Урок Тема: Теорема Виета и теорема, обратная к ней. Цель:

Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
Урок
Тема: Теорема Виета и теорема, обратная к ней.
Цель: закрепление понятия приведенного квадратного уравнения.
Формирование теоремы Виета прямой и обратной.
Формировать умение применять теоремы при решении квадратных уравнений.
Развивать логическое мышление.
Воспитание самостоятельности, аккуратности и активности.
Формирование компетентностей:
Социальная компетентность: самостоятельное решение задач различными способами и
выбор более рациональных, самооценка и взаимооценка;
Коммуникативная компетентность: стимулирование умения учащихся, комментирование
решенных задач, взаимопроверка высказывания собственной точки зрения,
Информационная компетентность: использование дополнительной
использование таблиц, схем, опорных конспектов;
информации;
Творческая продуктивная деятельность: использование творческих задач, составление
задач, вопросов.
Форма проведения урока: урок изучения нового материала.
Оборудование: компьютеры, экран, мультимедиа.
Девиз урока:
"Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы!"
С. Коваль.
ХОД УРОКА.
I. Орг. Момент.
Приветствие!
Настрой:
II.
Сядем ровно,
Повернемся,
Друг другу улыбнемся,
И в работу окунемся.
Мотивация учебной деятельности.
- Ребята, у нас сегодня не совсем обычный урок. Представим себе, что мы исследователи. А перед нами, исследователями, предстоят следующие задачи:
1.Вывести теорему о свойствах корней квадратного уравнения;
2. Доказать теорему;
3. Научиться находить корни приведенного квадратного уравнения, используя это
свойство.
- Успешное решение этих задач зависит от того, как дружно и активно вы будете
работать. И в этом нам помогут знания и умения решать квадратные уравнения, которые
вы получили раньше.
III.
Актуализация опорных знаний.
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
(Перед началом урока учащиеся, которые не готовы к уроку, заполняют «защитный
лист», в котором указывают фамилию и причину своей неготовности к уроку или
невыполнения домашнего задания).
1. Проверка наличия д.з. (Проверку наличия д.з. выполняют консультанты)
2. Проверка задания по готовым ответам.
3. Задание: если вписать верные слова, то в выделенной строке получится
фамилия французского математика
Вопросы:
1. Квадратное уравнение с первым коэффициентом
равным 1.
2. Подкоренное выражение в формуле корней
квадратного уравнения.
3. Один из видов квадратного уравнения
4. a, b в квадратном уравнении.
приВеденное
дискримИнант
нЕполное
коэффициенТ
В выделенной строке получится фамилия французского математика ВИЕТА.
4. Математический диктант под копирку с проверкой (устное комментирования +
взаимопроверка)
 Укажите коэффициенты a, b и с квадратного уравнения
а)
Зх2 -5у+ 1 = 0,
б)
-x2+x-3 = 0,
в)
х2+2х+1 = 0.
а)
б)
в)
 Сколько корней имеет квадратное уравнение
5 х 2- х - 7 = 0,
х2 + 2х + 1 = 0,
(х + З)2 = - 0,25?
Запишите формулу корней квадратного уравнения.
Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в уравнении 2а для выполнения задания?
(Нет, потому что свободный член этого уравнения отрицателен при а>0, следовательно,
дискриминант положителен, можно применить формулы сокращенного умножения –
квадрат суммы).
5. Заполнить таблицу формул. (Работа в паре) – с дальнейшим комментированием
и заполнением у доски
Таблица 1
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
ах2+вх+с=0, а  0
в=0
с0
с=0
c
 >0
a
IV.
D=
ах2+вх=0
х2=
х=
b  0, с  0
с=0
х(
c
 0
a
)=0
D>0
D<0
D=0
х=
х=
Изучение нового материала.
Вступительное слово учителя. Сегодня мы с вами продолжаем изучать квадратные
уравнения и их корни. Пусть слова Козьмы Пруткова "Зри в корень" будут эпиграфом урока.
Отвечая на вопросы в начале урока мы получили фамилию французского математика
Виета.
Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями
квадратного уравнения.
Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их
корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.
Запишите тему урока "Теорема Виета".
