0
0
i 0 H,
2
2
2
2
2
2
c
t
c t
c
c t c
c2
(6.2)
получаем волновое уравнение с комплексной диэлектрической
проницаемостью
(6.3)
() 4i () .
0
Здесь
статическое
значение
диэлектрической
0
проницаемости.
Важно различать случаи продольного и поперечного
электрических полей В книге Питер Ю, Мануэль Кардона.
Основы физики полупроводников, Москва, Физматлит, 2002 г.
стр. 264 это обстоятельство поясняется следующим образом.
Если свободных зарядов нет, то divD (Eq) 0 . Имеются
два варианта. Электрическое поле является поперечным. Тогда
скалярное произведение (E q) равно нулю.
Если
электрическое поле продольное, то должно обращаться в
нуль. Для обсуждения возможных ситуаций в общем случае
запишем уравнение непрерывности:
( )divE i 0,
( ) 4
0
i
0.
(6.4)
Квадратная скобка может быть переписана в виде 4i () .
0
Она имеет смысл диэлектрической проницаемости. Из
уравнения
непрерывности,
записанного
в
виде
iqE i 0 , видно, что в случае поперечного поля
скалярное произведение qE равно нулю и, следовательно,
97
колебания плотности отсутствуют. Однако в случае
продольного поля колебания в плотности тока вполне могут
быть
( 0 ).
Колебания
электронной
плотности
коллективизированных
электронов
(дырок)
называются
плазмонами. Из (6.4) следует, что условие их существования
соответствует
обращению
в
нуль
диэлектрической
проницаемости ( , q) . Это обстоятельство позволяет составить
следующий план расчета закона дисперсии плазмонов. Вначале
надо рассчитать диэлектрическую поляризуемость . Затем
составить функцию диэлектрической проницаемости 1 4
и затем из уравнения (, q) 0 можно будет рассчитать закон
дисперсии плазмонов.
По отношению к внешнему полю индуцированные токи
могут быть как продольными ( [q j ] 0 , rotE 0 ), так и
l
поперечными ( divE (qj t ) 0 ). В общем случае проводимость
и диэлектрическая проницаемость являются тензорами. Оба
этих тензора связаны соотношением
Для
( ) .
0
4i
поперечных
токов
(6.5)
q
E i q Et 0 .
t
4
Следовательно, тензор диэлектрической проницаемости должен
q q
быть пропорционален
, а в продольном поле
2
q
q q
.
фактору
q2
Таким образом, в общем случае, тензор диэлектрической
проницаемости имеет вид:
t (, q)
q q
q q
(, q)
2
q l
q2
98
(6.6)
См. соотношение (1.48) в книге В. М. Агранович, В. Л.
Гинзбург. Кристаллооптика с учетом пространственной
дисперсии экситонов, М. Наука. 1979, стр.54 , Л.Д. Ландау, Е.М.
Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М. Наука, 1982,
стр. 494
В параллельном электрическом поле (когда q E qE ) имеем
D
E (, q)E ,
l
q E 0 ) будет
а
в
поперечном
поле
(когда
D
E t (, q)E .
(6.7)
Теперь можно уточнить условие возникновения плазмонов,
переписав его в виде:
(, q) 0 .
l
В этом контексте, уравнение (6.2)
k 2 t (, q)
2
(6.8)
(6.9)
c2
следует рассматривать в качестве закона дисперсии поперечных
колебаний. В большинстве случаев функции (, q) и t ( , q) ,
l
а соответственно (, q) и t (, q) - различны. Они
l
рассчитываются на основе конкретных микроскопических
моделей.
Функция
через
(, q) рассчитывается
l
корреляционную функцию плотность – плотность, а t ( , q) через корреляционную функцию ток-ток.
В пределе малых волновых векторов условия [q j ] 0 и
l
(qj t ) 0 выполняются одновременно. В этой связи логично
ожидать, что функции t (, q 0) 0 и (, q 0) имеют
l
много общего. В высокочастотном пределе для любой среды
99
(, q 0) t (, q 0) 1
l
2p
2
.
(6.10)
Отметим, что при выполнении условия (6.9) зависимость от
направляющих ортов в (6.7) исчезает. Это обстоятельство
естественно для изотропной среды.
