Рекомендации по разработке рабочей учебной программы

Уральский институт – филиал
Российской академии народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации
Кафедра информатики и математики
Математика
Рабочая программа дисциплины по направлению
подготовки 081100 «Государственное и муниципальное управление»
(квалификация «бакалавр»)
Для очно-заочной формы обучения
Составители:
С. Ю. Шашкин, д. ф. м. н., профессор
В.Б. Гусева, к. ф. м. н., доцент
Екатеринбуг
2012
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина должна познакомить студентов с основами математического анализа и
линейной алгебры, дать знания о принципах, лежащих в основе изучения вероятностных
закономерностей массовых однородных случайных событий.
В ходе изучения дисциплины студенты должны освоить математические методы,
позволяющие описывать, исследовать, дифференцировать и интегрировать функции одной и
нескольких переменных, овладеть основными представлениями теории вероятности,
сформировать основные навыки и умения, необходимые для решения задач, возникающих в
практической экономической деятельности.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП (основной образовательной
программы)
Дисциплина «Математика» является базовой дисциплиной математического цикла
федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования (ФГОС ВПО) по направлению 081100 Государственное и муниципальное
управление (квалификация – «бакалавр»).
Изучение дисциплины «Математика» основывается на базе знаний, умений и
компетенций, полученных студентами в ходе освоения школьных курсов «Алгебра и начала
анализа», «Геометрия».
Дисциплина «Математика» является базовым теоретическим и практическим
основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин,
в частности, предоставляет необходимые базовые знания для последующего освоения
дисциплин «Теория статистики» и «Методы принятия управленческих решений».
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
 знание законов развития природы, общества, мышления и умение применять эти
знания в профессиональной деятельности; умение анализировать и оценивать
социально-значимые явления, события, процессы; владение основными методами
количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального
исследования (ОК-4);
 владение основными способами и средствами информационного взаимодействия,
получения, хранения, переработки, интерпретации информации, наличие навыков
работы с информационно-коммуникационными технологиями; способностью к
восприятию и методическому обобщению информации, постановке цели и выбору
путей ее достижения (ОК-8);
 владение основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, навыками работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК-17);
 способность применять адекватные инструменты и технологии регулирующего
воздействия при реализации управленческого решения (ПК-5);
 умение обобщать и систематизировать информацию для создания баз данных,
владение средствами программного обеспечения анализа и моделирования систем
управления (ПК-17);
 умение готовить информационно-методические материалы по вопросам социальноэкономического развития общества и деятельности органов власти (ПК-18);
 оперирование информацией о ключевых вопросах и технологиях государственного
регулирования для четкого и убедительного публичного изложения (ПК-22);
 способность адаптировать основные математические модели к конкретным задачам
управления (ПК-23);






способность
применять
информационно-коммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности с видением их взаимосвязей и перспектив
использования (ПК-26);
владение технологиями защиты информации (ПК-27);
коммуникативная деятельность:
умение устанавливать и использовать информационные источники для учета
потребностей заинтересованных сторон при планировании деятельности органов
государственной власти Российской Федерации, органов государственной власти
субъектов Российской Федерации (ПК-28);
способность анализировать, проектировать и осуществлять межличностные,
групповые и организационные коммуникации (ПК-29);
умение находить основы для сотрудничества с другими органами государственной
власти Российской Федерации, органами государственной власти субъектов
Российской Федерации, институтами гражданского общества, способностью
определять потребности в информации, получать информацию из большого числа
источников, оперативно и точно интерпретировать информацию (ПК-31);
В результате изучения дисциплины обучающийся должен:
знать:
 основные этапы становления современной математики, ее структуру, специфику
аксиоматического построения математических теорий, роль математики в
социально-экономических исследованиях;
 свойства числовых множеств и последовательностей, глобальные свойства
непрерывных функций;
 основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
 основы интегрального исчисления;
 основы исчисления функций нескольких переменных;
 базовые понятия теории вероятности, такие как испытание, случайное событие,
вероятность случайного события, случайная величина, закон распределения
случайной величины;
 формулы комбинаторики и формулы для вычисления вероятности суммы и
произведения событий;
 основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин;
 формулы для вычисления вероятностных характеристик одномерных и двумерных
случайных величин;
 законы, устанавливающие взаимосвязь между вероятностными и статистическими
показателями;
уметь:
 совершать логические операции над событиями и множествами;
 вычислять пределы последовательностей и функций;
 дифференцировать функции одной и нескольких переменных;
 исследовать функции одной и нескольких переменных;
 интегрировать функции одной и нескольких переменных;
 вычислять вероятность случайного события;
 строить законы распределения и вычислять вероятностные характеристики
одномерных и двумерных случайных величин;
 определять наличие корреляции и строить линейную регрессионную зависимость
для непрерывных и дискретных случайных величин;
владеть:
 навыками математического мышления;
 аксиоматическим подходом к построению теоретических моделей;





