Решение районной олимпиады, 2

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Тюменский областной государственный институт
развития регионального образования
Зональная олимпиада по математике
2006-2007 учебный год
11 класс
1. Даны два трехзначных числа, сумма которых делится на 37. Эти числа
записаны друг за другом. Верно ли, что полученное шестизначное число
обязательно делится на 37?
(3 балла)
2. Найдите действительные решения системы уравнений
 x 2  xy  2 y 2  8 x  10 y  12  0,
 2
 x  3 xy  2 y 2  x  y  6  0.
(4 балла)
3. Стороны параллелограмма служат диагоналями четырех квадратов.
Вершины квадратов, лежащие во внешней по отношению к
параллелограмму части плоскости (выходящие из этих вершин стороны
квадратов не имеют общих точек с параллелограммом), служат
вершинами четырехугольника площади а, четыре противоположных им
вершины образуют четырехугольник площади b. Найдите площадь
параллелограмма.
(6 баллов)
4. 30 студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причем
однокурсники – одинаковое число задач, а студенты с разных курсов –
разное. Сколько студентов придумали ровно по одной задаче?
(3 балла)
5. При каких значениях параметра а уравнение а  4х  х 2  1а  1  х  2   0
имеет ровно три корня?
(4 балла)
Решение зональной олимпиады, 1-й лист
(2006 –2007 учебный год)
11 класс
1. Даны два трехзначных числа, сумма которых делится на 37. Эти числа записаны друг за
другом. Верно ли, что полученное шестизначное число обязательно делится на 37?
(3 балла)
Решение:
Обозначим данные трехзначные числа через а и b. Тогда их сумма а+ b делится на
37.
Шестизначное число принимает вид1000а + b. Преобразуем его, выделяя слагаемое
а+ b :
1000а + b = 999 а + (а+ b).
У полученной суммы не только второе, но и первое слагаемое делится на 37, так
как 999 а делится на 111, а 111 делится на 37. Поэтому и вся сумма делится на 37.
Ответ: верно.
Рекомендации к оценке задания № 1
Ответ без пояснения считается необоснованным предположением и не может быть
оценен каким-либо количеством баллов.
2. Найдите действительные решения системы уравнений
 x 2  xy  2 y 2  8 x  10 y  12  0,
 2
 x  3 xy  2 y 2  x  y  6  0.
(4 балла)
Решение:
Решим каждое из уравнений системы как квадратное относительно х или у. Тогда
исходная система преобразуется к виду
x  2 y  2x  y  6  0,

x  2 y  3x  y  2  0
и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнений, решениями которой
являются (-2;0), (-3;3), (-4;2).
Ответ: (-2;0), (-3;3), (-4;2).
Решение районной олимпиады, 2-й лист
(2006 –2007 учебный год)
11 класс
3. Стороны параллелограмма служат диагоналями четырех квадратов. Вершины
квадратов, лежащие во внешней по отношению к параллелограмму части плоскости
(выходящие из этих вершин стороны квадратов не имеют общих точек с
параллелограммом), служат вершинами четырехугольника площади а, четыре
противоположных им вершины образуют четырехугольник площади b. Найдите
площадь параллелограмма.
(5 балла)
Решение:
Докажем, что оба четырехугольника, о которых идет речь в задаче являются
квадратами. Треугольник М 2 ВМ 1 переходит в М 2 СМ 3 при повороте вокруг вершины М 2
на 90  как показано на рисунке.
М2
В
С
N4
N3
М1
М3
N1
N2
А
D
М4
Следовательно, отрезки М2М1 и М2М3 равны и перпендикулярны. Рассуждая также
ко всем парам соседних сторон четырехугольника М1М2М3М4, докажем, что он является
квадратом. С четырехугольником N1N2N3N4 поступим аналогично.
Пусть стороны параллелограмма АВСD равны х и у, а его угол (например, угол
АВС) равен  . Применяя теорему косинусов к треугольникам М1ВМ2 и N1BN2 получим:
1


а  М 1 М 22  М 1 В 2  М 2 В 2  2М 1 В  М 2 Всos М 1 ВМ 2  х 2  у 2   ху cos    ,
2
2

1


b  N1 N 22  N1 В 2  N 2 В 2  2 N1 В  N 2 Всos N1 ВN 2  х 2  у 2   ху cos    .
2
2

Вычтем второе равенство и первого:




а  b   ху cos     ху cos     2 ху sin   2 S ABCD .
2
2


ab
Ответ:
.
2
Решение районной олимпиады, 3-й лист
(2006 –2007 учебный год)
11 класс
4. 30 студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причем однокурсники
– одинаковое число задач, а студенты с разных курсов – разное. Сколько студентов
придумали ровно по одной задаче?
(3 балла)
Решение:
Выберем 5 студентов, по одному с каждого курса. Все они придумали разное
количество задач. Поэтому общее число задач, предложенных ими, не меньше, чем 1 + 2 +
3 + 4 + 5 = 15. Остальные 25 студентов придумали не более чем 40 – 15 = 25 задач. Ясно,
что каждый из них придумал по одной задаче, и следовательно, всего 26 человек
придумали по одной задаче.
Ответ: 26 студентов.


5. При каких значениях параметра а уравнение а  4 х  х 2  1 а  1  х  2   0 имеет
ровно три корня?
(4 балла)
Решение:
Данное уравнение равносильно совокупности
а  х  22  3,
а  х 2  4 х  1,


а  х  2  1
а  х  2  1,
то есть его график в системе координат (х; а) – это объединение «уголка» а  х  2  1 и
параболы а  х  2  3 , как показано на рисунке.
2
а
О
-1
1
2
3
х
-3
Только одна горизонтальная прямая вида а = ао, а именно а = -1, пересекает построенный
график в трех точках, а значит исходное уравнение имеет ровно три решения только при а
= -1.
Ответ: а = -1.
Рекомендации по организации и проведению
зональной олимпиады по математике для 11 классов
В текстах зональной олимпиады (9-11кл.) для разных классов
повторяющихся заданий нет.
Зональная олимпиада по математике для 10 классов (время выполнения
– 3 часа (180 минут)) состоит из 5 заданий различных уровней трудности из
различных разделов школьного курса математики, оцененных от 3 до 6
баллов.
К тексту олимпиады прилагаются листы с решениями заданий и
ответами. К заданию № 1 имеется рекомендация по выставлению оценки.