Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» для направления 080100.68 "Экономика "

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика "
-1-1подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т до ву з о вс ко й по д г о то в к и
Программа дисциплины
Высшая математика
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Автор программы: Гофман Александр Юрьевич
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 25.02.2013 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС
«___»____________ 20 г.
Председатель
Утверждена Ученым Советом факультета экономики
«___»_____________ 20 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям слушателя факультета довузовской подготовки и определяет содержание и
виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей и учебных ассистентов, ведущих
дисциплину «Высшая математика», и слушателей факультета довузовской подготовки по
направлению 080100.62 "Экономика", изучающих данную дисциплину.
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательными стандартами для бакалавриата и магистратуры
факультета «Экономика» государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный
университет – Высшая школа экономики», в отношении которого
установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета для направления 080100.62
"Экономика"
на
подготовительном
отделении
магистратуры,
утвержденным в 2012 г.
2. Цели освоения дисциплины
Цель освоения дисциплины «Высшая математика» - подготовка слушателей факультета
довузовской подготовки к поступлению в магистратуру факультета «Экономика», а также
поддержка дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом для направления 080100.62
"Экономика" на подготовительном отделении магистратуры.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины слушатель подготовительного отделения должен:
 Знать основы высшей математики, необходимые для прохождения
экзамена на факультете Экономика, а также для изучения ряда дисциплин,
предусмотренных Рабочим учебным планом университета для
направления 080100.62 «Экономика" на подготовительном отделении
магистратуры .
 Уметь применять методы, рассматриваемые в дисциплине, для решения
экзаменационных задач при поступлении в магистратуру факультета
Экономика- и задач, возникающих в дисциплинах, предусмотренных
Рабочими учебными планами, отмеченными выше;
 Владеть навыками применения современного инструментария
дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
2
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-2
Способность перейти от
проблемной ситуации к
проблемам, задачам и лежащим в
их основе противоречиям
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-4
Готовность использовать
основные законы
естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности,
применять методы
математического анализа и
моделирования, теоретического и
экспериментального
исследования при работе в какойлибо предметной области
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-5
Готовность выявить
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности,
привлечь их для решения
соответствующий аппарат
дисциплины
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных
образовательных и
информационных технологий
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-1
Способность демонстрации
общенаучных базовых знаний
естественных наук, математики и
информатики, понимание
основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
Стандартные
(лекционносеминарские)
Профессиональные
ПК-2
Способность понимать и
применять в исследовательской и
прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Стандартные
(лекционносеминарские)
Профессиональные
ПК-4
Способность критически
Стандартные
(лекционно-
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Профессиональные
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
оценивать собственную
квалификацию и её
востребованность,
переосмысливать накопленный
практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной
деятельности
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
семинарские)
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Данная дисциплина, является
необязательной т.е. дисциплиной по выбору для
слушателей подготовительного отделения магистратуры факультета довузовской подготовки
НИУ ВШЭ для направления 080100.62 "Экономика".
Изучение данной дисциплины базируется на минимальных знаниях по следующим
дисциплинам, изученным слушателями подготовительного отделения, когда они были
бакалаврами своих учебных заведений:
--Математический анализ;
--Линейная алгебра.
--Дифференциальные уравнения
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше
дисциплин;
 Навыками решения простейших типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом университета
для направления 080100.62 "Экономика" на подготовительном отделении магистратуры:
 Микроэкономика;
 Макроэкономика
 Математические методы анализа экономики
 Статистический анализ экономических и социальных процессов
и
аналогичных
дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом НИУ ВШЭ
подготовки магистра для направления 080100.62 "Экономика"
--
5. Тематический план учебной дисциплины ( на 1-ый семестр)
№
Всего
часов
Название раздела
4
Самост
оятельн
Семина Практиче
ая
ры
ские
работа
Аудиторные часы
Лекции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
занятия
1.
Системы линейных уравнений. Матрицы и
действия над ними
12
4
4
4
2.
Линейные пространства
6
2
2
2
3.
Линейные операторы
в линейных пространствах
6
2
2
2
4.
Теория пределов
8
2
2
4
5.
Непрерывные и дифференцируемые
функции одного и нескольких переменных
28
8
8
12
6.
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
16
4
4
8
7.
Системы дифференциальных уравнений
8
2
2
4
84
24
24
36
Итого:
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма
контроля
1 год
Параметры
1 семестр
Зачетная работа в письменной форме на 150 мин.
Промежуто
чный
Зачет
1 семестр
Итоговая оценка за зачет складывается из зачетной
работы и домашнего задания; при этом результат
зачетной работы является блокирующим
Экзаменационная работа в письменной форме на
150 мин.
Итоговый
Экзамен
2 семестр
Итоговая оценка за экзамен складывается из
экзаменационной работы, аудиторной контрольной
работы и домашнего задания; при этом результат
экзаменационной работы является блокирующим
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на лекциях и семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Итоговая оценка успеваемости слушателя складывается после сдачи экзамена за второй
семестр, в котором изучаются основы теории вероятности и математической статистики. В
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
итоговой оценке результат зачета (или незачета) за первый семестр учитывается с
определенным весом
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
7. Содержание дисциплины
Раздел I. Системы линейных уравнений. Матрицы и действия над ними
Тема 1. Системы линейных уравнений
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей. Крамеровские
системы. Формулы Крамера.
Лит ерат ура:
основная:
[1], гл. 1; §§ 1.2-1.3; гл. 2; §§ 2.1-2.7).
дополнительная: [7], гл. 3-4; §§ 3.0-4.5); [8], отделы I-II; §§ 1-3
Тема 2. Матрицы и действия над ними
Понятие матрицы. Операция транспонирования. Линейные операции: сложение матриц и
умножение матрицы на число. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
Определитель произведения матриц. Присоединенная матрица. Обратная матрица; способы ее
нахождения. Простейшие матричные уравнения.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 3; §§ 3.1-3.7;
