МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Юридический факультет
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"___" ________________20___ г.
Рабочая программа дисциплины
Математика
Направление подготовки (специальность)
036401 – Таможенное дело
Квалификация (степень) выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Саратов,
2011 год
1. Цели освоения дисциплины.
Важнейшей составляющей фундаментальной подготовки будущего специалиста в
области таможенного дела является математическое образование. Математика
является не только мощным средством решения прикладных задач, но и служит
элементом общей культуры.
Юридическая наука выдвигает новые задачи перед математикой. Управление
юридическими процессами, выяснение ведущих тенденций их развития, селекция
юридической информации, ее хранение, правильная оценка получаемых
статистических данных – вот далеко не полный перечень проблем, возникающих на
стыке математики и юридической науки.
Целью освоения дисциплины «Математика» является осуществление
фундаментальной математической подготовки студентов, на базе которой в
последующие годы обучения будет проходить специализация, формирование
математической культуры будущего специалиста в области таможенного дела.
Курс предназначен служить основой для дальнейшего целенаправленного
изучения тех разделов математики, которые могут оказаться полезными и
необходимыми выпускнику факультета в его практической деятельности после
окончания университета.
2. Место дисциплины в структуре ООП подготовки специалиста.
Дисциплина «Математика» входит в базовую (обязательную) часть
математического и естественнонаучного цикла (1–2 семестры). Для ее успешного
освоения необходимы знания, умения и навыки, приобретенные студентами при
изучении школьного курса математики. Освоение дисциплины «Математика» является
основанием для успешного изучения других дисциплин
математического и
естественнонаучного цикла, профессионального цикла.
3.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины.
Общекультурные компетенции:
– способность применять математические методы и методы системного анализа
для решения задач профессиональной деятельности (ОК-6).
Профессиональные компетенции:
– способностью самостоятельно повышать уровень профессиональных знаний,
реализуя специальные средства и методы получения нового знания, и использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности (ПК-1);
– владением методами и средствами получения, хранения, обработки
информации, навыками использования компьютерной техники (ПК-2);
– способностью понимать сущность и значение информации в развитии
современного информационного общества (ПК-3).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: понятия и теоремы линейной алгебры, аналитической геометрии,
математического анализа, теории вероятностей и математической статистики.
2) Уметь: выбирать и применять математические методы при решении типовых
математических задач.
3) Владеть: методами решения типовых математических задач.
Раздел дисциплины
Неделя семестра
№
п/п
Семестр
4. Структура и содержание дисциплины.
Общая трудоемкость дисциплины «Математика» составляет 8 зачетных единиц,
288 часов.
лек.
лаб.
пр.
срс
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
4
4
8
Опрос, проверка домашнего
задания
4
6
Опрос, проверка домашнего
задания
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
3
Линейная алгебра. Матрицы,
определители. Системы
линейных уравнений
Аналитическая геометрия на
плоскости. Прямая на плоскости.
Кривые второго порядка.
Аналитическая геометрия в
пространстве.
4
Введение в анализ. Функции,
пределы
1
9-12
2
4
4
12
5
Дифференциальное исчисление
функции одной переменной.
Производная. Техника
дифференцирования
1
13-18
4
6
4
10
18
2
1-4
14
2
18
8
40
15
2
3-6
2
2
4
15
Опрос, проверка домашнего
задания
Опрос, проверка домашнего
задания
2
5-8
2
4
4
15
Опрос, проверка домашнего
задания
2
7-11
3
2
6
15
Опрос, проверка домашнего
задания
2
2
9-15
14-18
7
4
2
4
8
4
23
20
Тестирование
1
2
1
1-4
4
1
5-7
3
1
7-9
1
4
2
4
Итого за 1 семестр
6
7
8
9
10
11
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл.
Несобственный интеграл
Функции многих переменных.
Частные производные.
Экстремум функции двух
переменных. Кратные интегралы
Дифференциальные уравнения
первого порядка. Линейные
дифференциальные уравнения
второго порядка.
Элементы теории вероятностей
Элементы математической
статистики
Итого за 2 семестр
ИТОГО
20
34
14
32
34
52
103
143
288 ч
Опрос, проверка домашнего
задания
Реферат «Применение
функций в таможенной
практике»
Подготовка к зачету
Зачет
90
Экзамен (27 ч)
27
27
Содержание дисциплины
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о
разложении определителя по элементам строки или столбца. Системы линейных
уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы.
Метод Крамера решения линейных систем. Метод Гаусса решения линейных систем.
Однородные системы линейных уравнений. Матрицы, их виды и свойства. Операции
над матрицами. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных
уравнений. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы. Исследование
общей системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Уравнение линии первого порядка. Декартовы координаты. Расстояние между
двумя точками. Уравнение линий на плоскости. Общее уравнение прямой на
плоскости. Уравнение прямой линии. Различные виды уравнения прямой на
плоскости, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Взаимное
расположение двух прямых. Уравнение линии второго порядка. Кривые второго
порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве.
Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Прямая в
пространстве. Различные виды уравнения прямой в пространстве.
Раздел 4. Введение в анализ.
Основные понятия теории множеств. Функция одной переменной. Определение
функции. Способы задания функций. График функции. Применение функций в
экономике, в
таможенной практике. Свойства функции: монотонность,
ограниченность. Числовая последовательность как функция натурального аргумента.
Определение предела числовой последовательности и его свойства. Предел функции в
точке. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Раскрытие
неопределенностей типа
0 
, , 0  ,   , 1. Непрерывность функции в точке и на
0 
промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва функции и
их классификация.
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический
смысл. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
функции.
Правила
дифференцирования.
Таблица
производных. Производная сложной и обратной функции. Производные высших
порядков. Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.
Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Теорема Ферма. Теоремы
Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Приложение производной для исследования
функций. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Выпуклость и
вогнутость, точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции.
Приложение производной в экономической теории.
Раздел 6. Интегральное исчисление функции одной переменной.
Неопределенный интеграл.
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования. Метод разложения.
Метод подстановки. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных
функций. Разложение рациональной функции на элементарные дроби. Метод
неопределенных коэффициентов. Интегрирование тригонометрических выражений.
Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование простейших
иррациональностей.
Раздел 7. Интегральное исчисление функции одной переменной. Определенный
интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный
интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.
Экономический смысл интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной.
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Вычисление
площадей. Вычисление объемов тел. Использование понятия определенного
интеграла в экономике.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования.
Раздел 8. Функции нескольких переменных.
Функции двух переменных и ее график. Линии уровня. Предел и непрерывность
функций двух переменных. Частное и полное приращение функции двух переменных.
Частные производные. Полный дифференциал и его приложение к приближенным
вычислениям. Производная по направлению и градиент. Свойства градиента.
Производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Необходимое
и достаточное условия экстремума. Метод наименьших квадратов.
Кратные интегралы. Приложения кратных интегралов. Двойные интегралы.
Вычисление двойного интеграла. Приложения двойных интегралов.
Функции нескольких переменных в экономической теории.
Раздел 9. Дифференциальные уравнения.
Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической
форме. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула
Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка.
Обыкновенные
дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Частное и общее
решение. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные
дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной
постоянной. Дифференциальные уравнения второго порядка. Интегрирование
линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами
в
случае
действительных
и
комплексных
корней.
Характеристическое уравнение. Использование дифференциальных уравнений в
экономической динамике.
Раздел 10. Теория вероятностей.
Элементы комбинаторики. Правила комбинаторики. Размещения, перестановки,
сочетания. Схема выбора с возвращением. Случайные события. Виды событий.
Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятностей. Теоремы
сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Повторные независимые испытания. Схема испытаний Бернулли. Приближенные
формулы в схеме Бернулли.
Случайная величина. Дискретная случайная величина и ее числовые
характеристики. Способы задания дискретной случайной величины: ряд
распределения, многоугольник распределения, функция распределения. Числовые
характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение. Непрерывная случайная величина. Функция
распределения. Плотность распределения вероятностей для непрерывной случайной
величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Важнейшие
распределения случайной величины: биномиальный закон распределения, законы
распределения непрерывной случайной величины (равномерное, показательное,
нормальное). Закон больших чисел.
Раздел 11. Элементы математической статистики.
Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
Вариационный ряд и его характеристики. Статистические оценки параметров
распределений: точечные и интервальные оценки. Несмещенные, эффективные и
состоятельные оценки. Точность оценки. Доверительные вероятности и
доверительные интервалы.
Проверка статистических гипотез. Виды гипотез. Критерии согласия. Критерии
Пирсона и Смирнова. Элементы регрессионного анализа. Функциональная,
статистическая и корреляционные зависимости. Корреляционная таблица. Линии
регрессии. Линейная
и нелинейные корреляционные зависимости. Линейная
корреляция. Метод наименьших квадратов.
5.
Образовательные технологии.
По курсу «Математика» предусмотрены лекции, практические занятия и
лабораторные работы. По типу организации и управления познавательной
деятельностью применяемая технология относится к современным классическим
(лекционно-семинарская; профессионально ориентированная) технологиям обучения:
по каждому разделу читается обзорная лекция, затем проводятся практические занятия
по решению типовых математических задач и лабораторные работы, в
содержательную основу которых, наряду с типовыми математическими задачами
включаются и математические задачи, связанные с объектами предстоящей
профессиональной деятельности. Решая подобные задачи, студент осознает
профессиональную значимость соответствующих математических понятий.
Для составления профессионально ориентированной математической задачи
необходимо, прежде всего, построить сюжет такой задачи на основе или с
включением профессионально значимой информации, для чего применяются
различные способы: «обрамление» математического содержания (уравнения,
неравенства и т.п.) подходящим сюжетом, несущим профессионально значимую
информацию; введение профессионально значимой информации в сюжет исходной
математической задачи; замена сюжета исходной математической задачи
аналогичным сюжетом, содержащим профессионально значимую информацию;
использование задач, имеющих место в реальной практической деятельности
специалиста, решение которых предполагает применение определенных
математических процедур.
6.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
1 семестр
Тема 1. Линейная алгебра. Матрицы, определители. Системы линейных
уравнений (8 часов).
Задания
1. Вычислить определители:
1)
5 6
9 25
2)
6 6 2
3)
8)
2 1 2
3 4 2
4)
9 3 4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 4 6
2 3 4
5 2 1
5)
2 8 13
5 1 3
1 1 1 1
2 3 1
7)
7 2 3
3 2
4 5
1 2 3
2 3 4
6)
5 2 1
1 2 3
0 1 1 1
9)
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
.
2. Решить системы методом Крамера:
1)
3x  2 y  7,