методами строгих математических доказательств, основанных на законах
формальной логики, математической индукции и дедукции;
основами исчисления бесконечно малых величин и пределов,
методами дифференциального и интегрального исчисления;
навыками использования математических методов и основ математического
моделирования в социально-экономических науках;
методами описания случайных величин и предсказания их вероятностных
характеристик при решении различных социально-экономических задач.
4. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ (для очно-заочной формы обучения)
Общая трудоемкость дисциплины составляет
Лекции
(часы)
14
12
26
8 зачетных единиц.
Практические
Самостоятельная
Занятия (часы)
Работа (часы)
1 семестр (часть1)
14
152
2 семестр (часть2)
12
84
ИТОГО:
26
236
Всего часов
180
108
288
Форма промежуточной аттестации: - экзамен в первом и втором семестрах.
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Тематический план
Наименование разделов и тем
Количество часов
Самостоя
тельная
работа
Всего
часов
по
теме
2
2
Лекции Практичес
кие
занятия
Введение.
Специфика
математики как науки.
Раздел 1. Основы
математического анализа
Тема 1.1. Теория множеств
Тема 1.2. Числовые
последовательности и их
пределы
Тема 1.3. Функции одной
переменной и их свойства
Тема 1.4. Пределы и
непрерывность функции
одной переменной
13
13
117
169
1
1
1
1
11
11
13
13
1
1
11
13
1
1
11
13
Тема 1.5. Понятие
производной и
дифференцирование функций
Тема 1.6. Основы
интегрального исчисления
Тема 1.7. Функции нескольких
переменных
Тема 1.8. Дифференцирование
и интегрирование функций
нескольких переменных
Тема 1.9. Обыкновенные
дифференциальные уравнения
Тема 1.10. Оптимизационные
задачи.
Линейное
и
нелинейное
программирование.
2
2
15
19
2
2
14
18
1
1
11
13
1
1
11
13
1
1
11
13
2
2
11
15
Раздел 2.Линейная алгебра и
теория вероятностей
Тема 2.1. Векторы и линейные
пространства
Тема 2.2. Уравнения прямых и
плоскостей
Тема 2.3. Матрицы и действия
с ними
Тема 2.4. Определители и их
свойства
Тема 2.5. Системы линейных
алгебраических уравнений
Тема 2.6. Линейные
операторы
Тема 2.7. Элементарные
понятия теории вероятностей
Тема 2.8. Решение задач с
использованием
классического определения
вероятности
Тема 2.9. Независимые
повторные испытания
(i) Тема 2.10. Дискретные
случайные величины, их
распределения и числовые
характеристики.
Теоретическая часть в форме
«спланированной дискуссии»;
13
13
117
169
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
практическая часть – работа
конкурирующих малых групп в
компьютерном классе;
исследование зависимости
формы распределения и его
числовых характеристик от
изменения параметров.
(i) Тема 2.11. Непрерывные
случайные величины, их
распределения и числовые
характеристики
Теоретическая часть в форме
«спланированной дискуссии»;
практическая часть – работа
конкурирующих малых групп в
компьютерном классе;
исследование зависимости
формы распределения и его
числовых характеристик от
изменения параметров.
Тема 2.12. Центральная
предельная теорема.
Тема 2.13. Двумерные
случайные величины
Итого по дисциплине:
1
1
9
11
1
1
9
11
1
1
9
11
26
26
117
288
* - в рамках самостоятельной работы студенту предоставляется 54 часа для подготовки к экзамену.
* в скобках указаны часы для заочной формы обучения
5.2. Содержание дисциплины
№
п/п
1.
2.
Наименование
раздела дисциплины
Введение. Специфика
математики как науки
Тема
1.1.
множеств
Теория
Содержание раздела
Аксиоматическое построение математических
теорий. Современный взгляд на проблему определения
основных понятий. Правила логического вывода и
исчисление высказываний. Дедуктивная формальная
логика, понятие логического следования, «прямой» метод
доказательства теорем. Доказательство методом «от
противного».
Метод
математической
индукции.
Математические модели. Математизация естественных и
гуманитарных наук.
Элементы, множества, подмножества. Способы
задания множеств. Равенство множеств. Включение и
строгое включение множеств. Пустое множество.
Универсальное множество. Примеры числовых множеств.
Операции (действия) над множествами.
Объединение,
пересечение,
разность
множеств.
Дополнение
множества.
Диаграммы
Вьена.
Алгебраические свойства операций над множествами,
законы де Моргана. Декартово (прямое) произведение
множеств.
Отображения. Определение отображения. Типы
отображений,
примеры.
Взаимно
однозначное
соответствие множеств. Эквивалентные множества.
Бесконечные множества. Конечные множества.
Определение и особые свойства бесконечных множеств.
Понятие мощности множества. Счетные множества.
Континуальные множества.
Отношения на множествах. Определение
отношения произвольной степени. Бинарное отношение
на
множестве.
Рефлексивные,
симметричные,
транзитивные
бинарные
отношения.
Отношение
эквивалентности. Отношения порядка. Изоморфизм.
3.
Тема 1.2. Числовые
последовательности и
их пределы
Определение
последовательности,
определение предела последовательности. Примеры
последовательностей. Стационарная последовательность.
Свойства сходящихся последовательностей: конечное
число элементов вне любой окрестности предела,
ограниченность,
единственность
предела,
арифметические свойства пределов. Бесконечно малые и
большие последовательности. Неопределенности вида 0/0
и др. Число e.
4.
Тема 1.3. Функции
одной переменной и их
свойства
Определение и общие свойства функций.
Определение функции, способы задания функций. График
функции. Основные свойства функций: четность,
монотонность, ограниченность. Корни, экстремумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Арифметические операции над функциями. Обратная
функция. Сложная функция. Построение графиков
функций средствами табличного процессора MS Excel.
Элементарные
функции.
Простейшие
элементарные функции и их графики. Константа,
линейная
функция,
квадратичная
функция,
экспоненциальная функция, показательная функция,
логарифмическая
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции. Элементарные функции,
построение их графиков.
5.
Тема 1.4. Пределы и
непрерывность
функции одной
переменной
Предел
функции.
Определение
предела
функции.
Односторонние
пределы.
Предел
в
бесконечности, бесконечный предел в точке. Бесконечно
большие и бесконечно малые функции. Первый и второй
замечательные пределы. Арифметические свойства
пределов. Вычисление пределов.
Непрерывные
функции.
Определение
непрерывности функции в точке. Односторонняя
непрерывность в точке. Определение разрыва. Причины
разрывов. Классификация разрывов. Арифметические
свойства непрерывных функций. Непрерывность функции
на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке
(теоремы Вейерштрасса и Коши). Поиск корня функции
методом «деления отрезка пополам».
6.
Тема 1.5. Понятие
производной и
дифференцирование
функций
Производная, ее смысл, способы вычисления.
Определение производной функции в точке; ее
механическая,
экономическая
интерпретация.
Геометрическая интерпретация производной, уравнение
касательной к графику функции. Понятие производной,
как функции, заданной на некотором интервале.
Операция дифференцирования. Линейность операции
дифференцирования.
Производная
произведения,
частного, сложной функции, обратной функции.
Производные простейших элементарных функций.
Непрерывность
дифференцируемой
функции.
Производные высших порядков.
Дифференциал и приближенные вычисления.
Определение дифференциала. Связь дифференциала и
приращения функции. Формула конечных приращений
(формула Лагранжа) и ее использование для
приближенных вычислений. Эластичность функции и ее
использование
для
приближенного
вычисления
относительного изменения функции. Формула Тейлора и
формула Маклорена.
Использование
производных
для
исследования функций и построения их графиков.
Теорема Лагранжа и ее следствие. Теорема о
монотонности.
Необходимое
условие
экстремума
(теорема Ферма). Стационарные и критические точки.
Достаточные условия экстремума. Выпуклость функции,
геометрическая
интерпретация
этого
понятия
(направление
выпуклости
графика).
Теорема
о
направлении выпуклости. Точка перегиба. Необходимое и
достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика
функции. Схема исследования функции и построения ее
графика.
Применение производных в экономике.
Предельные
показатели
в
микроэкономике.
Максимизация прибыли. Оптимизация налогообложения
предприятий.
Закон
убывающей
эффективности
производства.
7.
Тема 1.6. Основы
интегрального
исчисления
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определения первообразной, интегрируемой функции,
неопределенного интеграла. Линейность – основное
свойство
интеграла.
Неопределенные
интегралы
простейших элементарных функций. Интегрирование
методом замены переменной. Метод интегрирования по
частям.
Определенный интеграл. Определение и
геометрическая интерпретация определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла. Определенный
интеграл, как функция верхнего предела. Формула
Ньютона-Лейбница. Схема вычисления определенного
интеграла с использованием формулы НьютонаЛейбница. Приложения определенного интеграла в
экономике. Понятие несобственного интеграла по
бесконечному промежутку.
8.
Тема 1.7. Функции
нескольких
переменных
Определение
функции
нескольких
переменных.
Понятия
координатного
m-мерного
пространства и евклидова m-мерного пространства.
Геометрическая
интерпретация
двумерного
и
трехмерного
евклидовых
пространств.
Примеры
множеств, являющихся подмножествами евклидова mмерного пространства (сфера, шар, гиперкуб, окрестность
точки). Внутренние и граничные точки множеств.
Открытые и замкнутые множества. Ограниченные
множества. Связные множества. Выпуклые множества.
Определение
функции
нескольких
переменных.
Примеры: линейная функция, квадратичная функция
(квадратичная форма), степенная функция (функция
Кобба-Дугласа), нелинейная функция общего вида.
Графическая интерпретация функции двух переменных –
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве.
Линии уровня (изокванты). Построение поверхностей и
линий уровня в Excel.
Пределы
и
непрерывность
функции
нескольких переменных. Понятие последовательности
точек в евклидовом m-мерном пространстве и
определение ее предела. Предел и непрерывность
функции нескольких переменных в точке. Свойства
функции, непрерывной на ограниченном замкнутом
множестве.
9.
Тема 1.8.
Дифференцирование и
интегрирование
функций нескольких
переменных
Частные производные функции нескольких
переменных. Полное приращение и частные приращения
функции нескольких переменных. Определение и смысл
частных производных первого порядка, правила их
вычисления. Частные производные второго и высших
порядков.
Дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Определение
дифференциала
и
дифференцируемости функции в точке. Достаточное
условие дифференцируемости. Дифференциал, частные
эластичности и приближенные вычисления.
Дифференцирование
сложных
функций.
Дифференцирование функции одной переменной,
заданной неявно.
Поиск экстремумов функции нескольких
переменных. Определение экстремума. Необходимое
условие экстремума. Стационарные и критические точки.
Достаточное условие экстремума для функции двух
переменных. Условный экстремум. Поиск условного
экстремума функции двух переменных методом прямой
подстановки и методом неопределенных множителей
Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции
на
ограниченном
замкнутом
множестве
(две
переменных). Численное нахождение экстремумов с
помощью инструмента «Поиск решения» табличного
процессора MS Excel.
Метод наименьших квадратов. Диаграмма
рассеяния, постановка задачи. Формулировка гипотезы о
виде модельной функции (функции тренда). Процедура
определения параметров модельной функции методом
наименьших квадратов. Расчет параметров линейной
модельной функции y=kx+b. Построение функции тренда
средствами табличного процессора MS Excel.
Геометрическая интерпретация двойного
интеграла. Его вычисление путем сведения к повторному
интегрированию.
10.
Тема 1.9.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка. Определение дифференциального уравнения
первого порядка. Дифференциальное уравнение первого
порядка, разрешенное относительно производной.
Определения
решения,
интегральной
кривой,
формулировка теоремы Коши. Понятия общего и
частного
решения.
Геометрический
смысл
дифференциального уравнения первого порядка, поле
направлений.
Методы
решения
уравнений
с
разделяющимися переменными, неполных уравнений.
Метод
решения
линейного
дифференциального
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
уравнения
второго
порядка. Определение дифференциального уравнения
второго порядка. Дифференциальное уравнение второго
порядка,
разрешенное
относительно
старшей
производной. Определения решения, интегральной
кривой, формулировка теоремы Коши. Понятия общего и
частного
решения.
Метод
решения
линейного
дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными
коэффициентами.
Преобразование
дифференциального уравнения второго порядка в систему
двух дифференциальных уравнений первого порядка;
обобщение на случай дифференциальных уравнений
высших порядков.
11.
(i) Тема 1.10.
Оптимизационные
задачи. Линейное и
нелинейное
Задача линейного программирования. Формулировка
задачи линейного программирования в стандартной
форме и ее типичная экономическая интерпретация
(нахождение оптимального плана выпуска продукции при
программирование.
Теоретическая часть
в форме
«спланированной
дискуссии»;
практическая часть
– работа
конкурирующих
малых групп в
компьютерном
классе; решение
задач типа «что,
если» (исследование
зависимости
результатов от
изменений
параметров).
наличии ресурсных ограничений). Матричная запись
стандартной задачи линейного программирования.
Геометрический смысл решений систем линейных