Франсуа Виет - французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее - советником
французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень
сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на
костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Ф. Виета называют "отцом буквенной современной
алгебры». Он доказал теорему, которую мы будем сегодня изучать.
Изучение нового материала в виде практической работы. Ученики выполняют работу в
группах (работа возможна в «домашних « группах).
Практическая работа по теме: “Теорема Виета”
Цель: установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
Объект исследования: квадратное уравнение и его корни.
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
Оборудование: шариковая ручка, двойной лист в клетку, линейка, простой карандаш,
карточки для дополнительных заданий.
Знания, умения и навыки, необходимые для выполнения работы:
(т.е. то, что нужно вспомнить и повторить, прежде чем предлагать учащимся данную
работу):
 понятие полного квадратного уравнения;
 умение записать квадратный трехчлен в общем виде;
 алгоритм решения квадратного уравнения ( как полного, так и приведенного);
 умение записать общую формулу корней квадратного уравнения (полного и
приведенного).
Алгоритм работы в группе:





В течение 5-10 минут самостоятельно работайте над заданием;
Поочередно расскажите свое решение;
Подготовьте ответ к защите;
Оформите свои решения и выводы.
Подготовьте ответы на вопросы: С какой целью было предложено данное задание? Где
было трудно при решении, на что следует обратить внимание?
Ход работы ( инструкция для ученика).
Приведенные квадратные уравнения.
1.1. Решите уравнения:
а) х2 + 4х + 3 = 0;
б) х2 - 10х – 24 = 0.
1.2. Заполните таблицу:
Уравнение
р
q
х1
х2
х1 + х2
х1 · х2
х2 + 4х + 3 = 0;
х2 -10х – 24 = 0.
1.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами.
1.4. Гипотеза: какую связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его
коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.
1.5. Проверка гипотезы: запишите приведенное квадратное уравнение в общем виде ( х 2 +
рх + q = 0 ).
1.6. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.
( Х1 =
; X 2=
)
1.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.
1.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.
1.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь.
Дополнительный вопрос.
Проверь свои выводы, решив уравнение: х2 – 12х + 36 = 0.
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
2. Полные квадратные уравнения.
2.1. Решите уравнения:
а) 6 х2 – 5х – 1 = 0;
б) 5 х2 + 9х + 4 = 0.
2.1. Заполните таблицу:
Уравнение
а
в
с
х1
х2
х1 + х2
х1 · х2
6х2 -5х - 1 = 0;
5х2 + 9х + 4 = 0.
2.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами.
2.4. Гипотеза: какую связь между корнями полного квадратного уравнения и его
коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.
2.5. Проверка гипотезы: запишите полное квадратное уравнение в общем виде
(ах2 + bх + с = 0).
2.6. Запишите общую формулу корней полного квадратного уравнения.
( Х1 =
; X 2=
)
2.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.
2.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.
2.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь.
(Полученное утверждение называется теоремой Виета)
Дополнительный вопрос.
Проверь свои выводы, решив уравнение: -2х2 + 8х + 3 = 0.
Дополнительное задание.
Найдите сумму и произведение корней следующих квадратных уравнений:
а) х2 – 5х + 6 = 0;
б) 3х2 – 4х – 2 = 0;
в) х2 – 6х + 24 = 0;
г) 6х2 – 5х = 0.
2. Проверьте с помощью теоремы Виета: верно ли найдены корни квадратного уравнения.
а) х2 – 15х – 16 = 0
х1 = - 1; х2 = 16.
б) 2х2 – 3х + 1 = 0
х1 = 1/2; х2 = 1.
3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
Найдите с помощью теоремы, обратной теореме Виета корни квадратного уравнения:
а) х2 + 11х – 12 = 0;
б) 2 х2 + 9х + 8 = 0;
в) -3х2 – 6х = 0;
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
г) х2 – 6 = 0.
Учащиеся снова делают вывод, ответив на вопрос: Существуют ли другие способы
решения приведенных квадратных уравнений?
Учитель: К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе.
Давайте еще раз сформулируем теорему Виета:
Теорема Виета. Нет формул важней
Для приведенного уравнения:
р - это сумма его корней,
q - его корней произведение.
V.
Решение упражнений.