4 x  5 y  40 .
3)
2 x  3 y  z  2  0,

 x  5 y  4 z  5  0,
4 x  y  3z  4  0.

2)
4)
аx  3 y  1,

аx  2 y  2.
2 x  4 y  3z  1,

 x  2 y  4 z  3,
3x  y  5 z  2.

5)
 x  y  2 z  11,

2 x  2 y  3z  8,
7 x  3 y  z  11 .

3. Решить системы методом Гаусса:
6)
9)
 x  y  2 z  11,

7)
2 x  2 y  3z  8,
7 x  3 y  z  11 .

 x1  3x 2  2 x 3  x 4  11,

2 x1  5 x 2  4 x 3  x 4  20,

3x1  8 x 2  9 x 3  2 x 4  37 ,
2 x1  10 x 2  9 x 3  7 x 4  40 .
 x  2 y  3z  4,
 x  2 y  3z  4,

8) 2 x  6 y  4 z  6,
2 x  y  z  3,
3x  3 y  2 z  10 .
3x  10 y  8 z  8.


2 x1  2 x 2  x 3  x 4  4,

4 x  3x  x  2 x 4  6,
10)  1 2 3
8 x1  5 x 2  3x 3  4 x 4  12 ,
3x1  3x 2  2 x 3  2 x 4  6.
9)
3x  2 y  z  8,

2 x  3 y  z  3,
2 x  y  3z  1.

4. Решить матричным методом системы линейных уравнений:
а)
 x1  3x 2  2 x 3  1,

 2,
3x1  4 x 2
2 x  5 x  3x  2.
2
3
 1
б)
 x  y  2 z  11,

2 x  2 y  3z  8,
7 x  3 y  z  11 .

в)
8 x  5 y  6 z  5,

 3x  5 y  3z  2,
 5 x  7 y  5 z  2.

Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые
второго порядка (6 часов).
Задания
1. Записать уравнение прямой по точке М и угловому коэффициенту k: М(4;-3);
k = - 3/2.
2. Записать уравнение прямой по двум ее точкам: (3; -2), (-2; 4) и найти
расстояние между этими точками.
3. Определить центр и радиус окружности:
2
1) x  y 2  4x  1. 2) x 2  y 2  2x  3 y  5  0.
3) x 2  y 2  2x  6 y  7  0.
4. Установить, какие из пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются
(найти точку их пересечения):
1) 2x  y  3  0; 4x  2 y 1  0.
2) 7x  3y  5  0; 14x  6 y  0.
3) 12x  3y  4  0; 3x  y 1  0.
5. Изобразить на плоскости множества точек, координаты которых
удовлетворяют следующим условиям:
1) ( x 1) 2  ( y  3) 2  25.
2) x 2  y 2  2x  6 y  5  0. 3) 4x 2  5 y 2  20.
4) 9x 2  16 y 2  144.
5) 16x 2  25y 2  100.
6) 16x 2  9 y 2  144.
6. Найти расстояние между центрами окружностей x 2  y 2  9 и x 2  y 2  8x  12  0 .
7. В треугольнике АВС с вершинами А(-1;2), В(5;-1), С(-4;-5) найти: (1) длину
стороны АВ; (2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; (3)
уравнение медианы АЕ; (4) уравнение и длину высоты СК; (5) уравнение окружности,
для которой высота СК есть диаметр.
Тема 3. Аналитическая геометрия в пространстве (4 часа).
Задания
1. Даны координаты вершин пирамиды АВСД: А(4;6;5), В(6;9;4), С(2;10;10),
Д(7;5;9). Найти: (1) уравнение плоскости АВС; (2) расстояние от вершины Д до грани
АВС; (3) уравнение прямой АВ; (4) площадь грани АВС.
2. Начало отрезка АВ находится в точке А(2;-3;4). Точка М(-1;2;5) отсекает от
него четвертую часть (АМ:АВ=1:4). Найти координаты точки В.
3. На оси Ox найти точку, равноудаленную от двух точек А(3;-1;2) и В(4;1;-1).
4. Треугольник АВС образован пересечением плоскости 2x  3y  4z 12  0 с
координатными осями. Найти уравнение средней линии треугольника, параллельного
плоскости Oxy .
Тема 4. Введение в анализ. Функции, пределы (12 часов) – написание реферата
«Применение функций в таможенной практике».
Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Производная. Техника дифференцирования (10 часов) – подготовка к зачету по
перечню вопросов к зачету.
Тема 6. Неопределенный интеграл (15 часов).
Задания
1. Вычислить интегралы: 1)
4) 
1
dx ; 5)
x ln x
(1  x) 2
 x dx ;
2)  x cos( x 2  1)dx ;
sin x
x2
2
 9  x3 dx ; 6)  cos x dx ; 7)  sin x cos xdx ; 8)
3)

arctg 3 x
 1  x 2 dx ; 9)
sin x cos xdx ;

xdx
;
2  x2
10)  arcsin 3xdx ; 11)  x sin xdx ; 12)  xe2 x dx ; 13)  ln( x  3)dx ; 14)  arctg2 xdx ; 15)  x 2 ln xdx ;
x3  3x 2  2 x  3
x3  2 x
;
20)
dx
 x 2  3x  4
 x 2  9 dx ;
x3  x 2  10 x  1
x3  4 x 2  3x  4
x3  x 2  4 x  1
21) 
;
22)
;
23)
dx
dx
 x2  4x  5
 x 2  x  6 dx ;
x 2  x  12
x3  3x 2  8 x  3
x3  x 2  x
x3  x 2  4 x  1
x3  2 x 2  x  2
24)  2
;
27)
dx ; 26) 
dx ; 25)  2
dx
 x2  3x  4 dx ;
x  x2
x  3x  10
x2  x  6
2
dx
28)  cos 5 xdx ; 29)  e 7 x dx ; 30)  (3  2 x) 4 dx ; 31)  2 ; 32)  sin 2 x cos xdx ; 33)  x  e  x dx ;
sin 2 x
1

sin
2
x
dx
dx ;
34) 
; 35)  x x 2 1dx ;
36) 
37)  x  e 2 x dx ;
38)  e x sin xdx ;
sin 2 x
x(1  ln x)
ln x
xdx
39)  2 dx ; 40)  x 3  e  x dx ; 41)  x ; 42)  ( x  1) ln 2 xdx ; 43)  x  2 x dx ;
44)  ( x 2  1)  e x dx ;
x
3
2
1  tgx
e2x
x dx
dx
dx ; 49)  x
45)  x 3  5 x 2  1 e x dx ; 46)  6
;
47)  3
;
48) 
dx ;
sin 2 x
e 1
x 9
x x
x2
e2x
dx
dx
dx
dx ; 54)  2
dx ;
50) 
;
51)
;
52)
;
53)
2
3x
x



4
1  3 sin x
e e
x  6x  5
1 x 1
ex 1
16)  ( x  2) cos dx ; 17)  x sin 2 xdx ; 18)  arccos 2 xdx ; 19)
55)
2 x 2  11x  25
 x 3  7 x  6 dx ;
56)

3x  1
dx ;
3
x  x 2  2x
57)
59)
x 3  7 x  18
dx ;
x 2  3x  2
60)
7x  6
 2 x 2  6 x  4 dx ;
61)

2 x 2  3x  3
dx ;
63) 
x  1x 2  2 x  5

x5  x4 8
dx ;
x 3  4x
x3 1
 x x  1
3
dx ;
58)
62)
x4
 x 2  1x  2 dx ;
 x  2 x  1 dx ;
3x 2  x  5
dx .
64) 
x  12 x 2  4 x  3

x2

Тема 7. Определенный интеграл. Несобственный интеграл (15 часов).
2
Задания
1. Вычислить определенные интегралы:

1
1
1
1)  (2e x  3 x 2 )dx. 2)  4  x 2 dx ; 3) 
1
4  x2
0
0
1
dx
4) 
;
0
e
2
1  ln x
dx ; 6)  sin x cos 2 xdx ;
1  x dx ; 5) 
x
1
0