Мнимая
часть
диэлектрической
восприимчивости
q 0 и логично
соответствует поглощению. В пределе
считать, что
Im (, q 0) Im t (, q 0)
l
(6. 11)
на всех частотах. В книге Д. Пайнс, Ф. Нозьер. Теория
квантовых жидкостей. Мир. Москва. 1967 , стр. 309. это условие
сформулировано
как
совпадение
поляризуемостей
(,0) II (,0) .
При описании результатов измерений коэффициент ( )
обычно записывают в форме, аналогичной классической
формуле Друде
2p
1
( )
.
4 1/ i[1 ]
(6.12)
Здесь 1 / - зависящий от температуры и частоты параметр
скорости рассеяния. Происхождение названия связано с тем,
что параметр входит в уравнение движения электрона в виде
dp
p
ip eE .
dt
(6.13)
Видно, что в отсутствие электрического поля значение
импульса экспоненциально затухает со временем. Для
коэффициента оптической проводимости из (6.12)
получается формула Друде
100
( )
(ne 2 / m)
.
(1/ ) i
Параметр ( , T ) в (6.12) был введен позднее уже на базе
квантовой теории и обычно называется параметром усиления
“массы” носителей. Результаты измерений оптической
проводимости обычно представляют в виде зависимостей
Re ( ) ( )
Im ( )
1
4
(6.14)
2p 1
,
1/ (,T )
Re
4
(,T )
(6.15)
2p 1 1
1 (,T )
Im
4 (,T )
(6.16)
Оптическая проводимость ( ,T ) связана с мнимой частью
диэлектрической проницаемости по формуле (6.5). Поэтому
соотношение (6.14) можно переписать в следующем виде
2p
''
1/ ( ,T )
Im
[ ' ' ]2 ( ' ) 2
(6.17)
0
Здесь под 0 нередко понимают так называемую оптическую
константу (параметр, который для различных частот различен).
Из (6.17) особенно четко видно, что функция 1/ (,T )
определяется процессами поглощения и, следовательно, ее
графики дают представление о плотности состояний в зоне
проводимости. Так, при переходе в сверхпроводящее состояние
в спектре возбуждений открывается щель, поэтому функция
1/ ( ,T ) должна иметь ступенчатый вид. Со стороны низких
частот появляется « окно». Измеряя положение ступеньки
(начало поглощения) получаем информацию о величине
101
энергетической щели, о зависимости величины щели от
температуры, концентрации носителей тока и других
параметров. На Рис. 1 приведены результаты измерений на
сверхпроводнике YBa2Cu3O7. / из обзора T. Timusk, B. Statt,
Rep. Prog. Phys. 62, 61-122 (1999)/. Критическая температура
перехода в сверхпроводящее состояние у этого соединения
равна 92К. Из Рис.6.1 видно, что величина щели примерно
равна 600см-1. Резкие пики обусловлены рассеянием на
оптических фононах.
102
Рис. 6.1. График функции поглощения для соединения
YBa2Cu3O7 / из обзора T. Timusk, B. Statt, Rep. Prog. Phys. 62, 61122 (1999).
6.2. Плазмоны.
В качестве примера рассчитаем частоту плазмонов в обычном
металле. Как пояснялось в предыдущем разделе, закон
дисперсии плазмонов получается из условия обращения в нуль
функции диэлектрической проницаемости. Эта функция имеет
вид:
( , q) 1 G ( , q) ,
(6.18)
q
где
n
n
1
k q
k
(6.19)
(, q)
N k
k
k q
функция зарядовой восприимчивости (или иными словами –
поляризуемость электронов проводимости), nq - функция
распределения Ферми. В (6.18) через G обозначен фурье–образ
q
кулоновского взаимодействия электронов. В случае трехмерной
сплошной среды он равен
4e 2 / q 2 . Перепишем (6.19) в
следующем виде:
n
n
n
n
k q k
k q
1
1
1
k
(, q)
N k
N k
N k
k
k q
k
k q
k
k q
n
n
1
1
k
k
N k
N k
k q k
k
k q
1
1
1
n
N k k
k q k
k
k q
(6.20)
103
(Д. Пайнс,Ф. Нозьер. Теория квантовых жидкостей. Мир.