неравенств и уравнений. Общая постановка задачи
линейного программирования. Симплекс-метод решения
задачи линейного программирования.
Оптимизационная задача с несколькими
целевыми
функциями
(многокритериальное
программирование).
Решение
задачи
методом
преобразования целевых функций в ограничения.
Решение задачи путем построения обобщенной целевой
функции с использованием весовых коэффициентов.
Задачи
нелинейного
программирования.
Задача выпуклого программирования. Производная по
направлению
и
градиент
функции
нескольких
переменных.
Выпуклые
функции.
Приближенное
решение задач выпуклого программирования методом
кусочно-линейной аппроксимации и градиентным
методом.
12.
Тема 2.1. Векторы и
линейные пространства
Векторы, как направленные отрезки в двух- и
трехмерном евклидовом пространстве. Координаты
вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный
случай. Множество всех векторов в m-мерном
евклидовом пространстве - m-мерное линейное
(векторное) пространство. Правила сложения векторов и
их умножения на число. Скалярное произведение
векторов и его свойства. Проекция вектора. Определения
и признаки ортогональности, коллинеарности векторов.
Линейная комбинация векторов. Линейная независимость
векторов.
Базис
линейного
пространства,
существование ортонормированного базиса. Векторное и
смешанное произведения векторов в трехмерном
пространстве.
13.
Тема 2.2. Уравнения
прямых и плоскостей
Общий вид уравнения линии на плоскости.
Нормальное и общее уравнения прямой на плоскости.
Основные задачи о прямых на плоскости. Общий вид
уравнения поверхности в трехмерном пространстве.
Нормальное и общее уравнения плоскости в трехмерном
пространстве. Основные задачи о плоскостях. Общий
вид системы уравнений, описывающих линию в
трехмерном пространстве. Уравнение прямой в
трехмерном пространстве.
14.
Тема 2.3. Матрицы и
действия с ними
Определение матрицы. Использование двух
индексов для идентификации элементов прямоугольной
матрицы. Транспонирование матрицы. Матрица, как
совокупность векторов-столбцов или векторов-строк.
Умножение матрицы на число. Сложение матриц
одинаковой структуры. Умножение матриц. Свойства
операции матричного умножения. Умножение матрицы
на вектор. Квадратная матрица, единичная матрица,
обратная матрица. Определение ранга матрицы. Функции
Excel для работы с матрицами.
15.
Тема 2.4. Определители
и их свойства
Вычисление
определителей.
Правила
вычисления определителей квадратных матриц 2-го и 3-го
порядков.
Основные
свойства
определителей.
Необходимое и достаточное условия равенства
определителя
нулю.
Определение
минора
и
алгебраического дополнения элемента квадратной
матрицы. Теорема о способе вычисления определителя
разложением по строке или столбцу (теорема Лапласа).
Применение определителей. Произвольная
матрица и ее миноры. Теорема о вычислении ранга
матрицы. Теорема о базисном миноре. Условие
существования и правило вычисления обратной матрицы.
16.
Тема 2.5. Системы
линейных
алгебраических
уравнений
Постановка задачи и основные определения.
Пример: модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
Общий вид системы линейных алгебраических
уравнений, матричная запись, определение решения.
Совместные и несовместные системы. Эквивалентные
системы,
элементарные
преобразования
систем.
Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия
определенности
и
неопределенности
совместной
системы.
Решение систем линейных алгебраических
уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной
матрицы. Метод Крамера.
Решение произвольной системы методом
Гаусса. Алгоритм метода Гаусса. Структура множества
решений совместной неопределенной системы: базисные
и свободные переменные.
Решение однородных систем линейных
алгебраических уравнений. Теорема о необходимом и
достаточном условии существования нетривиальных
решений однородной системы и следствия из нее.
Фундаментальная система решений однородной системы
и способ ее нахождения. Структура общего решения
однородной системы. Структура общего решения
неоднородной системы.
Нахождение псевдорешения несовместной
системы линейных алгебраических уравнений.
Получение нормальной системы из условия минимума
невязки. Псевдорешение – решение нормальной системы.
Поиск
нормального
псевдорешения
в
случае
неопределенности нормальной системы. Общий алгоритм
построения нормального псевдорешения. Численное
нахождение нормального псевдорешения в Excel.
17.
Тема 2.6. Линейные
операторы
Понятие оператора, действующего в линейном
пространстве. Определение линейного оператора.
Матричное
представление
линейного
оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при
ортогональном
преобразовании
базиса.
Примеры
линейных
операторов.
Задача
о
нахождении
собственных векторов и собственных значений
линейного
оператора.
Нормировка
собственных
векторов. Задача о нахождении корней многочлена,
комплексные числа. Линейная модель международной
торговли.
18.
Тема 2.7.
Элементарные понятия
теории вероятностей
Испытание. Испытание, исход (элементарное
событие), Полное множество исходов (вероятностное
пространство). Случайность исходов.
Операции над событиями. Определение
случайного события. Противоположное событие. Сумма
(объединение) и произведение (пересечение) событий.
Достоверное и невозможное события. Несовместные
события. Полная группа событий.
19.
Тема 2.8. Решение
задач с использованием
классического
определения
вероятности
Элементы комбинаторики. Правила суммы и
произведения. Подсчет числа размещений, перестановок,
сочетаний.
Классическое, статистическое, геометрическое
определения
вероятности
события.
Условная
вероятность.
Независимые
события
и
формула
умножения вероятностей для независимых событий.
Общая формула сложения вероятностей. Формула
сложения вероятностей для несовместных событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры
решения задач.
20.
Тема 2.9. Независимые
повторные испытания
Схема опыта Бернулли. Формула Бернулли.
Формула Пуассона. Предельный случай очень большого
числа испытаний; локальная и интегральная формулы
Лапласа.
21.
Тема 2.10. Дискретные
случайные величины,
их распределения и
числовые
характеристики
Определение
случайной
величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Распределение
дискретной
случайной
величины. Ряд распределения, полигон распределения,
гистограмма распределения. Функция распределения
дискретной случайной величины.
Математическое
ожидание,
дисперсия,
стандартное отклонение дискретной случайной
величины. Смысл математического ожидания и
дисперсии. Математические операции над случайными
величинами.
Биномиальное
распределение,
геометрическое и гипергеометрическое распределение,
распределение Пуассона.
22.
Тема 2.11.
Непрерывные
Функция
распределения
и
вероятности непрерывной случайной
плотность
величины.
случайные величины,
их распределения и
числовые
характеристики
23.
Тема 2.12. Центральная
предельная теорема.
24.
Тема 2.13. Двумерные
случайные величины
Определение и смысл математического ожидания,
дисперсии, стандартного отклонения непрерывной
случайной величины. Мода, медиана, асимметрия,
эксцесс случайной величины. Моменты случайной
величины. Математическое ожидание и дисперсия
функции случайной величины.
Примеры
распределения
непрерывной
случайной величины.
Случайная величина с
равномерным распределением. Нормальная и стандартная
нормальная случайные величины.
Литература: [5], [11], [12]
Неравенство Чебышева, Закон больших чисел в форме
Бернулли. Смысл центральной предельной теоремы
(теоремы Ляпунова).
Распределение
двумерной
дискретной
случайной величины. Функция распределения и ее
свойства.
Плотность
вероятности
непрерывной
двумерной случайной величины и ее свойства.
Условные распределения. Числовые характеристики
двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и
независимые случайные величины. Ковариация и
теоретический коэффициент корреляции.
5.3. План практических занятий.
Темы практических занятий по Разделу 1
1. Элементы исчисления высказываний. Логическое следование высказываний,
методы доказательства. Метод математической индукции.
2. Множества. Операции над множествами и их алгебраические свойства.
Отображения, эквивалентные множества.
3. Бесконечные множества. Отношения на множествах.
4. Числовые последовательности. Вычисление пределов с использованием
определения. Свойства сходящихся последовательностей.
5. Вычисление пределов последовательностей с использованием их свойств.
Бесконечно
малые
и
бесконечно
большие
последовательности,
раскрытие
неопределенностей.
6. Функции и их основные свойства. Элементарные функции и их графики.
7. Предел функции, вычисление по определению. Замечательные пределы.
Арифметические свойства пределов, вычисление пределов, раскрытие неопределенностей.
8. Непрерывность функции в точке и анализ разрывов. Свойства функций,
непрерывных на отрезке.
9. Производная и ее вычисление по определению. Правила дифференцирования.
Геометрическая интерпретация производной.
10. Дифференциал и приближенные вычисления. Эластичность функции.
Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена.
11. Использование производных для анализа монотонности, выпуклости функций,
поиска экстремумов и точек перегиба.
12. Нахождение асимптот графика функции. Общая схема исследования функции и
построения ее графика. Использование производных в экономике.
13. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование методом замены
переменной. Метод интегрирования по частям.
14. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей.
15. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. Приложения
определенного интеграла в экономике.
1. Функции нескольких переменных, их пределы, непрерывность. График функции
двух переменных – поверхность; линии уровня.
2. Частные производные, их вычисление. Дифференциал, частные эластичности,
приближенные вычисления.
3. Дифференцирование сложных и неявных функций. Поиск локальных экстремумов,
условных экстремумов.
4. Поиск наибольшего (наименьшего) значения функции двух переменных на
ограниченном замкнутом множестве. Двойной интеграл и его вычисление сведением к
повторному интегрированию.
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений.
Решение уравнений с разделяющимися переменными, неполных уравнений.
6. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
7. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Темы практических занятий по Разделу 2
1. Векторы и линейные пространства.
2. Уравнения прямых и плоскостей.
3. Матрицы и операции с ними.
4. Определители и их свойства. Вычисление определителей, применение
определителей.
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.
Решение произвольной системы методом Гаусса.
6. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение
фундаментальной системы решений. Построение общего решения неоднородной системы.
7. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических
уравнений.
8. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейных операторов.
9. Элементарные понятия теории вероятностей.
10. Элементы комбинаторики. Решение задач с использованием классического
определения вероятности.
11. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей.
Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.
12. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Литература: [11], [12], [13], [15].
13. Локальная и интегральная формулы Лапласа.
14. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
15. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
16. Центральная предельная теорема.
17. Двумерные случайные величины
6. ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОТЧЕТНОСТИ
6.1. Формы контроля
В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:
 текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные
работы, домашние задания).
 промежуточный контроль.
Промежуточный контроль изучения дисциплины проводится в форме письменного
экзамена в 1-ом и 2-ом семестре.
6.2. Домашние контрольные работы
6.2.1 Контрольная работа №1
Вариант№1
1.1. A - множество целых чисел, кратных 2; B - множество целых чисел, кратных 3; I множество
целых
чисел
(универсальное
множество).
Описать
множества:
A  B, A  B, A  B , A  B .
1.2. Из 100 студентов 28 человек изучают испанский язык, 30 – немецкий, 42 – французский;
при этом испанский и немецкий языки изучают 8 студентов, испанский и французский – 10,
немецкий и французский – 5; все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучают
один только французский язык? Сколько студентов вообще ничего не изучают?
1.3. Найти естественную область определения функции
x
y 3
1 | x |
1.4. Существует ли обратная функция у функции
f( x )ln( x1 )2
?
Если существует – найдите ее.
1.5. При каком значении параметра a функция f ( x) | ax 2  3x  18 | 10 имеет
четыре корня?
1.6. Найти предел последовательности
( n  1) 2
xn  3
( n  2 n  1)
1
является
2n
бесконечно малой. Начиная с какого номера члены этой последовательности будут по
величине меньше e 10 ?
1.7. Исходя из определения предела, доказать, что последовательность x n 
1.8. Найти предел функции
1
6
 2
x3 x3
x 9
1.9. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции ln( x ) в точке x=2.
lim
1.10. Представить функцию f ( x )  sin( x ) в виде многочлена пятой степени относительно x .
1.11. Пусть зависимости спроса Q и предложения S на некоторый товар от цены p имеют
вид: Q( p)  2 p  6, S ( p)  p . На сколько процентов изменятся спрос и предложение, если
цена увеличится на 5% относительно равновесной?
1.12. Используя производные, исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  ln x
1.13. Найти отношение диаметра к высоте у цилиндра, который имеет наибольший
возможный объем при фиксированной площади поверхности.
 x3