дополнительная: [8], отдел III; § 12.
Раздел II. Линейные пространства
Тема 3. Основные понятия
Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства.
Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Линейная комбинация
векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие
свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы
векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об
эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.1-4.3;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
Тема 4. Базис и размерность пространства
Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису.
Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от
одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису.
Изоморфизм линейных пространств.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.4-4.7;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Тема 5. Линейные подпространства
Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка
системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства.
Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие
уравнения подпространства..
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.8-4.11;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
Раздел III. Линейные операторы в линейных пространствах
Тема 6. Линейные операторы в линейных пространствах
Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном
определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного
оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного
оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных
базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных
операторов и его размерность.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 5; §§ 5.1-5.5;
дополнительная: [6], гл. II; § 9.
Тема 7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и
собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень
характеристического многочлена линейного оператора. Собственное подпространство
линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих
различным собственным значениям.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 5; §§ 5.6-5.8;
дополнительная: [6], гл. II; § 10.
Раздел IV. Теория пределов
Тема 8. Числовые последовательности и числовые ряды
Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани
ограниченного сверху (снизу) множества. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Определение и
свойства предела числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся
последовательностей. Критерий Коши. Критерий существования предела монотонной
последовательности.
Число
e.
Подпоследовательность
и
частичный
предел
последовательности. Числовой ряд и его сумма. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
Простейшие признаки сходимости рядов.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Тема 9. Предел функции одного вещественного переменного
Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел
композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел
монотонной функции. Второй замечательный предел.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел V. Непрерывные и дифференцируемые функции одного и
нескольких переменных
Тема 10. Непрерывные функции одной переменной
Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной
вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства
непрерывных функций одного переменного (в т. ч. теоремы Больцано - Коши и
Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 11. Дифференцируемые функции одной переменной
Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между
непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления
производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции.
Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции.
Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило
Лопиталя. Формула и ряд Тейлора.. Оценка остаточного члена. Примеры. Необходимое
условие экстремума и достаточное условие экстремума. Классификация критических точек.
Пример Коши (ненулевая функция, все производные которой в начале координат равны
нулю).
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 12. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных
Открытые и замкнутые множества в Rn. Компактность в Rn. Свойства компактных
множеств. Непрерывные функции f : R n  R m ; их свойства. Определение дифференцируемой
в точке функции (отображения) f : R n  R m . Производное отображение в точке (дифференциал
в точке). Матрица Якоби f (a) . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена
переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила
дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о
среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких
переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке.
Лит ерат ура:
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 13. Экстремумы функций многих переменных
Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы.
Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума. Поверхность в Rn. Касательное пространство. Условный экстремум и
множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный
признак условного экстремума.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел VI. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 14. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка
Основные понятия для ДУ первого порядка. Примеры процессов, описываемых ДУ.
Методы решения некоторых ДУ первого порядка.
Лит ерат ура:
основная: [15], гл.1,2; §§ 1. 1-4; 2. 1-2
дополнительная: [16], гл. I; §§ 4-7.
Тема 15. ДУ высших порядков
Общие понятия и некоторые методы решений. Линейные однородные ДУ с
постоянными
коэффициентами.
Линейные
неоднородные
ДУ
с
постоянными
коэффициентами.
Лит ерат ура:
основная: [15], гл. 2; §§ 2.2-3. ;3. 1-3
дополнительная: [16], ; §§ 1-6.
Раздел VII. Системы дифференциальных уравнений
Тема 16. Линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами
Общие понятия и метод исключения. Однородные системы ДУ и общее решение.
Неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами и общее решение. Устойчивость
по Ляпунову решения ДУ. Классификация положений равновесия линейной однородной
системы ДУ второго порядка. Линеаризация нелинейной автономной системы второго
порядка и грубое исследование устойчивости.
Лит ерат ура:
основная: [15], гл. ,6,,7; §§6.1-3.;7. 1-3
дополнительная: [16], §§ 14-17.
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
8. Порядок формирования оценок по дисциплине
Для успешного обучения и сдачи зачетной работы слушателям ПО предлагается
домашняя работа, в которой выделены три основные раздела : математический анализ,
дифференциальные уравнения и линейная алгебра. Ниже приведены некоторые варианты
домашних работ и вариант зачетной работы за первое полугодие.
8.1-Домашнее задание по функциям многих переменных:
1 Пусть u( x, y)  x 3  2 xy2  y 3 .
Вычислить градиент в точке M 0  (2,2) .
1.2 (1)
Вычислить производную по направлению, указывающему из точки
M 0  (2,2) в точку M1  (1,6) .
1.3 (1)
Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности z  u ( x, y ) в
точке M 0 .
1.1 (1)
Пусть u  x 4  8 y 4  8x 2 y . Найти все возможные точки локального
экстремума и определить типы экстремумов. (за точку (0, 0) – премия 2 очка)
3 (4)
Пусть F ( x, y, z )  z 4  x 2  y 2  8z 2  4 x  6 y  28 . Функция z ( x, y ) задана
неявно уравнением F ( x, y, z )  0 . Найти какой-либо экстремум этой функции, определить
тип экстремума.
(1) 
u ( x, y )  xy