М.,1967, стр.309)
2
В приближении слабой связи k 2 и, следовательно,
k 2m
(, q) 1
N
1
N
1
nk
k
2
2qk
2m
2 2
q
2m
1
2
2qk
2m
2 2
q
2m
2
2
q
m
.
n
k
2
2
k
2
2
2qk q 2
2m
2m
(6.21)
Условие обращения в нуль диэлектрической проницаемости
имеет вид:
1
4e 2 1
q2 N
2
2
q
m
0
n
k
2
2
k
2
2
2
2qk
q
2m
2m
(6.22)
Рассмотрим предел q 0 . В знаменателе под знаком суммы
остается только . Сумма по волновому вектору – это число
электронов проводимости. Таким образом, уравнение для
расчёта частоты плазмонов при q=0 приобретает вид:
1
4e 2
0.
2
m p
(6.23)
Здесь - концентрация носителей в расчете на одну
элементарную ячейку. В общем случае плазмонная частота
104
2p 4e зависит от волнового вектора q, но в данном
2
m
случае она слабая и обычно не учитывается.
В двумерном случае (металлическая пленка) фурье-образ
кулоновского потенциала записывается иначе, а именно
2e 2
. Уравнение (6.22) приобретает вид:
Gq
q
2
2
q
2
2e 1
m
1
0.
nk
2
2
q Nk
2
2
2qk q 2
2m
2m
(6.24)
Здесь использовано обозначение q 2 q x2 q 2y . Видно, что при
малых q закон дисперсии плазмонов получается следующим
q c q ,
(6.25)
а параметр c определяется соотношением
2e 2
1
0
2
mc
(6.26)
m .
2e 2
Ряд авторов: например, A. Bill, H. Morawitz,V. Z. Kresn, Phys.
Rev B, 68, 144519 (2003) считает, что в слоистых системах
возможен случай, когда фурье-образ Vq конечен при малых q, и
и, следовательно, c
тогда закон дисперсии плазмонов будет таким же, как у
акустических колебаний решетки ( фононов ) , т. е. q cq .
Предельные частоты акустических плазмонов должны быть
много больше частоты Дебая, которая входит в формулу БКШ
для критической температуры перехода в сверхпроводящее
105
состояние. По этой причине логично заключить, что
плазмонный механизм спаривания, в принципе, может привести
к возникновению сверхпроводимости при температурах
значительно выше тех, которые обеспечивает фононный
механизм БКШ.
Задача.1. Имеется кристаллическая слоистая структура с
носителями тока в плоскостях. Эффективный радиус носителей
больше постоянной решетки (a) в плоскости (a, b) . Расстояние
между соседними плоскостями равно L . Найти фурье-образ
кулоновского взаимодействия электронов в такой слоистой
системе.
Ответ:
sh(qa)
e2
Gq 2
,
q ch(qa) cos(q z L)
0
где L - период структуры вдоль оси z, q q x2 q 2y .
6.3. Перенормировка фононных мод. Экранирование
кулоновского взаимодействия.
Функция продольной диэлектрической проницаемости для
свободных электронов имеет вид:
(, q) 1 Gq (, q) ,
(6.27)
4e 2
- фурье-образ взаимодействия электронов. Для учета
2
q
влияния продольных колебаний решетки (продольных фононов
с частотой q ) заменим в (6.27) фурье-образ взаимодействия
Gq
электронов по правилу
106
q q
2
4e 2
.
Vq Gq 2
q2
2 2q
(6.28)
Уравнение для согласованных колебаний плазмонов и фононов
перепишется в виде
1 Gq
q q
2
( , q) 0,
2
2
2
q
2 2q 2
q q
2
1 Gq
(6.29)
Gq
0 .
d 1 Gq
0
2
0
0
Здесь для удобства введена эффективная частота
2
2g 2 q q / Gq .
(6.30)
Подставив в правую часть (6.29) затравочную частоту фононов,
имеем приближенную формулу для оценки изменения частоты
фононов вследствие их связи с электронами проводимости
Gq ( q , q)
0
2 2q 2g
.
ph
1 Gq ( q , q)
0
(6.31)
Так как функция восприимчивости ( q , q) комплексна,
0
формула (6.31) позволяет найти сдвиг частоты и параметр
затухания фононов (т.е. ширину фононной линии). Подставляя
в (6. 31) i , находим
1
2
ph
2
q
1
2
( q , q)
0
.