1.14. Найти интеграл методом замены переменной 
 1x 8 dx


5/2 
sin ( x ) dx
1.15. Найти интеграл 

1/2 

 arctan( x )

dx
1.16. Найти несобственный интеграл 
2

 1x
0
1.17. Найти частные производные первого и второго порядка для функции
x2 y
u  2
y x
1.18. Найти экстремумы функции
u := x 2y 2x y4 x5 y
1.19. Найти условные экстремумы функции
u := x 2y 2x yxy4
при
xy30
1.20. Найти решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием
xy   y  3
при y(1)=1
Вариант№2
2.1. Доказать следующее соотношение, справедливое для любых множеств (закон де
Моргана):
( A  B)  A  B ,
Обобщить на случай трех, четырех множеств.
2.2.
20 студентов отправились в кафе. Из них 15 пили кофе, 10 ели мороженое, 7
испробовали и то и другое. Сколько человек отказались от мороженого и от кофе ?
2.3. Найти естественную область определения функции
y  x  ln( 2 x  3)
2.4. Вам известен график функции f(x)=ex. Построить график функции:
f( x ) e
( 1/3 x1 )
2
2.5. При каком значении параметра c функция f ( x)  2 x 2  8 | x | c имеет четыре
корня?
2.6. Найти предел последовательности
xn  n ( n  1  n )
2.7. x n  (1  ( 1) )n , доказать, что число 0 не является пределом, что последовательность
не является бесконечно большой.
n
2
2.8. Найти предел функции, зависящей от n :
lim
n 2n1  n 2n
n 
2.9. Найти приближенное значение 4 16,32  2 ln( 0,9) .
2.10. Представить функцию f ( x )  cos( x ) в виде многочлена пятой степени относительно x .
2.11. Пусть зависимости спроса Q и предложения S на некоторый товар от цены p имеют
вид: Q( p)  2 p  6, S ( p)  p . При какой цене спрос будет падать в два раза медленнее
роста предложения?
2.12 Используя производные,. исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  e  x .
2.13. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт Б, расположенный в 8 км от
шоссе. Расстояние от А до Б по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует
свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт Б, если скорость его по шоссе 5
км/час, а по бездорожью 3 км/час ?
x
2.14. Найти интеграл «по частям»: 
 x dx

