2-я олимпиада по математике (решения)

ОЛИМПИАДА 2013
Задача 1
Пусть В – некоторая заданная матрица размера n  n. Найдите матрицу X из
уравнения AX + XA = B, если известно, что A2 = 2A + 3E.
Решение. Умножив уравнение для матрицы X слева и справа на матрицу A, получим
 A2 X  AXA  AB
уравнения 
. Вычитая из первого второе и подставляя A2  2 A  3E ,
2
 AXA  XA  BA
найдем AX  XA  12 ( AB  BA) . Сложив полученное уравнение с исходным, придем к
уравнению
AX  12 B  14 ( AB  BA) .
Переписав
равенство
A2  2 A  3 E
в
виде
A( 13 A  23 E )  E заметим, что A1  13 A  23 E . Поэтому X  ( 13 A  23 E )( 12 B  14 ( AB  BA)) ,
откуда X  16 ( AB  BA)  121 ( B  ABA) . Заметим, что избавится в этом выражении от
матрицы A невозможно, поскольку уравнение A2  2 A  3E имеет бесконечное множество
решений.
Ответ: X  16 ( AB  BA)  121 ( B  ABA) .
Задача 2
x
Пусть f ( x) 
1 x2
fn(x) = f(f(…(f(x))…)).
Решение. Заметим, что f
. Найдите fn(x), если f1(x) = f(x), f2(x) = f(f(x)), … ,
2
n 1
f n2
1
1

, поэтому 2  2  1 . Другими словами, функции
2
f n 1 f n
1  fn
1
образуют арифметическую прогрессию с разностью d  1 . Поэтому
f ( x)
2
n
x
1
1
1  x2
1  nx 2
.


(
n

1)

1


(
n

1)

. Окончательно: f n ( x) 
2
2
2
2
fn
f1
x
x
1  nx 2
x
.
Ответ: f n ( x) 
1  nx 2
Задача 3
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
Решение.

1
(1  2 )  ( 3  6 )

1 2  3  6
(1  2 )  ( 3  6 )
2
2
(1 

1 2  3  6
(1  2 )  ( 3  6 )

8 2 6

1 
11  7 2  5 3  6
.
46
2 3


.

6 8
2 )  ( 3  6 ) (1  2 )  ( 3  6 )
1 2  3  6

1

2 6
 8 2 6 8 2 6


Ответ:
11  7 2  5 3  6
.
46
Задача 4
Пусть |q|<1. Докажите, что предел последовательности
0
1
n
xn  1  q 2  1  q 2  ...  1  q 2 существует и найдите его.


 

Решение. Домножим xn на (1  q ) :
n 1
(1  q) xn  (1  q)(1  q)(1  q 2 )...(1  q 2 )  (1  q 2 )(1  q 2 )...(1  q 2 )  ...  1  q 2 .
n
n
n 1
1 q2
1
Значит x n 
при n  .

1 q
1 q
Задача 5
Плоскости 6 x  y  7 z  8 = 0 и  2 x  5 y  6 z  38 = 0 пересекаются по прямой l.
Плоскости 2 x  2 y  z  12 = 0 и  4 x  3 y  2 z  4 = 0 пересекаются по прямой m. А
прямые l и m пересекаются?
Решение. Если прямые l и m пересекаются, то их точка пересечения удовлетворяет
уравнениям всех четырех плоскостей. Следовательно, прямые пересекаются тогда и
только тогда, когда система уравнений, составленная из уравнений плоскостей, совместна.
Имеем следующую систему уравнений:
6 x  y  7 z  8
 2 x  5 y  6 z  38


2 x  2 y  z  12
 4 x  3 y  2 z  4.
Преобразуем ее методом Гаусса:
1
 6

 2  5
 2
2

 4 3

8 

6  38 
1 12 

2  4 
7
4
 2

 2  5
 (I+IVI) 
2
2

 4 3

4 9
4 
 2


 0  1 15  34 
 (I+IIII) 
2
2 1 12 


 4 3 2  4 




4 

6  38 
1 12 

2  4 
9

4 9
4 
 2


 0  1 15  34 
 (IIIIIII) 
0
2 8 8 


 4 3 2  4 


4 
2 4 9


 2  I  IV  IV   0  1 15  34 
 III

 III   0 1 4  4 


2

 
 0 11 20
4 

4 
2 4 9


0

1
15

34 

(II+IIIIII) 
 (11II+IVIV)
0 0 19  38 


 0 11 20
4 



9
2 4

0

1
15

 0 0 19

 0 0 185

4 

 34 
 38 

 370 

 III

 III 

19


 IV  IV 


 185

4 
2 4 9


 0  1 15  34 
0 0 1  2 


0 0 1  2 


4 
2 4 9


 0  1 15  34 
 (IIIIVIV) 
.
0 0 1 2 


0 0 0
0 

Система совместна. Следовательно, прямые l и m пересекаются. Точка пересечения:
М(3; 4; -2).
Задача 6
Сколько действительных корней имеет уравнение x 2013  2 x 2012  2  0 ?
обосновать, не используя калькулятор и другие электронные средства.
Ответ
Решение. Исследуем на монотонность функцию
f ( x)  x 2013  2 x 2012  2  x 2012  ( x  2)  2 .
Имеем:
f ' ( x)  2013x 2012  2  2012 x 2011  x 20112013x  4024 .
4024
. Значения функции в критических точках:
Критические точки: x1  0; x2 
2013
f max  f 0  2  0;
4024 2012
f min  f ( 4024
 ( 4024
2013 )  ( 2013 )
2013  2)  2 
2012
2
2
  2013
 ( 4024
 2   2013
 ( 23 )2012  2 
2013 )
81 503
2
2
  2013
 ( 16
)  2   2013
 4503  2  0 .
При x, стремящемся к -∞, функция f(x) стремится к -∞; при x, стремящемся к +∞, f(x)
стремится к +∞:
lim x 2013  2 x 2012  2  ,
lim x 2013  2 x 2012  2  .
x 


x 


Значит, уравнение имеет 3 действительных корня.
Ответ: 3.
Задача 7
Постройте пример функции двух переменных, определённой и непрерывной на R2,
область значений которой совпадает с интервалом (0; 1).
(Область значений не включает оба конца интервала).
Функций, удовлетворяющих указанному условию, существует бесконечное множество.
В качестве примера можно указать на такую: f ( x, y ) 
1 1
 arctg xy.
2 