1 Gq ( q , q)
q Im
0
107
(6.32)
Для примера отметим, что для дыхательной моды кислородов в
плоскости СuO2
qy
2
2
q
q sin 2 ( x a) sin 2 ( b)
0
2
2
(6.33)
q
LO
73meV .
Соотношения (6.31) , (6.32) позволяют получать информацию о
зарядовой восприимчивости электронов проводимости по
измерениям сдвигов и ширин фононных линий. Оба этих
эффекта
зависят
от
температуры
и
особенностей
энергетического спектра электронов проводимости. По
экспериментальным данным можно также оценить параметр
электрон-фонноной связи .
0
Особая ценность функции продольной диэлектрической
проницаемости состоит в том, что она позволяет оценить
изменение кулоновского взаимодействия электронов в металле.
Остановимся на этом более подробно.
Уравнение (6.31) можно переписать в виде
( 2 2
)(1 Gq ) 2g Gq 0
q
0
0
ph
2 2q 2g ( 2 2q 2g )Gq 2g
0
ph
ph
2g
1 Gq
0
0 2 2 2
q
g
ph
(6.34)
С учетом того, что согласованные плазмонно–фононные
колебания определяются из условия (q,) 0 , уравнение
II
(6.34) наводит на мысль о том, что полная диэлектрическая
проницаемость электрон-фононной системы определяется
выражением ( (5.36) в . D. Pines, P. Nozieres, The Theory of
Quantum Liquids, Vol.1, New York, Amsterdam, 1966 ) :
108
2g
(k ,) 1 Gq R
eff
2 2q 2g
Для того чтобы убедиться в справедливости
предположения, рассмотрим
(6.35)
такого
2 2q 2g
1
(k , ) ( 2 2 2 )(1 G ) 2
eff
q
g
q R
g
2 2q 2g
2 2q 2g
2 2q ( 2 2q 2g )Gq R ( 2 2q )(1 Gq R ) 2g Gq R
2 2q 2g 2 2
ph
ph
2
2
( 2 2
q )(1 Gq R ) ( ph q )(1 Gq R )
2 [1 Gq R ]
2
2
2
g
q g
1 Gq
ph
1
1
R
2
2
2
2
1 Gq
1
G
q R ( )(1 Gq )
R ( ph )(1 Gq R )
R
ph
2g
1
2
2
2
1 Gq
R ( ph )(1 Gq R )
(6.36)
Здесь, в процессе преобразований
дважды использовано
соотношение (6.31). Эффективное взаимодействие зарядов в
металле должно иметь вид:
Vqeff
Согласно
образом
Gq
.
(q, )
eff
(6.36)
(6.37)
оно
записывается
следующим
2
2 q vq
Gq
2g Gq
Gq
2
2
2
1 Gq
1
G
q R ( 2 2 )(1 Gq ) 2
R ( ph )(1 Gq R )
R
ph
109
(6.38)
Первое
слагаемое
естественно
интерпретируется
как
экранированное кулоновское взаимодействие, а второе – как
взаимодействие носителей через поле фононов, причем
параметр электрон-фононной связи тоже экранирован. Таким
образом, определение диэлектрической проницаемости по
формуле
(6.36)
вполне
соответствует
физическим
представлениям.
Строгое
определение
продольной
диэлектрической проницаемости дается уравнением:
Vqeff (, q)
Gq
Vq
. (6.39)
Vq (1 Vq ...)
(q, )
1 Vq (, q)
eff
Правая часть получается путем суммирования бесконечного
ряда поправок, пропорциональных поляризуемости ( , q) ,
причем в качестве Vq выступает уже не Gq , а суммарное
взаимодействие вида (6. 28). [G. D. Mahan, Many-Particle
Physics, Plenum Press, N. Y., London, 1990, p. 561].
Интересный и нетривиальный результат состоит в том, что
функция (q, ) может быть отрицательной. Подробный
eff
анализ показывает: (D. Pines, Elementary Excitations in Solids,
New York, 1963), что (q, ) 0 лишь при g q .
eff
Отсюда
следует,
что
сильное
электрон-фононное
2
взаимодействие (имеется в виду большое значение vq , а
значит и большое значение g ) плохо для сверхпроводимости
в обычных металлах. Однако следует подчеркнуть, что это
утверждение не всегда верно. В последние годы синтезировано
довольно большое число необычных металлов, и встречаются
случаи, когда возможно куперовское спаривание даже при
отталкивающем
взаимодействии квазичастиц. Эта тема
обсуждается
в
курсе
о
высокотемпературной
сверхпроводимости.