e

2.15.Найти интеграл с использованием замены переменной
0
 ( 2 x1 ) 5 dx

-1 /2


1

dx
2.16. Найти несобственный интеграл 
2

 x 4 x9

2.17. Найти частные производные первого и второго порядка для функции
u2 x 2x y 23 x 2 y2 y 33 x4 y1
2.18. Найти экстремумы функции
u := x y ( 1xy )
2.19. Найти условные экстремумы функции
u :=
при
1 1

x y
xy2
2.20. Найти решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием
y  x  y
при y(1)=1
Вариант№3
3.1. Доказать следующее соотношение, справедливое для любых множеств (закон де
Моргана):
( A  B)  A  B ,
Обобщить на случай трех, четырех множеств.
3.2. 30 школьников занимаются спортом, 25 – футбол, 15 – коньки, 10 – лыжи. 27 человек
посещают по две спортивных секции. Сколько человек занимается всеми тремя видами
спорта?
3.3. Найти естественную область определения функции
y
1
3 x2
ln( 1  x )
3.4. Существует ли обратная функция у функции
f( x )( x2 ) 31
?
Если существует – найдите ее.
3.5. При каком значении параметра a функция f ( x) | ax 2  3x  18 | 10 имеет
четыре корня?
3.6. Найти предел последовательности
x n  ( n2  1  n2 1)
3.7. Найти предел последовательности x n 
n
a ( a  1) , исходя из определения.
3.8. Является ли функция
1
( x1 ) ( x6 )
непрерывной на отрезке [4,10]? Если нет, то найти точки разрыва и определить их тип.
f( x )
3.9. Найти производную первого порядка для функции
f( x )ln ( x21 )
x
3.10. Представить функцию f ( x )  ln( x ) в виде многочлена третьей степени относительно
( x  1) .
3.11. Найти дифференциал функции
f( x )
1
e 1
x
3.12. Используя производные, исследовать функцию и построить ее график: f ( x ) 
x3  4
.
x2
3.13. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт Б, расположенный в 8 км от
шоссе. Расстояние от А до Б по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует
свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт Б, если скорость его по шоссе 5
км/час, а по бездорожью 3 км/час ?
  x 
e

3.14. Найти интеграл методом замены переменной 
 x 2 dx



3.15. Найти интеграл «по частям»:
1
1/2 


0
x sin ( x ) dx
-1
 1

dx
3.16. Найти несобственный интеграл 
2

 x

3.17.Найти частные производные первого и второго порядка для функции
xy
u
xy
3.18. Найти экстремумы функции
u := x 3y 33 x y
3.19. Найти условные экстремумы функции
u := x y
при
2 x3 y50
3.20. Найти решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием
y    y  cos( x )
при y(0)=1
Вариант№4
4.1.Обозначим число элементов множества A через N(A). Представить N ( A  B) в виде
суммы нескольких слагаемых. Обобщить на сумму трех, четырех множеств.
4.2. 50 человек изучают иностранные языки – английский, немецкий, французский. Из них 40
– английский, 30 – немецкий, 20 – французский, а 5 человек – все три языка. Сколько
человек изучают по два языка?
4.3. Найти естественную область определения функции
1
y  x 
2x
4.4. Вам известен график функции f(x)=ex. Построить график функции:
f( x )e
( 2 x1 )
3
4.5. При каком значении параметра c функция f ( x)  2 x 2  8 | x | c имеет четыре
корня?
4.6. Найти предел последовательности
x n  ( n  5  n  1)
4.7. Найти предел последовательности xn  n a (0  a  1) , исходя из определения.
4.8. Является ли функция
f ( x )  (21/( x 2 )  1) /( 21/( x 2 )  1)
непрерывной? Если нет, то найти точки разрыва и определить их тип.
3
2
4.9. Найти вторую производную функции f( x )x sin ( x )
4.10. Представить функцию f ( x )  tg( x ) в виде многочлена третьей степени
относительно x .
4.11. Найти производную первого порядка для функции y  ( x  1) ln x
4.12. Используя производные,
f ( x )  ( x  4)5  4 x  4 .
исследовать
функцию
и
построить
ее
график:
4.13. Найти отношение диаметра к высоте у цилиндра, который имеет наибольший
возможный объем при фиксированной площади поверхности.
4.14. Найти интеграл «по частям»: 
x sin ( x ) dx

4.15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  tg( x ), y  0, x   / 3

 1

dx
4.16. Найти несобственный интеграл 
3

 x
1
4.17. Найти частные производные первого и второго порядка для функции
ue
2
2
( 3 x  2 y  x y )
4.18. Найти экстремумы функции
u := 3 x6 yx 2x yy 2
4.19. Найти условные экстремумы функции
u := x 2y 2x yxy4
при
xy30
4.20. Найти решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием
( x  1) y    xy  0
при y(0)=2
6.2.2 Контрольная работа №2
Вариант№1
1.1.. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А(2;-4;5) и В(-3;2;7).
1.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а(6, 3, -2) и
в(3, -2, 6).
1.3. Определить расстояние от точки
М(3, 5, -8) до плоскости 6x-3y+2z-28=0
1. 4.Вычислить скалярное произведение ((5a+3b)(2a-b)), если модули a=2, b=3 и a
ортогонален b.
1.5.Являются ли следующие три вектора компланарными?
(2, 5, 7), (1, 1, -1), (1, 2, 2).
1.6. Общие уравнения прямой 2x-y+3z-1=0,
5x+4y-z-7=0 записать в канонической форме.
1.7.
С
помощью
элементарных
преобразований привести матрицу А к
треугольному виду
1.8. Вычислить определитель
4
6
2 4
1
2
3 1
4 2
1
0
6
4
6
4
1.9. Решить СЛАУ методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса.
Убедиться в правильности решения подстановкой.
A=
1
2
2
-1
1
2
1
1
4
b=
1
2
3
1.10.Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
2
10
8
1
A=
3
15
12
b=
3
1
5
4
5
1.11.
Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
1

A := 2

1
3
5
2
5
8
3
5

9 b :=

4
 5
 
 9
 
 
 4
1.12. Найти СЗ и СВ матриц:
 4 0 0


A :=  0 2 1


 0 1 2
1.13. В группе 20 студентов. Пять из них необходимо отправить на стажировку: одного в
Лондон, одного в Берлин, одного в Париж и двоих – по городам России. Сколько имеется
вариантов составить список направляемых на стажировку?
1.14 У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой
вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, равна 1/3, во втором – ½,
в третьем – ¼. Известно, что рыбак забросил удочку три раза, а вытащил только одну рыбу.
Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из излюбленных мест?
1.15. При выстреле цель поражается с вероятностью 1/3. Сколько выстрелов нужно сделать,
чтоб с вероятностью 0,95 хотя бы один снаряд попал в цель?
1.16. В году 300 рабочих дней. Ежедневно возвращаясь с работы человек переходит
перекресток, на котором он может быть оштрафован за нарушение ПДД с вероятностью
1/1000. Какова вероятность того, что за год его оштрафуют более двух раз?
1/17/ Вероятность получения удачного результата при проведении химического опыта равна
2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если всего их будет проведено семь.
1/18.. В школу должны быть приняты 200 детей. Определить вероятность того, что среди них
окажется 100 девочек, если вероятность рождения девочки равна 0,485
1.19. Будем считать, что оценка студента на экзамене – случайная величина Х, принимающая
значения 2, 3, 4 или 5. Длительные наблюдения показывают, что эта случайная величина
имеет распределение:
x=
2
3
4
5
p=
0,1
0,3
0,4
0,2
Построить полигон (многоугольник),найти функцию распределения и построить ее график,
вычислить математическое ожидание и дисперсию для данной случайной величины.
1.20. Задана функция распределения случайной величины Х:
0, x  0