4
Дана система
 2
.
2
x

y

4
x

4
y
(
2
)




4.1 (3)
Графически найти все точки условного экстремума функции u ( x, y )
при условии (2), определить их тип.
4.2 (3)
Провести это же исследование методом множителей Лагранжа.
5 (6)
Методом множителей Лагранжа найти экстремумы функции u  xy 2 z 3 при
x  2 y  3z  12
условии:
.
x  0, y  0, z  0
2 (4)
8.2 Домашнее задание по функциям одной переменной
1.Найти производные высоких порядков функций
1.1 f ( x)  1  8 x 3-го порядка в точке x 0  0 ;
1.2 f ( x)  ln( 1  3x) 19-го порядка в
5
7-го порядка в точке x 0  0 . 1.4 f ( x)  (2 x 3  3) sin x 17-го
1  2x
x
порядка в точке х=1 . 1.5 f ( x)  (4 x 3  2 x 2  1) cos
23-го порядка в точке х=1
2
точке x 0  0 . 1.3 f ( x) 
2. Найти первый и второй дифференциалы функцй в заданной точке
3
4
2.1 . f ( x)  3 3  24 x в точке x 0  0 . 2.2 f ( x)  5  4 в точке х=1.
x
x
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
2.3 Функций, заданных неявно уравнением : 2.3.1 y 5  xy  x 4  x  2 в точке (1,1)
отв.(?) dy  dx,
d 2 y  8,5dx 2
2.3.2. e 2 x  y  2 x 2 y  5x  0 в точке (1;2)
отв.(?) dy  5dx, d 2 y  10dx 2 2.4. Функций у=f(x), заданных параметрически
системой уравнений: 2.4.1. y  sin 2 t , x  cos t в точке . x 
2.4.2. y  sin 2 t , x  cos t в точке . x 