2
2
2
0
e
9)  x  log 2 xdx ;
8)  2  x 2 dx ;
7)  x  cos xdx ;
10)  ln 3 xdx ;
1
1
1
e 1
11)  ln( x  1)dx .
0
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) дугой синусоиды от x  0 до x   и осью Ox;
б) параболой y  6 x  x 2 и осью Ox;
в) параболой y  x 2  1 и осью Ox.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:
1) y  12  6 x  x 2 , y  x2  2 x  2 ;
2) y  5  x  x 2 , y  2 x 2  6 x  3 ;
3) y  1  2 x  x2 , y  3x2  5x  1 ;
4) y  5  2 x  x 2 , y  x2  3x  1 ;
5) y  1  x  x 2 , y  2 x 2  6 x  1 ;
6) y  1  3x  3x 2 , y  x 2  5x  3 ;
7) y  1  x  x2 , y  x 2  2 x  5 ;
8) y  5  x  2 x 2 , y  2 x 2  6 x  3 ;
9) y  8  x  x 2 , y  x 2  3x  4 ;
10) y  x 2 , x  y 2 .
4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


x2
3 x 2  4 dx;
1)
2)
x
1
1
dx;
1
2
3)

1

x 1

2
4)
dx;

 sin xdx;
0
Тема 8. Функции многих переменных. Частные производные. Экстремум
функции двух переменных. Кратные интегралы (15 часов).
Задания
1. Найти все частные производные второго порядка функции:
а) z  ln( x2  y) ;
б) z  sin( x 2  y 2 ) ;
в) z  tg( x 2  2 y) ; г) z  сtg( x 2  2 y 2 ) ;
д) z  cos(2 x2  y 2 ) ; е) z  xey  ye x ;
ж) z  x 2  3y 3 ; з) z  tg(3x 2  5 y 2 ) .
2. Найти экстремум функции:
а) z  x2  xy  y 2  3x  6 y  6 ; б) z  2 x 2  xy  y 2  3x  y  1 ; в) z  3x2  2 xy  y 2  2 x  2 y  7 ;
г) z  2 x2  xy  y 2  7 x  5 y  3 ; д) z  x 2  3xy  y 2  2 x  6 y  1 ; е) z  3x 2  xy  6 y 2  6 x  y  9 ;
ж) z  x2  3xy  2 y 2  4 x  6 y  2 ; з) z  4 x 2  2 xy  y 2  2 x  4 y  1 ; и) z  x 3 y 2 (6  x  y) ;
к) z  xy(1  x  y) .
3. Вычислить данные повторные и двойные интегралы:
4
2
а)  dx 
3
г)
1
dy
( x  y)
2
б)
;
 ( x  y )dxdy ,
a
2 ax
0
 2 ax
2
2
 dx  ( x  y )dy ;
в)
1
1 x 2
0
0
 dx 
где область (Р) ограничена прямыми
1  x 2  y 2 dy ;
y  0, y  x, x  y  2 ;
( P)
д)
е)

x2
( P) y
2
dxdy ,
 dxdy ,
где область (Р) ограничена линиями
где область (Р) ограничена линиями
x  2, y  x, xy  1 ;
y  2  x, y 2  4x  4 ;
( P)
x
ж)
y
 e dxdy ,
где область (Р) ограничена линиями
x  y 2 , x  0, y  1 ;
( P)
з)
 cos(x  y)dxdy ,
( P)
где область (Р) ограничена прямыми
x  0, y   , y  x .
Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные
дифференциальные уравнения второго порядка (15 часов).
Задания
1. Показать, что данная функция является решением данного уравнения:
а) y  ( x  5)e x , y   y  e x ;
б) y  ln cos x, y   tgx;
в)
y  C1 x  C 2 x 2 ,
y  
2y
2
y   2  0;
x
x
г) y  Ce 3 x , y   3 y  0.
2. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а) (1  y)dx  (1  x)dy  0; б) 1  y 2 dx  1  x 2 dy  0; в) y   x 2 y  0; г) xyy   1  x 2 ;
д) ( xy 2  x)dx  ( y  x 2 y)dy  0; е) xy(1  x )`y   1  y 2 ;
ж) (1  y)dx  (1  x)dy  0;
з) 1  y 2 dx  1  x 2 dy  0; и) y   x 2 y  0;
к) xyy   1  x 2 ;
3. Решить задачу Коши:
а) (1  y 2 )dx  xydy  0; y(2)  1 ; б) 2 y dx  dy; y(0)  1 . в) (1  y 2 )dx  xydy  0; y(2)  1 .
4. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а) y  ( x  5)e x , y   y  e x ;
б) y  ln cos x, y   tgx;
в) y  Ce 3 x , y   3 y  0.
5. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка:
а) y   5 y   6 y  0;
б) y   2 y   y  0;
в) y   2 y   3 y  0. г) y   4 y   4 y  0;
д) y   2 y   5 y  0;
е) y   6 y   5 y  0.
ж) y   2 y   x 2  x; з) y   5 y   6 y  x;
и) y   6 y   13y  x 2  5x  2;
к) y   3 y   2 y  e x .
Тема 10–11. Элементы теории вероятностей (23 часа). Элементы
математической статистики (20 часов) – подготовка к тестированию.
Подготовка к экзамену (27 часов) – по перечню вопросов к экзамену.
Вопросы к зачету
1. Определители второго и третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по
элементам строки (столбца).
4. Система линейных уравнений. Понятие решения. Совместные и несовместные,
определенные и неопределенные системы линейных уравнений, равносильные
системы уравнений.
5. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений.
6. Метод Гаусса решения линейных систем.
7. Линейные операции над матрицами и их свойства.
8. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.
9. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
10.Матричный метод решения систем линейных уравнений.
11.Минор матрицы. Понятие о ранге матрицы. Критерий Кронекера-Капелли.
12.Общее уравнение прямой на плоскости и его частные случаи.
13.Уравнение прямой линии на плоскости «в отрезках».
14.Уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через две точки.
15.Уравнение прямой линии на плоскости с угловым коэффициентом.
16.Угол
между
прямыми
на
плоскости.
Условие
параллельности
и
перпендикулярности прямых линий на плоскости.
17.Окружность и её уравнение.
18.Эллипс, его каноническое уравнение и эксцентриситет.
19.Гипербола, её каноническое уравнение и эксцентриситет.
20.Парабола и её каноническое уравнение. Уравнение директрисы.
21.Основные понятия теории множеств.
22.Функция. Предел функции в точке.
23.Числовая последовательность, ее предел.
24. Свойства предела последовательности.
25. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними.
26. Связь функции, имеющей конечный предел, с бесконечно малой величиной.
27. Первый и второй замечательные пределы.
28. Непрерывность функции в точке и на промежутке.
29. Односторонние пределы и их связь с пределом функции.
30. Точки разрыва и их классификация.
31. Основные свойства непрерывных функций.
32. Производная. Геометрический и механический смысл. Таблица производных.
33. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
34. Дифференцируемые функции, их свойства.
35. Производная суммы, произведения, частного.
36. Теорема о дифференцировании сложной функции.
37. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
38. Свойства дифференциала функции одной переменной.
39. Правило Лопиталя.
40. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.
41. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.
42.Необходимое и достаточное условия убывания и возрастания функции.
43. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции одной
переменной.
44. Достаточные условия экстремума функции одной переменной.
45. Вогнутость и выпуклость графика функции. Достаточные условия выпуклости и
вогнутости графика функции.
46. Точка перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба графика
функции.
47. Достаточное условие перегиба графика функции.
48. Асимптоты графика функции.
Вопросы к экзамену
1. Определение первообразной. Свойство первообразных.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Замена переменной в неопределенном интеграле
4. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
5. Определение определенного интеграла, его свойства.
6. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
8. Вычисление площади в декартовых координатах.
9. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
10. Функции двух переменных и ее график. Линии уровня.
11. Частные производные функции двух переменных, правило их нахождения и
геометрический смысл.
12. Производная по направлению. Градиент.
13. Дифференцируемая функция двух переменных. Теорема о дифференцируемой
функции двух переменных.
14. Полный дифференциал функции двух переменных. Применение полного
дифференциала к вычислению приближенных значений функции.
15.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных
второго порядка.
16.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума функции
двух переменных.
17.Стационарные точки. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
18. Метод наименьших квадратов. Нахождение коэффициентов линейной
зависимости.
19. Понятие двойного интеграла.
20. Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному интегралу
21. Комплексные числа, операции над ними.
22. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
23. Формула Муавра. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа.
24.Дифференциальное уравнение: основные понятия. Задача Коши.
25.Уравнения с разделяющимися переменными.
26. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации
произвольной постоянной.
27.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
28.Правила комбинаторики.
29.Размещения, перестановки, сочетания.
30.Определения вероятности. Свойства вероятности.
31.Теорема сложения вероятностей.
32.Теорема умножения вероятностей.
33.Формулы полной вероятности и Бейеса.
34.Схема испытаний Бернулли.
35.Дискретная случайная величина. Ряд распределения.
36.Числовые характеристики дискретной случайной величины.
37.Биномиальный закон распределения.
38.Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
39.Непрерывная случайная величина. Функция и плотность распределения.
40.Математическое ожидание и его свойства.
41.Дисперсия. Свойства дисперсии.
42.Нормальное распределение.
43.Равномерное распределение.
44.Показательное распределение.
45.Выборка. Полигон частот. Гистограмма.
46.Вариационный ряд и его характеристики.
47.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
48.Точность оценки.
49.Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
50.Критерии согласия.
51.Критерий Пирсона.
52.Функциональная, статистическая и корреляционные зависимости.
53.Корреляционная таблица.
54.Линейная корреляция.
Лабораторные работы
Лабораторная работа №1 «Практикум по линейной алгебре»
Задания
1. Вычислить определитель матрицы A (индивидуальные матрицы для 25 вариантов):
1 3