F ( x )   x 3  Ax, 0  x  1
1, x  1

Найти значение А, математическое ожидание и вероятность попадания случайной величины
Х в интервал (0, 2).
Вариант№2
2.1. На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точек А(1;-1;5), В(3;4;4) и С(4;6;1)
2.2. Вычислить площадь треугольника с
вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).
2.3.. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 3, 5) и перпендикулярной
вектору N(4, 3, 2).
2.4. Являются ли следующие три вектора компланарными?
(7, -3, 2), (3, -7, 8), (1, -1, 1).
2.5. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно
плоскости 3x-4y+5z-12=0.
2.6. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3, 2, -1)и пересекающей ось
Ox под прямым углом.
2.7.С
помощью
элементарных
преобразований преобразовать матрицу А в
единичную матрицу
2.8. Вычислить определитель
2 4 6
8 0 4
2 2 8
2.9. Вычислить ранг матрицы
1 3

3 2
2 1

0 0
4 

0 1 
0  3

0 0 
0
210. Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
A=
2.11.
4
2
9
2
8
1
3
-1
8
b=
-2
8
0
Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
1

3
A := 
2

2

-3 2
-8 8
-4 8
-3 10
2

7
 b :=
8

8









1

3

0

1
2.12. Найти СЗ и СВ матриц:
 3 0 0


A :=  0 3 1


 0 1 3
2.13. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятность0,1, зашедшая
женщина – с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова
вероятность того, что хоть одно лицо что-нибудь купит?
2.14. При взрыве снаряда образуются осколки трех видов: крупные, средние и мелкие. Число
крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1, 0,3 и 0,6 общего числа
осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9,
средний – с вероятностью 0,2, мелкий - с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и
пробил ее. Найти вероятности того, что эта пробоина сделана: крупным, средним, мелким
осколком.
2.15. На зачете, который проводится в форме теста, студенту предлагаются 4 вопроса по
одной теме и 5 вопросов по другой теме. Первая тема зачтена, если дано более дух
правильных ответов, а вторая – если не менее трех. Вероятность правильного ответа на
любой вопрос равна ½. Какова вероятность того, что будут зачтены обе темы?
2.16. Куплено 100 лотерейных билетов. Вероятность выигрыша на каждый из них равна
0,001. Какова вероятность того, что выиграют не менее трех билетов?
2.17. В сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из 8
выбранных случайно дней 3 будут с дождем?
2.18. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что
при 300 испытаниях успех наступит ровно а) 75 раз? б) ровно 85 раз?
2.19. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 бракованных, выбраны случайным
образом три. Построить ряд распределения случайного числа бракованных изделий в
выборке. Вычислить математическое ожидание и дисперсию для данной случайной
величины.
2.20. Задана плотность распределения случайной величины Х:
0, x  0

f ( x )   x / 2, 0  x  2
0, x  2

Найти функцию распределения (график!) и математическое ожидание случайной величины
Х
Вариант№3
3.1. Три стороны четырехугольника ABCD совпадают с векторами AB=a+2b,
BC=-4a-b, CD=-5a-3b. Доказать, что ABCD – трапеция.
3.2. Являются ли следующие три вектора компланарными?
(2, 5, 7), (1, 1, -1), (1, 2, 2).
3.3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а(6, 3, -2) и
в(3, -2, 6).
3.4. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно
плоскости 3x-4y+5z-12=0.
3.5. Определить расстояние от точки
М(3, 5, -8) до плоскости 6x-3y+2z-28=0
3.6. Задана прямая L: (x-2)/2=(y-1)/3=(z-3)/1. Записать уравнения прямой, проходящей через
начало координат перпендикулярно прямой L.
3.7.
С
помощью
элементарных
преобразований привести матрицу А к
треугольному виду
3.8. Вычислить определитель
5 3 0 7
0 1 2 3
0
0
3 1
0
0
0 1
3.9. Для матрицы А вычислить обратную
1 0 2


A  0 1 2
0 0 1


3.10. Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
1
9
6
3
A=
1
3
4
b=
1
1
-3
2
-1
3.11. Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
1 3 5 5
 5


 


A := 2 5 8 9 b :=  9


 
1 2 3 4
 4
3.12. Найти СЗ и СВ матриц:
4

A :=  0

0
0
2
1
0

1

2
3.13. Из 30 человек необходимо выбрать одного президента, одного председателя
правительства, одного председателя верховного суда и еще трех советников президента.
Сколько существует вариантов сделать выбор?
3.14. В автобусе 40 человек, из них пятеро – преступники. Если вызвать на допрос
шестерых, выбранных наугад пассажиров, то какова вероятность, что среди них окажется
хотя бы один преступник?
3.15. Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты
а) орел впервые выпадет на пятом броске;
б) за пять бросков орел выпадет один раз?
3.16. Вероятность выигрыша в первой лотерее равна 0,01, во второй – 0,02. Куплено по 100
билетов той и другой лотереи. Какова вероятность получить хоть какой-нибудь выигрыш?
3.17. Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра 1 появилась хотя бы один раз с
вероятность не меньшей 0,9?
3.18. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8.
Найти вероятность того, что относительная частота появления успеха отклонится по
абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.
3.19. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения:
x=
-2
-1
0
1
2
p=
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
y=
3
2
p=
0,7
0,3
Вычислить для них математическое ожидание и дисперсию.
Построить распределения случайной величины X-Y,
вычислить для нее математическое ожидание и дисперсию.
3.20. Задана плотность распределения случайной величины Х:
0, x  1

f ( x )   x  1 / 2, 1  x  2
0, x  2

Найти функцию распределения (график!) и математическое ожидание случайной величины
Х. Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 3/2).
Вариант№4
4.1. Вычислить скалярное произведение ((5a+3b)(2a-b)), если модули a=2, b=3 и a
ортогонален b.
4.2. Являются ли следующие три вектора компланарными?
(7, -3, 2), (3, -7, 8), (1, -1, 1).
4.3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, 0, -1) и
Q((1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3x+2y-z+5=0.
4.4. Даны векторы a(m, 3, 4) и b(4, m, -7). При каком значении m эти векторы ортогональны?
4.5.. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(2, 0, -1) и
Q((1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3x+2y-z+5=0.
4.6. Дана плоскость x+y-2z-6=0 и вне ее точка М(1, 1, 1). Найти точку N, симметричную
точке М относительно данной плоскости.
4.7.
С
помощью
элементарных
преобразований преобразовать матрицу А в
единичную матрицу
4.8. Вычислить определитель
1 1 1
2
1
1
2
2
4
4.9. Вычислить ранг матрицы
4 0 8 0
2 0 4 0
3 0 6 0
1 0 2 0
4.10.
A=
4.11.
1

3
A := 
2

2

Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
2
12
10
4
2
0
6
b=
0
2
6
8
2
Решить СЛАУ методом Гаусса. Убедиться в правильности решения подстановкой.
-3 2 2
 1

 

 3
-8 8 7
 
 b :=  
 0
-4 8 8

 