6

3
2.4.3. y  tgt, x 
1
cos t
в точке x 

3
.
3. Найти экстремумы функций y=f(x), заданных неявно уравнением :
3.1 (2 y  x  3) 2  ( x  1) 2  16 .
3.2 y 4  2 x 2  2 xy 2  6 y 2  4 x  40  0
3.3. 4 y 2  2 x 2  4 xy  4 x  12 y  6  0 .
4. Доказать, что
5. Доказать, что
lim x 3  8 , используя   
x 2
lim log
x 9
3
определение предела функции в точке.
x  2 , используя   
определение предела функции в
точке.
6. Доказать, что lim
x  4 , используя   
x 16
определение предела функции в точке.
7.Найти такое значение параметра «а», при котором предел
9
2
x
11
5
a x  x (e  x )  x
при x  0 ( x  , x  ) равен числу не равному нулю.
lim x 15
x  x 7 (e x  x 2 )  x 10
8..Найти уравнение наклонной асимптоты графика функции
32 x 6
x
 x 1
8.1 y  (3x  11)
. 8.3 y  ( x  4)e x . 8.4 y 
.
 . 8.2 y  5
arctgx
x  25
 x  1
.9.Найти экстремумы функций и указать тип ( максимум-минимум):
9.1 f ( x)  x 4 (4 x  14) 3 «плюс» найти наибольшую абсциссу точки перегиба.
15
9.2
6
f ( x)  x 3 (3x  32) 5 «плюс» найти наибольшую абсциссу точки перегиба.
8.3 Домашнее задание по функциям одной переменной (вариант2)
2x
 x 3  2 x 2  3x  4 
 ;
5.2 lim  3
5.3 lim 2
2
x 1 0
x 
 x x x4 
6. Вывести с помощью определения производную функции f ( x)  3x 4 .
cos 3x  cos 5 x
1 lim
;
x 0
x2
x 1
x 2 1
.
7. Найти функцию вида Ax  эквивалентную данной
f ( x)  cos 1  x 2  cos 1
при x  0 .
8. Найти производные функций: 8.1 f ( x)  arctg 4 (2 cos(x )  1) ; 8.2 f ( x)  ( x 3  7 x) cos x ;
8.3. Ф-ции y  f (x) , заданной неявно уравнением ye x  y  3x 2  y  3  0 в точке (1;1);
4
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
8.4 Функции y  f (x) , заданной параметрически системой уравнений
y  y (t )  x  x(t ),
где x(t )  sin 3 t , а
у (t )  cos 2t .
 x 1
9.Найти уравнение наклонной асимптоты графика функции y  (3x  11)
 .
 x  1
10. Найти все значения параметра «а», при которых
из неравенства (1):
следует неравенство (2): x 2  4a 2 .
x6a 3
15
11. Найти первый и второй дифференциалы функции y  ( x 2  3x  3) 3 в точке x0  1 .
12 4
 2 и построить эскиз её графика. Найти
x
x
уравнение касательной проведенной в точке перегиба графика этой функции..
12. Исследовать функцию f ( x) 
8.4 Домашнее задание по дифференциальным уравнениям.
1.
1.1 Решить задачу Коши: y'  y  e x , y(0)  6
1.2 Построить график решения.
2. Решить одну из следующих задач:
2.1 Найти решение y  y (x) уравнения (2 ye x  2e 2 x  1)dx  (2e x  2 y)dy  0 ,
удовлетворяющее условию y (0)  2 . После этого найти y (7) .
2.2 Решить задачу Коши: y' 
4 xy
, y (2)  9
( x  1)( x  3)
Найти значение y (2)
2.3 Решить уравнение: ( y  x  2) y ' x  y  0
2.4 Решить уравнение: y'  y  2 xex
2.5 Решить задачу Коши: ( x  y) 2  y'  4 xy, y(1)  2
3. Решить одну из следующих задач:
8
 5 3  i  13 

