РЕШЕНИЯ 11 класс математикаx

11 класс
1. Решите уравнение (
1
1
1
1
1
1
1
1
)x =    ... 
.


 ... 
11 24 39
11000
101 204 309
1100
2. Решите систему уравнений
x 5  xy 4  y10  y 6
 6
2
3
 x  x  8y  2 y
3. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии,
что второй приступит к ней на 2 дня позже первого. Если бы ту же работу
каждый выполнял в одиночку, то первому потребовалось бы на 4 дня
больше, чем второму. За сколько дней каждый рабочий мог бы выполнить
эту работу?
4. Найти все действительные решения уравнения:
х2 + 2хsin (ху) + 1 = 0.
5. Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют
геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий
растворы в весовом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий
32 % спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3 : 2 : 1, то получится
раствор, содержащий 22 % спирта. Сколько процентов спирта содержит
первый раствор?
Решение 11 класс
1 . Ответ: 10.
Обозначим через a коэффициент при x, а через b свободный член. Тогда
уравнение имеет вид ax = b. Воспользуемся тождеством
1
1 1
1
 ( 
).
(n  k )n k n n  k
1
1
1
1
1
1
1
1


 ... 



 ... 

101 204 309
1100 1  101 2  102 3  103
10  110
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1

(1 
)
( 
)
( 
)  ... 
( 
)
100
101 100 2 102 100 3 103
100 10 110
1
1 1
1
1
1
1
1

(1    ... 



 ... 
).
100
2 3
10 101 102 103
110
a
Тогда
Аналогично b
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1
1


 ... 
 (1  )  (  )  (  )  ...  (

)=
11 24 39
11000 10
11 10 2 12 10 3 13
10 100 110
1
1 1
1
1
1
1
1
 (1    ... 
 
  ... 
)
10
2 3
100 11 12 13
110
1
1 1
1
1
1
1
1
 (1    ... 



 ... 
)  10a .
10
2 3
10 101 102 103
110

Итак, имеем ax = 10a, откуда получаем, что x = 10.
1. Ответ (0; 0); ( 3 4 ; 3 2 0 ).
Решение (0; 0) очевидно. Пусть теперь y  0. Разделив обе части первого
уравнения на y 5 , получим систему, равносильную данной при y  0
 x 5 x
5
( y )  y  y  y,

( x 2 ) 3  x 2  (2 y) 3  2 y.

Пусть f (t )  t 5  t; g(t )  t 3  t . Обе функции – возрастающие (это легко
установить – например, так: f /  5t 4  1  0; g /  3t 2  1  0 ), поэтому каждое свое
значение принимают только один раз. Значит, последняя система
равносильна такой:
x
x  y 2 ,
 y  y,
  2

x  2 y.
x 2  2 y.

Подставив x из первого уравнения во второе, находим, что y( y 3  2)  0 ,
откуда (при y  0) получаем, что y  3 2 , Приходим к ответу.
3. Обозначив за х дней - время, за которое второй рабочий смог бы
выполнить
всю
работу
один,
получим
уравнение: 77
1
x+4
1
+5 =1
x
Решая его, найдём время работы второго рабочего: 10 дней. Тогда
время работы первого рабочего будет 14 дней. Ответ: 14 и 10 дней.
4. Дискриминант квадратного уравнения.
D = 4 sin2 (ху) – 4
0, отсюда |sin(xy)| = 1 и х = – sin(ху), х =
у=

 2k
2
,k
1,
Z.
 

 2k , k  Z .
 1
2


О т в е т:
5. Пусть в первом растворе содержится х % спирта, во втором у % и в третьем
z % спирта. Это означает, что в 1 г первого раствора
 у 


 100 
 х 


содержится  100 
г
 z 


 100 
спирта, в 1г второго раствора –
г спирта и в 1 г третьего раствора –
г спирта. Если возьмем 2 г первого раствора, 3г второго и 4 г третьего, то
у
z 
 х
3
4
2

получим 9 г смеси, содержащей:  100 100 100  г спирта.
 32 


По условию, это 9  100 
г спирта. Получим уравнение:
2 х  3 у  4 z 9  32

100
100 .
Аналогично для второго случая получим уравнение
3х  2 у  z 6  22

100
100 .
По условию, числа х, у и z образуют геометрическую прогрессию, поэтому
у = хz.
Найдем х из системы:
2
2 х  3 у  4 z  288,

3х  2 у  z  132,
 у 2  хz.

Учитывая условие, получим х = 12.
О т в е т: 12 %.