3 6
A 7 3

 0 4

 2 7
3 1
7
2
6 2
7
2
5 1
1 

3
 2 .

5 

7 
2. Найти произведение матриц
1

2
A
1

3

2 2 1 

3 4 5
,
3 2 5 

2 4  3 
3

 1
B
2

 1

Aи В
(индивидуальные матрицы для 25 вариантов):
2 1

2 3
.
4  1

3 2 
3. Дана матрица A (индивидуальные матрицы для 25 вариантов):
 4 4 1


A1 3 4.
 2 5 6


Найти
матрицу A 1 и установить, что AA1  E .
4. Найти общее решение системы линейных уравнений (индивидуальные системы для
25 вариантов) методом Гаусса:
5 x 2  x 3  5 x 4  3 x 5  4,

2 x1  x 2  x 3  x 4  x 5  4,

 x1  x 2  3 x 4  2 x 5  1,
 3 x1  3 x 2  2 x 3  x 4  7.
5. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
(индивидуальные системы для 25 вариантов).
 x1  3 x 2  2 x 3  2 x 4  x 5  0,

 x1  2 x 2  x 3  x 4  x 5  0,

 x1  4 x 2  x 3  x 4  x 5  0,
3 x1  3 x 2  4 x 3  2 x 4  x 5  0.
Лабораторная работа №2 «Практикум по аналитической геометрии»
Задания
1. Дан параллелограмм ABCD , три вершины которого заданы (индивидуальные
координаты вершин для 25 вариантов) A(4;5;2), B(2;3;4), C(3;6;3) . Найти четвертую
вершину и острый угол параллелограмма.
2. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A, B, C (индивидуальные
координаты вершин для 25 вариантов) A(2;5), B(3;4), C(4;2) и написать уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.
3. Найти угол между плоскостью  и прямой, проходящей через начало координат и
точку M (индивидуальные координаты точки для 25 вариантов) М (1;2;3),  x  5 y  2z  3  0 .
Вычислить расстояние от точки M до плоскости  .
4. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую
(индивидуальные уравнения прямой для 25 вариантов) М (2;4;5), x  1  y  2  z  4 .
3
3
l
2
5. Построить кривые по заданным уравнениям (индивидуальные уравнения кривых
для 25 вариантов):
( x  1) 2  ( y  5) 2  16,
y2 x2
x2 y2

 1,

 1,
9 16
9 49
x 2  3 y.
Лабораторная работа №3 «Практикум 1 по математическому анализу»
Задания
1. Вычислить пределы (индивидуальные задания для 25 вариантов): lim
x 0
2 x 2  3x  10
,
x  5 x 2  4 x  3
lim
lim
x2
 x 1
,
lim


x  x  1
2x 2  x  6


3x 2  5 x  2
sin 4 x
x 1 1
,
2 x 1
.
2. Исследовать на разрыв функции (индивидуальные задания для 25 вариантов):
 x  4, x  1,

f ( x)   x 2  2,  1  x  1,
2 x ,
x  1.

f ( x) 
x 2  0,25
.
2x  1
Лабораторная работа №4 «Практикум 2 по математическому анализу»
Задания
1. Исследовать функцию и построить ее график (индивидуальные задания для 25
вариантов): 1) y  x 3  9x 2  15x  9 ,
2)
y
x3 1
x 2  2x
2,
Лабораторная работа №5 «Практикум 3 по математическому анализу»
Задания
1. Найти неопределенные интегралы: (индивидуальные задания для 25 вариантов)
6
4 3
x
 5  x x dx,  3 sin xdx .
2. Вычислить определенный интеграл (индивидуальные задания для 25 вариантов)
1 arctgx
dx .