3.1 Найти мнимую часть числа: 

2
3

7
i


3.2 Решить задачу Коши: y ' ' y '6 y  0; y (0)  2; y ' (0)  19 . После этого
найти y ' ' (0) .
4. Решить систему уравнений
xn1  7 xn  2 y n
y n1  15 xn  4 y n , n  0,1, 2, ...
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
5. Решить одну из следующих задач:
5.1 Решите неоднородную систему
x'  7 x  2 y  e  t
y '  15 x  4 y
и изобразите
фазовый портрет однородной системы, соответствующей данной.
5.2 Найдите положение равновесия системы
x'  3x 2  xy  2
y'  x 2  x  2
;
- определить характер устойчивости хотя бы одной точки равновесия,
рассмотрев линеаризованную систему;
- изобразить фазовый портрет линеаризованной системы.
6. Дано уравнение: y'  y  e x .
6а) Не решая уравнения, указать на плоскости X0Y области
возрастания/убывания интегральных кривых;
6б) Не решая уравнения, указать на том же чертеже области выпуклости
вниз/вверх;
6в) Нарисовать три-четыре интегральных кривых.
7. Решить одну из следующих задач:
7.1 Решить уравнение: ( x 2 ln y  x)dy  ydx . Подсказка [ x( y ) ?] ;
7.2 Решить задачу Коши: 4 xyy' '4 yy ' y '2  0; y (1)  1, y' (1)  4;
7.3 Решить уравнение:  y '3  xy' y  0
7.4 Решить уравнение: 2 yy ' y ' ' y ' '2   y '3 ;
7.5 Решить задачу Коши: y ' ' '( x  1)  y' '  0; y (2)  2; y' (2)  y' ' (2)  1
8. Указать решения соответствующего однородного уравнения y0 (t ) и
структуру частного решения yч (t ) , соответствующего правой части данных ДУ:
8.1 y' ' '9 y'  (t  1)e 3t ;
8.2 y' '4 y  e t sin 2t
8.3 y' '2 y'5 y  (t  4)e t cos 2t ; 8.4 y' '6 y'9 y  (t  1)e 3t
9. Пару кроликов откармливали и через два месяца они начали
размножаться по такому закону: каждая пара зрелых кроликов стала приносить
две новых пары, причем новорожденные становятся зрелыми через один месяц
после рождения. Если x k - число пар кроликов через k месяцев, то:
9.1 Составить разностное уравнение на x k ;
9.2 Решить это уравнение и найти x10
14
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
10. Найти уравнение линии, у которой отрезок касательной, заключенный
между осями координат, делится пополам точкой касания.
8.5 Проект итоговой зачетной работы
1. Для графика функции f ( x)  x 2  6 x найти уравнение
касательной (5 баллов)
в точке x0  6 .
2.Найти производные функций
2.1 (5 баллов) f ( x)  (3x 3  7 x  5) 7 в точке x0  1 ;
2.2
(7 баллов) f ( x)  2 x arctg
3
x
в точке . x  1
( x  2) arctg ( x 2  1)
в точке x  0 .
( x 2  2 x  1) 2
3. Решить методом Гаусса ( сведением к треугольному виду ) систему уравнений:
3x  4 y  5 z  6

2 x  y  3z  11
x  5 y  9z  2

2.3 ( 10 баллов) f ( x) 
3
4. Является ли второй дифференциал d 2 u ( M ) в некоторой точке М равный
d 2 u ( M )  4dx 2  7dy 2  15dz 2  4dx  dy  8dy  dz  10dx  dz
определенным? Дать объяснения.
5.Найти пределы
5 x 5  3x 2  7 x 3 e x
5.1. lim
x   4 x 5  8 x 2  9 x 3 e x
5 x 5  3x 2  7 x 3 e x
x   4 x 5  8 x 2  9 x 3 e x
5.2. lim
 4 5


6. Решить систему уравнений АХ=В , где А= 

 2 3


положительно
5 x 5  3x 2  7 x 3 e x
x 0 4 x 5  8 x 2  9 x 3 e x
5.3. lim
13

В= 
7



 матричным методом.