 1
-3 10 8
 
4.12. Найти СЗ и СВ матриц:
 3 0 0


A :=  0 3 1


 0 1 3
. 4.13. При формировании экипажа самолета нужно отобрать четырех специалистов
(командир, второй пилот, бортинженер и штурман) из 10 человек, окончивших школу
летного состава и двух стюардесс из десяти претенденток. Сколько имеется вариантов
выбора?
4.14. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны идут
пять дорог. Вероятность выхода из леса в течение часа равна: по первой дороге – 0,6, по
второй – 0,3, по третьей – 0,2, по четвертой – 0,1, по пятой – 0,1. Какова вероятность того,
что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?
4.15. При выстреле цель поражается с вероятностью 1/3. Какова вероятность того, что в цель
попали хотя бы два снаряда, если сделано пять выстрелов?
4.16. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек двое родились
1 мая?
4.17. Вратарь парирует в среднем 3 из 10 ударов. Какова вероятность, что он пропустит не
более двух мячей из пяти?
4.18. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92
можно было ожидать отклонение относительной частоты «герба» от 0,5 на величину,
меньшую (по абсолютной величине) чем 0,01.
4.19. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения:
x=
p=
-2
0,1
-1
0,2
0
0,2
1
0,4
2
0,1
y=
3
2
p=
0,7
0,3
Построить распределения случайной величиныX*Y и
вычислить для нее математическое ожидание и дисперсию.
4.20. Задана функция распределения случайной величины Х:
0, x  2

F ( x )   x / 4  1 / 2,  2  x  2
1, x  2

Найти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины Х.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (-3, 1).
6.3. Вопросы для подготовки к экзамену
Формулировки теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене, повторяют
формулировки тем, перечисленных в содержании программы. Например:
 Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
 Проверка статистических гипотез.
 и т.д.
6.4. Примеры задач, предлагаемых на экзамене.
Раздел 1
1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения)
доказательство теоремы:
Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.
Если получишь двойку – не будет стипендии.
Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.
2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической
1  qn
прогрессии (т.е. последовательности xn  aq n 1 ) сумма первых n членов равна Sn  a
.
1 q
3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% - «Урал», 50% - «Юность», 30% журналы «Огонек» и «Урал», 20% - «Урал» и «Юность», 30% - «Огонек» и «Юность», 10% все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают
ни одного?
4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение:
а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным
соответствием.
5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.
6. Исследуйте бинарное отношение (x,y) , x+y=8 , на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным,
антисимметричным?
7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y),
xy  0 - есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение
множества X на классы эквивалентности.
8. Показать, используя определение предела последовательности, что
2  ( 1) n 1
последовательность xn 
сходятся к числу 0.
n
9. Показать, используя определение предела последовательности, что
последовательность
xn  n a (a  1) сходится к 1.
10. Найти предел последовательности xn  n ( n  1  n ) .
11. Найти предел последовательности xn 
n2  n  2
.
3n 2  2n  4
n  3 3n 1
)
.
n
13. Пусть последовательность x n - ограничена, yn - бесконечно большая. Доказать,
12. Найти предел xn  (
что последовательность ( xn / yn ) бесконечно малая.
14. Дана f(x) = 2x2 + x - 3. Построить графики y = f(x) , y = |f(x)|. При каких значениях
параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?
x 1
. Построить ее график; решить неравенство y<0; решить
15. Дана функция y 
x4
уравнение |y-1| = 1.
16. Построить график функции y  log 1 (3  2 x ) 2 .
2
17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти
x  3x  2
lim
.
x 0
2x  1
sin 4 x
18. Найти предел lim
.
x 0
x 1 1
2
19. Найти предел lim
x 0
tg( x )
.
5x
20. Пусть
 x  1, при x  1
f ( x)  
2
3  ax , при x  1
При каком выборе числа a функция f (x ) будет непрерывной в точке x  1 ?
21. Доказать, что уравнение x 5  3x  1 имеет точно один корень на отрезке [1, 2].
22. Доказать, что уравнение x  2 x  1 имеет один положительный корень, меньший 1.
f
23. Пусть f ( x )  2 x 3 . Найти приращение функции  f и отношение
в точке
x
x0  1 если а) x  1, б) x  1 , в) x  0.1 , г) x  0.1 , д) x  0.01 , е) x  0.01 .
Объяснить результаты.
24. Используя определение производной найти производную функции
f ( x )  (2 x  3)2 .
25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе
f ( x )  x 3 равен 12 ?
26. На параболе f ( x )  x 2 взяты две точке с абсциссами x 1  1 и x 2  2 . Через эти
точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей?
27. Найти производную для функции f ( x )  x 2 / ln( x )  2 x . Найти третью
производную для функции f ( x )  x 2  ln( x ) .
28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти
равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса,
предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.
29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус
изменится на 1% ?
30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При
каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба
будет наибольшей?
31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание
которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти
наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
32. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  2 x 3  9 x 2  12 x  3 .
33. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  ln x .
x2
).
2
35. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  e  x .
34. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  exp( 
2x2  8
36. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x ) 
.
x 1
37. Вычислить неопределенный интеграл  (2 sin x  6  3x 2 )dx .
38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а)
e5 x
12
;
б)
x
(
x

1
)
dx

 e x  1 dx .
39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные
интегралы: а)  x cos xdx ; б)  ln xdx .
1
40. Вычислить определенные интегралы: а)
2x
0 1  x 2 dx ; б)

 x sin xdx ; в)
0
41. Найти область определения функции двух переменных f ( x, y ) 
42. Построить линии уровня для функции f ( x, y )  xy  y .

 xe
x
dx .
0
y2  x2  x  4 .
43. Построить линии уровня для функции f ( x, y )  x 2  y 2  2 x  2 y .
44. Найти предел функции f ( x, y ) 
sin( 5 x 2  y 2 )
в точке М(0,0).
x2  y2
2 xy
45. Доказать, что функция f ( x, y )  2
не имеет предела в точке М(0,0).
x  y2
y
46. Найти частные производные функций: а) f ( x, y )  x ln y  ; б) f ( x, y )  x y .
x
2
47. Для функции f ( x, y )  x sin y найти частные производные второго порядка.
48. Зависимость объема производства f ( x, y ) от капитальных затрат x и затрат труда
y описывается функцией Кобба-Дугласа f ( x, y )  Ax y  . Найти дифференциал и частные
эластичности этой функции. Пусть   3 / 4,   1 / 4 ; на сколько процентов изменится
объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на
2%?.
du
49. Пусть u  xy 2  sin 3z, x  2t, y  t 2 , z  t 3 . Найти
.
dt
50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда
y от капитальных затрат x описывается соотношением Ax y   100 . Рассчитать
dy
производную
. Какой она имеет смысл?
dx
51. Найти экстремумы функции f ( x, y )  y 2  x 2  xy  2 x  6 y .
52. Найти экстремумы функции f ( x, y )  8 y 3  x 3  6 xy  1 .
53. Найти экстремумы функции f ( x, y )  2 x 3  xy2  5x 2  y 2 .
54. Найти экстремумы функции f ( x, y )  y x  y 2  x  6 y .
55. Найти максимум функции Кобба-Дугласа f ( x, y )  Ax y  при условии
px  qy  J .
56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y )  ( x  1) 2  3 y  y 3 в
области 0  x  2, 0  y  2 .
57. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y )  ( x  1) 2  3 y  y 3 в
области 0  x  2,  2  y  0 .
58.
Рассчитать
двойной
интеграл
 (3x
2
y  2 x 3 )dxdy ,
если
область
D
D  {0  x  1, 1  y  2} .
59. Рассчитать двойной интеграл
 y
2
x dxdy , если область D ограничена линиями
D
x 2  y 2  4, x  y  2 .
60. Найти общее решение дифференциального уравнения y   y  x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)  0 .
61. Найти общее решение дифференциального уравнения y   y  cos x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)  1 .
62. Найти общее решение дифференциального уравнения x 2 y  y  0 , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (1)  3 .
63. Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  2 y  e x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0, y (0)  1 .
64. Найти общее решение дифференциального уравнения y   6 y   7 y  14 , а также
его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0, y (0)  0 .
65. Найти общее решение дифференциального уравнения y   6 y   9 y  0 , а также
его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  1, y (0)  0 .
Раздел 2
1. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора:
 1 
 0 
  2
        
a    2 , b    1 , c   3  ?
  3
  2
 4 
 
 
 