110
Задача.1. Используя формулу 6.18, показать, что при малых
волновых векторах
2
2
(0, q) 1 4e ( F ) 1 ,
q2
q2
где ( ) - плотность состояний на уровне Ферми. При этом
F
фурье- образ эффективного кулоновского взаимодействия
приобретает вид:
4e 2
4e 2
q 2 (0, q) q 2 2
Если далее учесть, что электрон-фононное взаимодействие тоже
должно
экранироваться,
то
полное
эффективное
взаимодействие запишется в виде:
2
eff .
4e 2
eff
Vq
1
q 2 2 2 2
q
Здесь
q - частота фононов.
Видно, что если q ,
кулоновское отталкивание сменяется притяжением. Данная
формула часто привлекается для качественного пояснения
происхождения сверхпроводимости в простых металлах [ Н.
Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, Том 2. Мир.
Москва, 1979 ]
Задача 2. Показать, что в области малых волновых векторов и
высоких частот диэлектрическая проницаемость в обычных
2p
металлах может быть записана в виде 1
и,
2
следовательно,
взаимодействию
поправка
к
затравочному
кулоновскому
2
4e 2 1 4e 2 p
V
1
может
eff
q 2 q 2 2 2p
быть интерпретирована как взаимодействие электронов через
плазмонные колебания.
111
Литература
[1.1] E. Вигнер, Теория групп, ИИЛ, Москва, 1961. стр. 66
[1.2] Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформационные
эффекты в полупроводниках, Наука, Москва, 1972. стр. 174.
[1.3] С. В. Тябликов, Методы квантовой теории магнетизма,
Наука, Москва, 1965, стр. 50.
[2.1] P.W. Anderson. Phys. Rev, 115, 2-13 (1959)
[2.2]. В. Я. Митрофанов, А. Е. Никифоров, В. И. Черепанов.
Спектроскопия обменно-связанных комплексов в ионных
кристаллах. М. Наука. 1985.
[2.3] M. V. Eremin, Yu. V. Rakitin, J. Phys. C: Solid State Phys., 14,
247-253 (1981)
[2.4] B. Bleaney and K. D. Bowers, Proc. R. Soc. A 214, 451 (1952)
[2.5] А.С. Москвин, И. Г. Бострем, Физика твердого тела, Т. 19,
стр. 1616 (1977)
[2.7] C. Zener, Phys. Rev., 82, pp. 403-405 (1951)
[2.8] P. W. Anderson, H. Hasegawa, Phys. Rev., 100, pp. 675-681
(1955)
[3.1] А. А. Абрикосов, Основы теории металлов. Москва. Наука,
1987
[3.2] C. A. Balseiro and L. M. Falicov, Phys. Rev., B. 20, 4457
(1979)
[4.1] Georg Gruner. Density Waves in Solids. Addison-Wesley
Publishing Company. 1994
[4.2] Yu. Irkhin, A. V. Zarubin, Eur. Phys. J., B, 38, 563 (2004).
4.3] Ю. А. Изюмов, Н. И. Чашин, Д. С. Алексеев. Теория сильно
коррелированных систем. Москва. Ижевск, 2006
[5.1] J. R. Schriffer, Theory of Superconductivity, Benjamin, New
York (1964).
[5.2] M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw-Hill,
New York (1996).
[5.3] Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции
по физике, Том. 9, Из-во. Мир, Москва, 1967, стр. 226
112
[5.4] M. V. Eremin, I. A. Larionov, I. E. Lyubin, J. Phys.: Condens.
Matter., 22, 185704 (2010)
[6.1] Питер Ю, Мануэль Кардона. Основы физики
полупроводников, Москва, Физматлит, 2002 г.
[6.2] В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург. Кристаллооптика с
учетом пространственной дисперсии экситонов, М. Наука, 1979,
стр.54
[6.3] Д. Пайнс, Ф. Нозьер. Теория квантовых жидкостей. Мир.
Москва. 1967 , стр. 309.
[6.4] G. D. Mahan, Many-Particle Physics, Plenum Press, New York
and London, 1990, p. 561.
113