2
2/2
1 x
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (индивидуальные задания для
25 вариантов): y  ln x, x  e, y  0 .
4. Вычислить несобственный интеграл (индивидуальные задания для 25 вариантов):

x 4 dx
0
(x 5  5) 4

.
5. Исследовать сходимость несобственного интеграла (индивидуальные задания для 25
1
вариантов):  dx .
0
1 x 2
Лабораторная работа №6 «Практикум 4 по математическому анализу»
Задания
1. Найти частные производные второго порядка функции многих переменных
(индивидуальные задания для 25 вариантов):
u
x2  2y
z2
.
2. Найти экстремум функции двух переменных (индивидуальные задания для 25
вариантов): 1) z  x 3  5xy  5 y 2  7 x 15y , 2) z  2x 2  xy  3y 2  2x 11y  3 .
3. Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов
(индивидуальные задания для 25 вариантов):
xi
yi
-1,1 -0,7 -0,5 -0,1 1,2
2,4 2,7 2,9 3,4 4,9
Лабораторная работа №7 «Практикум 5 по математическому анализу»
Задания
1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка (индивидуальные задания
для 25 вариантов): y   2 xy  2 x
2. Решить линейное дифференциальное уравнение (индивидуальные задания для 25
вариантов): 1) 4 y  12 y   9 y  e x , 2) y   4 y   4 y  0 , 3) y   y   y  0 .
Лабораторная работа №8 «Практикум по теории вероятностей»
Задания
1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того,
что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными? (индивидуальные
данные для 25 вариантов): N  34, n  10, m  6, k  4.
2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий
некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий
будут некачественными (индивидуальные данные для 25 вариантов): n  28, m  10, k  3.
3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в
количестве: n1 с первого завода, n2 со второго, n3 с третьего (индивидуальные данные
для 25 вариантов). Вероятность качественного изготовления изделия на первом заводе
p1 , на втором p 2 , на третьем p 3 . Какова вероятность того, что взятое случайным
образом изделие будет качественным? (индивидуальные данные для 25 вариантов):
n1  40, p1  0,8, n 2  20, p 2  0,8, n3  40, p3  0,9.
4. Дано распределение дискретной случайной величины X : (индивидуальные данные
для 25 вариантов). Найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение.
xi
pi
-3 -1 3
5
0,4 0,3 0,1 0,2
5. В городе имеются N оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар
отсутствует на этих базах, одинакова и равна p . Составить закон распределения числа
баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент (индивидуальные
данные для 25 вариантов): N  2, p  0,16.
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее
математическое ожидание равно M x , среднее квадратичное отклонение равно  x .
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет
значение в интервале (a, b) (индивидуальные данные для 25 вариантов):
M x  54,  x  3, a  53, b  56.
Лабораторная работа № 9 «Практикум по математической статистике»
Задания
1. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным
данным (индивидуальные данные для 25 вариантов), где m i – частота попадания
вариант в промежуток ( xi , xi 1 ] .
2. Найдите несмещенную выборочную дисперсию на основании данного
распределения выборки (индивидуальные данные для 25 вариантов).
3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение  0 является
математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при
5%-м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате
обработки выборки объема n  10 получено выборочное среднее x , а несмещенное
среднее квадратичное отклонение равно S (индивидуальные данные для 25 вариантов).
4. При уровне значимости   0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух
нормально распределенных случайных величин X и Y на основе выборочных данных
(индивидуальные данные для 25 вариантов) при альтернативной гипотезе H 1 :  x2   y2 .
5. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X на основании
корреляционной таблицы (индивидуальные данные для 25 вариантов).
6. При уровне значимости   0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую
гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти измерений для
трех уровней фактора 1   3 (индивидуальные данные для 25 вариантов).
Контрольно-измерительные материалы для тестирования по темам:
«Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики»
Контрольно-измерительные материалы предназначены для итогового контроля
знаний и умений по указанным темам. Данные материалы содержат 3 варианта по 12
заданий в каждом. Каждый из вариантов теста содержит 4 типа заданий:
1) задания с выбором ответа (7 заданий);
2) задания на установление соответствия между видом распределения
непрерывной либо дискретной случайной величины и функций распределения (либо
функцией плотности распределения);
3) задание на установление однозначного соответствия между видом
распределения и их числовыми характеристиками;
4) задания с развернутым ответом (2 задания).
К контрольно-измерительным материалам прилагается шкала оценки каждого из
заданий. Кроме того, к заданиям с развернутым ответом даны критерии оценки в
зависимости от степени их выполнения.
Вариант 1
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95
для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найдите вероятность того, что при
аварии сработает только один сигнализатор:
а) 0,4;
б ) 0,24;
в) 0,14;
г) 0,04.
2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что
два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными:
а)
1
;
99
б)
1
;
495
в ) 0,02;
г ) 0,25 .
3. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из
них 4 белых. Из наудачу выбранной урны извлекают 1 шар. Найдите вероятность того,
что он белый:
а) 0,3;
б ) 0,5;
в) 0,1;
г ) 0,8.
4. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе
как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для
легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки
машина. Найдите вероятность, что это грузовая машина:
а)
3
;
7
б)
5
;
7
в)
2
;
7
г)
1
.
5
5. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет: 1) 2
раза; 2) менее 2-х раз.
а)
3 1
; ;
10 4
б)
5 1
; ;
16 2
в)
7 3
; ;
16 4
г ) 0,1; 0,5.
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найдите
вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента: ( e 2  0,13534 )
а) 0,13534 ;
б ) 0,27068 ;
в) 0,18045 ;
г ) 0,35673 .
7. ОТК проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная,
равна 0,75. Найдите наивероятнейшее число деталей, которые будут стандартными:
а) 6;
б ) 8;
в) 4;
г) 3.
8. Укажите соответствие между законами распределения и формулами, задающими их.
1) биномиальный закон распределения
2) показательное распределение
б ) f ( x) 
1

e
где   np
( xa)2
( 2 ) 2
 2
в) Pn (k )  Cnk p k q nk
3) закон Пуассона
4) нормальное распределение
а) 1  а, 2  б, 3  в, 4  г;
e 
,
k!
а) Pn (k )   k
б ) 1  в, 2  г, 3  а, 4  б ;

 e x , при x  0
г ) f ( x)  