Тест (по карточкам, с проверкой)
Задание. Выпишите цифры, стоящие возле правильных ответов. (В результате должны
получиться годы жизни Франсуа Виета: 1540-1603).
1 вариант
1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
Зх2 - 7х + 6 = 0
(5),
х2 - Зх - 2 = 0
(1),
2
-х - 2х + 1 = 0
(4).
2.
Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является
х2 + 2х - 3 = 0
(5),
-х2 -2х + 3 = 0
(6),
7х + 14x-21 = 0 (7).
3.
Сумма корней уравнения х2 - 5х - 6 = 0 равна
-6 (2),
-5 (3),
5 (4).
4.
Произведение корней уравнения х2 + х - 2 - 0 равно
-1 (2),
2 (1),
-2 (0).
5.
Какое из уравнений имеет корни противоположных
знаков?
х2 - 0,4х -1=0 (-),
х2 + 4х + 0,2= 0 (+),
х2 - Зх + 48 = 0 (*)?
2 вариант
1.
Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
4х2 - 17х +1 = 0 (5),
х2 + 8х – 2 = 0 (1),
-х2 - х + 1 = 0 (4)?
2. Для уравнения 8х2-24х+ 16= 0 приведенным является
х2 - Зх + 2 = 0 (6),
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
-х2 +3х - 2 = 0 (5),
-8х2 + 24х - 16 = 0 (7).
3.
Сумма корней уравнения х2 + 8х -7 - 0 равна
-7 (2),
-8 (0),
8 (4).
4.
Произведение корней уравнения х2 -2 х - 3 = 0 равно
-3 (3),
4 (1),
-2 (0).
5.
Какое из уравнений имеет корни противоположных з наков
х2 + 57х + 15,1 = 0 (-),
х2 - 4 , 1 х + 3,5 = 0 (+),
х2 - 18х - 0,48 = 0 (.)?
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ:
Задание для групп:
Номер группы
Задание для 1
группы
Задание для 2
группы
Задание для 3
группы
Задание для 4
группы
VI.
Задание
Решение задание.
Найдите сумму и произведение корней
уравнения, не решая его, ответ объясните:
• х2 + 5х - 6 = 0
• х2 - 0,4х -1=0
• -х2 -7х + 10 = 0
• 10х2 - 4х -10= 0
Зная один из корней, найти другой:
• х2 + 10х - 11 = 0 , х1= 1
• х2 - х -6=0 , х1=-2
• х2 -25х +100 = 0 , х1=5
Определите знаки корней уравнения:
• х2 + 5х - 6 = 0
• х2 - 7х +12=0
• х2 + х - 6 = 0
Подберите корни уравнения, не решая его.




Домашнее задание.
х2 + 8х - 9 = 0
х2 - 3х -4=0
х2 + 5х + 6 = 0
х2 -х -6 = 0
(ЗАДАНИЯ ПО УЧЕБНИКУ: Алгебра 8 класс, авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,
М.С. Якир, Харьков, «Гимназия», 2008 г. )
Разобрать теорему Виета и обратную теорему к ней: п. 19
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С.
Решать задания: (разноуровневые) №№ 668, 670(1), 674
Дополнительное задание: №682, 686(1)
Творческое задание: Подготовить дополнительную информацию про Франсуа Виета.
Подведение итогов урока
VII.
В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".
Зачем же нужна теорема Виета?
С ее помощью можно:
- найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его (устно № ____);
- зная один из корней, найти другой (устно № _____);
- определить знаки корней уравнения (устно № _____);
- подобрать корни уравнения, не решая его (№ ______).
Рефлексия.
VIII.
1. Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность
работы отдельных детей, работа в группе, работа в паре, выполнение
практической работы, уровень самоорганизации, прилежание)
2. Учащимся предлагается закончить предложения:



Сегодня на уроке……
Мне запомнилось ……….
Хотелось бы отметить ……….
3. Покажите ваше настроение:
Дайте оценку своей работы на уроке:
4. – понял, но еще нужна помощь
5. – понял все;
6. – понял и могу оказать помощь товарищам.
Учитель:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь, что за беда,
В числителе b, в знаменателе a.
Спасибо за урок!