

Неопределенный и определенный интегралы
Задача 1. Найти неопределенный интеграл:
2. 
x2  3
dx.
x2  4
22. 
3 x 1  1
dx.
5x
Задача 2. Найти неопределенный интеграл:
xdx
2. 
3x 4  1
.
22.  x43 x dx.
2
Задача 3. Найти неопределенный интеграл:
2.  3x  1 cos 2 xdx.
22. 
ln x
dx.
x3
Задача 4. Найти неопределенный интеграл:
2. 
22. 
x3
dx.
x x2 1


5x  3
dx.
x 2 x  3
Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. y  9  x 2 , y  0..
22. x  y  2, x  y  6, x  y 2 .
Функции многих переменных
Задача 6. Построить область определения функции:
2. z  ln( 4  4 x 2  8 y 2 ) .
1
2
22. z 
.

2
x

4
y x
Задача 7. Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) :
2. f ( x, y)  y5 x  2 y .
22. f ( x, y)  2 cos2 (4xy) .
Задача 8. Найти: 1) полный дифференциал функции z в точке А; 2) grad z в
точке А; 3) производную функции z в точке А по направлению от точки А к точке
В и сравните её с модулем градиента в той же точке; 4) уравнение касательной
плоскости и уравнения нормали к графику функции z в точке А:
2. z  2 x 2 y  4 xy  y 2  6 y, A(0; 6), B(3;  2).
22. z  4 x 2 y  16 xy  y 2  12 y, A(0; 4), B(8;11).
Задача 9. Найти полный дифференциал и градиент функции f ( x, y) в точке А:
2. f ( x, y)  y sin x , А(0; 2).
22. f ( x, y)  3x 4 y , A(2, 1).
Задача 10. Найти максимально возможное значение производной по
направлению функции f ( x, y) в точке А:
2. f ( x, y)  cos2 ( x  y 3 ) , A(π/4; 0).
22. f ( x, y)  ( yx  y 2 )3 , A(0; 2).
Дифференциальные уравнения
Задача 11. Найти частный интеграл или частное решение дифференциального
уравнения (решить задачу Коши):
2.
y 2  25 dx  4 xy dy , y(1)  0.
22. 3x y  1  y 2 ,
y(1)  0.
Задача 12. Найти общий интеграл или общее решение дифференциального
уравнения:
2. 2 xy   3 y 2  8 x 2  2 y .
22. 10 x 2 y   25 x 2  y 2 .
Задача 13. Найти общий интеграл или общее решение дифференциального
уравнения:
2. y  2 y  e7 x .
22. y   4 y 
e4x
x 4
2
.
Задача 14. Найти общий интеграл или общее решение дифференциального
уравнения:
1
x2
2. y   y  cos 2 x .
x
y
22. y  6 y  y 2e13 x .
Задача 15. Найти частный интеграл или частное решение дифференциального
уравнения (решить задачу Коши):
2. ( x 2  5 y)dx  (5x  8 y 3 )dy  0 , y(0)  1.

22.  72 x 7 y 9 



7
4

 9 dx   81x 8 y 8   12 dy  0 ,
x 1 
y


y(0)  1.
Задача 16. Найти частный интеграл или частное решение дифференциального
уравнения (решить задачу Коши):
2. y  1  1/ x 2 , y(1)  1, y (1)  0.
22. y   2  sin x , y(0)  3, y (0)  2.
Задача 17. Найти фундаментальную систему решений уравнения:
2. y   5 y   9 y   5 y  0 .
22. y   6 y   16 y   16 y  0 .
Задача 18. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2. y  2 y  y  ( x  4) e  x .
22. y  2 y  y  (5  x) e 2 x .
Задача 19. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2. y   2 y    x .
22. y   2 y   8 x  32 .
Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2. y   2 y   2 y  3 sin x .
22. y   2 y   17 y  26 sin x  13 cos x .
Задача 21. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2. y   y  5tg x .
22. y   8 y   16 y 
e 4x
x
5
.
Ряды
Задача 22. Исследовать ряд на сходимость:
n2
.
n3 n 2  5n

n4
22.  8
.
n1 n  12

2. 
Задача 23. Исследовать ряд на сходимость:
n2
2.  n .
n3 3
 5  3n
22.  n1
.
n2 3
2
Задача 24. Исследовать ряд на сходимость:

2
2. 
.
n 2 n ln n

18
22. 
.
n5 n ln 7 n

Задача 25. Исследовать ряд на сходимость (абсолютную или условную):
 (1) n  1
2.  2
.
n3 8n  5n
 (1) n n 4
22.  7
.
n1 n  10
Задача 26. Найти область сходимости функционального ряда:
 (1) n  1 ( x  1) n  1
2. 
.
2  n!
n1
(1) n  1 (4 x  1) n  2
.
15  n!
n1

22. 
Задача 27. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора по степеням x  a . Указать
интервал сходимости к функции f (x) полученного ряда:
2. f ( x)  sin 2 x , a  1,5 .
3
22. f ( x) 
, a  2.
 2x  5
Задача 28. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001 интегралы:
2.

0,3
x2
0
22.
1 cos2 x

1
dx .
sin x 2 dx .
0
Задача 29. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным
начальным условиям:
2. y  x 2 y  0, y(0)  1, y(0)  1.
22. y  3x  ( y) 2  0, y(0)  0, y(0)  3 .