0, при x  0
в) 1  б, 2  а, 3  в, 4  г;
г) 1  г, 2  а, 3  б, 4  в.
9. Укажите соответствие между законами распределения дискретных случайных
величин и формулами для вычисления их числовых характеристик.
1) показательное распределение
2) биномиальный закон распределения
а) 1  а, 2  б;
а) M ( X )  np, D( X )  npq, где q  1  p
б) M ( X ) 
1

, D( X ) 
1
2
б ) 1  б, 2  а.
10. По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найдите:
1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4)
функцию распределения.
8
0,3
X
p
12
0,1
18
0,3
24
0,2
30
0,1
11. Случайная величина X задана функцией распределения F (x) . Найдите: 1)
плотность вероятности; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию:
0, при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  3
9
1 при x  3

12. По заданному распределению выборки: 1) напишите распределение относительных
частот; 2) запишите эмпирическую функцию распределения.
xi
ni
40
4
48
16
56
40
64
25
72
7
80
5
88
3
Вариант 2
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95
для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найдите вероятность того, что при
аварии сработают оба сигнализатора:
а) 0,448 ;
б ) 0,245;
в) 0,145;
г) 0,855 .
2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что
два наудачу выбранных билета окажутся невыигрышными:
а)
1
;
99
б)
1
;
495
в)
893
;
990
г)
457
.
1980
3. Имеются три партии радиоламп, насчитывающих соответственно 20, 30 и 50 штук.
Вероятности того, что радиолампа проработает заданное время, равны 0,7; 0,8; 0,9.
Какова вероятность, что наудачу выбранная лампа из 100 данных проработает
заданное время?
а) 0,83;
б ) 0,63;
в) 0,9;
г) 0,85.
4. В классе обучаются 20 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили дромашнее
задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался
неподготовленным к уроку. Какова вероятность того, что отвечать был вызван
мальчик?
а)
4
;
7
б)
1
;
7
в)
7
;
30
г)
19
.
30
5. В лотерее разыгрывается очень большое количество билетов, среди которых 10%
выигрышных. Найдите вероятность того, что среди 5 взятых наугад билетов будут: 1)
2 выигрышных; 2) менее трех выигрышных.
а) 0,0729 ; 0,0127 ;
б ) 0,0243 ; 0,0056 ;
в) 0,0081; 0,0009 ;
г) 0,0567 ; 0,0001 .
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найдите
вероятность того, что за время t не откажет ни один элемент: ( e 2  0,13534 )
а) 0,13534 ;
б ) 0,27068 ;
в) 0,18045 ;
г ) 0,35673 .
7. Товаровед осматривает 22 образца товаров. Вероятность того, что каждый из
образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найдите наивероятнейшее число
образцов, которые товаровед признает годным к продаже:
а) 15;
б ) 12;
в) 14;
г) 13.
8. Укажите соответствие между законами распределения и формулами, задающими их.
1) биномиальный закон распределения
2) нормальное распределение
б ) f ( x) 
3) закон Пуассона
4) показательное распределение
а) 1  а, 2  б, 3  в, 4  г;
б ) 1  в, 2  г, 3  а, 4  б ;
e 
,
k!
а) Pn (k )   k
1

e
где   np
( xa)2
( 2 ) 2
 2
в) Pn (k )  Cnk p k q nk

 e x , при x  0
г ) f ( x)  

0, при x  0
в) 1  в, 2  б, 3  а, 4  г;
г) 1  г, 2  а, 3  б, 4  в.
9. Укажите соответствие между законами распределения дискретных случайных
величин и формулами для вычисления их числовых характеристик.
1) показательное распределение
2) биномиальный закон распределения
а) 1  а, 2  б;
а) M ( X )  np, D( X )  npq, где q  1  p
б) M ( X ) 
1

, D( X ) 
1
2
б ) 1  б, 2  а.
10. По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найдите:
1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.
8
0,4
X
p
10
0,1
15
0,2
16
0,2
20
0,1
11. Случайная величина X задана функцией распределения F (x) . Найдите: 1)
плотность вероятности; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию:
0, при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  4
 16
1 при x  4

12. По заданному распределению выборки: 1) напишите распределение относительных
частот; 2) запишите эмпирическую функцию распределения.
10
4
xi
ni
20
11
30
25
40
30
50
15
60
10
70
5
Вариант 3
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95
для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найдите вероятность того, что при
аварии сработает хотя бы один сигнализатор:
а) 0,421;
б ) 0,881;
в) 0,995;
г) 0,335 .
2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что
из двух наудачу выбранных билета один окажется выигрышным:
а)
19
;
198
б)
95
;
99
в ) 0,02;
г ) 0,225 .
3. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из
них 4 белых. Из наудачу выбранной урны извлекают 1 шар. Найдите вероятность того,
что он не белый:
а) 0,4;
б ) 0,5;
в) 0,12;
г) 0,8.
4. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе
как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для
легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки
машина. Найдите вероятность, что это легковая машина:
а)
3
;
7
б)
4
;
7
в)
2
;
7
г)
1
.
5
5. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет: 1) 3
раза; 2) менее 3-х раз.
а)
3 1
; ;
16 4
б ) 0,1; 0,5;
в)
7 3
; ;
16 4
г)
5
3
;
.
16 16
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найдите
вероятность того, что за время t откажут ровно 2 элемента: ( e 2  0,13534 )
а) 0,13534 ;
б ) 0,18045 ;
в) 0,27068 ;
г ) 0,35673 .
7. ОТК проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная,
равна 0,8. Найдите наивероятнейшее число деталей, которые будут стандартными:
а) 6;
б ) 4;
в) 3;
г) 8.
8. Укажите соответствие между законами распределения и формулами, задающими их.
1) биномиальный закон распределения
а) Pn (k )   k
e 
,
k!
где   np
2) показательное распределение
б ) f ( x) 

e
( xa)2
( 2 ) 2
 2
в) Pn (k )  Cnk p k q nk
3) закон Пуассона
4) нормальное распределение
а) 1  а, 2  б, 3  в, 4  г;
1
б ) 1  в, 2  г, 3  а, 4  б ;

 e x , при x  0
г ) f ( x)  