 x 1
7. Найти уравнение наклонной асимптоты графика функции y  3x  12

 x 1
9
8. Найти первый (5 баллов) и второй (10 баллов) дифференциалы функции y  f (x)
заданной неявно уравнением x 4  y 3  6 xy  11y  3  0
в заданной точке (1;1)
9а. Изобразить на плоскости ХОУ линию  ( x, y )  0 , где  ( x, y)  x 2  y 2  6 x
Изобразить несколько (3-4) линий уровня функции z  4 x 2  4 xy  y 2 .
Качественно - по графику - обнаружить все точки локального экстремума функции
« z» при условии  ( x, y )  0
9в Методом множителей Лагранжа решить задачу поиска экстремума функции
z  4 x 2 y при условии x 2  y 2  8 . Подтвердить решение качественным анализом.
15
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру




  3  2  4


10. Найти определитель матрицы А , где А=  2 7 3 




 4 3 11


11. Найти пределы функций
3
 x  9  x2
11.1. lim 

x  2 13  x


2 x cos x  xe x  3 sin x
11.2. lim
x 0
x ln( 1  x 2 )
2
12. Решить любые два дифференциальных уравнения из предложенных ниже:
3
2
12.1. y   y  2
при условии . y (1)  2 . .
x
x
12.2. . 2 xy   3 y  4 xy3
x3
.12.3. .  1  3x ln y dx   3 y 
dy  0 .
y
12.4. . x 2  y 2 dx  2 x 2 dy  0 при условии . y (1)  0
.
12.5. (2 x  2 y  1)dx  ( x  y  1)dy  0
 y 
12.6. . . xy   y   x sin  
 x
2
3
12.7. . yy    y    y  при условии . y(0)  1  y (0)  2 ..
2
2
 2 3


13. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы А= . 

1 4 


14. Решить дифференциальные уравнения:
14.1. . y   6 y   9 y  0 при условии y(0)  2  y (0)  10 .
14.2. y   3 y   2 y  12 x sin x
2 x1  3x2  5 x3  6
15. Найти все решения системы: 
3x1  2 x2  3x3  9
 x   2 x  3 y
16. Решить систему Д.У. 
. Исследовать решение на устойчивость.
 y  x  4 y
 2 3


17. Найти A , где матрица А= 

1 4 


15 12
15 12
18. Исследовать функцию y  4  5 . При каких «а» уравнение: a  4  5
x
x
x
x
имеет ровно три корня?
20
16
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Результирующая оценка за промежуточный контроль в I семестре выставляется по
следующей формуле
Оитог_I = 0,8·Озачет + 0,2·Одз_I,
где Озачет – оценка за зачетную работу, в 1 семестре, Одз_I – оценка за домашнее задание в I
семестре; при этом сумма 0,2·Одз в результирующей оценке за промежуточный контроль
составляет так называемую накопительную часть за работу в I семестре. Оценка за зачетную
работу является блокирующей.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1] Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие –
М.: Финансы и статистика, 2003.
[2] Зорич В.А. Математический анализ (в 2-х книгах), ч.1: Учебник для вузов. - 4-е
изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.
[3] Зорич В.А. Математический анализ (в 2-х книгах), ч.2: Учебник для вузов. - 4-е
изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.
[4] Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций: Учеб. пособие – М.: Просвещение, 1977.
[5] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - 11-е изд., стереотип. – М.: Наука, 1975
.
Дополнительная литература
[6] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - 4-е изд., доп. – М.: Наука, 1971.
[7] Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Под ред. В.В. Воеводина. – М.:
Наука, 1975.
[8] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - 3-е изд., испр. и доп. – М.:
Наука, 1967.
[9] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х томах), т.1: Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 1981.
[10] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х томах), т.2: Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 1981.
[11] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном
изложении. - 2-е изд. – К.: Факт, 2004.
[12] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х
томах), т.1 / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[13] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х
томах), т.2 / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003
[14] Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие. —
13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997.
[15] Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
(второе издание ФИЗМАТЛИТ Москва-С-Петербург 2002г).
[16] Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. Наука 1992г.
17
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Высшая математика»
для направления 080100.68 "Экономика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
18