  1
1
1
        
2. Являются ли линейно зависимыми три вектора: a   1 , b    1, c   1  ?
1
1
  1
 
 
 
 1 
 0 
  2
 
 
        
3. Пусть a    2 , b    1 , c   3  . Найти координаты вектора x  a  2b  3c .
  3
  2
 4 
 
 
 
4. Две прямые на плоскости задаются уравнениями x  y  1 и x  y  2 . Параллельны
ли эти прямые? Каково между ними расстояние?
2 1
2
 1 4 1




5. Пусть C   0
1 3 , F   2  3 3  . Найти матрицу H  C 2  F 2 .
 1  2 2
1
1 4 



3 1 2 4 


0  2 3 1 
6. Дана матрица A  
. Вычислить ее определитель. Найти миноры
4 1 3 2 


 5 3 1  3
элементов a23 , a14 и алгебраические дополнения элементов a 43 , a 24 .
1 2 4


7. Найти ранг матрицы C   0 2 4  .
 3  1 2


8. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных
3x  x  2,
алгебраических уравнений:  1 2
2 x1  3x2  5.
9. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
 x1  2 x2  3x3  x4  9,
3 x  4 x  2 x  2 x  15,
 1
2
3
4

2
x

2
x

3
x

3
x
2
3
4  0,
 1
5 x1  x2  2 x3  5 x4  12.
10. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
 x1  x2  x3  x4  2,
 x  2 x  2 x  x  5,
 1
2
3
4

2
x

x

3
x

2
x
3
4  1,
 1 2
 x1  2 x2  3 x3  6 x4  10.
11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных
 x  2 x2  x3  x4  0,
алгебраических уравнений  1
, а также ее общее решение.
2 x1  3x2  x3  2 x4  0.
 1
0  
12. Найти нормальное относительно вектора x   1 псевдорешение системы
 1
 
5x  3x2  4 x3  0,
линейных алгебраических уравнений:  1
.
6 x1  5x2  6 x3  0.
13. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного матрицей A  
2
4 .

 1  3 
14. В коробке 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть
из коробки черный шар?
15. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность
того, что оба шара - белые?
16. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные:
1 – 100 руб., 4 по 50 руб., 10 по 20 руб., 20 по 10 руб.,
165 по 5 руб., 400 по 1 руб.
Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 10 руб.?
17. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет
герб?
18. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные.
Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
19. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 –
«хорошо», 9 –«удовлетворительно», остальные – «неуд». Какова вероятность того, что все
трое студентов этой группы, встреченные деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?
20. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k
билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов
выигрышный?
21. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. Какова вероятность
того, что все эти карты разных мастей?
22. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4
черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
23. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая
вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?
24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания
в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить
вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
25. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет
хотя бы один стрелок.
26. На экзамен пришли студенты из двух групп: 60% пришедших – из 101-й группы,
40% - из 102-й. По прогнозам в 101-й группе будет 20% неуспевающих, а в 102-й – 15%.
Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не получит двойку?
27. В поликлинике работают два врача. Вероятность попасть на прием к врачу А
равна 0.6, а к врачу Б – 0.4. Вероятность ошибочного диагноза у А равна 0.03, а у Б – 0.08.
Больной побывал в поликлинике и ему поставили неверный диагноз. Определить
вероятность того, что диагноз поставлен врачом А? Врачом Б?
15. В коробке 10 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность того,
что среди них оказалось 3 белых?
28. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них
празднуют свой день рождения в один и тот же день?
29. В автобусе 40 пассажиров, среди которых 5 преступников. На допрос пригласили
шестерых наугад выбранных пассажиров. Какова вероятность того, что среди них окажется
хотя бы один преступник?
30. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет орел.
Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность выигрыша бросавшего первым?
Вторым? б) Какими станут вероятности выигрыша, если бросающий вторым делает по два
броска?
31. В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов, один из
которых правильный. Для положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Какова
вероятность положительной оценки, если отвечать наугад?
32. В тесте 25 вопросов. На каждый приведено 3 ответа, один из которых верный.
Для зачета достаточно правильно ответить на 15 вопросов. Какова вероятность получить
зачет, отвечая наугад?
33. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки и
два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.
34. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии
исключен): больше 1 партии из 4 или больше 2 партий из 5?
35. В помещении 4 лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы
0.8. Найти вероятность того, что к концу года останутся гореть 3 лампы.
36. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча
при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих
будет равное количество попаданий.
37. В страховой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной
социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года равна 0,006. Каждый клиент
1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить
его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: а) контора разорится; б)
контора получит не менее 40000 долларов прибыли?
38. Банк выдал 1000 кредитов на год по 500 т.р. под 10% годовых (возврат 550 т.р.).
Вероятность возврата кредита каждым клиентом 90%. Какой будет прибыль банка,
гарантированная с вероятностью 95% ?
39. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и
десять выигрышей 1 руб. Найти распределение случайной величины Х – стоимости
возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
40. Кубик брошен 3 раза. Написать распределение числа появлений шестерки.
Построить функцию распределения.
41. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение
случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное
отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».
42. В коробке 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынимают 2 шара. Случайная величина
Х – сумма номеров вынутых шаров. Построить распределение случайной величины Х,
рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить
выполнение «правила трех стандартных отклонений».
43. Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:
0 при x  0,


f ( x )  a sin( x ) при 0  x   ,

0 при x  

Определить a и функцию распределения F (x ) .
44. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке [0,1], имеет
плотность вероятности f ( x )  2 x . Какова функция распределения F (x ) этой случайной
величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.
45. Случайная величина x , принимающая значения на промежутке (0,2), имеет
плотность вероятности f ( x )  1 / 4 при 0  x  1 и f ( x )  3 / 4 при 1  x  2 . Какова функция
распределения F (x ) этой случайной величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) .
Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
46. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке 0,1 , имеет
равномерное распределение. Какова плотность распределения f (x ) и функция распределения
F (x ) этой случайной величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
47. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке 0,1 , имеет
плотность вероятности f ( x )  (4  2 x ) / 3 . Найдите функцию распределения F (x ) этой
случайной величины. Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
48. Радиус круга измерен приближенно на интервале (a,b). Полагая, что радиус
является случайной величиной, распределенной равномерно на этом интервале, найти
математическое ожидание и дисперсию площади круга.
49. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и
дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти вероятность того, что при испытании
эта случайная величина примет значение: а) из промежутка (20, 30); б) большее 15?
50. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя
дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета распределена по
нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов
дает перелет от 100 до 200 м.
51. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения,
превосходящие  0,5 см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина
детали распределена по нормальному закону, определите ее стандартное отклонение.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
а) основная литература:
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРАМ,2008. – 656 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. – М.:
ИНФРА-М,2008. – 575 с.
3. Красс М.С. Математика для экономистов. СПб.: Питер, 2008.
б) дополнительная литература;
1. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2006.
2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. М.: Дело, 2002.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2007.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах
(Части 1 и 2).. М.: Оникс: Мир и Образование, 2007.
в) программное обеспечение:
1. Программные средства «Microsoft Office»: Microsoft Excel
2. Электронный учебно-методический комплекс «Математика», расположенный в Интернет
по адресу http://172.16.0.23/de/title.htm.
3. Электронный вариант конспекта лекций в локальной сети академии по адресу
\\Class_serv\classes\_Teachers\Математика
4. Лекционные и методические материалы, http://edu.uapa.ru/moodle
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина состоит из двух основных разделов. Программой предусмотрено
освоение каждого раздела в течение одного семестра. Для успешного освоения материала
курса «Математика» требуются систематическая работа по изучению лекций и
рекомендуемой литературы, решению домашних задач и домашних контрольных работ, а
также активное участие в работе семинаров.
Показателем освоения материала служит успешное решение задач предлагаемых
домашних контрольных работ и выполнение аудиторных самостоятельных и контрольных
работ. При освоении дисциплины рекомендуется использовать образовательные технологии
и оценочные средства контроля успеваемости, разработанные в рамках системы Moodle.