0, при x  0
в) 1  б, 2  а, 3  в, 4  г;
г) 1  г, 2  а, 3  б, 4  в.
9. Укажите соответствие между законами распределения дискретных случайных
величин и формулами для вычисления их числовых характеристик.
1) показательное распределение
2) биномиальный закон распределения
а) 1  а, 2  б;
а) M ( X )  np, D( X )  npq, где q  1  p
б) M ( X ) 
1

, D( X ) 
1
2
б ) 1  б, 2  а.
10. По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найдите:
1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4)
функцию распределения.
5
0,3
X
p
10
0,1
15
0,3
20
0,2
25
0,1
11. Случайная величина X задана функцией распределения F (x) . Найдите: 1)
плотность вероятности; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию:
0, при x  0,
 2
x
F ( x)  
при 0  x  5
 25
1 при x  5

12. По заданному распределению выборки: 1) напишите распределение относительных
частот; 2) запишите эмпирическую функцию распределения.
30
4
xi
ni
35
16
40
20
45
40
50
13
55
4
60
3
Ключ к заданиям 1-9 и критерии оценки заданий с развернутым ответом
№ задания
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Итого:
Вариант 1
в
б
б
а
б
в
б
б
б
Правильный ответ
Вариант 2
г
в
а
б
а
а
г
б
б
Вариант 3
а
б
б
б
г
в
г
б
б
Количество
баллов
1
1
1
1
2
1
2
1
1
11
Задание 10. Выполнение задания оценивается в 3 балла, если:
1) вычислены верно математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратичное отклонение дискретной случайной величины;
2) приведены формулы для вычисления числовых характеристик дискретных
случайных величин;
3) отражены все этапы составления функции распределения дискретной
случайной величины;
4) приведена аналитическая запись функции распределения дискретной
случайной величины.
Выполнение задания оценивается в 2 балла, если:
1) вычислены верно математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратичное отклонение дискретной случайной величины;
2) приведены формулы для вычисления числовых характеристик дискретных
случайных величин;
3) отражены все этапы составления функции распределения дискретной
случайной величины, но не приведена ее аналитическая запись.
Выполнение задания оценивается в 1 балл, если:
1) вычислены верно математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратичное отклонение дискретной случайной величины;
2) приведены формулы для вычисления числовых характеристик дискретных
случайных величин.
Задание 11. Выполнение задания оценивается в 3 балла, если:
1) вычислены верно математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратичное отклонение непрерывной случайной величины;
2) приведены формулы для вычисления числовых характеристик непрерывных
случайных величин;
3) приведена аналитическая запись функции плотности распределения
непрерывной случайной величины;
4) верно вычислены соответствующие интегралы.
Выполнение задания оценивается в 2 балла, если:
1) приведена аналитическая запись функции плотности распределения
непрерывной случайной величины;
2) приведены формулы для вычисления числовых характеристик непрерывных
случайных величин, но допущены ошибки при вычислении интегралов.
Выполнение задания оценивается в 1 балл, если приведена аналитическая запись
функции плотности распределения непрерывной случайной величины.
Задание 12. Выполнение задания оценивается в 3 балла, если:
1) приведена таблица распределения относительных частот выборки;
2) отражены все этапы составления эмпирической функции распределения;
3) приведена аналитическая запись функции распределения.
Выполнение задания оценивается в 2 балла, если:
1) отражены все этапы составления эмпирической функции распределения, но не
приведена ее аналитическая запись.
Выполнение задания оценивается в 1 балл, если приведена таблица
распределения относительных частот выборки.
Оценка «отлично» выставляется за 17 и более набранных баллов.
Оценка «хорошо» – за 14 – 16 баллов.
Оценка «удовлетворительно» – за 10 – 13 баллов.
7.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
а) основная литература:
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.Гмурман. –
М.: Высшая школа, 2003 (2006, 2008, 2009, 2010).
б) дополнительная литература:
1.Щипачев, В.С Высшая математика: учебник для немат. спец. вузов/ Под ред. А.Н.
Тихонова / В.С.Шипачев. – М.: Высшая шк.,, 2007 (2002).
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.
В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.
3. Сборник тестовых заданий по математике в вузе: учебное пособие/С.П.Амутнова,
Т.М.Рыбина, Н.М. Свешникова и др.; под ред. Л.С.Капкаевой / Мордовский гос. пед.
ин-т. – Саранск, 2006.
4. Капитонова, Т.А. Высшая математика: Учебное пособие / Т.А.Капитонова. –
Саратов: ООО «Издательский центр «Наука», 2008.
5. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. / В.Е.Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004 (2009, 2010).
6.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./Под ред. Б.П,
Демидовича – М.: «Астрель-АСТ», 2007 (2002, 2004, 2006).
7.Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие
для вузов Ф.Ф.Филиппов – М,;Ижевск: НИЦ «Регуляр. и хаот. динамика», 2000.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. http://allmath.ru/ – математический портал, на котором можно найти любой материал
по математическим дисциплинам.
2. http://www.ucheba.com/ – некоммерческий информационный образовательный
портал «Учёба».
3. http://window.edu.ru/ – единое окно доступа к образовательным ресурсам:
интегральному каталогу образовательных Интернет-ресурсов, электронной учебнометодической библиотеке для общего и профессионального образования и к ресурсам
системы федеральных образовательных порталов.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Учебные аудитории для проведения занятий, оснащенные аудиовизуальными
средствами (мультимедийным демонстрационным комплексом).
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению подготовки (специальности)
036401 – Таможенное дело.
Авторы:
к. пед. н., доцент Капитонова Татьяна Александровна
к. пед.н., доцент Кондаурова Инесса Константиновна
Программа одобрена на заседании кафедры математики и методики ее
преподавания от 22 апреля 2011 года, протокол № 11.
Подписи:
Зав. кафедрой
математики и методики ее преподавания
И.К. Кондаурова
Декан механико-математического факультета
А.М. Захаров
Декан юридического факультета
Г.Н. Комкова
Скачать